Simmetria centrale nel piano complesso
# Simmetria centrale nel piano complesso

In geometria, dati il numero complesso $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ e $C_{0}=P(z_{0})$, di coordinate $(x_{0},y_{0})$, il punto corrispondente a $z_{0}$, la simmetria centrale di centro $C_{0}$, o rotazione attorno a $C_{0}$ di angolo $\alpha =\pi$, è la trasformazione

    ${\begin{aligned}S_{C_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=2z_{0}-z.\end{aligned}}$

## Proprietà

Ricordando che la simmetria di centro $C_{0}$ altro non è che la rotazione di centro $C_{0}$ e angolo $\alpha =\pi$, cioè $a=-1$, è data da $z'=az+(1-a)z_{0}$, si ha che $z'=-1z+(1-(-1))z_{0}=2z_{0}-z$.

Passando in coordinate cartesiane se $z=x+iy$, $z'=x'+iy'$ e $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$, allora $z'=x'+iy'=2(x_{0}+iy_{0})-(x+iy)=(2x_{0}-x)+i(2y_{0}-y)$, da cui si ottiene:

    ${\begin{cases}x'=2x_{0}-x\\y'=2y_{0}-y,\end{cases}}$

che rappresentano esattamente le equazioni della simmetria centrale nel piano di centro $C_{0}(x_{0},y_{0})$.

## Esempio

La scrittura complessa della simmetria centrale $S_{C_{0}}$ di centro $z_{0}=2+3i$ è data da $z'=2z_{0}-z=2(2+3i)-z=-z+4+6i$.

## Caso particolare

La simmetria $S_{0}$ di centro l'origine $O(0,0)$ degli assi coincide con la rotazione nel piano di centro l'origine e angolo $\alpha =\pi$.

    ${\begin{aligned}S_{0}\equiv \rho _{0,\pi }\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-z.\end{aligned}}$

Infatti:

    $z'=-z=\rho \left[\cos \left(\vartheta +\pi \right)+i\sin \left(\vartheta +\pi \right)\right]=\rho e^{i\left(\vartheta +\pi \right)}.$
