Prodotto diretto
# Prodotto diretto

In algebra, il prodotto diretto esterno di due gruppi è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano di questi e definendo l'operazione termine a termine.

La costruzione si estende facilmente in alcuni casi in cui il gruppo ha anche delle strutture aggiuntive: è possibile quindi effettuare il prodotto diretto di spazi vettoriali e anelli.

## Prodotto di due gruppi

### Definizione

Il prodotto diretto di due gruppi $(G_1,$ $*_1),$ $(G_2,$ $*_2)$ è il gruppo $(G_1×$ $G_2,$ $*_×)$ che si ottiene munendo il prodotto cartesiano $G_1×G_2$ dell'operazione $*_×$ definita da

    $(a_{1},a_{2})*_{\times }(b_{1},b_{2}):=(a_{1}*_{1}b_{1},a_{2}*_{2}b_{2}),$

con $a_{1}$ e $b_{1}$ appartenenti a $G_{1}$ e $a_{2}$ e $b_{2}$ appartenenti a $G_{2}$.

Generalmente è possibile, per semplicità di lettura, omettere i vari simboli di prodotto, sottintendendo che due elementi di un gruppo vengono moltiplicati col prodotto definito in quel gruppo, in questo modo la formula definitoria assume la forma più leggibile

    $(a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2}):=(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2}).$

Data la definizione, occorre dimostrare la sua consistenza, cioè che il prodotto definito goda effettivamente delle proprietà gruppali.

* L'associatività discende direttamente dall'analoga proprietà dei due gruppi $G_1$ e $G_2.$
* L'elemento neutro è dato da $(e_1,$ $e_2)$ dove $e_1$ ed $e_2$ sono gli elementi unità di $G_1$ e $G_2$ rispettivamente. Infatti:

    $(e_{1},e_{2})(a_{1},a_{2})=(e_{1}a_{1},e_{2}a_{2})=(a_{1},a_{2}).$
* L'elemento inverso di $(a_1,$ $a_2)$ è infatti:

    $(a_{1},a_{2})^{-1}:=(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1}),$
    $(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1})(a_{1},a_{2})=(a_{1}^{-1}a_{1},a_{2}^{-1}a_{2})=(e_{1},e_{2}).$

Se $G_1$ e $G_2$ sono scritti in notazione additiva, $(G_1×$ $G_2,$ $+_×)$ è anche detto somma diretta dei due gruppi.

### Proprietà

* I due gruppi fattori $G_1$ e $G_2$ possono essere identificati canonicamente con due sottogruppi normali rispettivamente. Infatti le due applicazioni sono isomorfismi di gruppi.

    $H_{1}=\{(a_{1},e_{2})\ |\ a_{1}\in G_{1}\}$
    $H_{2}=\{(e_{1},a_{2})\ |\ a_{2}\in G_{2}\}$
    $f_{1}:G_{1}\to H_{1}\quad f_{1}(a_{1})=(a_{1},e_{2})$
    $f_{2}:G_{2}\to H_{2}\quad f_{2}(a_{2})=(e_{1},a_{2})$
* Il prodotto di due gruppi finiti aventi n e m elementi è un gruppo con nm elementi.
* Il prodotto di due gruppi abeliani è abeliano.
* Il prodotto di due gruppi ciclici con p e q elementi è ciclico se e solo se p e q sono coprimi.

Un'estensione del concetto di prodotto diretto è il prodotto semidiretto tra gruppi.

### Esempio

Il prodotto diretto di n copie dello stesso gruppo G viene indicato con $G^n.$ Ad esempio, otteniamo i gruppi $Z^n$ e $R^n$ a partire dai gruppi Z e R rispettivamente dei numeri interi e reali.

## Strutture aggiuntive

### Anelli

Se A e B sono due anelli, il loro prodotto diretto A × B ha una naturale struttura di anello, ottenuta definendo sia la somma che il prodotto termine a termine come sopra. Nel prodotto diretto ci sono divisori dello zero, infatti $(a,0_{B})\cdot (0_{A},b)=0_{A\times B}$

### Spazi vettoriali

Il prodotto diretto V × W di due spazi vettoriali ha una naturale struttura di spazio vettoriale, ottenuta definendo somma e prodotto per scalare termine a termine. Quindi:

    $\lambda (v,w)=(\lambda v,\lambda w)$

Se due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V sono in somma diretta, allora il sottospazio U + W che generano è isomorfo al loro prodotto diretto U × W.

L'esempio più importante di prodotto diretto di spazi vettoriali è $K^n,$ definito come il prodotto diretto di n copie del campo K.

### Campi

Il prodotto diretto di due campi è certamente un anello, ma non è mai un campo (a meno che uno dei due campi non sia banale). Infatti l'elemento (a, 0) non ha mai un inverso se a è diverso da zero.

