Punto di accumulazione
# Punto di accumulazione

In matematica il punto di accumulazione è uno dei concetti principali dell'analisi matematica e della topologia.

## Definizione

Dato l'insieme $A\subset \mathbb {R}$ e $x_{0}\in \mathbb {R}$ (non interessa che $x_{0}$ appartenga ad $A$ o meno), si dice che $x_{0}$ è punto di accumulazione per l'insieme $A$ se in ogni intorno $I(x_{0})$ di $x_{0}$ esiste almeno un elemento $x$ diverso da $x_{0}$ e appartenente ad $A$. In formule:

    $\forall I(x_{0})\,\exists x\in A:x\in I(x_{0})\setminus \{x_{0}\}.$

Intuitivamente questo significa che arbitrariamente vicino a $x_{0}$ ci sono sempre punti di $A$ (diversi da $x_{0}$).

La definizione di punto di accumulazione è la negazione di quella di punto isolato.

## Generalizzazioni

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto $x_{0}$ è di accumulazione per un insieme $S$ se l'insieme $S$ contiene punti "arbitrariamente vicini" ad $x_{0}$. La nozione di "arbitrariamente vicino" è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

### Spazi topologici

In topologia un punto $x_{0}$ appartenente ad uno spazio topologico $(X,T)$ è un punto di accumulazione per un sottoinsieme $S$ di $X$ se qualsiasi aperto $A$ contenente $x_{0}$ interseca $S$ in almeno un punto diverso da $x_{0}$. In simboli:

    $\forall A\in T{\text{ tale che }}x_{0}\in A:\ (A\setminus \lbrace x_{0}\rbrace )\cap S\not =\varnothing .$

### Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

    $\forall r>0:(D(x_{0},r)\setminus \lbrace x_{0}\rbrace )\cap S\not =\varnothing ,$

dove $D(x_{0},r)$ è la palla di raggio $r$ e centro $x_{0}$. In altre parole, ogni palla centrata in $x_{0}$ interseca $S$ in qualche punto diverso da $x_{0}$.

Nel caso di spazi metrici, se $x_{0}$ è punto di accumulazione per $S$, allora è possibile trovare punti di $S$, distinti da $x_{0}$ a distanza arbitrariamente piccola da $x_{0}$. Dunque in ogni intorno di $x_{0}$ cadono infiniti punti di $S$.

## Nozioni correlate

L'insieme dei punti di accumulazione di $S$ è detto insieme derivato di $S$ e si indica di solito con $S'$.

