Elettrone degenerato
# Elettrone degenerato

L'elettrone degenerato è una particolare condizione del gas che compone una stella, che devia dall'andamento statistico normale detto di equilibrio termodinamico.

In condizioni normali, infatti, la pressione del gas è una funzione che dipende essenzialmente da due parametri (temperatura e densità del gas). Nel caso di degenerazione, invece, il gas tende a seguire una differente distribuzione statistica (non più cioè quella dell'equilibrio termodinamico detta di Maxwell-Boltzmann) che prende il nome di distribuzione di Fermi-Dirac.

In questa distribuzione, rientra lo studio di un gas composto di soli elettroni e la cui pressione, in questo caso, sarà una funzione che dipenderà unicamente dalla densità stessa del gas. Volendo, inoltre, si potrebbero considerare due casi di degenerazione: quello non relativistico e quello relativistico, a seconda che il momento della quantità di moto massimo (momento di Fermi) che le particelle possono occupare in una distribuzione degenere sia molto più piccolo o all'incirca uguale alla quantità $m_{e}\cdot c$, dove $m_{e}$ è la massa dell'elettrone e $c$ è la velocità della luce.

## Gas di Fermi

Consideriamo un sistema quantistico di molte particelle, e guardiamone lo spazio delle fasi. A causa del principio di esclusione, lo spazio delle fasi può essere diviso in tante celle discrete, ognuna di volume

$V=\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p_{x}\Delta p_{y}\Delta p_{z}\geq h^{3}$

e che può contenere al più s particelle, essendo s il numero di stati di spin (s=2 per elettroni, protoni, neutroni).

Per una distribuzione sferica di particelle compresa entro un raggio massimo $R$ ed un momento massimo $p_{F}$, il numero di particelle sarà:

$N=s{\frac {4\pi }{3}}R^{3}{\frac {4\pi }{3}}p_{F}^{3}{\frac {1}{h^{3}}}$

e, quindi, la densità di particelle per unità di volume spaziale sarà:

$n={\frac {N}{{\frac {4\pi }{3}}R^{3}}}=s{\frac {4\pi }{3}}\left({\frac {p_{F}}{h}}\right)^{3}$

dalla quale ricaviamo l'espressione del momento massimo $p_{F}$, detto momento di Fermi

$p_{F}=\left({\frac {3}{4\pi }}{\frac {n}{s}}\right)^{\frac {1}{3}}h$

e dal quale si ricava l'energia di Fermi

$E_{F}={\frac {p_{F}^{2}}{2m}}={\frac {1}{2m}}\left({\frac {3}{4\pi }}{\frac {n}{s}}\right)^{\frac {2}{3}}h^{2}$

e l'energia media di un elettrone sarà

${\bar {E}}={\frac {\int _{0}^{p_{F}}{\frac {p^{2}}{2m}}4\pi p^{2}\,dp}{\int _{0}^{p_{F}}4\pi p^{2}\,dp}}={\frac {1}{2m}}{\frac {3p_{F}^{5}}{5p_{F}^{3}}}={\frac {3}{5}}E_{F}$

Quindi se tutti gli elettroni hanno energia minore di $E_{F}$ il gas si dice degenere e gli si può associare una pressione definita in modo termodinamico (se consideriamo $\gamma$ il coefficiente adiabatico e $\varepsilon$ la densità di energia):

$p_{d}=(\gamma -1)\varepsilon ={\frac {2}{3}}n{\bar {E}}={\frac {1}{5m}}\left({\frac {3}{4\pi s}}\right)^{\frac {2}{3}}h^{2}n^{\frac {5}{3}}$

detta Pressione di degenerazione.

## Ruolo della pressione nelle stelle

La pressione di degenerazione è sempre presente in una stella, ma non fornisce un contributo decisivo al suo sostentamento, poiché ordinariamente minore della pressione $p=2nkT$. Se la stella è in una fase di collasso gravitazionale, può accadere che la pressione di degenerazione cresca tanto da superare di gran lunga la pressione ordinaria, a causa dell'aumento di densità della stella. Questo avviene quando la densità raggiunge il valore critico

$n\geq n_{Q}=\left({\frac {2\pi m_{e}kT}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}$

da cui si vede che, anche per temperature relativamente alte, gli elettroni sono degeneri, a patto che la densità sia sufficientemente alta.

Tutto questo è di fondamentale importanza per il sostentamento delle nane bianche e delle stelle di neutroni, le quali si formano entrambe quando, in seguito ad un collasso, la pressione di degenerazione (degli elettroni nelle prime, e dei neutroni nelle seconde) diventa sufficientemente alta da contrastare la pressione gravitazionale.

