Integrale di Borwein
# Integrale di Borwein

Nella matematica, un integrale di Borwein è un integrale che coinvolge prodotti di $\mathrm {sinc} (ax)$, dove la funzione sinc è data da $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}$ per $x\neq 0$, e $\mathrm {sinc} (0)=1$.

Questi integrali sono importanti per esibire schemi apparenti che, tuttavia, alla fine falliscono. Un esempio è ciò che segue,

    ${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

Questo schema continua fino a

    $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

Tuttavia, al passo successivo lo schema evidente fallisce,

    ${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}$

In generale, integrali analoghi valgono $\pi /2$ ogni qualvolta che $3,5,7,\ldots$ siano sostituiti da numeri reali positivi tali che la somma dei loro reciproci sia strettamente minore di 1.

Nell'esempio precedente, ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{13}}<1$, ma ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{15}}>1$.

L'esempio con una serie più estesa

    $\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},$

con tuttavia

    $\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<{\frac {\pi }{2}},$

è mostrato in insieme a una spiegazione matematica intuitiva del motivo per cui nella serie originale e in quella estesa lo schema fallisce. In questo caso, ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{111}}<2$, ma ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{113}}>2$.

## Formula generale

Data una sequenza di numeri reali, $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$, si può fornire una formula generale per l'integrale

    $\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx$

Per affermare la formula, serve considerare delle somme che coinvolgono $a_{k}$. In particolare, se $\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}$ è una $n$-vettore dove ogni elemento è $\pm 1$, allora si scrive $b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}$, che è una specie di somma alternata dei primi $a_{k}$, e si imposta $\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}$, che è anch'esso $\pm 1$. Con questa notazione, il valore dell'integrale di sopra è

    $\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}$

dove

    $C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })$

Nel caso in cui $a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$, si ha $C_{n}=1$.

Inoltre, se esiste un $n$ tale che per ogni $k=0,\ldots ,n-1$ si ha $0<a_{n}<2a_{k}$ e $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$, cioè che $n$ è il primo valore per cui la somma dei primi $n$ elementi della sequenza supera $a_{0}$, allora $C_{k}=1$ per ogni $k=0,\ldots ,n-1$ ma

    $C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}$

Il primo esempio è il caso in cui $a_{k}={\frac {1}{2k+1}}$. Da notare che se $n=7$ allora $a_{7}={\frac {1}{15}}$ e ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955$ ma ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02$, quindi poiché $a_{0}=1$, si ottiene

    $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

che rimane vera se si toglie qualunque fattore, tuttavia

    ${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]=&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right)\end{aligned}}$

che è uguale al valore dato precedentemente.

## Bug di Maple

Fu schedato come bug per il supporto Maple. Ci sono voluti tre giorni allo sviluppatore Jacques Carette per capire che non fosse un errore.

