Logica polivalente
# Logica polivalente

Le logiche polivalenti sono estensioni della logica classica in cui sono presenti più valori di verità rispetto ai canonici vero, falso e pertanto in esse non vale il principio del terzo escluso. Le prime logiche polivalenti furono proposte negli anni 1920 da Emil Post e da Jan Łukasiewicz e in esse erano presenti tre valori di verità: vero, falso, problematico.

## Logiche ad infiniti valori di verità

Successivamente si è giunti a proporre logiche ad infiniti valori di verità quali:

* la logica ad infiniti valori di Lukasiewicz;
* la cosiddetta logica fuzzy di Zadeh;
* la logica (fuzzy) polivalente di Gödel;
* la logica (fuzzy) prodotto.

### Logica polivalente di Gödel

In tale formulazione si hanno le seguenti::

    $x\,\operatorname {AND} \,y=min(v(x),v(y))$
    $x\,\operatorname {OR} \,y=max(v(x),v(y))$
    $\operatorname {NOT} \,x=1$ se $v(x)=0$ e $0$ altrimenti.

### Logica polivalente prodotto

In tale formulazione si hanno le seguenti::

    $x\,\operatorname {AND} \,y=v(x)v(y)$
    $x\,\operatorname {OR} \,y=v(x)+v(y)-v(x)v(y)$
    $\operatorname {NOT} \,x=1$ se $v(x)=0$ e $0$ altrimenti.

### Logiche polivalenti e doppia negazione

È interessante osservare come nelle logiche "fuzzy" di Gödel e "fuzzy" prodotto si neghi il principio della doppia negazione, come anche nella logica intuizionista, al fine di mantenere vera la forma standard del principio di non-contraddizione. In particolare, a causa della particolare definizione dell'operatore NOT si hanno:

    P → ¬¬P è un teorema
    ¬¬P → P non è teorema.
    ¬P → ¬¬¬P è un teorema.
    ¬¬¬P → ¬P è un teorema.

## Logiche generiche. T-norma

Una T-norma o norma triangolare o AND generalizzato è una applicazione T: [0,1] × [0,1] → [0,1] che soddisfa i seguenti requisiti:

* Commutatività: T(a, b) = T(b, a);
* Monotonia: T(a, b) ≤ T(c, d) se a ≤ c e b ≤ d;
* Associatività: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c);
* Elemento nullo: T(a, 0) = 0;
* 1 agisce come elemento identità: T(a, 1) = a.

Le t-norme sono state utilizzate per interpretare il connettivo di congiunzione.

Esempi di t-norme sono il minimo, il prodotto e la t-norma di Lukasiewicz definita da T(x,y)=max(0,x+y-1).

Se la t-norma è una funzione continua a sinistra, allora è possibile definire la funzione x → y = max { z: T(x,z) ≤ y } che può essere utilizzata per interpretare in connettivo di implicazione. Avendo a disposizione l'implicazione si può definire la negazione come ¬x = x → 0.

Nel caso in cui si parte dalla t-norma di Lukasiewicz, si ottiene: x → y = min{ 1, 1-x+y} (implicazione di Lukasiewicz) e ¬x = 1-x (negazione involutiva).

Nota che la negazione involutiva è tale che ¬¬x=x.

