Operazione interna
# Operazione interna

In matematica, un'operazione interna ad n argomenti (o n-aria) su un insieme $X$ è una funzione che ad ogni n-upla di $X^{n}$ associa un elemento dello stesso $X$.

## Definizione

Sia $X$ un insieme non vuoto e sia $n\in \mathbb {N}$. Si chiama operazione interna su $X$ una funzione $*$ dal prodotto cartesiano $X^{n}$ a valori in $X$:

    $*:X^{n}\to X$

Equivalentemente, sia $m\in \mathbb {N}$, si chiama operazione interna su $X$ una funzione $*$:

    $*:X_{1}\times \ldots \times X_{m-1}\to X_{m}$

se $X_{1}=\ldots =X_{m-1}=X_{m}=X$.

Se $n=2$, l'operazione è detta operazione binaria interna su $X$ e l'immagine della coppia di punti $(x,y)$ si denota preferibilmente con la notazione di operazione $x*y$ piuttosto che con la notazione funzionale $*(x,y)$.

Un insieme non vuoto dotato di una sola operazione interna è detto avere struttura di magma o di gruppoide.

Il motivo principale per cui può essere necessario verificare che un'arbitraria operazione $*$ sia o meno interna su un insieme $X$ (pure arbitrario purché non vuoto) sta nel fatto che solo se l'operazione è interna la coppia $(X,*)$ può essere considerata come struttura algebrica. Alternativamente, si può dire che condizione necessaria affinché una coppia $(X,*)$ sia una struttura algebrica è che l'operazione $*$ verifichi la proprietà di chiusura su $X$.

### Operazione esterna

Un'operazione non interna su un insieme $X$ si dice operazione esterna.

## Esempi

### Operazioni interne

L'operazione di somma usualmente denotata con + è interna sull'insieme dei numeri naturali e così pure lo è sugli interi, sui razionali, sui reali ed anche sui complessi.

Analogamente, il prodotto è operazione interna su ciascuno degli stessi insiemi.

Le operazioni di massimo comun divisore e di minimo comune multiplo sono operazioni interne sull'insieme dei numeri naturali.

Le operazioni di unione ed intersezione sono interne sull'insieme delle parti di un insieme.

Il prodotto vettoriale è operazione interna sull'insieme delle terne di numeri reali:

    $\wedge :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$
       $({\vec {v}},{\vec {w}})\mapsto {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}$

### Operazioni esterne

Il prodotto scalare è un'operazione esterna sull'insieme delle terne di numeri reali:

    $\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$
       $({\vec {v}},{\vec {w}})\mapsto {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}$

essa ha infatti valori nel campo reale su cui è definito lo spazio vettoriale $\mathbb {R} ^{3}$ e non nello spazio vettoriale stesso.

Il prodotto di un vettore per uno scalare è ancora operazione esterna all'insieme delle terne di numeri reali:

    $\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$
       $(k,{\vec {v}})\mapsto k{\vec {v}}$

in quanto se la si pensa come funzione

    $\cdot :A\times B\to C$

si ha che anche in questo caso gli insiemi $A$, $B$ e $C$ non sono tutti e tre uguali.

Il prodotto misto:

    $\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$
       $({\vec {v}},{\vec {w}},{\vec {z}})\mapsto {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\cdot {\vec {z}}$

è infine ancora un'operazione (ternaria) esterna su $\mathbb {R} ^{3}$.

