Reticolo reciproco
# Reticolo reciproco

In geometria e in cristallografia il reticolo reciproco del reticolo di Bravais è un insieme di vettori $\mathbf {k}$ che generano un reticolo di Bravais nello spazio dei momenti. L'onda piana il cui vettore d'onda sia $\mathbf {k}$ ha la stessa periodicità del reticolo di partenza.

## Definizione

Consideriamo un set di punti $\mathbf {R} \$ che costituiscono un reticolo di Bravais ed un'onda piana definita da $e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\$. Tale onda piana per alcuni valori di $\mathbf {k} \$ ha la periodicità del reticolo di Bravais. L'insieme dei vettori d'onda $\mathbf {K} \$ che descrive onde piane con la periodicità di un dato reticolo di Bravais si chiama reticolo reciproco. Tale condizione da un punto di vista algebrico corrisponde a scrivere:

    $e^{i\mathbf {K} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} )}=e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }$

Dovendo tale relazione valere per qualsiasi $\mathbf {r} \$ segue che l'insieme dei vettori del reticolo reciproco soddisfa la relazione:

    $e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1$

per tutti i punti R del reticolo di Bravais.

Ad ogni reticolo di Bravais possiamo associare un reticolo reciproco in maniera univoca. Il reticolo di Bravais che determina un certo reticolo reciproco è spesso chiamato reticolo diretto, quando considerato assieme al suo reciproco. Il reticolo reciproco è anche un reticolo di Bravais nello spazio dei vettori d'onda. Il reticolo reciproco del reticolo reciproco è il reticolo di Bravais originale.

Essendo il reticolo reciproco un reticolo di Bravais, possiamo scrivere da un punto di vista algebrico che:

    $\mathbf {K} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}$

dove $m_{i}\$ sono numeri interi e $\mathbf {b} _{i}\$ sono i vettori primitivi del reticolo reciproco. I vettori del reticolo reciproco hanno la dimensione di una ${\text{lunghezza}}^{-1}\$.

Per un reticolo infinito tridimensionale definito dai suoi vettori primitivi $(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )$, (che non sono univoci) esiste un algoritmo semplice che permette di ricavare i vettori primitivi dello spazio reciproco:

    $\mathbf {b_{1}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}$
    $\mathbf {b_{2}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{3}} \times \mathbf {a_{1}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}$
    $\mathbf {b_{3}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{1}} \times \mathbf {a_{2}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}.$

I vettori del reticolo reciproco sono legati alle famiglie di piani reticolari.

## Esempi di reticoli reciproci

### Cubico semplice

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto

    $\mathbf {a_{1}} =a\mathbf {i} \qquad \mathbf {a_{2}} =a\mathbf {j} \qquad \mathbf {a_{3}} =a\mathbf {k}$

Allora essendo:

    $V=\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )=a^{3}\$

i vettori primitivi dello spazio reciproco sono:

    $\mathbf {b_{1}} ={\frac {2\pi }{a}}\mathbf {i} \qquad \mathbf {b_{2}} ={\frac {2\pi }{a}}\mathbf {j} \qquad \mathbf {b_{3}} ={\frac {2\pi }{a}}\mathbf {k}$

Cioè il reticolo reciproco è cubico semplice come il reticolo dello spazio diretto, ma con passo reticolare $2\pi /a\$.

### Reticolo cubico a corpo centrato

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto (tale scelta è quella più simmetrica):

    $\mathbf {a_{1}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} -\mathbf {i} )\$
    $\mathbf {a_{2}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} -\mathbf {j} )\$
    $\mathbf {a_{3}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} -\mathbf {k} )\$

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

    $\mathbf {b_{1}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} )\$
    $\mathbf {b_{2}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} )\$
    $\mathbf {b_{3}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} )\$

### Reticolo cubico a facce centrate

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto:

    $\mathbf {a_{1}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} )\$
    $\mathbf {a_{2}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} )\$
    $\mathbf {a_{3}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} )\$

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

    $\mathbf {b_{1}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} -\mathbf {i} )\$
    $\mathbf {b_{2}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} -\mathbf {j} )\$
    $\mathbf {b_{3}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} -\mathbf {k} )\$

Cioè il reticolo reciproco dell'fcc è un bcc, mentre del bcc è un fcc, entrambi con passo reticolare $4\pi /a\$.

