Valutazione p-adica
# Valutazione p-adica

In teoria dei numeri, per un dato numero primo $p$, la valutazione p-adica di un intero $n$ diverso da zero è il maggiore esponente $v$ tale che $p^{v}$ divida $n$. La valutazione p-adica di 0 è per definizione infinito. È comunemente denotato come $v_{p}(n)$. Se ${\tfrac {n}{d}}$ è un numero razionale ai minimi termini, così che $n$ e $d$ siano primi tra loro, allora $v_{p}({\tfrac {n}{d}})$ è uguale a $v_{p}(n)$ se $p$ divide $n$, oppure è uguale a $-v_{p}(d)$ se $p$ divide $d$, mentre è uguale a 0 se non divide nessuno dei due. L'applicazione maggiore della valutazione p-adica è nella costruzione del campo dei numeri p-adici.

## Definizione e proprietà

### Numeri interi

Se $p$ appartiene a $\mathbb {\mathbb {Z} }$, allora la valutazione p-adica per $\mathbb {Z}$ è definita come $v_{p}:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {N}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{v\in \mathbb {N} :p^{v}\mid n\}&{\text{se }}n\neq 0\\\infty &{\text{se }}n=0\end{cases}}}$

### Numeri razionali

La valutazione p-adica può essere estesa ai numeri razionali. SI può definire come $v_{p}:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Z}$

$\nu _{p}\left({\frac {a}{b}}\right)=\nu _{p}(a)-\nu _{p}(b).$

Alcune proprietà sono:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(m\cdot n)&=\nu _{p}(m)+\nu _{p}(n).\\[5px]\nu _{p}(m+n)&\geq \inf {\bigl \\nu _{p}(m),\nu _{p}(n){\bigr \}}.\end{aligned}}}$

In aggiunta, se ${\displaystyle \nu _{p}(m)\neq \nu _{p}(n)},$allora

${\displaystyle \nu _{p}(m+n)=\inf {\bigl \\nu _{p}(m),\nu _{p}(n){\bigr \}}}$

dove $\inf$ è l'infimo (il minore tra i due).

## Il valore assoluto p-adico

Il valore assoluto p-adico su $\mathbb {Q}$ è definito come $|x|_{p}:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R}$

$|x|_{p}={\begin{cases}p^{-\nu _{p}(x)}&{\text{se }}x\neq 0\\0&{\text{se }}x=0\end{cases}}$

Il valore assoluto p-adico soddisfa le seguenti proprietà:

| Non-negatività | $|a|_{p}\geq 0$ |
| - | - | - | - |
| Definizione positiva | $|a|_{p}=0\iff a=0$ |
| Moltiplicatività | $|ab|_{p}=|a|_{p}|b|_{p}$ |
| Subadditività | $|a+b|_{p}\leq |a|_{p}+|b|_{p}$ |
| Ultrametricità | $|a+b|_{p}\leq \max \left(|a|_{p},|b|_{p}\right)$ |
| Simmetria | $|-a|_{p}=|a|_{p}$ |

Uno spazio metrico può essere formato sull'insieme $\mathbb {Q}$ con una metrica definita da $d:\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R}$

$d(x,y)=|x-y|_{p}.$

A volte ci si riferisce al valore assoluto p-adico come "norma p-adica", nonostante non sia una norma in quanto non soddisfa il requisito di omogeneità.

