Distribuzione di Dirichlet
# Distribuzione di Dirichlet

In teoria della probabilità la distribuzione di Dirichlet, spesso denotata con $\operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})$, è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da un vettore di numeri reali positivi $\alpha$, che generalizza la variabile casuale Beta nel caso multivariato. Prende il nome dal matematico tedesco Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Ha come funzione di densità di probabilità

    $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}|\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})={\frac {\Gamma (\alpha )}{\Gamma (\alpha _{1})\Gamma (\alpha _{2})\ldots \Gamma (\alpha _{k})}}x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}-1}\ldots x_{k}^{\alpha _{k}-1},$

dove $\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{k}$ e $x_{1},\dots ,x_{k}$ sono numeri reali positivi tali che

    $x_{1}+\cdots +x_{k}=1.$

Il suo valore atteso è

    $E(X_{i})={\frac {\alpha _{i}}{\alpha }},$

la moda è

    $x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha -k}},\quad \alpha _{i}>1,$

mentre la varianza è

    $\operatorname {Var} (X_{i})={\frac {(\alpha -\alpha _{i})\alpha _{i}}{\alpha ^{2}(\alpha +1)}}.$

Inoltre, per ogni coppia $X_{i},X_{j}$ con $i\neq j$, si ha che la covarianza è

    $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-{\frac {\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha ^{2}(\alpha +1)}}.$

## Teoremi

### La distribuzione Beta come caso particolare

Se $k=2$ e $X_{2}=1-X_{1}$, allora $X_{1}$ è distribuita come una variabile casuale Beta $\operatorname {Beta} (\alpha _{1},\alpha _{2}).$

### La distribuzione di Dirichlet come distribuzione a priori coniugata della distribuzione Multinomiale

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana la variabile casuale di Dirichlet è una distribuzione a priori coniugata della variabile casuale multinomiale in quanto se si applica alla

    $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}|\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k})=\operatorname {Multinomiale} _{k}(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k})$

una distribuzione a priori delle $\theta _{i}$ corrispondente ad una variabile casuale di Dirichlet

    $g(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k})=\operatorname {Dir} _{k}(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k}),$

allora la distribuzione a posteriori delle $\theta _{i}$ è anch'essa una variabile casuale di Dirichlet, ma con i parametri incrementati dai valori osservati:

    $g(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k}|(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k})=\operatorname {Dir} _{k}(\alpha _{1}+x_{1},\alpha _{2}+x_{2},\ldots ,\alpha _{k}+x_{k}).$

Questo teorema può essere visto come una generalizzazione multivariata dell'equivalente teorema univariato, che coinvolge variabile casuale binomiale al posto della multinomiale e la variabile casuale Beta al posto della Dirichlet.

### Dalla Gamma (Erlang B) alla Dirichlet

Se si hanno $k$ indipendenti variabili casuali distribuite ciascuna come una variabile casuale Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato (si tratta dunque di variabili casuali dette Erlang B, ciascuna con il proprio parametro)

    $Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} (\alpha _{i},1),$

definendo la loro somma come

    $V=\sum _{i=1}^{k}Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} (\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i},1),$

allora si ha che

    $(X_{1},\ldots ,X_{k})=(Y_{1}/V,\ldots ,Y_{k}/V)\sim \operatorname {Dir_{k}} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}).$
