Automorfismo interno
# Automorfismo interno

Un automorfismo interno di un gruppo è un automorfismo indotto da un elemento $g$ del gruppo tramite coniugio, cioè un automorfismo nella forma

    $T_{g}(x)=g^{-1}xg$

per un elemento fissato $g$ del gruppo. Infatti questa funzione è un omomorfismo iniettivo e suriettivo, ovvero un isomorfismo.

Un automorfismo che non è interno è detto esterno.

In un gruppo abeliano l'unico automorfismo interno è l'identità. Inoltre due elementi $g$ ed $h$ che appartengono allo stesso laterale del centro $Z$ inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se $g=hz$ con $z$ nel centro allora

    $g^{-1}xg$ = $z^{-1}h^{-1}xhz$ = $h^{-1}xh.$

L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con $\operatorname {Inn} (G)$, che è un sottogruppo normale del gruppo $\operatorname {Aut} (G)$ degli automorfismi del gruppo $G$. Il gruppo $\operatorname {Inn} (G)$ è isomorfo al gruppo quoziente $G/Z(G)$, dove $Z(G)$ è il centro di $G$.

Nel gruppo simmetrico su $n$ elementi, se $n\neq 6$, tutti gli automorfismi sono interni.

