Distribuzione di Dagum
# Distribuzione di Dagum

In teoria delle probabilità la distribuzione di Dagum è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da tre parametri, utilizzata nell'ambito delle analisi della distribuzione del reddito e della ricchezza. Venne descritta da Camilo Dagum nel 1977 nell'articolo A new Model of Personal Income Distribution: specification and estimation, comparso in "Economie Appliquée".

## Metodologia

### La funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione è definita per valori non negativi ($x\geq 0$)

    $F(x)=\alpha +(1-\alpha )(1-\lambda x^{-\delta })^{\beta }$

dove si interpreta che

    se $\alpha =0$ allora si applica ai casi nei quali X descrive un reddito, ovvero un flusso, in un intervallo di tempo continuo
    se $0<\alpha <1$ allora si applica ai casi nei quali X descrive la ricchezza, ovvero uno stock, in un istante di tempo

La F(x) è la soluzione all'equazione differenziale

    $f(x)=\beta _{1}\left(1-\left({\frac {F(x)-\alpha }{1-\alpha }}\right)^{\beta _{2}}\right){\frac {F(x)-\alpha }{x}}$

dove

    f(x) è la funzione di densità di probabilità
    β = 1 / β2
    δ = β1 β2
    λ = $e^c,$ dove c è la costante d'integrazione

### La funzione di densità di probabilità

La funzione di densità di probabilità è data da

    $f(x)=(1-\alpha )\beta \lambda \delta x^{-(1+\delta )}(1-\lambda x^{-\delta })^{-(1+\beta )}$ per x>0

mentre per x=0 assume il valore α.

### I momenti di ordine k

I momenti di ordine k sono definiti solo per k<δ

    $\mu _{k}=(1-\alpha )\beta \lambda ^{k/\delta }B(\beta +k/\delta ;1-k/\delta )$

dove B(. ; .) è la funzione Beta.

Il valore atteso diventa pertanto

    $\mu _{k}=(1-\alpha )\beta \lambda ^{1/\delta }B(\beta +1/\delta ;1-1/\delta )$

### Moda e mediana

moda

    $moda=\lambda ^{1/\delta }({\frac {\beta \delta -1}{1+\delta }})^{1/\delta }$

mediana:

    $mediana=\lambda ^{1/\delta }(1-({\frac {1/2-\alpha }{1-\alpha }})^{1/\beta })^{-1/\delta }$
