Estensione abeliana
# Estensione abeliana

In matematica, in particolare in teoria dei campi, una estensione abeliana è una estensione di Galois il cui gruppo di Galois è abeliano.

Il teorema di Kronecker-Weber afferma che ogni estensione abeliana finita di $\mathbb {Q}$ è un sottocampo di un campo ciclotomico.

La teoria di Kummer classifica le estensioni abeliane di un campo $K$.

## Concetti correlati

Se il gruppo di Galois di un'estensione di Galois è un gruppo ciclico, allora si ha una estensione ciclica. Una estensione di Galois è detta risolubile se il gruppo di Galois associato è un gruppo risolubile.

Ci sono due definizioni leggermente differenti di estensione ciclotomica:

* una qualunque estensione di campi ottenuta aggiungendo una radice dell'unità;
* una sottoestensione di un'estensione di campi ottenuta aggiungendo una radice dell'unità.

La seconda definizione è più ampia della prima.

## Esempi

* Ogni estensione finita di un campo finito è un'estensione ciclica.
* Ogni campo ciclotomico è un'estensione ciclotomica (in entrambe le definizioni). Ogni estensione ciclotomica è abeliana (in entrambe le definizioni).
* Ogni estensione di Kummer è abeliana.
