Epsilon zero
# Epsilon zero

In matematica, $ε_0$ è il più piccolo numero transfinito che non può essere raggiunto partendo da 0 ed eseguendo un numero finito di operazioni di addizioni di numeri ordinali più l'operazione $α→ω^α,$ dove ω è il numero ordinale transfinito più piccolo.

È dato da

    $\epsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}},$

ovvero il limite della sequenza

    $\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\cdots$

La sua forma normale di Cantor è

    $\epsilon _{0}=\omega ^{\epsilon _{0}}$

I numeri che hanno questa caratteristica (cioè i $\beta$ tali che $\beta =\omega ^{\beta }$) sono detti numeri epsilon; il più piccolo di questi è appunto $\epsilon _{0}$, mentre il $\gamma$-esimo è denotato da $\varepsilon _{\gamma }$.

L'ordinale $ε_0$ è numerabile (esistono anche ordinali non numerabili).

Questo ordinale è importante in molte dimostrazioni per induzione, in quanto in molti casi l'induzione transfinita è richiesta solamente fino a $ε_0$ (come ad esempio nel teorema di Goodstein). È stato usato da Gerhard Gentzen per dimostrare la coerenza dell'aritmetica di Peano: insieme al secondo teorema di incompletezza di Gödel, questo dimostra che l'aritmetica di Peano non può provare la sua fondatezza (è l'ultimo ordinale con questa proprietà: per questo nell'analisi degli ordinali è usata come misura della forza della teoria dell'aritmetica di Peano).

Questo simbolo fu ideato dal matematico tedesco Georg Cantor.

## Alberi con radice

Gli alberi finiti con radice possono essere usati per rappresentare tutti gli ordinali inferiori a $ε_0$ nel seguente modo. Un albero finito con radice T rappresenta l'ordinale $\omega ^{\alpha _{1}}+\cdots +\omega ^{\alpha _{n}}$ dove $α_1≥....≥α_n$ sono gli ordinali rappresentati dagli n≥0 alberi con radice ottenuti cancellando la radice di T e gli archi ad essa collegati.

