Disuguaglianza
# Disuguaglianza

In matematica una disuguaglianza (o diseguaglianza) è una relazione d'ordine totale sull'insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme, stabilisce cioè una relazione tra i numeri usando i simboli di disuguaglianza, che sono:

* $<$ (minore)
* $>$ (maggiore)
* $\leq$ (minore o uguale)
* $\geq$ (maggiore o uguale)

Le prime due esprimono una disuguaglianza in senso stretto, le ultime due esprimono una disuguaglianza in senso largo.

Gli stessi simboli possono essere utilizzati per "confrontare" due funzioni a valori reali.

## Notazione

La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti $a\geqslant b$ e $b\leqslant a$, che si leggono "$a$ è maggiore o uguale a $b$" e "$b$ è minore o uguale ad $a$".

La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti $a>b$ e $b<a$, lette "$a$ è maggiore di $b$" e "$b$ è minore di $a$".

Questa notazione può essere confusa con la notazione graficamente simile $a\gg b$ (o $b\ll a$), utilizzata con due diversi significati: sia per indicare che un numero è sufficientemente più grande di un altro ("$a$ è molto maggiore di $b$"), sia per indicare che una funzione è asintoticamente più grande di un'altra ("$a$ domina $b$"). In entrambi i casi non è una disuguaglianza, ma solamente una relazione d'ordine parziale, ovvero può non permettere di confrontare tra loro due distinti elementi dell'insieme.

## Proprietà

### Ordine totale

Una relazione d'ordine (larga o stretta) definita in un insieme è totale se, considerati due qualsiasi elementi dell'insieme $a$ e $b$ distinti tra loro, risulta sempre che $a$ è in relazione con $b$, oppure che $b$ è in relazione con $a$.

Una relazione d'ordine non totale è chiamata relazione d'ordine parziale.

Per esempio nell'insieme $I=\left\{2,3,6,9,18\right\}$ la relazione "$a<b$" è totale perché è possibile mettere a confronto tutti gli elementi dell'insieme. Se invece si considera, nello stesso insieme, la relazione "$a$ multiplo di $b$", questa è una relazione parziale perché per esempio $9$ non è un multiplo di $2$.

### Antisimmetria e tricotomia

Se la disuguaglianza è stretta, allora vale la proprietà di tricotomia:

    $\forall a,b$ vale una e una sola delle tre relazioni $a>b,\;\;\;a<b,\;\;\;a=b$.

Se la disuguaglianza è larga, allora vale l'antisimmetria:

    $\forall a,b\qquad a\leqslant b\quad {\text{e}}\quad b\leqslant a\implies a=b$.

### Somma e sottrazione

Le disuguaglianze vengono preservate se ad entrambi i termini viene aggiunto o sottratto uno stesso numero:

* per ogni tre numeri reali $a,b$ e $c$ sono equivalenti: $a>b$, $\;\;\;a+c>b+c$, $\;\;\;a-c>b-c$.

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Questa proprietà indica che confrontare due numeri $a$ e $b$ è equivalente a verificare se la loro differenza $a-b$ è positiva o negativa, ovvero a confrontare $a-b$ e $0$. Inoltre $a>0$ equivale a $-a<0$, così come $a>b$ equivale a $-a<-b$.

Questa proprietà in generale descrive i gruppi ordinati.

### Moltiplicazione e divisione

Le disuguaglianze vengono preservate se entrambi i termini vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero strettamente positivo. Moltiplicando o dividendo per un numero strettamente negativo, invece, le disuguaglianze si scambiano:

* per ogni terna di numeri reali $a,b$ e $c$,
   * se $c>0$ allora sono equivalenti: $a>b$, $\;\;\;ac>bc$, $\;\;\;{\frac {a}{c}}>{\frac {b}{c}}$;
   * se $c<0$ allora sono equivalenti: $a>b$, $\;\;\;ac<bc$, $\;\;\;{\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}$.

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Per la precedente proprietà, la seconda riga equivale alla prima, scrivendo $-c$ al posto di $c$.

Queste proprietà in generale descrivono gli anelli ordinati e i campi ordinati (o campi reali).

### Funzioni monotone

Le disuguaglianze sono alla base della definizione delle funzioni monotòne: le funzioni che conservano o invertono l'ordinamento dei numeri reali, quindi le disuguaglianze, sono funzioni monotone crescenti o decrescenti. In particolare, le funzioni monotone in senso stretto "mantengono" le disuguaglianze in senso stretto; invece una funzione monotona in senso largo fornisce solamente disuguaglianze in senso largo.

## Disequazione e segno

A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo $f>0$ anche quando $f$ è una funzione a valori reali. Con questa notazione si intende che $f$ assume solo valori strettamente positivi, ovvero che $f(x)>0$ per ogni $x$ nel dominio di $f$. In questo caso si parla si segno di una funzione o, equivalentemente, di insieme di positività di una funzione. Nello stesso modo, $f>g$ indica che $f-g>0$, ovvero che $f(x)>g(x)$ per ogni $x$ nel comune dominio di $f$ e $g$. Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo. Quando il dominio delle funzioni non viene specificato, si parla di disequazione.

## Disuguaglianze comuni

Alcune "famose" disuguaglianze in matematica sono elencate di seguito.

* disuguaglianza triangolare
* disuguaglianza delle medie
* disuguaglianza di Bernoulli
* disuguaglianza di Bernstein
* disuguaglianza di Bessel
* disuguaglianze di Boole e di Bonferroni
* disuguaglianza di Cantelli
* disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
* disuguaglianza di Čebyšëv
* disuguaglianza di Cramér-Rao
* disuguaglianza di Hoeffding
* disuguaglianza di Hölder
* disuguaglianza di Minkowski
* disuguaglianza di Ono
* disuguaglianza di Pedoe
* disuguaglianza di Schur
* disuguaglianza di Weitzenböck
