Derivata debole
# Derivata debole

In matematica, la derivata debole è una generalizzazione del concetto di derivata di una funzione a funzioni non necessariamente differenziabili, ma solamente integrabili, ovvero funzioni che appartengono allo spazio $L^1.$

La definizione di derivata debole origina le soluzioni deboli in spazi di Sobolev di problemi differenziali alle derivate parziali, frequenti in diversi settori dell'analisi, in particolare dell'analisi funzionale.

## Definizione

Sia $u$ una funzione in $L^{1}([a,b])$. Si dice che $v\in L^{1}([a,b])$ è la derivata debole di $u$ se, per ogni $\varphi \in C^{\infty }([a,b])$ tale che $\varphi (a)=\varphi (b)=0$, vale che:

    $\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt$

Questa definizione è motivata dalla tecnica di integrazione per parti.

Lo stesso concetto è generalizzabile per spazi a $n$ dimensioni: se $u$ appartiene allo spazio delle funzioni localmente integrabili in $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ (cioè fissato un punto $x$, $u$ è integrabile in un intorno $U\subset \Omega$ di $x$), ovvero se $u\in L_{loc}^{1}(\Omega )$, allora, dato un multi-indice $\alpha$, $v\in L_{loc}^{1}(\Omega )$ è detta $\alpha$-esima derivata debole di $u$ se per ogni $\varphi \in C_{C}^{\infty }(U)$ (spazio delle funzioni infinitamente differenziabili e a supporto compatto), vale che:

    $\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi$

Se $u$ ammette una derivata debole, essa è solitamente indicata come:

    $\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}$

Il concetto di derivata debole ha motivato l'introduzione, nel XX secolo, di nuovi spazi di funzioni: gli spazi di Sobolev.

## Esempi

* La funzione valore assoluto $u(t)=|t|$, non differenziabile per $t=0$, ammette come derivata debole $v$ la funzione segno:

    $v(t)={\begin{cases}1&{\mbox{se }}t>0\\0&{\mbox{se }}t=0\\-1&{\mbox{se }}t<0\end{cases}}$
* La funzione caratteristica dei numeri razionali o funzione di Dirichlet $1_{\mathbb {Q} }$, che non è differenziabile in nessun punto del dominio, ammette derivata debole nulla: infatti, poiché la misura di Lebesgue di $\mathbb {Q}$ è 0, per ogni $\varphi$

    $\int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)dt=0$

## Proprietà

* Se due funzioni sono la derivata debole della stessa funzione, allora differiscono su un insieme di misura nulla. Se si considerano classi di equivalenza di funzioni, la derivata debole diventa unica.
* Se una funzione è derivabile in senso tradizionale, allora la derivata e la derivata debole coincidono (sempre a meno di insiemi di misura nulla). Per questo la derivata debole è considerata una generalizzazione della derivata tradizionale. Inoltre, le regole classiche di derivazione di somma e prodotto si estendono immutate alle derivate deboli.
