Serie di Mercator
# Serie di Mercator

In matematica, per serie di Mercator o serie di Newton-Mercator si intende la serie di Taylor della funzione logaritmo naturale.

Essa è data dalla formula

    $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots$ ,

espressione valida per $-1<x\leq 1$.

Questa serie fu scoperta indipendentemente da Isaac Newton, Nicolaus Mercator e Gregorio di San Vincenzo.

Fu pubblicata per la prima volta nel 1668 nel trattato Logarithmo-technica di Nicolaus Mercator.

## Derivazione

La serie può essere ricavata differenziando ripetutamente la funzione logaritmo naturale iniziando con

    ${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.$

In alternativa, si può partire con l'uguaglianza (la serie geometrica):

    $1+t+t^{2}+\ldots +t^{n-1}={\frac {1-t^{n}}{1-t}}\quad |t|<1,$

la quale fornisce, in ragione $-1<-t<1$ e per $n\to +\infty$:

    ${\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots$

Integriamo i membri da $0$ a $x$:

    $\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}(1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots )\,dt,$

e svolgiamo questi integrali: il primo vale immediatamente

    $\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}{\frac {(1+t)^{\prime }}{1+t}}\,dt=\ln {(x+1)},$

per il secondo, dato che la serie converge uniformemente per $|x|<1$, possiamo integrare termine a termine:

    $\int _{0}^{x}{(1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots )\,dt}=\int _{0}^{x}{dt}\ -\ \int _{0}^{x}{tdt}\ +\ \int _{0}^{x}{t^{2}dt}\ -\ \int _{0}^{x}{t^{3}dt}\ +\ \cdots =x\ -\ {\frac {x^{2}}{2}}\ +\ {\frac {x^{3}}{3}}\ -\ {\frac {x^{4}}{4}}\ +\ \cdots$

Quindi abbiamo ottenuto:

    $x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}}=\ln(1+x)\quad {\mbox{ per }}|x|<1.$

## Caso particolare

Ponendo $x=1$, la serie di Mercator si riduce alla cosiddetta serie armonica a segni alterni

    $\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.$

Si verifica infatti che la serie

    $\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}},$

converge uniformemente anche nel punto $x=1$ (per il criterio di Leibniz), e pertanto, essendo somma di funzioni continue in quel punto (polinomi), è ivi continua. Allora la serie e la funzione $\ln {(1+x)}$ ammettono lo stesso limite per $x\rightarrow 1^{-}$, cioè:

    $\lim _{x\to 1^{-}}{\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}}}=\lim _{x\to 1^{-}}{\ln {(1+x)}}=\ln {2}.$

Questa si può considerare anche caso particolare relativo a $z=1$ della funzione eta di Dirichlet $\eta (z)$.

