Corrente di probabilità
# Corrente di probabilità

In meccanica quantistica, la densità di corrente di probabilità, o semplicemente corrente di probabilità (a volte chiamata flusso di probabilità), è una quantità matematica che descrive il flusso di probabilità in termini della probabilità per unità di area e unità di tempo. Nello specifico, se si descrive la densità di probabilità come un fluido eterogeneo, allora la corrente di probabilità è il tasso di flusso di questo fluido. Questo è analogo alle correnti di massa in fluidodinamica e alle correnti elettriche in elettromagnetismo. È un vettore reale, come la densità di corrente elettrica. Il concetto di corrente di probabilità è un formalismo utile in meccanica quantistica.

## Definizione (3-corrente non-relativistica)

### Particella libera a spin 0

Nella meccanica quantistica non relativistica, la corrente di probabilità j della funzione d'onda $\Psi$ in una dimensione è definita come

    $j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right),$

dove $\Psi ^{*}$ indica il complesso coniugato della funzione d'onda, proporzionale a un wronskiano $W(\Psi ,\Psi ^{*})$.

In tre dimensioni, si generalizza a

    $\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\,,$

dove ħ è la costante di Planck ridotta, m è la massa della particella, Ψ è la funzione d'onda, e ∇ denota l'operatore gradiente.

Questo può essere semplificato con l'operatore impulso,

    $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$

per ottenere

    $\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)\,.$

Queste definizioni sono nella base della posizione (cioè per una funzione d'onda nello spazio delle posizioni), ma è possibile anche la definizione nello spazio degli impulsi.

### Particella a spin 0 in un campo elettromagnetico

La definizione di cui sopra dovrebbe essere modificata per un sistema in un campo elettromagnetico esterno. In unità del SI, una particella carica di massa m e carica elettrica q comprende un termine dovuto all'interazione con il campo elettromagnetico;

    $\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]\,\!$

dove A = A(r, t) è il potenziale magnetico (o "campo A"). Il termine qA ha le dimensioni di una quantità di moto.

In unità gaussiane:

    $\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]\,\!$

dove c è la velocità della luce.

### Particella a spin s in un campo elettromagnetico

Se la particella ha spin, ha un momento magnetico corrispondente, quindi va aggiunto un termine ulteriore che incorpora l'interazione dello spin con il campo elettromagnetico. In unità SI:

    $\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )\,\!$

dove S è il vettore di spin della particella con il corrispondente momento magnetico di spin $μ_S$ e numero quantico di spin s. In unità gaussiane:

    $\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )\,\!$

## Legame con la meccanica classica

La funzione d'onda può anche essere scritta nella forma con l'esponenziale complesso:

    $\Psi =Re^{iS/\hbar }$

dove R e S sono funzioni reali di r e t.

Scritta in questo modo, la densità di probabilità è

    $\rho =\Psi ^{*}\Psi =R^{2}$

e la corrente di probabilità:

    ${\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S)-Re^{iS/\hbar }(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S)\right]\end{aligned}}$

Gli esponenziali e i termini con R∇R si cancellano:

    $={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right]$

Infine, combinando e cancellando le costanti, e sostituendo $R^2$ con ρ,

    $\mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla } S}{m}}$

Se prendiamo la formula consueta per la corrente:

    $\mathbf {j} =\rho \mathbf {v} ,$

dove v è la velocità della particella (anche la velocità di gruppo dell'onda), possiamo associare la velocità a ∇S/m, che equivale a uguagliare ∇S con la quantità di moto classica p = mv. Questa interpretazione è d'accordo con la teoria di Hamilton-Jacobi, nella quale

    $\mathbf {p} =\nabla S$

dove S è la funzione principale di Hamilton.

## Motivazione

### Equazione di continuità in meccanica quantistica

La definizione di corrente di probabilità e l'equazione di Schrödinger può essere usata per ricavare l'equazione di continuità, che ha esattamente la stessa forma di quelle per la fluidodinamica e per l'elettromagnetismo:

    ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} =0$

dove la densità di probabilità $\rho \,$ è definita come

    $\rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,$.

Se si integrasse rispetto al volume entrambi i membri dell'equazione di continuità, cosicché

    $\int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0$

allora il teorema della divergenza implica che l'equazione di continuità è equivalente all'equazione integrale

    ${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+\iint _{\scriptstyle S}\mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$

dove V è un qualsiasi volume e S è il bordo di V. Questa è la legge di conservazione per la probabilità in meccanica quantistica.

In particolare, se Ψ è una funzione d'onda che descrive una singola particella, l'integrale nel primo termine dell'equazione precedente, senza derivata temporale, è la probabilità di ottenere un valore entro V quando viene misurata la posizione della particella. Il secondo termine è quindi il tasso al quale la probabilità fluisce al volume V. Nel suo insieme l'equazione afferma che la derivata temporale della probabilità della particella misurata in V è uguale al tasso al quale la probabilità fluisce in V.

### Trasmissione e riflessione attraverso potenziali

In regioni dove è presente un gradino di potenziale o una barriera, la corrente di probabilità è correlata ai coefficienti di trasmissione e riflessione, rispettivamente T e R; essi misurano la misura in cui le particelle riflettono la barriera o vengono trasmessi attraverso. Entrambi soddisfano:

    $T+R=1\,,$

dove T e R possono essere definite da:

    $T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trasm} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {rif} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,$

dove $j_{inc},$ $j_{rif}$ e $j_{trasm}$ sono rispettivamente le correnti di probabilità incidente, riflessa e trasmessa, e le barre verticali indicano il modulo dei vettori. La relazione tra T e R può essere ottenuta dalla conservazione della probabilità:

    $\mathbf {j} _{\mathrm {trasm} }+\mathbf {j} _{\mathrm {rif} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.$

In termini di un versore n normale alla barriera, queste sono equivalentemente:

    $T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trasm} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {rif} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,$

dove i valori assoluti sono necessari per impedire a T e R di essere negativi.

## Esempi

### Onda piana

Per un'onda piana che si propaga nello spazio:

    $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}$

la densità di probabilità è costante dappertutto:

    $\rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0$

(cioè, le onde piane sono stati stazionari) ma la corrente di probabilità è non nulla – il quadrato dell'ampiezza assoluta dell'onda per la velocità della particella;

    $\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v}$

il che fa vedere che la particella può essere in movimento anche se la densità di probabilità spaziale non ha una dipendenza esplicita dal tempo.

### Particella in una scatola

Per una particella in una scatola, in una dimensione spaziale e di lunghezza L, confinata nella regione

    $0<x<L\,\!$

Gli autostati dell'energia sono

    $\Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$

e nulli altrove. Le correnti di probabilità associate sono

    $j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0$

siccome

    $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}$
