Permutazione alternata
# Permutazione alternata

In combinatoria, una permutazione alternante o permutazione alternata o permutazione a zig-zag di lunghezza n è una permutazione $\langle c_{1},c_{2},...,c_{n}\rangle$ dell'insieme {1, 2, 3, ..., n} tale che nessun componente $c_i$ con 1<i<n ha valore compreso fra $c_{i−1}$ e $c_{i+1}$ .

Si osserva che per n=2,3,... la riflessa di una permutazione alternante è anch'essa una permutazione alternante: ad esempio sono permutazioni alternanti di {1,2,3,4,5} sia 34152 che 25143. Dato che una permutazione e la sua riflessa non possono coincidere, si deduce che il numero delle permutazioni alternanti di una data lunghezza è un numero pari. Denotiamo con $A_n$ la metà del numero delle permutazioni alternanti dell'insieme {1, ..., n}.

Si osserva anche che, sempre per n=2,3,... , ad ogni permutazione alternante $\langle c_{1},c_{2},...,c_{n}\rangle$ che inizia con una salita ($c_{1}<c_{2}$) è associata biunivocamente la permutazione alternante $\langle n+1-c_{1},n+1-c_{2},...,n+1-c_{n}\rangle$ che inizia con una discesa (ed ovviamente è diversa); quindi $A_n$ fornisca anche il numero delle permutazioni alternanti che iniziano con una salita (o con una discesa).

Si trova che la funzione generatrice esponenziale della successione di tali numeri è la funzione trigonometrica:

    $\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}{x^{n} \over n!}=\sec(x)+\tan(x)=\tan \left({x \over 2}+{\pi \over 4}\right).$

Si osserva che la serie formale di potenze della secante presenta solo potenze pari della variabile x, mentre la serie della tangente presenta solo potenze dispari. Quindi i numeri con indici pari $A_{2m}$ sono forniti dalla serie della secante e vengono chiamati numeri secanti o numeri zig, mentre quelli con indice dispari sono forniti dalla serie della tangente e sono detti numeri tangenti o numeri zag.

I numeri $A_{2m}$ sono strettamente connessi con i numeri di Eulero: $A_{2m}\,=\,|E_{4m}|$

