Trasformata di Hankel
# Trasformata di Hankel

In matematica, la trasformata di Hankel è una trasformata integrale, per la prima volta sviluppata dal matematico Hermann Hankel, che esprime una data funzione $f(r)$ come una somma pesata di un numero infinito di funzioni di Bessel del primo tipo $J_{\nu }(kr)$. È anche conosciuta come la trasformata di Fourier–Bessel. Le funzioni di Bessel del nucleo integrale sono tutte dello stesso ordine $\nu$, ma differiscono nel fattore di scala $k$ lungo l'asse $r$. Il coefficiente $F_{\nu }$ di ogni funzione di Bessel, visto come una funzione del fattore di scala $k$, costituisce la trasformata di Hankel. La trasformata di Hankel è strettamente collegata con la serie di Fourier-Bessel, nello stesso modo in cui la trasformata di Fourier per un intervallo infinito è in relazione con la serie di Fourier su un intervallo finito.

## Definizione

La trasformata di Hankel di ordine $\nu$ di una funzione $f(r)$ è data da

    $F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,$

dove $J_{\nu }$ è la funzione di Bessel del primo tipo di ordine $\nu$, con $\nu \geq -1/2$. La trasformata di Hankel inversa di $F_{\nu }(k)$ è definita come

    $f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,$

che può essere verificata sfruttando la relazione di ortogonalità fra le funzioni di Bessel.

### Dominio di definizione

L'inversione della trasformata di Hankel di una funzione $f(r)$ è valida in tutti i punti in cui $f(r)$ è continua, a patto che sia definita e continua a tratti in $(0,\infty )$, a variazione limitata in ogni sottointervallo finito di $(0,\infty )$ e

    $\int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .$

Tuttavia, in analogia con la trasformata di Fourier, si può estendere il dominio tramite un ragionamento sulla densità, includendo alcune funzioni per cui l'integrale precedente non è finito, come $f(r)=(1+r)^{-3/2}$.

### Definizione alternativa

Una definizione alternativa afferma che la trasformata di Hankel di $g(r)$ è

    $h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }g(r)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} r.$

Le due definizioni sono collegate:

    Se $g(r)=f(r){\sqrt {r}}$, allora $h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k){\sqrt {k}}.$

Questo significa che, come per la precedente definizione, la trasformata di Hankel definita in questo modo è la sua stessa inversa:

    $g(r)=\int _{0}^{\infty }h_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} k.$

Il dominio ora ha la condizione

    $\int _{0}^{\infty }|g(r)|\,\mathrm {d} r<\infty ,$

ma può essere esteso. Secondo de Branges, si può prendere l'integrale come il limite con l'estremo superiore che tende all'infinito (un integrale improprio invece di un integrale di Lebesgue), e in questo modo la trasformata di Hankel e la sua inversa sono definite per ogni funzione in $L^2(0,$ ∞).

## Ortogonalità

Le funzioni di Bessel formano una base ortogonale se pesate con la funzione $r$:

    $\int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.$

## Il teorema di Plancherel e di Parseval

Se le funzioni $f(r)$ e $g(r)$ possiedono trasformate di Hankel $F_{\nu }(k)$ e $G_{\nu }(k)$ ben definite, allora il teorema di Plancherel afferma che

    $\int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.$

Il teorema di Parseval, che afferma

    $\int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,$

è un caso speciale del teorema di Plancherel. Questi teoremi si possono dimostrare utilizzando la proprietà di ortogonalità.

## Relazioni con altre trasformate

### Relazione con la trasformata di Fourier (simmetria circolare)

La trasformata di Hankel di ordine zero è essenzialmente la trasformata di Fourier in 2 dimensioni di una funzione a simmetria circolare.

Si consideri una funzione bidimensionale $f(\mathbf {r} )$ del raggio vettore $r$. La sua trasformata di Fourier è

    $F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\iint f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .$

Senza perdita di generalità, si può scegliere un sistema di coordinate polari $(r,\theta )$ in modo che il vettore $\mathbf {k}$ giaccia sull'asse $\theta =0$ (nel K-spazio). La trasformata di Fourier si scrive ora in queste coordinate come

    $F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta )}\,r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r,$

dove $\theta$ è l'angolo tra i vettori $\mathbf {k}$ e $\mathbf {r}$. Se la funzione $f$ è a simmetria circolare, non ha nessuna dipendenza dalla variabile angolare $\theta$ e può essere scritta come $f(r)$. Si può così portare fuori dall'integrazione su $\theta$, e in questo caso la trasformata di Fourier diventa

    $F(\mathbf {k} )=F(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)\,r\,\mathrm {d} r,$

che è esattamente la trasformata di Hankel di ordine zero di $f(r)$. Analogamente per la trasformata inversa,

    $f(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi }}\iint F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {k} =\int _{0}^{\infty }F(k)J_{0}(kr)\,k\,\mathrm {d} k,$

quindi $f(r)$ è la trasformata di Hankel di ordine zero di $F(k)$.

### Relazione con la trasformata di Fourier (simmetria radiale in n dimensioni)

Per una trasformata Fourier n-dimensionale,

    $F(\mathbf {k} )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{n}\mathbf {r} ,$

Se la funzione $f$ è a simmetria radiale, allora

    $k^{\frac {n-2}{2}}F(k)=\int _{0}^{\infty }r^{\frac {n-2}{2}}f(r)J_{\frac {n-2}{2}}(kr)\,r\,dr.$

### Relazione con la trasformata di Fourier (caso generale in due dimensioni)

Per generalizzare, se $f$ può essere espansa in una serie di multipoli,

    $f(r,\theta )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta },$

e se $\theta _{k}$ è l'angolo tra la direzione di $\mathbf {k}$ e l'asse $\theta =0$, allora

    ${\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,f_{m}(r)e^{im\theta }e^{-ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,f_{m}(r)\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \,e^{im\varphi }e^{-ikr\cos \varphi }&&(\varphi =\theta -\theta _{k})\\&=\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,f_{m}(r)i^{-m}J_{m}(kr)\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}F_{m}(k),\end{aligned}}$

dove $F_{m}(k)$ è la trasformata di Hankel di ordine $m$ di $f_{m}(r)$.

**Funzioni all'interno di un raggio limitato**

Inoltre, se $f_{m}$ è sufficientemente liscia vicino all'origine e è zero fuori da una palla di raggio $R$, allora può essere espansa nella serie di Čebyšëv:

    $f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{mt}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\leq R.$

Sostituendola nell'ultima equazione della sezione precedente si ottiene

    ${\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR),\end{aligned}}$

dove l'ultima uguaglianza segue da §6.567.1 di. Questo è un caso molto più generale di quello trattato nella precedente sezione. L'aspetto numerico importante è che i coefficienti $f_{mt}$ si possono ricavare con le tecniche della trasformata di Fourier discreta.

Questo è un assaggio della trasformata di Hankel veloce.

### Relazione con le trasformate di Fourier e di Abel

In due dimensioni, se si definisce $A$ come l'operatore della trasformata di Abel, $F$ come l'operatore della trasformata di Fourier, e $H$ come la trasformata di Hankel di ordine zero, allora il caso particolare del teorema di proiezione-taglio per le funzioni a simmetria circolare afferma che

    $FA=H.$

In altre parole, applicare la trasformata di Abel a una funzione in una dimensione e farne successivamente la trasformata di Fourier è equivalente a applicare la trasformata di Hankel alla funzione. Questo concetto si può estendere a tutte le dimensioni.

## Trasformata di alcune funzioni particolari

| $f(r)$ | $F_{0}(k)$ |
| - | - |
| $1$ | ${\frac {\delta (k)}{k}}$ |
| ${\frac {1}{r}}$ | ${\frac {1}{k}}$ |
| $r$ | $-{\frac {1}{k^{3}}}$ |
| $r^{3}$ | ${\frac {9}{k^{5}}}$ |
| $r^{m}$ | ${\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}$ |
| ${\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}$ | ${\frac {e^{-k|z|}}{k}}$ |
| ${\frac {1}{z^{2}+r^{2}}}$ | $K_{0}(kz),\quad z\in \mathbf {C}$ |
| ${\frac {e^{iar}}{r}}$ | ${\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}},\quad a>0,k<a$ |
| ${\frac {e^{iar}}{r}}$ | ${\frac {1}{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}},\quad a>0,k>a$ |
| $e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}$ | ${\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}$ |
| ${\frac {1}{r}}J_{0}(lr)e^{-sr}$ | ${\frac {2}{\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}}}}}K{\bigg{\sqrt {\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}}{\bigg )}$ |
| $-r^{2}f(r)$ | ${\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}$ |
| $f(r)$ | $F_{\nu }(k)$ |
| $r^{s}$ | ${\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}$ |
| $r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)$ | ${\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)$ |
| $e^{-r^{2}}r^{\nu }U(a,b,r^{2})$ | ${\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)$ |
| $r^{n}J_{\mu }(lr)e^{-sr}$ | esprimibile in termine degli integrali ellittici. |
| $-r^{2}f(r)$ | ${\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{\nu }}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }$ |

$K_{n}(z)$ è la funzione di Bessel modificata del secondo tipo. $K(z)$ è l'integrale ellittico completo del primo tipo.

L'espressione

    ${\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}$

coincide con l'espressione dell'operatore di Laplace in coordinate polari $(k,\theta )$ applicato alla funzione a simmetria sferica $F_{0}(k)$.

La trasformata di Hankel dei polinomi di Zernike sono essenzialmente delle funzioni di Bessel (Noll 1976):

    $R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k$

per $n-m\geq 0$ pari.

