Media non locale
# Media non locale

In elaborazione digitale delle immagini, la media non locale (in lingua inglese: non-local means) è un operatore non locale di riduzione del rumore. A differenza di operatori locali come il filtro Gaussiano, che determinano il valore di un pixel in base all'intensità media dell'immagine in un intorno del pixel stesso, la media non locale utilizza una media dell'intera immagine, pesata in ogni punto in base alla similarità con il pixel in esame.

Rispetto ad un filtro di media locale, la media non locale produce generalmente migliori risultati e minore perdita di dettaglio. Rispetto ad altre tecniche di riduzione del rumore, la media non locale introduce un errore algoritmico simile a rumore bianco. Oltre che in riduzione del rumore, l'algoritmo ha applicazioni in deinterlacciamento, interpolazione di viste multiple, e regolarizzazione di mappe di profondità.

## Formulazione

Indicando con $\Omega$ l'area dell'immagine e con $p$ e $q$ due punti della stessa, l'algoritmo di media non locale può essere formulato come

    $u(p)={\frac {1}{\int _{\Omega }w(p,q)\,\mathrm {d} q}}\int _{\Omega }I(q)w(p,q)\,\mathrm {d} q$

dove $u(p)$ è il valore del filtro nel punto $p$, $I(q)$ è il valore di intensità in $q$ nell'immagine originale, e $w(p,q)$ è una funzione peso che determina la similarità dell'immagine nei punti $p$ e $q$. Una scelta comune della funzione peso è la funzione gaussiana

    $w(p,q)=e^{-{\frac {\left\vert \mu (q)-\mu (p)\right\vert ^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

dove la deviazione standard $\sigma$ è un parametro dell'algoritmo, e $\mu (x)$ è la media dell'intensità in un intorno di $x$.

In forma discreta l'algoritmo diventa

    $u(p)={\frac {1}{\sum _{q\in \Omega }w(p,q)}}\sum _{q\in \Omega }I(q)w(p,q)$

con

    $\mu (p)={\frac {1}{|R(p)|}}\sum _{i\in R(p)}I(i)$

calcolata in un intorno $R(p)\subseteq \Omega$ di $p$.

Poiché la complessità computazionale dell'algoritmo è quadratica nel numero di pixel dell'immagine, diverse tecniche sono state proposte per l'esecuzione rapida dell'algoritmo. Solitamente la media pesata per ogni pixel viene calcolata non in tutta l'immagine, ma in una finestra di ricerca la cui dimensione costituisce un parametro aggiuntivo. Un'approssimazione basata sull'uso di immagini integrali e trasformata di Fourier veloce permette di velocizzare il calcolo della finestra di similarità tra due pixel, velocizzando l'algoritmo di un fattore pari a 50 e mantenendo comparabile qualità del risultato.

