Equazione binomia
# Equazione binomia

Le equazioni binomie sono equazioni algebriche riconducibili alla forma:

    $ax^{n}+b=0$

dove $n$ è un intero positivo, $a$ e $b$ sono numeri reali o complessi e $a\neq 0$. Portando $\,b$ al secondo membro e dividendo per $\,a$ si ottiene l'equazione equivalente:

    $x^{n}=-{\frac {b}{a}}$

## Metodi risolutivi

Nel caso di numeri reali, l'equazione può avere nessuna, una o due soluzioni reali.

* Se $n$ è dispari l'equazione ammette l'unica soluzione $x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$.
* Se $n$ è pari e $-{\frac {b}{a}}<0$ non ci sono soluzioni reali.
* Se $n$ è pari e $-{\frac {b}{a}}\geq 0$ ammette le soluzioni opposte $x=+{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$ e $x=-{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}$. In particolare, se $-{\frac {b}{a}}=0$, l'unica soluzione è $x=0$.

Nel caso dei numeri complessi, per il teorema fondamentale dell'algebra, l'equazione ha sempre $n$ soluzioni uguali alle radici $n$-esime di $-{\frac {b}{a}}$.

## Esempi

* $x^{3}+27=0\;\;\;\to \,\;\;x^{3}=-27\;\;\;\to \;\;\;x={\sqrt[{3}]{-27}}\;\;\;\to \;\;\;x=-3\;\;\;$ (una soluzione reale).
* $x^{4}-16=0\;\;\;\to \;\;\;x^{4}=16\,\;\,\to \;\,\,x={\sqrt[{4}]{16}}\;\;\;\to \;\;\,x=\pm 2\;\,\,$ (due soluzioni reali).
* $2x^{2}+50=0\;\;\;\to \;\;\;2x^{2}=-50\;\;\;\to \;\;\;x^{2}=-25$.

    A questo punto si hanno due possibilità:
   * se si desidera cercare le soluzioni nel campo dei numeri reali, allora l'equazione è impossibile perché una potenza pari non dà mai come risultato un numero negativo.

   * se si cercano le soluzioni nel numero complesso si ha:

       $x={\sqrt {-25}}\;\;\,\to \;\;\;x={\sqrt {25i^{2}}}\;\;\;\to \;\;\;x=\pm 5i$
       dove è stata utilizzata l'unità immaginaria ($i^{2}=-1$).

## Tabella Riassuntiva

EQUAZIONE BINOMIA: $x^{n}=q$ con $x\in \mathbb {R} \land n\in \mathbb {N} \land n>0\land q\in \mathbb {R}$ :

| | $n$ pari | $n$ dispari |
| - | - | - |
| $q>0$ | $\pm {\sqrt[{n}]{q}}$ | $+{\sqrt[{n}]{q}}$ |
| $q<0$ | $\not \exists x\in \mathbb {R}$ | $-{\sqrt[{n}]{\left|q\right|}}$ |
