Distribuzione di Kumaraswamy
# Distribuzione di Kumaraswamy

In teoria della probabilità la distribuzione di Kumaraswamy è una distribuzione di probabilità continua, definita sull'intervallo [0,1] e dipendente da due paramentri. È simile alla variabile casuale beta, ma è più semplice da usare grazie alle semplici espressioni chiuse della funzione di densità di probabilità e della frequenza cumulata. Porta il nome di Poondi Kumaraswamy che la descrisse per primo.

## Caratteristiche

La funzione di densità di probabilità è definita da

    $f(x|a;b)=abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1}$, dove a e b sono i due parametri e $x\in [0,1]$

si ottiene così che la cumulata è

    $F(x|a;b)=[1-(1-x^{a})^{b}]$

e il valore atteso diventa

    $\mu ={\frac {b\Gamma (1+1/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+1/a+b)}}$

mentre la mediana è

    $\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{1/b}\right)^{1/a}$

e la moda

    $\left({\frac {a-1}{ab-1}}\right)^{1/a}.$

I momenti di ordine n sono calcolabili con

    $m_{n}={\frac {b\Gamma (1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=bB(1+n/a,b).$

dove $\Gamma$ e $B$ sono rispettivamente la funzione gamma e la funzione beta di Eulero.

## Relazione con altre distribuzioni

* Se $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,$ allora $X\sim U(0,1)\,$
* Se $X\sim U(0,1)\,$ (distribuzione continua uniforme) allora ${\left(1-{\left(1-X\right)}^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,$
* Se $X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,$ (variabile casuale beta) allora $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,$
* Se $X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,$ (variabile casuale beta) allora $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$
* Se $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$ allora $(1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,$
* Se $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,$ allora $(1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$
* Se $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$ allora $-ln(X)\sim {\textrm {Exponential}}(a)\,$
* Se $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,$ allora $-ln(1-X)\sim {\textrm {Exponential}}(b)\,$
* Se $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,$ allora $X\sim {\textrm {GB1}}(a,1,1,b)\,$, la distribuzione beta generalizzata di primo ordine.

## Implementazioni in software

In R tramite il pacchetto extraDistr sono disponibili le seguenti funzioni

rispettivamente funzione di densità, di probabilità, dei quantili e generatore di numeri casuali.

