Distribuzione di Skellam
# Distribuzione di Skellam

In teoria delle probabilità la distribuzione di Skellam è una distribuzione di probabilità che governa la differenza tra due variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe una distribuzione di Poisson. Prende il nome da John Gordon Skellam.

## Definizione

La distribuzione di Skellam di parametri $(\lambda _{1},\lambda _{2})$ è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria

    $Y=X_{1}-X_{2}$

definita da due variabili aleatorie indipendenti $X_{1}$ e $X_{2}$ che seguono rispettivamente le distribuzioni di Poisson di parametri $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$.

La distribuzione di probabilità di $Y=X_{1}-X_{2}$ è

    $P(n)=e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}I_{|n|}(2{\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}})$,

dove $I_{\alpha }$ è la funzione di Bessel di primo tipo modificata

Questa distribuzione si ricava dalle distribuzioni $P(X_{i}=n_{i})=e^{-\lambda _{i}}\lambda _{i}^{n}/n!$, esprimendo

    $P(Y=n)=\sum _{n_{1}-n_{2}=n}P(X_{1}=n_{1})P(X_{2}=n_{2})={\frac {1}{e^{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\sum {\frac {\lambda _{1}^{n_{1}-{\frac {n}{2}}}\lambda _{2}^{n_{2}+{\frac {n}{2}}}}{n_{1}!n_{2}!}}$;

mostrando che $\textstyle {\frac {P(Y=n)}{P(Y=-n)}}=\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{n}$ si ottiene la formula per la distribuzione di $Y$.

Nel caso particolare in cui entrambe le variabili $X_{1}$ e $X_{2}$ seguano la stessa distribuzione di probabilità $\mathbb {P} (\lambda )$, la distribuzione diventa simmetrica e la distribuzione è

    $P(n)=e^{-2\lambda }I_{|n|}(2\lambda )$.

## Caratteristiche

La variabile aleatoria $Y=X_{1}-X_{2}$ con distribuzionedi Skellam di parametri $(\lambda _{1},\lambda _{2})$ ha

* speranza matematica

    $E[Y]=E[X_{1}]-E[X_{2}]=\lambda _{1}-\lambda _{2}\$
* funzione caratteristica

    $\phi _{Y}(t)=\phi _{X_{1}}(t)\phi _{X_{2}}(-t)=e^{\lambda _{1}e^{it}+\lambda _{2}e^{-it}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$
* funzione generatrice dei momenti

    $g_{Y}(t)=g_{X_{1}}(t)g_{X_{2}}(-t)=e^{\lambda _{1}e^{t}+\lambda _{2}e^{-t}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$

Prendendo

    $s=\lambda _{1}+\lambda _{2}$ e $d=\lambda _{1}+\lambda _{2}$,

dalla funzione generatrice dei momenti si ricavano i primi momenti semplici

    $\mu _{1}(Y)=d$, $\mu _{2}(Y)=d^{2}+s$, $\mu _{3}(Y)=d^{3}+3ds+d$, $\mu _{4}(Y)=d^{4}+6d^{2}s+4d^{2}+3s^{2}+s$

e i primi momenti centrali

    $m_{2}(Y)=s$, $m_{3}(Y)=d$, $m_{4}(Y)=3s^{2}+s$;

in particolare si trovano la varianza

    ${\text{Var}}(Y)=m_{2}(Y)=s=\lambda _{1}+\lambda _{2}\$

e gli indici di asimmetria e curtosi

    $\gamma _{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {d}{s^{3/2}}}={\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{\frac {3}{2}}}}$,
    $\gamma _{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {3s^{2}+s}{s^{2}}}-3={\frac {1}{s}}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{-1}$.

## Proprietà

La distribuzione di Poisson può essere considerata un caso particolare della distribuzione di Skellam, con parametri $(\lambda ,0)$; in altri termini, considerando la distribuzione degenere (${P(X_{2}=0)=1}$) un caso particolare di distribuzione di Poisson con parametro 0, la variabile aleatoria $Y=X_{1}-X_{2}=X_{1}$ è differenza di due variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzioni di Poisson.

La somma e la differenza di due o più variabili aleatorie indipendenti che seguono distribuzioni di Skellam (o di Poisson) seguono entrambe una distribuzione di Skellam. Questa proprietà segue dalla definizione di distribuzione di Skellam e dall'analoga proprietà per la somma di due o più variabili aleatorie indipendenti con distribuzione di Poisson. Più precisamente, se $X=X_{1}-X_{2}$ e $Y=Y_{1}-Y_{2}$ seguono rispettivamante le distribuzioni di Skellam di parametri $(\lambda _{1},\lambda _{2})$ e $(\mu _{1},\mu _{2})$, allora

    $-X=X_{2}-X_{1}$ segue la distribuzione di Skellam di parametri $(\lambda _{2},\lambda _{1})$,
    $X+Y=(X_{1}+Y_{1})-(X_{2}+Y_{2})$ segue la distribuzione di Skellam di parametri $(\lambda _{1}+\mu _{1},\lambda _{2}+\mu _{2})$,
    $X-Y=(X_{1}+Y_{2})-(X_{2}+Y_{1})$ segue la distribuzione di Skellam di parametri $(\lambda _{1}+\mu _{2},\lambda _{2}+\mu _{1})$,
