Integrale di Fermi-Dirac completo
# Integrale di Fermi-Dirac completo

In matematica, l'integrale di Fermi–Dirac completo, intitolato a Enrico Fermi e Paul Dirac, per un indice j è definito da

    $F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\,dt,\qquad (j>-1)$

Questo è uguale a

    $-\operatorname {Li} _{j+1}(-e^{x}),$

dove $\operatorname {Li} _{s}(z)$ è il polilogaritmo.

La sua derivata è

    ${\frac {dF_{j}(x)}{dx}}=F_{j-1}(x),$

e questa relazione è usata per definire l'integrale di Fermi-Dirac per indici non positivi j. Notazione diversa per $F_{j}$ appare in letteratura, ad esempio alcuni autori omettono il fattore $1/\Gamma (j+1)$. La definizione usata qui corrisponde a quella nel DLMF del NIST.

## Valori speciali

La forma chiusa della funzione esiste per j = 0:

    $F_{0}(x)=\ln(1+\exp(x)).$
