Intensità efficace della corrente alternata
# Intensità efficace della corrente alternata

Per intensità efficace di una corrente alternata si intende quel valore di corrente che, attraversando una resistenza elettrica, produrrà lo stesso effetto termico di una corrente continua.

Applicando la legge di Joule ad una corrente continua $I$ che attraversa una resistenza $R$, tale corrente compirà un lavoro elettrico $L_{cc}$ atto a produrre in un intervallo di tempo $t$ una quantità di energia pari a:

$L_{cc}=I^{2}\,R\,t$

Allo stesso modo una corrente in regime sinusoidale con valor massimo $I_{M}$, attraversando la stessa resistenza $R$, con andamento $i=I_{M}\,\sin(\omega t)$ e potenza istantanea $P=i^{2}\,R$ nell'intervallo di tempo del semiperiodo $T/2$, dove la corrente ha verso costante, avrà effettuato un lavoro $L_{ca}$ di:

$L_{ca}=\int _{0}^{\frac {T}{2}}I_{M}^{2}\,R\,\sin ^{2}(\omega t)\,dt\quad \Rightarrow \quad L_{ca}=I_{M}^{2}\,R\int _{0}^{\frac {T}{2}}\sin ^{2}(\omega t)\,dt$

Effettuiamo a questo punto una sostituzione di variabile ponendo:

$x=\omega t\quad t={\frac {x}{\omega }}\quad \Rightarrow \quad dt={\frac {dx}{\omega }}\quad \Rightarrow \quad L_{ca}={\frac {I_{M}^{2}\,R}{\omega }}\int _{0}^{\frac {T}{2}}\sin ^{2}(x)\,dx$

Essendo $\sin ^{2}(x)\,dx$ un integrale rilevante, ne è conosciuta la soluzione:

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}{\Biglx-\sin x\,\cos x{\Bigr )}$

Applicandola:

$L_{ca}={\frac {I_{M}^{2}\,R}{2\omega }}{\Biglx-\sin x\,\cos x{\Bigr ]}_{0}^{\frac {T}{2}}$

Risostituendo $x$ e tenendo conto del valore della velocità angolare $\omega$ del vettore corrente:

$x=\omega t\quad \omega ={\frac {2\pi }{T}}\quad x={\frac {2\pi }{T}}t\quad con:\ t={\frac {T}{2}}\to x={\frac {2\pi }{T}}{\frac {T}{2}}=\pi \quad con:\ t=0\to x={\frac {2\pi }{T}}0=0$

Quindi nel calcolo:

$L_{ca}={\frac {I_{M}^{2}\,R}{2\omega }}{\Bigl(\pi -\sin \pi \,\cos \pi )-(0-\sin 0\,\cos 0){\Bigr ]}={\frac {I_{M}^{2}\,R}{2\omega }}\pi \quad {\frac {\pi }{\omega }}={\frac {T}{2}}\quad L_{ca}={\frac {1}{4}}I_{M}^{2}\,R\,T$

Dovendo essere l'energia termica prodotta nell'intervallo del semiperiodo $T/2$ uguale sia per la corrente continua che per l'alternata, anche i lavori elettrici devono coincidere $(L_{cc}=L_{ca})$ e, stabilito per definizione che il valore della corrente continua rappresenta il valore efficace $I_{e}$ sarà:

$L_{cc}=I_{e}^{2}\,R{\frac {T}{2}}\qquad {\frac {1}{2}}I_{e}^{2}\,R\,T={\frac {1}{4}}I_{M}^{2}\,R\,T\qquad 2I_{e}^{2}=I_{M}^{2}\qquad I_{e}={\frac {I_{M}}{\sqrt {2}}}$

## Valore efficace della tensione alternata

Analogamente a quanto visto per la corrente possiamo determinare il valore efficace per la tensione seguendo la logica:

$L_{cc}={\frac {V^{2}}{R}}t\qquad v=V_{M}\,\sin(\omega t)\qquad L_{ca}={\frac {V_{M}^{2}}{R}}\int _{0}^{\frac {T}{2}}\sin ^{2}(\omega t)\,dt\qquad {\frac {V_{e}^{2}}{R}}{\frac {T}{2}}={\frac {V_{M}^{2}}{R}}{\frac {T}{4}}\qquad V_{e}={\frac {V_{M}}{\sqrt {2}}}$

