Filtro a coseno rialzato
# Filtro a coseno rialzato

Il filtro a coseno rialzato è un particolare tipo di filtro elettronico usato per sagomare l'impulso dati nei sistemi di modulazione digitale. La sua risposta impulsiva è nulla negli istanti multipli del tempo di simbolo, pertanto appartiene alla famiglia dei filtri di Nyquist, i quali riducono l'interferenza intersimbolica (ISI).

Il nome discende dal fatto che la porzione non nulla del suo spettro, almeno nella versione più semplice, è una funzione coseno rialzata sopra l'asse delle frequenze (si veda la figura in basso).

## Descrizione matematica

Il filtro a coseno rialzato realizza il filtro di Nyquist passa-basso, con la proprietà della simmetria vestigiale. Pertanto, il suo spettro possiede una simmetria dispari attorno a ${\frac {1}{2T}}$, ove $T$ è il tempo di simbolo del sistema di comunicazioni.

La sua descrizione nel dominio della frequenza è fornita da una funzione a tratti data da:

    $H(f)={\begin{cases}T,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {T}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\mbox{altrove}}\end{cases}}$
    $0\leq \beta \leq 1$

e caratterizzata da due parametri: $\beta$, il fattore di rotolamento (roll-off), e $T$, il tempo di simbolo (reciproco della frequenza di simbolo).

La risposta impulsiva di tale filtro è data da:

    $h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4}}\;\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\mbox{altrove}}\end{cases}}$

in termini della funzione sinc normalizzata.

### Fattore di roll-off

Il fattore di roll-off, $\beta$, rappresenta una misura dell'eccesso di banda del filtro, cioè la banda occupata al di là della banda di Nyquist ${\frac {1}{2T}}$. Denotando con $\Delta f$ l'eccesso di banda, allora:

    $\beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\Delta f$

ove $R_{S}={\frac {1}{T}}$ è la frequenza di simbolo.

Il grafico mostra la risposta in ampiezza quando $\beta$ viene fatto variare tra 0 e 1, e l'effetto corrispondente sulla risposta impulsiva. Come si può notare, il livello di ondulazione nel dominio del tempo cresce al diminuire di $\beta$. Ciò dimostra come sia possibile ridurre l'eccesso di banda del filtro alle spese di un allungamento della risposta impulsiva.

**$\beta =0$**

Quando $\beta$ tende a 0, la zona di roll-off diventa sempre più stretta, quindi:

    $\lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\mathrm {rect} (fT)$

dove $\mathrm {rect} (\cdot )$ è la funzione rettangolare, e la risposta impulsiva tende al $\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)$ ideale. Pertanto, converge ad un filtro passa-banda ideale.

**$\beta =1$**

Quando $\beta =1$, la parte non nulla dello spettro è un coseno rialzato puro, che conduce alla semplificazione:

    $H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\mbox{altrove}}\end{matrix}}\right.$

### Larghezza di banda

La banda di un filtro a coseno rialzato è comunemente definita come la larghezza di banda della porzione non nulla del suo spettro, cioè:

    $BW={\frac {1}{2}}R_{S}(1+\beta )$

## Applicazioni

Quando viene utilizzato per filtrare un flusso di simboli, un filtro di Nyquist ha la proprietà di eliminare l'ISI, dato che la sua risposta impulsiva è nulla ad ogni $nT$ (dove $n$ è un numero intero), eccetto che per $n=0$.

Di conseguenza, se la forma d'onda trasmessa è correttamente campionata al ricevitore, i valori originali dei simboli possono essere completamente recuperati.

Comunque, nella maggior parte dei sistemi di comunicazione utilizzati nella pratica, un filtro adattato deve essere usato al ricevitore, a causa degli effetti del rumore bianco.

Questa condizione richiede il seguente vincolo, in presenza di canale ideale:

    $H_{R}(f)=H_{T}^{*}(f)$

cioè:

    $|H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}$

Per soddisfare questo vincolo pur continuando a fornire ISI nulla, un filtro a radice di coseno rialzato è usato, tipicamente, ad entrambi gli estremi del sistema di telecomunicazioni. In questo modo la risposta totale del sistema è a coseno rialzato.

Infatti, in presenza di canale attivo con risposta impulsiva $C(f)$, si ha:

    $|H_{R}(f)|=k|H_{TC}(f)|$ con $H_{TC}(f)=H_{T}(f)C(f)$

ed anche con:

    $H_{N}(f)=|H_{T}(f)||C(f)||H_{R}(f)|$

con $H_{N}(f)$ impulso di Nyquist a Coseno Rialzato, quindi:

    $|H_{R}(f)|={\sqrt {k}}{\sqrt {|H_{N}(f)|}}$

ed anche:

    $H_{T}(f)={\frac {1}{\sqrt {k}}}{\frac {\sqrt {|H_{N}(f)|}}{C(f)}}$

Nel caso particolare di un sistema P.A.M. binario si ha: $k=1/E_{b}$, con $E_{b}$ l'Energia per bit.

