Teorema di Morera
# Teorema di Morera

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Morera fornisce un importante criterio per determinare se una funzione è olomorfa. Prende il nome da Giacinto Morera.

## Enunciato

Se $f(z)$ è una funzione continua in un dominio $A$ aperto e se:

    $\oint _{\gamma }f(z)dz=0$

per ogni curva rettificabile chiusa $\gamma$ tutta contenuta in $A$, allora la funzione $f(z)$ è olomorfa in $A$.

Se si parametrizza $\gamma$ con la funzione $z:[0,T]\to A$ si può scrivere:

    $\int _{0}^{T}f(z(t)){\dot {z}}(t)dt=0$

con ${\dot {z}}(t)$ la derivata di $z$. Si tratta dell'integrazione di una 1-forma, e il teorema si può generalizzare al caso n-dimensionale.

L'inverso del teorema non vale, a meno che non si compiano ulteriori assunzioni. Ad esempio, richiedendo che $A$ sia semplicemente connesso si ottiene il Teorema integrale di Cauchy, che afferma che per ogni curva chiusa e regolare a tratti contenuta in $A$ l'integrale di linea di una funzione olomorfa lungo tale curva è nullo.

## Dimostrazione

È sufficiente dimostrare che se l'integrale di $f(z)$ è nullo su qualsiasi curva $\gamma \subset A$ allora $f(z)$ ammette una primitiva, ovvero che esiste una funzione $F(z)$ tale che:

    ${\frac {dF(z)}{dz}}=f(z)$

Infatti se tale $F(z)$ esiste essa è analitica (dato che è derivabile e quindi valgono le condizioni di Cauchy-Riemann) e per il teorema di rappresentazione integrale essa ammette infinite derivate analitiche, pertanto $f(z)$ è analitica.

Per dimostrare l'esistenza della primitiva si fissa all'interno della curva $\gamma$ un triangolo $ABC$ con $A\equiv z_{0};B\equiv z;C\equiv z+h$. Per ipotesi si può quindi scrivere:

    $\int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}+\int _{z}^{z+h}{f\left(w\right)dw}+\int _{z+h}^{z_{0}}{f\left(w\right)dw}=0$

da cui, utilizzando il teorema della media, si ottiene:

    ${\frac {\int _{z_{0}}^{z+h}{f\left(w\right)dw}-\int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}}{h}}=f\left(c\right)$

dove $c$ è un punto del segmento $[z,z+h]$. Passando al limite per $h\rightarrow 0$ (e quindi $c\rightarrow z$) si ottiene:

    ${\frac {d}{dz}}\left[{\int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}}\right]=f\left(z\right)$

pertanto la funzione:

    $F\left(z\right)=\int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}$

è una primitiva di $f(z)$.

