Prodotto amalgamato
# Prodotto amalgamato

In algebra il prodotto amalgamato di due gruppi $G$ e $H$ è un gruppo costruito a partire da questi "identificando" due particolari sottogruppi.

Il prodotto amalgamato è strettamente connesso con un'operazione analoga usata frequentemente in topologia. L'operazione consiste nella costruzione di uno spazio topologico a partire da due spazi dati, ottenuta identificando due particolari sottospazi.

La connessione fra le due operazioni è fornita dal teorema di Van Kampen.

## Definizione

Siano $G$ e $H$ due gruppi. Sia $F$ un altro gruppo e

    $\varphi :F\rightarrow G,\quad \psi :F\rightarrow H.$

due omomorfismi.

Il prodotto amalgamato di $G$ e $H$ (rispetto a $\varphi$ e $\psi$) è il gruppo

    $(G*H)/N$

ottenuto come gruppo quoziente del prodotto libero $G*H$ per il sottogruppo normale $N$ generato da tutte le parole (di due lettere) del tipo

    $\varphi (f)\psi (f)^{-1}$

al variare di $f$ in $F$.

