Disuguaglianza di Friedrichs
# Disuguaglianza di Friedrichs

In matematica, in particolare in analisi funzionale, la disuguaglianza di Friedrichs è un teorema dovuto a Kurt Friedrichs che limita la $L^p-norma$ di un funzione attraverso la $L^p-norma$ delle sue derivate deboli e la geometria del dominio di definizione. Il risultato può essere quindi utilizzato per dimostrare che alcune norme in uno spazio di Sobolev sono equivalenti.

## Enunciato

Sia $\Omega$ un insieme limitato di $\mathbb {R} ^{n}$ di diametro $d$, e sia $u:\Omega \to \mathbb {R}$ una funzione appartenente allo spazio di Sobolev $W_{0}^{k,p}(\Omega )$. Allora vale che:

    $\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}$

Dove:

* $\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$ rappresenta la norma dello spazio $L^{p}(\Omega )$.
* $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})$ è un multi-indice con norma $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}$;
* $D^{\alpha }u$ è la derivata parziale mista debole:

    $\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}$
