Distribuzione lognormale
# Distribuzione lognormale

In teoria delle probabilità la distribuzione lognormale, o log-normale, è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria $X$ il cui logaritmo $\log X$ segue una distribuzione normale.

Questa distribuzione può approssimare il prodotto di molte variabili aleatorie positive indipendenti.

Viene utilizzata anche in matematica finanziaria.

## Definizione

La variabile aleatoria $X=e^{N}$ segue la distribuzione lognormale $\log {\mathcal {X}}(\mu ,\sigma ^{2})$se e solo se $N=\log X$ segue la distribuzione normale ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$.

La sua funzione di densità di probabilità è

    $f(x)={\frac {e^{-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{x{\sqrt {2\pi }}{\sigma }}}$ per $x>0$.

## Caratteristiche

La funzione di ripartizione della distribuzione lognormale è

    $F(x)=\Phi _{(\mu ,\sigma )}(\ln x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\text{erf}}\left({\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)$

dove $\Phi _{(\mu ,\sigma )}$ è la funzione di ripartizione della distribuzione normale ed ${\text{erf}}$ è la funzione degli errori.

I momenti semplici della distribuzione possono essere dedotti dalla funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale di $N=\log X$

    $\mu _{n}(X)=E[X^{n}]=E[e^{nN}]=g_{N}(n)=e^{n\mu +n^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$.

In particolare si trovano

* la speranza matematica

    $E[X]=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$
* e la varianza

    ${\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}=e^{2\mu }(e^{2\sigma ^{2}}-e^{\sigma ^{2}})=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1)$.

I parametri $(\mu ,\sigma ^{2})$ possono essere ricavati dalla speranza e dalla varianza, utilizzando la relazione ${\tfrac {{\text{Var}}(X)}{E[X]^{2}}}=e^{\sigma ^{2}}-1$.

Gli indici di asimmetria e curtosi sono

    $\gamma _{1}=(e^{\sigma ^{2}}+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}$ e $\gamma _{2}=e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6$.

La moda della distribuzione è $e^{\mu -\sigma ^{2}}$.

La mediana è $q_{1/2}=e^{\mu }$ e si trova immediatamente tramite la mediana $\mu$ di $N=\log X$: ${\tfrac {1}{2}}=P(N\leqslant \mu )=P(X=e^{N}\leqslant e^{\mu })$.

## Proprietà

Se $X$ è una variabile aleatoria con distribuzione lognormale $\log {\mathcal {N}}(e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}},e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1))$ allora

* $N=\log X$ segue la distribuzione normale ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$.

Per ogni trasformazione lineare (invertibile)

* $aN+b$ segue ancora una distribuzione normale ${\mathcal {N}}(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2})$
* $e^{aN+b}=e^{b}X^{a}$ segue una distribuzione lognormale $\log {\mathcal {N}}(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2})$.

In particolare seguono una distribuzione lognormale

* i multipli scalari $cX$,
* le potenze $X^{a}$
* e l'inverso $X^{-1}$ di $X$.

Per la definizione di distribuzione lognormale non è importante che venga scelto il logaritmo naturale, ovvero la base e: due distinti logaritmi $\log _{a}X$ e $\log _{b}X$ differiscono soltanto di un fattore ${\tfrac {\log a}{\log b}}$.

La distribuzione lognormale svolge un ruolo simile a quello della distribuzione normale, la quale può fornire un'approssimazione per la somma di "molte" variabili aleatorie indipendenti $X_{1},...X_{n}$ aventi una stessa distribuzione (teorema del limite centrale). Se le $X_{i}$ sono positive allora la distribuzione lognormale può fornire un'approssimazione per il loro prodotto (così come la distribuzione normale può fornire un'approssimazione per la somma dei loro logaritmi, $\textstyle \log(\prod _{i}X_{i})=\sum _{i}\log(X_{i}$).

