Nucleo di Dirichlet
# Nucleo di Dirichlet

In analisi matematica, il nucleo di Dirichlet è la famiglia di polinomi trigonometrici definita da

    $D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.$

È così chiamata in onore di Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

## Criterio di convergenza per serie di Fourier

Il nucleo di Dirichlet trova ampia applicazione nella teoria delle serie di Fourier. La convoluzione di $D_n(x)$ con qualsiasi funzione ƒ di periodo $2\pi$ è pari all' approssimazione in serie di Fourier di ƒ troncata all' n-esimo termine, cioè si ha

    $(D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},$

dove

    ${\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx$

è il k-esimo coefficiente di Fourier di ƒ.

Questo fatto può essere utile nello studio della convergenza puntuale dello sviluppo di Fourier di una funzione periodica. Infatti posto $S_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}$ si ha, usando il risultato precedente,

    $S_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y+x){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy.$

Tale espressione vale in particolare anche per la funzione costante $f(x)=1$ per la quale tutti i coefficienti della serie di Fourier sono nulli tranne quello per cui $k=0$ che vale $1$. Si vede quindi che per tale funzione costante vale

    $S_{n}(x)=1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy.$

(Ciò è facilmente verificabile anche integrando termine a termine la serie trigonometrica che definisce il nucleo di Diriclet).

Se ora vogliamo verificare le condizioni per cui la serie di Fourier di f converga puntualmente in un punto $x$ dobbiamo studiare il comportamento del resto n-esimo

    $|S_{n}(x)-f(x)|={\frac {1}{2\pi }}{\biggl \vert }\int _{-\pi }^{\pi }f(y+x){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy-f(x){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy{\biggl \vert },$

ossia

    $\vert S_{n}(x)-f(x)\vert ={\frac {1}{2\pi }}{\biggl \vert }\int _{-\pi }^{\pi }(f(y+x)-f(x)){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy{\biggl \vert }.$

Grazie al lemma di Riemann-Lebesgue sappiamo che una condizione sufficiente affinché il resto n-esimo si annulli per $n\rightarrow \infty$ è che ${\frac {f(x+y)-f(y)}{\sin({\frac {y}{2}})}}$ sia integrabile in $[-\pi ,+\pi ]$. A partire da questo risultato si può dimostrare facilmente la condizione di convergenza del Dini per le serie di Fourier.

## Relazione con la delta di Dirac

Si può definire la distribuzione delta di Dirac periodica in modo tale che si abbia

    $f*(2\pi \delta )=f$

per ogni funzione ƒ di periodo $2\pi$. La rappresentazione in serie di Fourier di questa funzione generalizzata è

    $2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).$

Per cui il nucleo di Dirichlet può essere visto come un'approssimazione di tale distribuzione.

## Dimostrazione dell'identità trigonometrica

L'identità trigonometrica

    $\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}$

può essere dimostrata nel modo seguente. Ricordando che la somma di una progressione geometrica è

    $\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.$

Abbiamo in particolare che

    $\sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.$

Moltiplicando sia numeratore che denominatore per $r^{−1/2}abbiamo$

    ${\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.$

Ora se r = $e^{ix}$ troviamo

    $\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}$

che era quello che volevamo dimostrare.

