Costanti trigonometriche esatte
# Costanti trigonometriche esatte

Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.

Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.

## Tavola delle espressioni

I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.

### 0° - valori fondamentali

    $\sin 0^{\circ }=0$
    $\cos 0^{\circ }=1$
    $\tan 0^{\circ }=0$

### 3° - Esacontagono (60 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(1-{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)}{16}}$
    $\cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)}{16}}$
    $\tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\frac {\left[(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}$

### 6° - Triacontagono (30 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-({\sqrt {5}}+1)}{8}}$
    $\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}$
    $\tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {}5-2{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})}{2}}$

### 9° - Icosagono (20 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}$
    $\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}$
    $\tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\;(2+{\sqrt {5}})+({\sqrt {5}}+1)$

### 12° - Pentadecagono (15 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}$
    $\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+({\sqrt {5}}-1)}{8}}$
    $\tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}(2+{\sqrt {5}})+({\sqrt {5}}+1)}{2}}$

### 15° - Dodecagono (12 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)}{4}}$
    $\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)}{4}}$
    $\tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}$
    $\cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}$

### 18° - Decagono (10 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$
    $\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}$
    $\tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}$
    $\cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

### 21° = 9° + 12°

    $\sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {3}}+1)-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}$
    $\cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {3}}-1)+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}$
    $\tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\frac {{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,(1+2{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})+(2+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-3)+2}{2}}$

### 22.5° - Ottagono (8 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$
    $\cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$
    $\tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1$
    $\cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1$

### 24° = 12° + 12°

    $\sin 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,(1-{\sqrt {5}})+2{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {5}}))}{16}}$
    $\cos 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}\,({\sqrt {5}}-1)+2(1+{\sqrt {5}}))}{16}}$
    $\tan 24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {3}}\right)\,(3+{\sqrt {5}})}{4}}$
    ${\mbox{cot}}\,24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+2{\sqrt {3}}\right)\,({\sqrt {5}}-1)}{4}}$

### 27° = 12° + 15°

    $\sin 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {5}})}{8}}$
    $\cos 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}$
    $\tan 27^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {5}}-1)$

### 30° - Esagono (6 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}$
    $\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}$
    $\tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}$
    $\cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}$

### 33° = 15° + 18°

    $\sin 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(-1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)(1+{\sqrt {3}})}{16}}$
    $\cos 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(+1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)(1-{\sqrt {3}})}{16}}$
    $\tan 33^{\circ }={\frac {{\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}\,\left(-15+10{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}+4{\sqrt {15}}\right)+5\left((-2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})+2\right)}{10}}$

### 36° - Pentagono (5 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}$
    $\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$
    $\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}})}}$

### 39° = 18° + 21°

    $\sin 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,(1-{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}(+1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}$
    $\cos 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}\,(-1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}$
    $\tan 39^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-2\right)\left((2-{\sqrt {3}})(-3+{\sqrt {5}})+2\right)}{4}}$

### 42° = 21° + 21°

    $\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}\;(1+{\sqrt {5}})+2(1-{\sqrt {5}})}{16}}$
    $\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\;(1+{\sqrt {5}})+2{\sqrt {3}}(-1+{\sqrt {5}})}{16}}$
    $\tan 42^{\circ }={\frac {-{\sqrt {1-2{\sqrt {1}}}}\;(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {5}})}{2}}$

### 45° - Quadrato (4 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}$
    $\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}$
    $\tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1$
    $\cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1$
