Teorema di Miller
# Teorema di Miller

Il Teorema di Miller, derivato dalle scoperte dell'Ingegnere americano John Milton Miller, è un teorema delle reti lineari che consente di sostituire un bipolo "longitudinale", situato cioè a cavallo di una sottorete, con due bipoli "trasversali", connessi cioè ad un medesimo nodo di riferimento, a patto però che il guadagno di tensione elettrica non vari a seguito della sostituzione. Un caso particolare del teorema è costituito dall'effetto Miller, sfruttato in numerose applicazioni dell'elettronica.

## Enunciato

Sia B un bipolo di impedenza Z afferente ai nodi $N_1$ e $N_2.$ Il teorema di Miller afferma che B può essere sostituito da due bipoli $B_1$ e $B_2$ connessi rispettivamente tra $N_1$ e $N_0$ e tra $N_2$ e $N_0$ $(N_0$ è un nodo di riferimento), di impedenze

    $Z_{1}={\frac {1}{1-A_{v}}}Z$
    $Z_{2}={\frac {A_{v}}{A_{v}-1}}Z$

essendo $A_v$ la funzione di trasferimento in tensione $N_1$ → $N_2.$ Il risultato è valido se quest'ultima non varia a seguito della sostituzione (o almeno, non varia apprezzabilmente).

## Derivazione

Il teorema si dimostra facilmente tenendo presente che, se le tensioni ai nodi $N_1$ e $N_2$ non variano dopo la sostituzione, la corrente che scorre in $B_1$ è la stessa che scorre in $B_2$ ed è esattamente uguale a quella che attraversa B nella rete originale. Se è vero questo, e se la funzione di trasferimento tra i due nodi non varia, allora è anche vero che l'equilibrio della rete non viene minimamente alterato da detta sostituzione.

Per ricavare le espressioni esatte delle impedenze equivalenti conviene ricorrere ad un semplice esempio.

### Esempio

Consideriamo un amplificatore con un guadagno in tensione $A_v;$ supponendo di poter ignorare l'effetto della sua impedenza di uscita, si avrà ovviamente $V_o$ = $A_vV_i.$ È importante notare che $A_v$ < 0 dato che l'amplificatore considerato è invertente.

Il teorema di Miller analizza l'effetto di un'impedenza Z collegata tra il morsetto di ingresso e quello di uscita, e in particolare la corrente che la attraversa. Quest'ultima, se diretta dall'ingresso verso l'uscita, è data da

    $I={\frac {V_{i}-V_{o}}{Z}}={\frac {V_{i}(1-A_{v})}{Z}}={\frac {V_{o}({\frac {1}{A_{v}}}-1)}{Z}}$

per cui l'impedenza vista in ingresso, oltre ovviamente a quella propria dell'amplificatore che va in parallelo, sarà

    $Z_{in}={\frac {V_{i}}{I}}={\frac {V_{i}Z}{V_{i}(1-A_{v})}}={\frac {Z}{1-A_{v}}}$

mentre quella di uscita risulta essere

    $Z_{out}={\frac {V_{o}}{-I}}={\frac {V_{o}Z}{-V_{o}({\frac {1}{A_{v}}}-1)}}={\frac {Z}{1-{\frac {1}{A_{v}}}}}$

sostituendo all'impedenza originaria le impedenze $Z_{in}$ e $Z_{out}$ queste ultime, a parità di segnale, vengono attraversate dalla medesima corrente (I) che scorre in Z. In questa maniera, la corrente assorbita in ingresso e quella erogata in uscita non variano a seguito della sostituzione e l'equilibrio della rete non viene modificato.

## Utilizzi pratici

L'utilità del teorema di Miller risiede più che altro nella possibilità di trasformare una rete in un'altra più semplice da analizzare attraverso l'uso di relazioni molto sintetiche e facili da ricordare.

Il fatto poi che la funzione di trasferimento non debba variare a seguito della trasformazione non è poi un vincolo così stringente in molte situazioni di interesse pratico: come è stato illustrato nell'esempio, il teorema si può applicare convenientemente ad uno stadio di guadagno dotato di una impedenza di uscita $Z_o$ particolarmente ridotta. Cosa significhi "particolarmente bassa" è evidente: significa semplicemente che la corrente erogata da Z su tale impedenza produce una caduta che può essere trascurata rispetto a quella nominale di uscita, o equivalentemente che Z >> $Z_o.$ Questo è particolarmente vero a bassa frequenza nel caso notevole in cui Z è una capacità (si veda la voce Effetto Miller).

Un altro risultato interessante riguarda l'impedenza di uscita: per amplificazioni tendenti all'infinito infatti, l'impedenza vista in uscita è proprio Z, indipendentemente dal guadagno.

