Teorema di Liouville (analisi complessa)
# Teorema di Liouville (analisi complessa)

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Liouville è un teorema riguardante una proprietà caratteristica delle funzioni intere. Stabilisce che, detta $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ una funzione intera, se esiste $M\in \mathbb {R}$ tale che $|f(z)|\leq M$ per ogni $z\in \mathbb {C}$, ovvero se $f$ è limitata, allora $f$ è costante.

Il teorema di Liouville può essere rafforzato dal piccolo teorema di Picard che afferma che l'immagine di $\mathbb {C}$ attraverso una funzione intera non costante è o tutto il piano complesso o il piano complesso privato di un punto. Permette inoltre di ottenere una semplice dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.

## Dimostrazione

Dato che $f$ è intera si potrà scrivere un suo sviluppo attorno all'origine:

    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

Per i coefficienti, valgono le seguenti relazioni ricavabili tramite il teorema integrale di Cauchy e la formula di Cauchy:

    $a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{\xi ^{n+1}}}d\xi$

dove $C_{R}$ è la circonferenza centrata nell'origine e di raggio $R$, abbastanza grande da contenere $z$.

Applicando il lemma di Darboux si ottiene la seguente disuguaglianza:

    $|a_{n}|={\bigg |}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{\xi ^{n+1}}}d\xi {\bigg |}\leq {\frac {1}{2\pi R^{n+1}}}\max _{C_{R}}|f|(2\pi R)={\frac {1}{R^{n}}}\max _{C_{R}}|f|$

Se si impone adesso che il modulo di $f$ sia limitato dal numero positivo $M$, si vede che per tutti gli $n$ naturali diversi da 0, la quantità $M/{R^{n}}$ e di conseguenza $a_{n}$ tende a 0 se $R$ tende all'infinito. Di conseguenza $a_{n}=0$ per ogni $n\neq 0$, che è la tesi.

## Estensione

Un'estensione del teorema si può operare indebolendo le ipotesi, ossia richiedendo non che la funzione sia limitata, ma che essa abbia valori in un semipiano.

Sia $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ una funzione intera. Se $f(\mathbb {C} )$ è contenuta in un semipiano, allora $f$ è costante.

Infatti, senza ledere la generalità si può supporre che il semipiano sia il semipiano individuato dai numeri complessi avente parte reale positiva. Detta $u$ la parte reale di $f$, risulta quindi che $u$ è armonica (poiché parte reale di una funzione olomorfa) e positiva, quindi $u$ è costante. Dalle relazioni di Cauchy-Riemann si ha anche che $f$ è costante.

