Coefficienti del metodo delle differenze finite
# Coefficienti del metodo delle differenze finite

In matematica, per approssimare una derivata di qualsiasi ordine di una funzione, è possibile agire utilizzando le differenze finite. Sono suddivise in differenze finite centrate, in avanti oppure all'indietro.

## Differenze finite centrate

Nella tabella seguente si riportano i coefficienti per ottenere derivate centrate di diverso ordine di accuratezza:

| Derivata | Accuratezza | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 2 | | | | −1/2 | 0 | 1/2 | | | |
| 1 | 4 | | | 1/12 | −2/3 | 0 | 2/3 | −1/12 | | |
| 1 | 6 | | −1/60 | 3/20 | −3/4 | 0 | 3/4 | −3/20 | 1/60 | |
| 1 | 8 | 1/280 | −4/105 | 1/5 | −4/5 | 0 | 4/5 | −1/5 | 4/105 | −1/280 |
| 2 | 2 | | | | 1 | −2 | 1 | | | |
| 2 | 4 | | | −1/12 | 4/3 | −5/2 | 4/3 | −1/12 | | |
| 2 | 6 | | 1/90 | −3/20 | 3/2 | −49/18 | 3/2 | −3/20 | 1/90 | |
| 2 | 8 | −1/560 | 8/315 | −1/5 | 8/5 | −205/72 | 8/5 | −1/5 | 8/315 | −1/560 |
| 3 | 2 | | | −1/2 | 1 | 0 | −1 | 1/2 | | |
| 3 | 4 | | 1/8 | −1 | 13/8 | 0 | −13/8 | 1 | −1/8 | |
| 3 | 6 | −7/240 | 3/10 | −169/120 | 61/30 | 0 | −61/30 | 169/120 | −3/10 | 7/240 |
| 4 | 2 | | | 1 | −4 | 6 | −4 | 1 | | |
| 4 | 4 | | −1/6 | 2 | −13/2 | 28/3 | −13/2 | 2 | −1/6 | |
| 4 | 6 | 7/240 | −2/5 | 169/60 | −122/15 | 91/8 | −122/15 | 169/60 | −2/5 | 7/240 |

Ad esempio, se si vuole approssimare la derivata terza con un'accuratezza del secondo ordine:

    $\displaystyle f'''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right)$

## Differenze finite decentrate

Nella seguente tabella si riportano invece i coefficienti per le derivate in avanti (per le derivate all'indietro dispari, ovvero la prima, la terza eccetera, è sufficiente cambiare di segno tutti i coefficienti):

| Derivata | Accuratezza | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 1 | −1 | 1 | | | | | | | |
| 1 | 2 | −3/2 | 2 | −1/2 | | | | | | |
| 1 | 3 | −11/6 | 3 | −3/2 | 1/3 | | | | | |
| 1 | 4 | −25/12 | 4 | −3 | 4/3 | −1/4 | | | | |
| 1 | 5 | −137/60 | 5 | −5 | 10/3 | −5/4 | 1/5 | | | |
| 1 | 6 | −49/20 | 6 | −15/2 | 20/3 | −15/4 | 6/5 | −1/6 | | |
| 2 | 1 | 1 | −2 | 1 | | | | | | |
| 2 | 2 | 2 | −5 | 4 | −1 | | | | | |
| 2 | 3 | 35/12 | −26/3 | 19/2 | −14/3 | 11/12 | | | | |
| 2 | 4 | 15/4 | −77/6 | 107/6 | −13 | 61/12 | −5/6 | | | |
| 2 | 5 | 203/45 | −87/5 | 117/4 | −254/9 | 33/2 | −27/5 | 137/180 | | |
| 2 | 6 | 469/90 | −223/10 | 879/20 | −949/18 | 41 | −201/10 | 1019/180 | −7/10 | |
| 3 | 1 | −1 | 3 | −3 | 1 | | | | | |
| 3 | 2 | −5/2 | 9 | −12 | 7 | −3/2 | | | | |
| 3 | 3 | −17/4 | 71/4 | −59/2 | 49/2 | −41/4 | 7/4 | | | |
| 3 | 4 | −49/8 | 29 | −461/8 | 62 | −307/8 | 13 | −15/8 | | |
| 3 | 5 | −967/120 | 638/15 | −3929/40 | 389/3 | −2545/24 | 268/5 | −1849/120 | 29/15 | |
| 3 | 6 | −801/80 | 349/6 | −18353/120 | 2391/10 | −1457/6 | 4891/30 | −561/8 | 527/30 | −469/240 |
| 4 | 1 | 1 | −4 | 6 | −4 | 1 | | | | |
| 4 | 2 | 3 | −14 | 26 | −24 | 11 | −2 | | | |
| 4 | 3 | 35/6 | −31 | 137/2 | −242/3 | 107/2 | −19 | 17/6 | | |
| 4 | 4 | 28/3 | −111/2 | 142 | −1219/6 | 176 | −185/2 | 82/3 | −7/2 | |
| 4 | 5 | 1069/80 | −1316/15 | 15289/60 | −2144/5 | 10993/24 | −4772/15 | 2803/20 | −536/15 | 967/240 |

Ad esempio, la derivata prima in avanti con accuratezza del terzo ordine è:

    $\displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right)$

mentre la corrispondente derivata all'indietro è:

    $\displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right)$
