Trasformata di Cayley
# Trasformata di Cayley

In matematica, con trasformata di Cayley si identificano oggetti diversi.

La trasformata di Cayley è stata inizialmente introdotta da Arthur Cayley come una mappa tra lo spazio delle matrici antisimmetriche e quello delle matrici ortogonali speciali. In analisi complessa, la trasformata di Cayley è una mappa conforme tale per cui l'immagine del semipiano complesso superiore è il disco unitario, mentre nella teoria degli spazi di Hilbert denota una trasformazione tra operatori lineari.

## Mappa tra matrici

Si consideri lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione $n\times n$ su $\mathbb {R}$, e sia $A$ una matrice antisimmetrica, cioè tale che $A^{T}=-A$. La matrice $I+A$, dove $I$ denota la funzione identità, è in tal caso invertibile.

Si definisce trasformata di Cayley la matrice ortogonale speciale $Q$ definita nel modo seguente:

    $Q=(I-A)(I+A)^{-1}$

Dal momento che la moltiplicazione fra matrici nella definizione è commutativa, la trasformata di Cayley può essere definita in modo equivalente come:

    $Q=(I+A)^{-1}(I-A)$

Viceversa, data una matrice ortogonale che non possiede -1 come autovalore, allora la matrice:

    $A=(I-Q)(I+Q)^{-1}$

è antisimmetrica.

## Mappa conforme

In analisi complessa, la trasformata di Cayley è una mappa conforme dal piano complesso in sé data da:

    $\operatorname {W} \colon z\mapsto {\frac {z-\mathbf {i} }{z+\mathbf {i} }}$

Si tratta di una trasformazione lineare fratta, e può essere estesa ad un automorfismo definito sulla sfera di Riemann.

Tale funzione gode delle seguenti proprietà:

* $\operatorname {W}$ mappa il semipiano complesso superiore nel disco unitario.
* $\operatorname {W}$ mappa in modo iniettivo la retta reale nel cerchio unitario.
* $\operatorname {W}$ mappa in modo biunivoco il semiasse complesso $i[0,\infty )$ nell'intervallo $[-1,1)$.
* $\operatorname {W}$ mappa 0 in -1, -1 in $i$, il punto all'infinito in 1, $-i$ nel punto all'infinito.

## Mappa tra spazi di Hilbert

Generalizzando i concetti di mappa matriciale e mappa sul piano complesso, si definisce su uno spazio di Hilbert la trasformata di Cayley per operatori lineari:

    ${\begin{aligned}U&=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\\A&=\mathbf {i} (I+U)(I-U)^{-1}\end{aligned}}$

Tale funzione permette, in particolare, di definire la diagonalizzazione di operatori autoaggiunti non limitati attraverso una misura a valori di proiettore.

