Indice di concentrazione di Gini
# Indice di concentrazione di Gini

In statistica, l'indice di concentrazione di Gini è un indicatore che offre una misura della concentrazione di variabili quantitative trasferibili.

## Esempio

Esempio: il Reddito è una variabile trasferibile (da un elemento all'altro della popolazione), mentre la statura non è trasferibile. L'indice di Gini fornisce un metodo per quantificare la concentrazione del Reddito ed è così definito (viene direttamente riportata la formula del rapporto di concentrazione di Gini, ossia l'indice normalizzato):

    ${\mathit {R_{G}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n-1}\left(P_{i}-Q_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n-1}P_{i}}},$

dove $Q_{i}$ sono le percentuali cumulate di $T$ (Reddito) e $P_{i}$ sono le percentuali cumulate di $T$ in caso di equidistribuzione.

Pertanto si ha:

    ${\mathit {Q_{i}}}={\frac {\sum _{j=1}^{i}x_{j}}{T}}$ e ${\mathit {P_{i}}}={\frac {i}{n}},$

dove gli $x_{j}$ sono i dati osservati e la sommatoria va fino alla $i$-esima modalità di $X$.

L'indice è già normalizzato, in quanto la sommatoria dei $P_{i}$ è il massimo dell'indice, dato che, in caso di distribuzione massimante (massima concentrazione): $Q_{i}=0$, per $i=1,\ldots ,n-1$.

Il minimo invece è $0$ perché, in caso di minima concentrazione, $P_{i}=Q_{i}$ e di conseguenza:

    $P_{i}-Q_{i}=0\qquad \forall \;i,i=1,\ldots ,n-1.$

## Formula rapida per il calcolo del rapporto di concentrazione di Gini

    ${R_{G}}={\frac {\sum _{i=1}^{n-1}P_{i}-\sum _{i=1}^{n-1}Q_{i}}{\sum _{i=1}^{n-1}P_{i}}}=$ $1-{\frac {\sum _{i=1}^{n-1}Q_{i}}{\sum _{i=1}^{n-1}P_{i}}}=$ $1-2{{\sum _{i=1}^{n-1}Q_{i}} \over {n-1}}.$

Questo perché:

    $P_{i}={\frac {i}{n}}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n-1}{\frac {i}{n}}=$ ${\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n-1}i=$ ${\frac {1}{n}}\cdot {\frac {n\left(n-1\right)}{2}}=$ ${\frac {n-1}{2}}.$
