Prebase
# Prebase

In matematica, e più precisamente in topologia, una prebase (o sottobase) è una particolare collezione di aperti di uno spazio topologico che ne determina la topologia. Il concetto è strettamente collegato a quello di base.

## Definizione

Una prebase di una topologia ${\mathcal {T}}$ per un insieme $X$ è una famiglia ${\mathcal {S}}$ di insiemi aperti, ovvero $S\subseteq {\mathcal {T}}$, tale che la famiglia delle intersezioni finite di elementi di ${\mathcal {S}}$ è una base della topologia di $X$, cioè l'insieme $\left\{X\in {\mathcal {T}}|\exists X_{1},X_{2},...,X_{n}\in S,X=\bigcap _{i=1}^{n}X_{i}\right\}$ deve essere una base per ${\mathcal {T}}$.

## Proprietà

Dato un ricoprimento S di un insieme X è possibile definire una topologia su $X$ di cui S è una prebase. La topologia può essere definita in vari modi equivalenti:

* la topologia meno fine fra tutte quelle che contengono ${\mathcal {S}}$,
* la topologia generata dall'insieme ${\mathcal {B}}$ delle intersezioni finite degli elementi di ${\mathcal {S}}$ (che risulterà una base di tale topologia)
* la topologia i cui aperti sono unioni (di cardinalità arbitraria) di elementi di ${\mathcal {B}}$
