Densità spettrale di energia
# Densità spettrale di energia

In teoria dei segnali, dato un segnale x(t) e data la sua trasformata di Fourier X(f), si definisce densità spettrale di energia del segnale x(t) la funzione:

$E(f)=\left|X(f)\right|^{2}$,

che rappresenta la distribuzione dell'energia del segnale alle diverse frequenze.

Per la relazione di Parseval, si ha che $\int _{-\infty }^{+\infty }\|X(f)\|^{2}df=\int _{-\infty }^{+\infty }\|x(t)\|^{2}dt=E_{x}$, ovvero l'energia del segnale x(t).

Come esempio fisico di un possibile metodo di misura del valore della densità spettrale di energia di un segnale per una determinata frequenza, supponiamo che $x(t)$ rappresenti il valore di tensione (in volt) di un impulso elettrico che si propaga su un mezzo trasmissivo terminato con un resistore di valore $R$ unitario, e che tutta l'energia del segnale venga dissipata sul resistore, senza riflessioni. La potenza dissipata al tempo $t$ è $x(t)^{2}/R=x(t)^{2}$, in modo che l'energia totale si calcola integrando $x(t)^{2}$ rispetto al tempo per la durata dell'impulso. Per misurare il valore della densità spettrale di energia $E_{x}(f)$ alla frequenza $f$, si potrebbe inserire prima del resistore un filtro passa banda che trasmetta solo un intervallo limitato di frequenze $\Delta f$ vicino alla frequenza di interesse, e quindi misurare l'energia totale $E(f)$ dissipata sul resistore. Il valore della densità spettrale di energia alla frequenza $f$ viene quindi stimata pari a $E(f)/\Delta f$. In questo esempio, poiché $x(t)^{2}/R$ ha le dimensioni di $V^2$ $Ω^{−1},$ l'energia $E(f)$ ha quelle di $V^2$ s $Ω^{−1}$ = J, e quindi la stima $E(f)/\Delta f$ della densità spettrale di energia alla frequenza $f$ ha dimensioni di J $Hz^{−1}.$

## Relazione tra Autocorrelazione e Densità Spettrale di Energia di un segnale

Si ricorda che l'autocorrelazione è la correlazione incrociata di un segnale con se stesso. Per un segnale di energia finita $x(t)$ l'autocorrelazione è definita come:

    $R_{x}(\tau ){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ x^{*}(t-\tau )\,dt$

Ora, dato un segnale di energia finita $x(t)$, la sua densità spettrale di energia e l'autocorrelazione del segnale stesso sono legati dalla relazione

    ${\mathit {E}}(f)={\mathcal {F}}\{R_{x}(t)\}=\left|X(f)\right|^{2}$,

ovvero la densità spettrale di energia di un segnale $x(t)$ è uguale alla trasformata continua di Fourier dell'autocorrelazione del segnale stesso.

Infatti

    ${\mathit {E}}(f)={\mathcal {F}}\{R_{x}(t)\}=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\tau )\cdot e^{-j2\pi f\tau }\ d\tau =$
    $=\int _{\tau =-\infty }^{+\infty }\int _{t=-\infty }^{+\infty }x(t)\cdot x^{*}(t-\tau )\ dt\cdot e^{-j2\pi f\tau }\ d\tau =$
    $=\int _{t=-\infty }^{+\infty }x(t)\int _{\tau =-\infty }^{+\infty }x^{*}(t-\tau )\ e^{-j2\pi f\tau }\ d\tau \ dt=$

ponendo ora $\tau '=t-\tau$ nel secondo integrale, si ottiene

    ${\mathit {E}}(f)=\int _{t=-\infty }^{+\infty }x(t)\left[\int _{\tau '=-\infty }^{+\infty }x^{*}(\tau ')\ e^{-j2\pi f(t-\tau ')}\ d\tau '\right]\ dt=$
    $=\int _{t=-\infty }^{+\infty }x(t)\cdot e^{-j2\pi ft}\left[\int _{\tau '=-\infty }^{+\infty }x^{*}(\tau ')\ e^{j2\pi f\tau '}\ d\tau '\right]\ dt=$
    $=X(f)\cdot \left[\int _{\tau '=-\infty }^{+\infty }x(\tau ')\ e^{-j2\pi f\tau '}\ d\tau '\right]^{*}\ dt=X(f)\cdot X^{*}(f)=\left|X(f)\right|^{2}$.
