Serie formale di potenze in più variabili
# Serie formale di potenze in più variabili

In matematica le serie formali di potenze in più variabili costituiscono estensioni abbastanza dirette delle serie formali di potenze. Se si denotano con R un anello commutativo, con r un intero maggiore di 1 e con $X_1,...$ $,X_r$ si denotano variabili formali, si giunge alla definizione di un anello di serie formali di potenze sopra R in queste variabili, denotato $R[[X_1,...,X_r]].$ Gli elementi di questo anello si possono esprimere univocamente nella forma

    $\sum _{\mathbf {n} \in \mathbb {N} ^{r}}a_{\mathbf {n} }\mathbf {X^{n}}$

dove n = $(n_1,...,n_r)$ ∈ $N^r$ e con $X^n$ si denota il monomio $X_1^{n1}...X_r^{nr}.$ Questa somma nella topologia appropriata converge per ogni scelta dei coefficienti $a_n∈R,$ e l'ordine della sommazione è ininfluente.

## Definizione

Una possibile definizione dell'anello delle serie formali di potenze sopra R si serve dell'ideale che denotiamo con I, l'ideale di $R[X_1,...,X_r]$ generato da $X_1,...,X_r,$ cioè l'ideale consistente nei polinomi con termine costante uguale a zero. Come $R[[X_1,...,X_r]]$ si assume allora il completamento dell'anello dei polinomi $R[X_1,...,X_r]$ in r variabili rispetto alla topologia I-adica.

Alternativamente, si può procedere in modo simile a quello tenuto con la costruzione più esplicita e graduale per le serie formali di potenze di una sola variabile, giungendo in un primo momento alla struttura di anello in termini di successioni "multi-dimensionali" e successivamente definendo la topologia.

La topologia su $R[[X_1,...,X_r]]$ è la topologia J-adica, dove con J si denota l'ideale di $R[[X_1,...,X_r]]$ generato da $X_1,...,X_r,$ ovvero l'ideale consistente nelle serie con termine costante nullo. Quindi due serie sono considerate "vicine" se i loro primi pochi termini coincidono, dove per primi pochi termini intendiamo i termini il cui grado totale $n_1$ + ... + $n_r$ ha valore limitato.

## Avvertenza

Sebbene $R[[X_1,$ $X_2]]$ e $R[[X_1]][[X_2]]$ siano isomorfi in quanto anelli, essi non sono muniti della stessa topologia. Ad esempio, la successione di loro elementi

    $f_{n}=X_{1}^{n},\quad n\geq 1$

converge a zero in $R[[X_1,$ $X_2]]$ per n → ∞; al contrario, essa non converge nell'anello $R[[X_1]][[X_2]],$ in quanto la copia di $R[[X_1]]$ immersa in $R[[X_1]][[X_2]]$ è stata munita della topologia discreta.

## Operazioni

Tutte le operazioni definite per le serie in una variabile possono essere introdotte per le serie in più variabili.

* L'addizione viene effettuata termine a termine.
* La moltiplicazione viene effettuata con la regola di Cauchy.
* Una serie risulta invertibile rispetto al prodotto alla Cauchy se e solo se il suo termine costante è invertibile nell'anello R.
* La composizione f(g(X)) di due serie f e g viene definita solo se il termine costante della g è zero.

Per quanto riguarda la derivazione formale, ora si introducono r operatori di derivata parziale che differenziano rispetto alle r singole variabili. Ciascuno di essi commuta con tutti i rimanenti, come accade per le derivazioni parziali delle funzioni continuamente differentiabili.

### Proprietà universale

L'insieme delle serie formali di potenze in più variabili $R[[X_1,$ ..., $X_r]]$ è caratterizzato dalla seguente proprietà universale. Se S è un'algebra commutativa associativa su R, se I è un ideale di S tale che la topologia I-adica su S è completa e se $x_1,$ ... e $x_r$ sono elementi di I, allora esiste un'unica applicazione Φ : $R[[X_1,$ ..., $X_n]]$ → S con le seguenti proprietà:

* Φ è un omomorfismo di R-algebra
* Φ è continua
* $Φ(X_i)$ = $x_i$ per i = 1, ..., r.
