Serie di Neumann
# Serie di Neumann

In matematica una serie di Neumann è una serie della forma:

    $\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}$

dove $T$ è un operatore. Questa è una generalizzazione della serie geometrica.

La serie prende il nome del matematico Carl Gottfried Neumann, che la usò nel 1877 nel contesto della teoria del potenziale. La serie di Neumann è usata in analisi funzionale. Forma le basi per la serie di Liouville-Neumann, che serve a risolvere le equazioni integrali di Fredholm. È anche importante per lo studio dello spettro degli operatori limitati.

## Proprietà

Sia $T$ un operatore limitato su uno spazio normato $X$. Se la serie di Neumann converge nella norma operatoriale, allora $Id-T$ è invertibile e la sua inversa è la somma della serie:

    $(\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}$

Un caso in cui la convergenza è garantita è quando $X$ è uno spazio di Banach e $||T||<1$ nella norma operatoriale. Tuttavia, ci sono risultati che danno condizioni più deboli sotto le quali la serie converge.

Un corollario è che l'insieme degli operatori invertibili tra due spazi di Banach $B$ e $B'$ è aperto nella topologia indotta dall'operatore norma. Quindi, sia $S:B\to B'$ un operatore invertibile e sia $T:B\to B'$ un altro operatore. Se $|S-T|<|S^{-1}|^{-1}$, allora anche $T$ è invertibile. Questo segue da scrivere $T$ come:

    $T=S(\mathrm {Id} -(\mathrm {Id} -S^{-1}T))$

e applicando il risultato della sezione precedente al secondo fattore. La norma di $T^{-1}$ può essere limitata da:

    $|T^{-1}|\leq {\tfrac {1}{1-q}}|S^{-1}|\quad {\text{dove}}\quad q=|S-T|\,|S^{-1}|$
