Coefficiente multinomiale
# Coefficiente multinomiale

Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Per un numero intero non negativo $n,$ e un vettore intero non negativo $\mathbf {k}$ di norma uno ($\|\mathbf {k} \|_{1}$) uguale a $n$, il coefficiente multinomiale è definito come

    ${n \choose \mathbf {k} }:={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}k_{i}!}},$

ed è sempre un numero naturale.

( ${\prod _{i=1}^{r}}$ è il simbolo della produttoria).

## Teorema multinomiale

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

    $(x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}x_{i}^{k_{i}},$

ovvero

    ${\bigg\sum _{i=1}^{r}x_{i}{\bigg )}^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {x_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}},$

dove $\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}$ indica la sommatoria di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a $n$.

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:

    $x^{n}=\sum _{k=n}n!{\frac {\mathbf {x} ^{\mathbf {k} }}{\mathbf {k} !}},$

con le norme unitarie:

    $k=\sum _{i=1}^{r}k_{i}=\left\|\mathbf {k} \right\|_{1},$
    $x=\sum _{i=1}^{r}x_{i}=\left\|\mathbf {x} \right\|_{1},$

e:

    $\mathbf {x} ^{\mathbf {k} }=(x_{1}^{k_{1}},x_{2}^{k_{2}},\ldots ,x_{r}^{k_{r}})\in \mathbb {R} ^{r}.$

## Applicazioni

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi $n$ oggetti in $r$ scatole, tali che $k_{1}$ oggetti stiano nella prima scatola, $k_{2}$ nella seconda, e così via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di $n$ oggetti, di cui $k_{1}$ uguali tra loro, $k_{2}$ uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi $k_{i}$ essere uguale a $1$, e avendosi così $\sum _{i=1}^{r}k_{i}=n$.

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale:

    $P(\mathbf {x} =\mathbf {k} )={n \choose \mathbf {k} }\cdot \prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}},$

una variabile casuale discreta.

Per $x_{i}$ = 1 si ha:

    $r^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{k_{i}!}}}$.

## Esempio

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?

    ${32 \choose 10,10,10,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640$
