Filtrazione (matematica)
# Filtrazione (matematica)

Nella teoria delle probabilità una filtrazione, o base stocastica, su uno spazio $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ è una famiglia crescente ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}$ di sottotribù di ${\mathcal {A}}$, con $I\subseteq \mathbb {R_{+}}$. Intuitivamente ogni ${\mathcal {F}}_{t}$ rappresenta l'informazione disponibile all'istante $t\in I$, ossia tutti gli eventi per i quali si può sapere che si siano verificati oppure no.

## Tipi di filtrazione

### Filtrazione completa

Una filtrazione si dice completa se e solo se appartiene ad uno spazio di probabilità completo e per ogni $t\in I$ la $\sigma$-algebra ${\mathcal {F}}_{t}$ contiene tutti gli eventi di ${\mathcal {F}}$ di probabilità nulla. Dato che lo spazio di probabilità è completo i sottoinsiemi degli eventi di probabilità nulla sono a loro volta degli eventi contenuti in ${\mathcal {A}}$.

### Filtrazione continua a destra

Una filtrazione si dice continua a destra se e solo se $\forall {t\in I},{\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}$, con ${\mathcal {F}}_{t+}=\bigcap _{u>t}^{\sup {I}}{\mathcal {F_{u}}}$. In base alla definizione si può vedere in modo intuitivo che in una filtrazione continua a destra la $\sigma$-algebra ${\mathcal {F}}_{t+}$ contiene tutti gli eventi dei quali si può sapere la verificabilità o meno agli istanti di tempo successivi.

### Filtrazione ipotesi standard

Una filtrazione si dice che soddisfa le ipotesi standard se e solo se è completa e continua a destra.

## Spazio di probabilità filtrato

Uno spazio di probabilità $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ munito di una filtrazione ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}$ è chiamato spazio di probabilità filtrato, o spazio filtrato e viene denotato con la quadrupla $(\Omega ,{\mathcal {A}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I},P)$. Nel caso in cui lo spazio di probabilità sia munito di una filtrazione che soddisfa le ipotesi standard viene detto spazio filtrato standard.

## Processo stocastico adattato ad una filtrazione

Un processo stocastico $(X_{t})_{t\in I}$si dice adattato alla filtrazione ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}$ se $\forall t\in I,X_{t}$ è misurabile rispetto a ${\mathcal {F}}_{t}$. Quindi, per ogni $t$ appartenente all'insieme dei valori $I$ la variabile aleatoria $X_{t}$ deve essere misurabile rispetto a ${\mathcal {F}}_{t}$. In questo caso viene anche detto che $X_{t}$ è ${\mathcal {F}}_{t}$-misurabile, cioè la variabile aleatoria $X_{t}$ è definita sullo spazio $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P)$ con valori sullo spazio misurabile di arrivo$(E,{\mathcal {E}})$, ossia $X_{t}$ è un'applicazione tale che $X_{t}:(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t})\longrightarrow (E,{\mathcal {E}})$. Questo garantisce che per ogni valore $\omega$ di $\Omega$ appartenente alla filtrazione ${\mathcal {F}}_{t}$, la variabile aleatoria $X_{t}$, che prende come argomento $\omega$, è definita nell'insieme dei valori dato da ${\mathcal {E}}$. Si ottiene, così, la seguente definizione: $\{\omega \in {\mathcal {F_{t}}}:X_{t}(\omega )\in S\},\forall S\in {\mathcal {E}}$.

## Filtrazione naturale

La filtrazione naturale associata ad un processo stocastico $(X_{t})_{t\in I}$ è definita come ${\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma (X_{s}:s\leqslant t)\forall {t\in I}$ ed è la più piccola filtrazione che rende $(X_{t})_{t\in I}$ adattato, in quanto $\sigma (X_{s}:s\leqslant t)$ è la più piccola tribù (o $\sigma$-algebra) generata da $(X_{s})_{s\leqslant t}$. La filtrazione naturale contiene la storia del processo $(X_{t})_{t\in I}$ fino all'istante $t$.

## Processo stocastico prevedibile

Ponendo $I=\mathbb {N}$, un processo stocastico $(V_{n})_{n\geqslant 1}$ si dice prevedibile rispetto alla filtrazione ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\geqslant 0}$ se e solo se per ogni $n$ maggiore o uguale di $1$, la variabile aleatoria $V_{n}$è misurabile rispetto a ${\mathcal {F}}_{n-1}$.

