Poliedro duale
# Poliedro duale

In geometria, il poliedro duale di un poliedro $P$ è un altro poliedro $Q$, tale che ad ogni vertice di $P$ corrisponde una ed una sola faccia di $Q$. In altre parole, lo si ottiene scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di $P$. Il duale di $Q$ è di nuovo $P$.

Se $P$ e $Q$ hanno la stessa struttura combinatoria, $P$ è detto autoduale. Fra i 5 solidi platonici, il tetraedro è autoduale, mentre cubo e ottaedro sono uno duale dell'altro; anche icosaedro e dodecaedro sono uno duale dell'altro.

Il duale di un solido archimedeo è un solido di Catalan.

## Definizioni

Non esiste una definizione univoca di poliedro duale che funzioni per tutti i poliedri. Vi sono due nozioni, una combinatoria e l'altra metrica, che sono generalmente coincidenti nei poliedri più regolari.

### Dualità combinatoria

Dal punto di vista combinatorio, due poliedri $P$ e $Q$ sono duali se esiste una corrispondenza biunivoca $T$ fra gli insiemi di vertici, spigoli e facce di $P$ e $Q$ che inverte le adiacenze. Più precisamente:

* $T$ associa rispettivamente ad un vertice, spigolo o faccia di $P$ una faccia, spigolo o vertice di $Q$;
* Una faccia $F$ di $P$ incide su uno spigolo $S$ se e solo se lo spigolo $T(S)$ incide sul vertice $T(F)$; viceversa, uno spigolo $S$ incide su un vertice $V$ di $P$ se e solo se la faccia $T(V)$ incide su $T(S)$.

Questa dualità è detta dualità combinatoria. La dualità combinatoria non tiene conto delle grandezze metriche dei poliedri, e cioè dei loro volumi, delle lunghezze dei loro spigoli, o degli angoli formati da questi.

Se $P$ è un poliedro convesso, un duale combinatorio è ottenuto scegliendo un vertice all'interno di ogni faccia e prendendo l'inviluppo convesso di questi punti. Dal punto di vista metrico il duale dipende dalla scelta dei punti, ma non dal punto di vista combinatorio.

### Dualità metrica

Dal punto di vista metrico, due poliedri $P$ e $Q$ sono duali se sono ottenuti l'uno dall'altro tramite inversione lungo una sfera $S$. In questo caso si parla di dualità metrica.

Molti solidi, come i solidi regolari o i solidi archimedei, hanno un "centro" $O$. In questo caso, il duale del solido è generalmente considerato il duale metrico secondo una qualsiasi sfera centrata in $O$. Sfere con raggi diversi danno luogo a poliedri simili: il poliedro duale è quindi ben definito metricamente solo a meno di similitudine.

## Poliedri duali

### Solidi platonici

| solido | duale |
| - | - |
| tetraedro | tetraedro |
| cubo | ottaedro |
| icosaedro | dodecaedro |

### Solidi archimedei

| solido | duale |
| - | - |
| tetraedro troncato | triacistetraedro |
| cubo troncato | triacisottaedro |
| ottaedro troncato | tetracisesaedro |
| cubottaedro | dodecaedro rombico |
| rombicubottaedro | icositetraedro trapezoidale |
| cubottaedro troncato | esacisottaedro |
| cubo simo | icositetraedro pentagonale |
| dodecaedro troncato | triacisicosaedro |
| icosaedro troncato | pentacisdodecaedro |
| icosidodecaedro | triacontaedro rombico |
| rombicosidodecaedro | esacontaedro trapezoidale |
| icosidodecaedro troncato | esacisicosaedro |
| dodecaedro simo | esacontaedro pentagonale |

### Alcuni poliedri non convessi

| solido | duale |
| - | - |
| piccolo dodecaedro stellato | grande dodecaedro |
| grande dodecaedro stellato | grande icosaedro |

## Dualità fra sfere geodetiche

| sfera geodetica come triangolazione | sfera geodetica simile ad un'arnia |
| - | - |

## Dualità dei solidi platonici

| Il duale del cubo è l'ottaedro | Il duale dell'ottaedro è il cubo |
| - | - |
| Il duale del dodecaedro è l'icosaedro | Il duale dell'icosaedro è il dodecaedro |
