Caratteristica di Eulero
# Caratteristica di Eulero

In matematica, e più precisamente in geometria e topologia, la caratteristica di Eulero è un numero intero invariante che descrive alcuni aspetti della forma di uno spazio topologico. Si denota comunemente con $\chi$ (lettera greca chi).

La caratteristica di Eulero fu formulata originariamente per i poliedri, e usata per dimostrare vari teoremi, inclusa la classificazione dei solidi platonici: Eulero partecipò attivamente a queste ricerche.

Nella matematica moderna, la caratteristica di Eulero, chiamata anche caratteristica di Eulero-Poincaré, è definita in un ambito più generale a partire da una omologia, introdotta dal matematico Henri Poincaré.

## Poliedri

### Definizione

La caratteristica di Eulero $\chi$ fu definita inizialmente per i poliedri, con la formula

    $\chi =V-S+F,$

dove V, S e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce del poliedro.

### Relazione di Eulero

La relazione di Eulero asserisce che

    $\chi =V-S+F=2$

per tutti i poliedri "senza buchi", ovvero semplicemente connessi. I poliedri convessi rientrano in questa categoria.

### Esempi di poliedri convessi

La formula di Eulero può essere usata per dimostrare che ci sono solo 5 solidi platonici:

| Nome | V (vertici) | S (spigoli) | F (facce) | Caratteristica di Eulero: V − S + F |
| - | - | - | - | - |
| Tetraedro | 4 | 6 | 4 | 2 |
| Cubo | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Ottaedro | 6 | 12 | 8 | 2 |
| Dodecaedro | 20 | 30 | 12 | 2 |
| Icosaedro | 12 | 30 | 20 | 2 |

## Definizione formale

### Complessi di celle o simpliciali

Un poliedro è un esempio di complesso di celle, o di complesso simpliciale: questi sono particolari spazi topologici costruiti a partire da vertici, spigoli, facce 2-dimensionali, facce 3-dimensionali, ecc. Per questi spazi la caratteristica di Eulero è definita semplicemente come

    $\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-k_{3}+\cdots ,$

dove $k_{n}$ è il numero di facce n-dimensionali (vertici e spigoli sono intesi come facce di dimensione 0 e 1).

Lo stesso spazio può essere descritto da molte decomposizioni in celle o simpliciali differenti, con valori $k_{i}$ variabili: il fatto notevole, che rende la caratteristica di Eulero importante in geometria, è che la quantità $\chi$ è però indipendente dalla decomposizione scelta.

### Spazi topologici

Ancora più in generale, si può definire la caratteristica di Eulero-Poincaré di un qualsiasi spazio topologico con l'omologia: senza entrare nel dettaglio, si definisce $b_{i}$come la dimensione dell'i-esimo gruppo di omologia, e quindi

    $\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\cdots .$

Se lo spazio topologico non è troppo complicato, ciascun $b_{i}$ è effettivamente un numero (non è infinito), e $b_{n}$è zero per ogni n sufficientemente grande.

## Proprietà

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico: due spazi topologici omeomorfi hanno la stessa caratteristica. Questo è un risultato molto forte, che implica in modo banale la formula di Eulero: i poliedri convessi sono infatti tutti omeomorfi alla sfera bidimensionale.

La caratteristica è anche invariante per equivalenza omotopica: due spazi omotopicamente equivalenti hanno la stessa caratteristica.

Se M e N sono spazi topologici disgiunti, abbiamo

    $\chi (M\cup N)=\chi (M)+\chi (N).$

Più in generale, se M e N sono sottospazi di uno spazio più grande che non si intersecano in modo troppo complicato, vale la relazione

    $\chi (M\cup N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (M\cap N).$

La caratteristica di Eulero di un prodotto di spazi M × N è

    $\chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).$

Infine, grazie alla dualità di Poincaré, la caratteristica di una varietà differenziabile compatta di dimensione dispari è zero.

## Esempi

### Spazi contrattili

Ogni spazio contrattile, cioè omotopicamente equivalente a un punto, ha la stessa caratteristica di Eulero del punto, che è 1 perché il punto ha 1 vertice e 0 facce di ogni dimensione maggiore. Quindi la retta, il piano, e ogni spazio euclideo ha caratteristica di Eulero 1.

### Superfici

La caratteristica di Eulero di una superficie può essere calcolata agevolmente tramite una suddivisione in poligoni (cioè una descrizione come complesso di celle) e un conteggio del numero di vertici, spigoli e poligoni. La caratteristica di Eulero è l'invariante fondamentale nella classificazione delle superfici.

| Nome | Caratteristica di Eulero |
| - | - |
| Sfera | 2 |
| Toro | 0 |
| Superficie orientabile di genere 2 | -2 |
| Superficie orientabile di genere 3. | -4 |
| Nastro di Möbius | 0 |
| Piano proiettivo | 1 |
| bottiglia di Klein | 0 |
| Due sfere (non connesso) | 2 + 2 = 4 |

Nel caso in cui siano dati vertici e facce e la tassellazione sia regolare (tutte le facce contano lo stesso numero di spigoli), è possibile riscrivere la caratteristica di Eulero in modo più semplice senza contare gli spigoli.

$\chi =V-(nF)/2+F$

dove $n$ è il numero di lati (diviso due, perché ogni spigolo è incidente su due facce).

