Teorema di densità di Lebesgue
# Teorema di densità di Lebesgue

In matematica, il teorema di densità di Lebesgue afferma che per ogni insieme Lebesgue-misurabile $A$ la densità di $A$ è pari 1 in quasi ogni punto di $A$, dove la densità in un punto è il limite della misura dell'intersezione tra $A$ e una palla centrata nel punto, diviso per la misura della palla, nel limite in cui quest'ultima ha un raggio che tende a zero.

Si tratta di un caso particolare del teorema di Lebesgue.

## Il teorema

Sia $\mu$ la misura di Lebesgue su $\mathbb {R} ^{n}$ e sia $A$ un insieme Lebesgue-misurabile contenuto in $\mathbb {R} ^{n}$. La "densità approssimata" di $A$ in una palla $B_{\varepsilon }$ di raggio $\varepsilon$ centrata in $x\in \mathbb {R} ^{n}$ è definita come:

    $d_{\varepsilon }(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}$

Il teorema di densità di Lebesgue afferma che per quasi ogni punto $x\in A$ la densità, definita come:

    $d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)$

esiste e vale 1.

La densità di ogni $A$ misurabile può essere quindi 0 oppure 1 quasi ovunque in $\mathbb {R} ^{n}$. Se si verifica che $\mu (A)>0$ e $\mu (\mathbb {R} ^{n}\setminus A)>0$, inoltre, allora è certa l'esistenza di punti in $\mathbb {R} ^{n}$ dove la densità non è né 0 né 1. Ad esempio, se si considera un quadrato in un piano, la densità al suo interno è 1, sul bordo 1/2 e negli angoli 1/4. L'insieme dei punti nel piano in cui la densità non è né 0 né 1 non è vuoto (i bordi del quadrato), ma costituisce un insieme di misura nulla.

