Potenziale di Bessel
# Potenziale di Bessel

In matematica, il potenziale di Bessel è un potenziale (il cui nome deriva da Friedrich Wilhelm Bessel) simile al potenziale di Riesz ma con migliori proprietà di decadimento all'infinito.

Sia $s$ è un numero complesso con parte reale positiva, allora il potenziale di Bessel di ordine $s$ è l'operatore

    $(I-\Delta )^{-s/2}$

dove $\Delta$ è l'operatore di Laplace e la potenza frazionaria è definita usando la trasformata di Fourier.

Il potenziale di Yukawa è un caso particolare del potenziale di Bessel con $s=2$ nello spazio tridimensionale.

## Rappresentazione nello spazio di Fourier

Il potenziale di Bessel agisce come moltiplicazione nelle trasformate di Fourier: per ogni $\xi \in \mathbb {R} ^{d}$

    ${\mathcal {F}}((I-\Delta )^{-s/2}u)(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}u(\xi )}{(1+4\pi ^{2}\vert \xi \vert ^{2})^{s/2}}}.$

## Rappresentazioni integrali

Quando $s>0$, il potenziale Bessel su $\mathbb {R} ^{d}$ può essere rappresentato da

    $(I-\Delta )^{-s/2}u=G_{s}\ast u,$

dove il nucleo di Bessel $G_{s}$ è definito per $x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}$ attraverso la formula integrale

    $G_{s}(x)u={\frac {1}{(4\pi )^{s/2}\Gamma (s/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\pi \vert x\vert ^{2}}{\delta }}-{\frac {\delta }{4\pi }}}}{\delta ^{1+{\frac {d-s}{2}}}}}\,\mathrm {d} \delta .$

Qui $\Gamma$ indica la funzione Gamma. Un altro modo di rappresentare il nucleo di Bessel kernel per $x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}$ è

    $G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{(2\pi )^{\frac {d-1}{2}}2^{\frac {s}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\Gamma ({\frac {d-s+1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }e^{-\vert x\vert t}{\Bigt+{\frac {t^{2}}{2}}{\Big )}^{\frac {d-s-1}{2}}\,\mathrm {d} t.$

## Comportamento asintotico

Nell'origine, si ha con $\vert x\vert \to 0$,

    $G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {d-s}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}\vert x\vert ^{d-s}}}(1+o(1))\quad {\text{ se }}0<s<d,$
    $G_{d}(x)={\frac {1}{2^{d-1}\pi ^{d/2}}}\ln {\frac {1}{\vert x\vert }}(1+o(1)),\quad {\text{ se }}s=d,$
    $G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {s-d}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}}(1+o(1))\quad {\text{ se }}s>d.$

In particolare, quando $0<s<d$ il potenziale di Bessel si comporta asintoticamente come il potenziale di Riesz.

All'infinito, vale la seguente stima asintotica per $\vert x\vert \to \infty$,

    $G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{2^{\frac {d+s-1}{2}}\pi ^{\frac {d-1}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\vert x\vert ^{\frac {d+1-s}{2}}}}(1+o(1)).$
