Successive Over Relaxation
# Successive Over Relaxation

In analisi numerica, il metodo Successive Over Relaxation, comunemente detto SOR o metodo del sovrarilassamento, è un metodo iterativo per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, variante del metodo di Gauss-Seidel. Fu introdotta dal matematico statunitense David M. Young nel 1950.

## Definizione

Indicando con $x_{gs}^{(k)}$ l'approssimazione della soluzione ottenuta dal metodo di Gauss-Seidel al k-esimo passo di iterazione, il metodo SOR viene definito come:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle x^{(k+1)} = \omega x^{(k+1)}_{gs} + (1-\omega) x^{(k)}}

dove $\omega$ è detto parametro di rilassamento.

Più esplicitamente:

$x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{k}+\omega r_{i}^{k}$

dove r indica la correzione necessaria a $x^{k}$ per ottenere $x^{k+1}$ e viene calcolata come:

$r_{i}^{k}=1/a_{ii}\left[b_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{k+1}-\sum _{j=i}^{n}a_{ij}x_{j}^{k}\right]$

Quando $\omega =1$ il metodo SOR coincide con il metodo di Gauss-Seidel.

## Condizioni di convergenza

Si dimostra che condizione necessaria affinché tale metodo converga è che $0<\omega <2$, e che tale condizione è sufficiente se la matrice $A$ cui è applicato il metodo è diagonalmente dominante in senso stretto.

