Norma operatoriale
# Norma operatoriale

In matematica, la norma operatoriale di un operatore lineare è la norma definita sullo spazio degli operatori limitati lineari tra spazi vettoriali normati.

## Definizione

Considerando due spazi normati $V$ e $W$ sul medesimo campo $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$, una trasformazione lineare $A:V\to W$ è continua se e solo se esiste un numero reale $c$ tale per cui:

    $\|Av\|_{W}\leq c\|v\|_{V}\quad \forall v\in V$

Intuitivamente, l'operatore $A$ non "allunga" mai i vettori su cui agisce di un fattore maggiore di $c$. In questo modo, l'immagine di un insieme limitato è limitata. Da questo fatto segue che gli operatori lineari continui sono anche detti operatori limitati.

La norma operatoriale è definita considerando il più piccolo $c$ tale per cui la precedente uguaglianza vale per ogni $v$:

    $\|A\|_{op}=\min\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ per ogni }}v\in V\}$

dove il minimo esiste sempre grazie al fatto che tale insieme è chiuso, limitato e non vuoto.

Si può mostrare che le seguenti definizioni sono equivalenti a quella data:

    ${\begin{aligned}\|A\|_{op}&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|\leq 1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|<1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}:v\in V{\mbox{ con }}v\neq 0\right\}\end{aligned}}$

## Proprietà

La norma operatoriale è una norma definita sullo spazio degli operatori limitati da $V$ in $W$, che significa:

* $\|A\|_{op}\geq 0$ e $\|A\|_{op}=0$ se e solo se $A=0$.
* Si verifica:

    $\|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}\quad \forall a$
    dove $a$ è uno scalare.
* Valgono le disuguaglianze:

    $\|A+B\|_{op}\leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op}\qquad \|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\quad \forall v\in V$

Se $V$, $W$ e $X$ sono spazi normati sullo stesso campo e $A:V\to W$, $B:W\to X$ sono operatori limitati, allora:

    $\|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}$

Per gli operatori limitati su $V$ questo implica che la moltiplicazione tra operatori è continua.

Dalla definizione segue inoltre che se una successione di operatori converge nella norma operatoriale allora converge uniformemente su insiemi limitati.

## Operatori in spazi di Hilbert

Sia $H$ uno spazio di Hilbert reale e $A:H\to H$ un operatore lineare limitato. Allora si ha:

    $\|A\|_{op}=\|A^{*}\|_{op}$

e inoltre:

    $\|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}$

dove $A^{*}$ è l'operatore aggiunto di $A$ (che in uno spazio euclideo con il prodotto scalare standard è rappresentato dalla matrice trasposta coniugata di $A$).

In generale, il raggio spettrale $\rho (A)$ di $A$ è limitato dalla norma operatoriale di $A$:

    $\rho (A)\leq \|A\|_{op}$

Quando una matrice $N$ è normale la sua forma canonica di Jordan è diagonale, in accordo con il teorema spettrale. In tal caso è semplice vedere che:

    $\rho (N)=\|N\|_{op}$

Il teorema spettrale può essere esteso a operatori normali in generale, e la precedente uguaglianza vale per ogni operatore normale limitato $N$.

Lo spazio degli operatori limitati su $H$ con la topologia indotta dalla norma operatoriale non è separabile.

L'insieme degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert, insieme con la norma operatoriale e l'operazione di aggiuntezza, produce una C*-algebra.

