Chiusura algebrica
# Chiusura algebrica

In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo $K$ è la più piccola estensione algebrica di $K$ che è algebricamente chiusa; in termini meno rigorosi, la chiusura algebrica di $K$ è quel campo che si ottiene "aggiungendo" a $K$ le radici di tutti i polinomi a coefficienti in $K$.

Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: questo permette di parlare della chiusura algebrica di $K$, invece che di una chiusura algebrica di $K$.

## Esempi

* Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che il campo $\mathbb {C}$ dei numeri complessi è algebricamente chiuso, e di conseguenza è la chiusura algebrica del campo dei numeri reali. Tuttavia, $\mathbb {C}$ non è la chiusura algebrica del campo $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali, in quanto contiene elementi (i numeri trascendenti) che non sono algebrici su $\mathbb {Q}$. La chiusura algebrica dei razionali è, invece, il campo dei numeri algebrici.
* Esistono molti campi algebricamente chiusi all'interno dei numeri complessi e contenenti strettamente il campo dei numeri algebrici. Tra questi, vi sono le chiusure algebriche delle estensioni trascendenti dei numeri razionali, ad esempio la chiusura algebrica di $\mathbb {Q} (\pi )$.
* Per un campo finito di caratteristica prima p, la chiusura algebrica è un campo di cardinalità numerabile, che contiene una copia del campo di ordine $p^{n}$ per ogni intero positivo n (ed è di fatto l'unione di queste copie).

## Esistenza ed unicità

Usando il lemma di Zorn, può essere mostrato che ogni campo ha una chiusura algebrica, e che la chiusura algebrica di un campo $K$ è unica a meno di isomorfismi che fissano ogni elemento di $K$. Tuttavia, non esiste un isomorfismo "canonico" tra due chiusure algebriche: ad esempio, date due chiusure $F_{1},F_{2}$ del campo $\mathbb {F} _{p}$ con p elementi, esistono un numero infinito (e non numerabile) di isomorfismi di $F_{1}$ in $F_{2}$.

## Proprietà

La chiusura algebrica ${\overline {K}}$ di $K$ può essere vista come la più grande estensione algebrica di $K$, nel senso che ogni altra estensione algebrica $L$ di $K$ può essere immersa dentro ${\overline {K}}$ (generalmente in modo non unico); ne segue anche che ${\overline {K}}$ è anche la chiusura algebrica di $L$.

La chiusura algebrica di un campo $K$ ha la stessa cardinalità di $K$ se $K$ è infinito, ed è numerabile se $K$ è finito.

