Spazio vettoriale quoziente
# Spazio vettoriale quoziente

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, lo spazio vettoriale quoziente o spazio quoziente è uno spazio vettoriale ottenuto da una coppia di spazi vettoriali $U\subset V$ uno contenuto nell'altro. Lo spazio quoziente si ottiene "collassando" $U$ allo zero. Si indica con $V/U$, che si legge $V$ mod $U$.

## Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$ ed un sottospazio vettoriale $U$, lo spazio quoziente $V/U$ è l'insieme quoziente di $V$ (cioè l'insieme delle classi di equivalenza su $V$) determinato dalla relazione d'equivalenza:

    $v\sim v'\Leftrightarrow v-v'\in U$

Cioè, $v$ è equivalente a $v'$ se uno può essere ottenuto dall'altro aggiungendo un elemento del sottospazio $U$.

La classe di equivalenza di $v$ è spesso denotata con:

    $[v]=v+U$

dal momento che è data da:

    $[v]=\{v+u:u\in U\}$

Lo spazio quoziente $V/U$ è quindi definito come $V/\sim$, l'insieme di tutte le classi di equivalenza su $V$ per $\sim$. La funzione che associa ad un vettore $x\in V$ la classe di equivalenza $[x]$ è detta mappa quoziente.

Come nella costruzione di un gruppo quoziente, addizione e moltiplicazione per scalare "passano al quoziente": sono cioè definite in $V/U$ prendendo dei rappresentanti qualsiasi delle classi d'equivalenza. La dimensione dello spazio quoziente si dice codimensione di $U$ in $V$. Se $V$ è finito-dimensionale, questo è esattamente:

    ${\mbox{codim}}_{V}(U)=\dim(V)-\dim(U)$

Lo spazio quoziente è uno spazio vettoriale astratto, non necessariamente isomorfo a un sottospazio di $V$.

Ad esempio, sia $X=\mathbb {R} ^{2}$ l'usuale piano cartesiano e $Y$ una retta passante per l'origine. Allora, assumendo che ogni retta è parallela a se stessa, lo spazio quoziente $X/Y$ rispetto alla relazione di parallelismo tra rette può essere identificato come l'insieme di tutte le rette in $X$ parallele a $Y$. In generale, se $V$ è una somma diretta di sottospazi $U$ e $W$:

    $V=U\oplus W$

allora il quoziente $V/U$ è naturalmente isomorfo a $W$. Un importante esempio di spazio funzionale quoziente è lo spazio $L^p.$

## Proprietà

### Somma diretta

In presenza di una somma diretta:

    $V=U\oplus W$

lo spazio quoziente $V/U$ è isomorfo in modo naturale a $W$. L'isomorfismo è dato da:

    $v=u+w\mapsto w$

dove un elemento $v$ di $V$ è scritto in un unico modo come $u+w$, con $u,w$ appartenenti rispettivamente a $U,W$.

### Dimensioni

Vale la successione esatta corta di spazi vettoriali:

    $0\to U\to V\to V/U\to 0$

In particolare:

    $\dim V/U=\dim V-\dim U$

## Spazi di Banach

Se $X$ è uno spazio di Banach e $M$ un sottospazio chiuso di $X$, allora il quoziente $X/M$ è ancora uno spazio di Banach. Per definire una norma su $X/M$ si pone:

    $\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}$

Lo spazio vettoriale quoziente $X/M$ è dunque completo rispetto alla norma.

### Esempi

Sia $C[0,1]$ lo spazio di Banach delle funzioni continue a valori reali e definite sull'intervallo $[0,1]$, equipaggiato con la norma del sup. Sia $M$ il sottospazio delle funzioni tali che $f(0)=0$. Allora la classe di equivalenza di qualche funzione $g$ è determinata dal suo valore in $0$, e lo spazio quoziente $C[0,1]/M$ è isomorfo a $\mathbb {R}$.

Se $X$ è uno spazio di Hilbert allora lo spazio quoziente $X/M$ è isomorfo al complemento ortogonale di $M$.

### Generalizzazione a spazi localmente convessi

Lo spazio quoziente di uno spazio localmente convesso per un sottospazio chiuso è ancora localmente convesso. Infatti, si supponga $X$ uno spazio localmente convesso in cui la topologia è generata da una famiglia di seminorme $\{p_{\alpha }:\alpha \in A\}$, con $A$ un insieme di indici. Sia $M$ un sottospazio chiuso e si definiscano le seminorme $q_{\alpha }$ su $X/M$ nel seguente modo:

    $q_{\alpha }([x])=\inf _{x\in [x]}p_{\alpha }(x)$

Allora $X/M$ è localmente convesso e la topologia definita su di esso è la topologia quoziente. Se inoltre $X$ è metrizzabile allora lo è anche $X/M$. Se $X$ è uno spazio di Fréchet allora lo è anche $X/M$.

