Singolarità isolata
# Singolarità isolata

In matematica, e più precisamente in analisi complessa, una singolarità isolata è un punto in cui una funzione olomorfa non è definita mentre risulta definita in ogni altro punto vicino. La funzione olomorfa può avere nel punto essenzialmente tre tipi di comportamenti diversi, e a seconda del comportamento la singolarità è detta eliminabile, polo o essenziale.

## Definizione

Sia $z_{0}$ un punto contenuto in un insieme aperto $A$ del piano complesso. Una funzione

    $f:A\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$

ha una singolarità isolata in $z_{0}$ se esiste un intorno $U$ di $z_{0}$ per cui la funzione è olomorfa in $U\setminus \{z_{0}\}$. Quindi la funzione non è definita in $z_{0}$, mentre in ogni altro punto sufficientemente vicino è definita e differenziabile in senso complesso.

## Sviluppo in serie di Laurent

La funzione $f$ ammette uno sviluppo come serie di Laurent nel punto $z_{0}$. La funzione è quindi scrivibile in un intorno del punto come serie

    $f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}.$

Si distinguono generalmente tre tipi di comportamento della $f$ vicino al punto di singolarità $z_{0}$. Ciascuno di questi è determinato dallo sviluppo locale in serie di Laurent, oppure dal comportamento del modulo $|f(z)|$ vicino al punto.

Si noti che la tipologia di singolarità non è univocamente determinata dalla serie di Laurent locale se essa ha raggio di convergenza positivo.

### Singolarità eliminabile

La singolarità $z_{0}$ è eliminabile se esiste il limite

    $\lim _{z\to z_{0}}f(z)=L\in \mathbb {C} .$

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

* I termini negativi della serie di Laurent sono tutti nulli, cioè $a_{n}=0$ per ogni $n<0$.
* Il modulo $|f(z)|$ è limitato in un intorno di $z_{0}$,
* La funzione si estende ad una funzione continua su tutto $A$,
* La funzione si estende ad una funzione olomorfa su tutto $A$.

Esempio: la funzione $f(z)={\frac {\sin(z)}{z}}$ presenta una singolarità eliminabile in $z=0$.

### Polo

La singolarità $z_{0}$ è un polo se esiste un numero intero positivo $n$ tale che esista il limite

    $\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})^{n}\cdot f(z)=L\in \mathbb {C} ,$

con $L\neq 0$. Il numero $n$ è l'ordine o molteplicità del polo. Un polo di ordine 1 è detto semplice.

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

* Esiste solo un numero finito (diverso da zero) di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, esiste $n<0$ tale che $a_{n}\neq 0$ e $a_{k}=0$ per ogni $k<n$.
* Il modulo $|f(z)|$ tende a $+\infty$ se $z$ tende a $z_{0}$.
* La funzione $g(z)=1/f(z)$ è definita in un intorno di $z_{0}$ ed ha una singolarità eliminabile in $z_{0}$.

Esempio: la funzione $f(z)={\frac {1}{(z-1)^{2}}}$ presenta un polo di ordine 2 ($n=2$), detto anche polo doppio, in $z=1$.

### Singolarità essenziale

Una singolarità essenziale è una singolarità che non rientra nei casi precedenti, cioè che non sia né una singolarità eliminabile né un polo. Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

* Esiste un numero infinito di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, per ogni $n_{0}<0$ esiste un $n<n_{0}$ con $a_{n}\neq 0$.
* Il modulo $|f(z)|$ non ha limite per $z$ tendente a $z_{0}$

Esempio: la funzione $f(z)={\frac {e^{\frac {1}{z}}}{z^{3}}}$ presenta una singolarità essenziale in $z=0$.

## Esempi

Ogni funzione

    $f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}$

scritta come rapporto di due polinomi è definita nell'aperto $A$ ottenuto rimuovendo da $\mathbb {C}$ le radici $z_{1},\ldots ,z_{k}$ di $q$. Se queste non sono anche radici di $p$, in ogni $z_{i}$ la funzione ha un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice.

La funzione

    $f(z)=e^{\frac {1}{z}}$

definita su $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ha una singolarità essenziale in $0$. Infatti lo sviluppo di Laurent è

    $f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {\,z^{-n}}{n!}}$

che ha infiniti termini negativi non nulli.

Anche il fatto che la funzione $|f(z)|=|e^{\frac {1}{z}}|$ non ammetta limite (finito o infinito) per $z$ che tende a 0 è sufficiente per dimostrare l'essenzialità della singolarità.

## Proprietà

### Traslazione della serie di Laurent

Sia $k$ un numero intero. Moltiplicando la funzione $f(z)$ per $(z-z_{0})^{k}$, i coefficienti della serie di Laurent centrata in $z_{0}$ vengono traslati di $k$ posti (a sinistra o a destra a seconda del segno di $k$). In questo modo è possibile modificare l'ordine di un polo, trasformare ogni polo in singolarità eliminabile, oppure viceversa creare poli a partire da singolarità eliminabili.

Se la singolarità è essenziale, rimane tale anche dopo la moltiplicazione per $(z-z_{0})^{k}$.

### Singolarità essenziale

Una funzione vicino ad una singolarità essenziale è estremamente discontinua. Per il Teorema di Casorati-Weierstrass, l'immagine $f(U)$ di ogni intorno aperto $U$ di $z_{0}$ è un aperto denso del piano complesso. Il teorema di Picard afferma di più: $f(U)$ è tutto il piano complesso, oppure il piano tranne un punto.

Da questo segue ad esempio che per ogni numero complesso $\lambda$ esiste una successione di punti $z_{i}\to z_{0}$ convergenti a $z_{0}$ tali che $f(z_{i})\to \lambda$. In altre parole, la funzione intorno a $z_{0}$ "converge a qualsiasi cosa".

## Singolarità all'infinito

Per una funzione intera

    $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

(o più in generale una funzione olomorfa definita sul complementare di un compatto di $\mathbb {C}$) è possibile parlare di singolarità all'infinito. Questa è la singolarità in $0$ della funzione

    $g:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}$

definita come $g(z)=f(1/z)$. In particolare, la singolarità all'infinito può essere eliminabile, un polo o essenziale. Si può studiare una singolarità all'infinito di una funzione $f(z)$ cambiando la variabile:

    $z={\frac {1}{\eta }}$

allora il punto all'infinito diventa l'origine e acquisisce il tipo di singolarità della funzione $g(\eta )=f({\frac {1}{z}})$ nel punto $\eta =0$.

Il Teorema di Liouville dice che una funzione intera avente singolarità eliminabile all'infinito è costante.

