Prodotto libero
# Prodotto libero

In algebra, il prodotto libero di due gruppi $G$ e $H$ è un nuovo gruppo, generalmente indicato con

    $G*H.$

Tale gruppo è costruito prendendo tutte le parole aventi come lettere degli elementi in $G$ e in $H$, considerate a meno di semplici operazioni.

La nozione di gruppo libero è importante in topologia, perché riflette (tramite il gruppo fondamentale) l'operazione (detta bouquet) che consiste nell'attaccare due spazi topologici per un punto.

## Definizione

Siano $G$ e $H$ due gruppi. Una parola in $G$ e $H$ è una successione finita di elementi

    $s_{1}\ldots s_{n}$

dove ciascun $s_{i}$ è un elemento di $G$ o di $H$.

Il prodotto libero è definito come l'insieme formato da tutte le parole di questo tipo, considerate però a meno di una relazione di equivalenza. Due parole sono equivalenti se sono ottenute l'una dall'altra tramite un numero finito di mosse del seguente tipo:

* rimozione della lettera $e$, elemento neutro di $G$ o di $H$;
* sostituzione di una coppia di lettere consecutive $gg'$ appartenenti allo stesso gruppo $G$ o $H$ con l'elemento "$gg'$"
* l'inversa di una delle due mosse precedenti.

La definizione di prodotto libero è quindi la seguente.

Il prodotto libero $G*H$ è l'insieme di tutte le parole in $G$ e $H$, considerate a meno di equivalenza. L'operazione di gruppo è il concatenamento delle parole.

Il concatenamento di due parole

    $s_{1}\ldots s_{n},\quad t_{1}\ldots t_{k}$

è la parola

    $s_{1}\ldots s_{n}t_{1}\ldots t_{k}.$

Questa operazione risulta essere effettivamente ben definita e soddisfa gli assiomi di gruppo. L'elemento neutro è la parola vuota, o equivalentemente formata da una sola lettera, elemento neutro di $G$ oppure $H$. L'elemento inverso di una parola

    $s_{1}\ldots s_{n}$

è la parola

    $s_{n}^{-1}\ldots s_{1}^{-1}.$

## Proprietà

### Presentazioni

Se i due gruppi $G$ e $H$ sono descritti tramite presentazioni come

    $G=\langle R_{G}\mid S_{G}\rangle$
    $H=\langle R_{H}\mid S_{H}\rangle$

dove $R_{G}$ e $S_{G}$ sono rispettivamente insiemi di generatori e relazioni, allora

    $G*H=\langle R_{G}\cup R_{H}\mid S_{G}\cup S_{H}\rangle .$

In altre parole, una presentazione per il prodotto libero è costruita unendo le due presentazioni.

### Associatività e commutatività

I prodotti liberi

    $G*H,\quad H*G$

sono naturalmente isomorfi (effettivamente, sono proprio lo stesso gruppo). Si può quindi dire che l'operazione $*$ è commutativa. Tale operazione è anche associativa, nel senso che i gruppi

    $(G*H)*K,\quad G*(H*K)\,\!$

sono isomorfi. Si possono quindi omettere le parentesi e parlare più in generale di prodotto libero fra $k$ gruppi

    $G_{1}*\cdots *G_{k}.$

L'operazione $*$ ha anche un elemento neutro, il gruppo banale: infatti i gruppi

    $G*\{e\},\quad G$

sono isomorfi. Non esiste però l'elemento inverso per $*$: dato un gruppo $G$, non è possibile trovare un gruppo $H$ per cui $G*H$ è il gruppo banale, perché la sua cardinalità è grande almeno quanto quella di $G$.

### Rappresentante ridotto

Ogni elemento di un prodotto libero $G*H$ si esprime in modo unico come parola ridotta, ovvero come parola

    $s_{1}\ldots s_{k}$

in cui valgono le proprietà seguenti:

* due lettere consecutive appartengono a gruppi distinti,
* nessun $s_{i}$ è elemento neutro di $G$ o di $H$.

Ogni parola può essere portata in forma ridotta facilmente con le mosse seguenti:

* se due lettere consecutive $g_{1}g_{2}$ appartengono allo stesso gruppo, sostituire la coppia con la lettera $g$ definita come l'elemento $g=g_{1}g_{2}$;
* se un $s_{i}$ è un elemento neutro, rimuoverlo.

La parola ridotta che rappresenta l'elemento neutro è la parola vuota, che non contiene lettere.

L'unicità della rappresentazione permette di capire agevolmente se due parole diverse rappresentano lo stesso elemento.

### Cardinalità

Se $G$ e $H$ sono due gruppi non banali, allora il prodotto libero $G*H$ ha cardinalità infinita. Infatti, presi un elemento $g$ in $G$ e $h$ in $H$ entrambi diversi dall'elemento neutro, il sottogruppo da loro generato è certamente infinito, perché contiene infiniti elementi di questo tipo:

    $g,gh,ghg,ghgh,ghghg,\ldots$

Questi elementi sono tutti distinti perché espressi in forma ridotta.

## Esempi

### Gruppo libero

Il gruppo libero di ordine $k$ è il gruppo

    $\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z}$

ottenuto come prodotto libero di $k$ copie del gruppo degli interi $\mathbb {Z}$.

### Prodotto di gruppi ciclici

Il gruppo

    $\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}$

può essere descritto come segue. Ciascun gruppo $\mathbb {Z} _{2}$ ha un solo elemento non banale: siano $a$ e $b$ gli elementi non banali dei due gruppi. Gli elementi del prodotto libero sono esattamente le parole seguenti:

    $e,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba,\ldots$

Il sottogruppo generato da $ab$

    $\{(ab)^{n}\}=\{\ldots ,baba,ba,e,ab,abab,ababab,\ldots \}$

ha indice 2 ed è isomorfo a $\mathbb {Z}$.

## Applicazioni

L'operazione di prodotto libero è molto importante in topologia, perché legata a un'operazione chiamata bouquet. Questa operazione consiste nel costruire uno spazio topologico a partire da due spazi dati $X$ e $Y$, identificando un punto di $X$ con uno di $Y$. Il nuovo spazio topologico è generalmente indicato con il simbolo

    $X\vee Y.$

Se gli spazi topologici $X$ e $Y$ sono connessi per archi e abbastanza "buoni" (cioè sono localmente contrattili) il gruppo fondamentale del bouquet è il prodotto libero dei gruppi fondamentali di $X$ e $Y$:

    $\pi (X\vee Y)=\pi (X)*\pi (Y).$

Questo fatto è conseguenza del teorema di Van Kampen. Ad esempio, il gruppo fondamentale di un bouquet di $k$ circonferenze è il gruppo libero di ordine $k$.

Il gruppo fondamentale di un bouquet di due piani proiettivi è

    $\pi (\mathbb {RP} ^{2}\vee \mathbb {RP} ^{2})=\pi (\mathbb {RP} ^{2})*\pi (\mathbb {RP} ^{2})=\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2},$

prodotto libero di due gruppi ciclici. Tale gruppo è infinito.

