Differenziale esatto
# Differenziale esatto

Nel calcolo infinitesimale, un differenziale esatto o differenziale totale è una forma differenziale esatta:

    $\operatorname {d} Q=A_{1}(x_{1},x_{2},\dots )\operatorname {d} x_{1}+A_{2}(x_{1},x_{2},\dots )\operatorname {d} x_{2}+\dots$

cioè tale per cui esiste una funzione $Q(x_{1},x_{2},\dots )$, detta potenziale, che soddisfa:

    $A_{1}={\frac {\partial Q}{\partial x_{1}}}\qquad A_{2}={\frac {\partial Q}{\partial x_{2}}}\qquad \dots$

Un differenziale è esatto se e solo se è integrabile, cioè se la grandezza $Q$ è esprimibile come funzione di classe $C^{2}$, la cui immagine è un sottoinsieme dei numeri reali. L'implicazione diretta dipende dal fatto che la seconda classe di continuità ammette sempre un solo differenziale $\operatorname {d} Q$. Per generalizzare la nozione di differenziale come infinitesimo a quantità $Q$ definite arbitrariamente risulta utile avere un criterio per determinare se $Q$ sia esprimibile come funzione delle sue variabili, o se invece non lo sia, anche perché in quest'ultimo caso risulta non conservata su un integrale chiuso nelle sue variabili.

## Definizione

Nel seguito si considera il caso tridimensionale, anche se la trattazione vale in uno spazio di dimensione arbitraria.

Una forma differenziale $A(x,y,z)\operatorname {d} x+B(x,y,z)\operatorname {d} y+C(x,y,z)\operatorname {d} z$ è detta forma differenziale esatta su un dominio $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ se esiste una qualche funzione scalare $Q=Q(x,y,z)$ definita su $D$ tale che:

    $\operatorname {d} Q\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\operatorname {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{z,x}\operatorname {d} y+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\operatorname {d} z=A\operatorname {d} x+B\operatorname {d} y+C\operatorname {d} z$

su tutto $D$. Questo è equivalente a dire che il campo vettoriale $(A,B,C)$ è un campo vettoriale conservativo, corrispondente al gradiente di un campo scalare (chiamato potenziale) $Q$.

In una dimensione, una forma differenziale $A(x)\operatorname {d} x$ è esatta se $A$ ha una primitiva. Altrimenti, se $A$ non possiede primitiva non si può scrivere $\operatorname {d} Q=A(x)\operatorname {d} x$ e la forma non è esatta.

In due dimensioni, per il teorema di Schwarz ogni funzione $Q$ sufficientemente regolare ha la proprietà:

    ${\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}$

da cui segue che in una regione semplicemente connessa $R$ del piano x-y, un differenziale

    $\operatorname {d} Q=A(x,y)\,\operatorname {d} x+B(x,y)\,\operatorname {d} y$

è un differenziale esatto se e solo se vale la relazione

    $\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}$

In tre dimensioni, un differenziale

    $\operatorname {d} Q=A(x,y,z)\,\operatorname {d} x+B(x,y,z)\,\operatorname {d} y+C(x,y,z)\,\operatorname {d} z$

è un differenziale esatto in una regione semplicemente connessa $R$ dello spazio x-y-z se tra le funzioni $A$, $B$ e $C$ sussiste la relazione

    $\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}\qquad \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}\qquad \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}$

dove fuori dalle parentesi in basso sono indicate le variabili considerate costanti durante la differenziazione.

Riassumendo, quando un differenziale è esatto esiste $Q$ e:

    $\int _{i}^{f}\operatorname {d} Q=Q(f)-Q(i)$

indipendentemente dal cammino di integrazione seguito.

## Criterio di Schwarz

Se la funzione $Q(\mathbf {x} )$ di n variabili, con $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$, ammette un differenziale, esso corrisponde al prodotto scalare tra il gradiente $\nabla Q$ di $Q$ e $\operatorname {d} \mathbf {x}$:

    $\operatorname {d} Q=\nabla Q\cdot \operatorname {d} \mathbf {x} =\sum _{i}{\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\operatorname {d} x_{i}$

dove nell'ultima uguaglianza si è esplicitato il prodotto scalare. L'integrazione:

    $Q(\mathbf {x} )=\sum _{i}\int {\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\operatorname {d} x_{i}$

è permessa se e solo se tutte le funzioni integrande dipendono da altre variabili con lo stesso andamento:

    ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial Q}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\quad \forall i,j\in (1,...,n)$

e cioè se $Q[\mathbf {x} ]$ verifica il teorema di Schwarz, affermazione valida per le funzioni $Q(\mathbf {x} )$ della seconda classe di continuità. Poiché il differenziale di $Q[\mathbf {x} ]$ viene solitamente costruito come dipendenza implicita dai differenziali delle variabili, e cioè nella forma:

    $Q(\mathbf {x} )=\sum _{i}\int A_{i}\operatorname {d} x_{i}$

il criterio si traduce nel testare se:

    ${\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\quad \forall i,j\in (1,...,n)$

e nel qual caso $Q[\mathbf {x} ]$ ha differenziale esatto, che si può esprimere come $\operatorname {d} Q$. Per una funzione di una variabile ovviamente questo si riduce a verificare che $Q[x]$ appartenga alla prima classe di continuità, e cioè che $A(x)$ sia funzione continua in $x$.

## Relazioni tra le derivate parziali

Se tre variabili $x$, $y$ e $z$ sono legate dalla relazione $F(x,y,z)={\text{costante}}$ per qualche funzione differenziabile $F(x,y,z)$, allora i seguenti differenziali esatti esistono:

    $dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz$
    $dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy$

Inserendo la prima equazione nella seconda si ottiene:

    $dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy$
    $dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz$
    $\left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy$

Dal momento che $y$ e $z$ sono variabili indipendenti, $dy$ e $dz$ possono essere scelti arbitrariamente. Affinché l'ultima relazione valga in generale è necessario che i termini tra parentesi quadra siano nulli.

Ponendo nullo il primo termine tra parentesi quadra si ha:

    ${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1$

che con semplici passaggi conduce alla relazione di reciprocità:

    ${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}$

Ponendo nullo il secondo termine tra parentesi quadra si ha:

    ${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}$

e utilizzando una delle relazioni di reciprocità per $\partial z/\partial y$ si ottiene la relazione ciclica, anche conosciuta come "regola del triplo prodotto":

    ${\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1$

Se, invece, si utilizza una relazione di reciprocità per $\partial x/\partial y$ si ottiene una formula standard per la differenziazione implicita:

    ${\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}$

## Applicazione in termodinamica

Si consideri la quantità di calore $\delta Q$ scambiata in una trasformazione infinitesima:

    $\operatorname {\delta } Q[T,V]=\operatorname {d} U+\operatorname {\delta } W=C_{v}\,\operatorname {d} T+p\,\operatorname {d} V$

dove compaiono nell'ordine la capacità termica a volume costante, la variazione di temperatura, la pressione e la variazione di volume. L'equazione traduce il primo principio della termodinamica per gas perfetti; è facile vedere che in generale:

    ${\frac {\partial C_{v}}{\partial V}}=0\neq {\frac {\partial p}{\partial T}}$

perciò $Q$ non ha differenziale esatto, quindi il calore non è una funzione di stato del sistema.

Considerando invece l'aumento infinitesimo di entropia $\operatorname {\delta } \!S$ si ha:

    $\operatorname {\delta } \!S={\frac {\operatorname {\delta } Q}{T}}={\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+{\frac {p}{T}}\,\operatorname {d} V$

e poiché per i gas ideali vale $pV=RT$ si ottiene:

    $\operatorname {d} S={\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+{\frac {R}{V}}\,\operatorname {d} V$

Questa volta si ha:

    ${\frac {\partial }{\partial V}}{\frac {C_{v}}{T}}=0={\frac {\partial }{\partial T}}{\frac {R}{V}}$

quindi $\operatorname {d} S$ è un differenziale esatto per i gas ideali. L'entropia è perciò una funzione di stato:

    $S=\int \operatorname {d} S=\int {\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+\int {\frac {p}{T}}\,\operatorname {d} V=C_{v}\,\ln T+R\ln V+{\rm {cost}}$
