Assioma di separazione
# Assioma di separazione

Uno spazio topologico è un oggetto matematico molto generico, che può modellizzare tutti gli oggetti contenuti nello spazio euclideo, gli spazi metrici, e la maggior parte degli spazi di funzioni. Molti teoremi sugli spazi topologici necessitano di alcune ipotesi minime, che sono soddisfatte negli spazi metrici o euclidei. Queste ipotesi sono gli assiomi di separazione: questi chiedono generalmente che la topologia sia sufficientemente ricca da distinguere punti ed eventualmente chiusi disgiunti.

## Assiomi

I principali assiomi di separazione sono indicati con la lettera "T" seguita da un numero progressivo. La lettera "T" viene dal tedesco "Trennung", che vuol dire proprio separazione.

Sia X uno spazio topologico. La lista di assiomi è la seguente.

* X è $T_0$ se per ogni coppia di punti x e y di X esiste un aperto U che contiene x e non contiene y, o viceversa (in altre parole, la topologia distingue i punti).
* X è $T_1$ se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V tali che U contiene x e non y, mentre V contiene y e non x (equivalentemente: i punti sono chiusi).
* X è $T_2$ o di Hausdorff se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono, rispettivamente.
* X è regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono, rispettivamente.
* X è $T_3$ se è $T_1$ e regolare (implica $T_2).$
* X è completamente regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esiste una funzione continua a valori reali che vale 0 su F e 1 su x (implica la regolarità).
* X è $T_{3½}$ se è $T_0$ e completamente regolare (implica $T_3).$
* X è normale se per ogni coppia di chiusi disgiunti F e G esistono due aperti disgiunti U e V che li contengono rispettivamente (implica la completa regolarità).
* X è $T_4$ se è $T_1$ e normale (implica $T_{3½}).$

L'ipotesi che lo spazio sia $T_0$ nelle definizioni di $T_{3½}$ e $T_1$ in quella di $T_3$ e $T_4$ fa sì che ciascuno di questi assiomi sia un raffinamento dei precedenti.

## Esempi

* Ogni spazio metrico è di Hausdorff e regolare, quindi $T_3.$
* Uno spazio topologico con la topologia banale è $T_0$ solo se consta di un punto solo.
* La retta avente come aperti tutte le semirette x>d al variare di d fra i numeri reali è $T_0$ ma non $T_1.$
* La topologia cofinita su un insieme infinito di punti è $T_1$ ma non $T_2.$
* La topologia di Zariski, di fondamentale importanza in geometria algebrica, generalmente non è $T_2.$
