Distribuzione logaritmica
# Distribuzione logaritmica

In teoria delle probabilità la distribuzione logaritmica (o della serie logaritmica) è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri interi positivi che esprime lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo naturale,

    $\log(1-x)=-{\Bigx+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+...{\Big )}$.

La distribuzione venne descritta da Ronald Fisher in uno studio sulla genetica delle popolazioni.

## Definizione

La distribuzione logaritmica di parametro $p\in ]0,1[$ attribuisce le probabilità

    $P(n)={\frac {1}{-\log(1-p)}}{\frac {p^{n}}{n}}={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p^{n}}{n}}$ per $n>0$.

Siccome la serie di Taylor (o di Maclaurin) di $-\log(1-x)$ ha raggio di convergenza 1, la probabilità totale è 1.

La funzione di ripartizione è

    $F(n)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(n+1,0)}{\log(1-p)}}$,

dove $\mathrm {B} _{p}$ è la funzione Beta incompleta.

## Caratteristiche

Una variabile aleatoria $X$ con distribuzione logaritmica di parametro $p$ ha

* momenti semplici

    $\mu _{k}=E[X^{k}]={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}\sum _{n>0}n^{k-1}p^{k}$,

tramite i quali si possono esprimere

* la speranza matematica

    $E[X]={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p}{1-p}}$
* e la varianza

    ${\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}={\frac {1}{-(1-p)^{2}\log(1-p)}}-{\Big{\frac {p}{-(1-p)\log(1-p)}}{\Big )}^{2}$.

La funzione generatrice dei momenti è

    $g_{X}(t)=E[e^{tX}]={\frac {1}{-\log(1-p)}}\sum _{n>0}{\frac {(pe^{t})^{n}}{n}}={\frac {\log(1-pe^{t})}{\log(1-p)}}$.

Inoltre siccome la funzione $p^{n}/n$ è decrescente, $P(n)$ assume il valore massimo in 1, la moda.

## Altre distribuzioni

### Formula ricorsiva

La distribuzione logaritmica di parametro $p$ soddisfa la ricorsione di Panjer

    $P(n)=(p+{\tfrac {-p}{n}})P(n-1)$ per $n>1$

ma è limitata al supporto $\mathbb {N} \setminus \{0\}$. (La distribuzione di Panjer con gli stessi parametri definisce una distribuzione degenere, con $P(1)=(p-p)P(0)=0$.)

### Distribuzione composta di Poisson

Se la variabile aleatoria $N$ segue una distribuzione di Poisson allora la somma di $N$ variabili aleatorie indipendenti $X_{1},...,X_{N}$ con una stessa distribuzione logaritmica,

    $X_{1}+...+X_{N}$,

segue una distribuzione di Pascal (o binomiale negativa).

In altri termini, la distribuzione di Pascal è una distribuzione composta di Poisson della distribuzione logaritmica.

