Decomposizione di Schur
# Decomposizione di Schur

In algebra lineare, la decomposizione di Schur o triangolazione di Schur è un importante procedimento di fattorizzazione di una matrice. Esso prende il nome dal matematico tedesco Issai Schur.

## Enunciato

Sia A una matrice quadrata di numeri complessi; questa A può essere decomposta come

    $\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {U} \mathbf {Q} ^{h}$

dove Q è una matrice unitaria, $Q^h$ denota la trasposta coniugata di Q e U denota una matrice triangolare superiore le cui entrate diagonali sono esattamente gli autovalori di A. La decomposizione di Schur non è unica.

## Variante reale

Nel caso in cui A sia a valori reali posso ottenere una decomposizione alternativa, di sole matrici reali, del tipo

    $\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {U'} \mathbf {Q} ^{t}$

Q è ancora una volta unitaria, $Q^t$ la trasposta di Q e U' una matrice triangolare a blocchi sulla diagonale. I blocchi di dimensione 1 sono costituiti dagli autovalori reali, i blocchi di dimensione 2 dalla coppia di autovalori complessi $z$ e ${\bar {z}}$ posti nella forma seguente:

    ${\begin{bmatrix}Re(z)&Im(z)\\-Im(z)&Re(z)\\\end{bmatrix}}$
