Metodo della matrice sparsa
# Metodo della matrice sparsa

Il metodo della matrice sparsa o metodo completo è un metodo di analisi per la soluzione dei circuiti, e consiste nella scrittura esplicita delle leggi di Kirchoff e delle relazioni costitutive necessarie e sufficienti a descrivere il circuito.

## Il metodo

Si consideri un circuito il cui grafo sia composto da n nodi e l lati e se ne descriva il funzionamento considerando gli n-1 potenziali di nodo indipendenti (assumendo uguale a 0 il potenziale di un nodo scelto come riferimento, comunemente chiamato massa), le l tensioni di lato e le l correnti di lato. Si hanno quindi 2l + n - 1 variabili incognite.

Per trovare il valore di queste incognite si dovranno scrivere altrettante equazioni indipendenti.

Le leggi di Kirchhoff delle correnti (n-1 equazioni), quelle delle tensioni (l-n+1 equazioni) e le relazioni costitutive dei componenti (l equazioni) permettono, se indipendenti, di risolvere il problema. L'indipendenza delle equazioni, nel caso lineare, è assicurata se non sono presenti maglie di generatori indipendenti di tensione o insiemi di taglio di generatori indipendenti di corrente.

Il metodo può essere definito in modo formale se si introduce la matrice di connessione A del circuito, i vettori v delle tensioni di lato, i delle correnti di lato e e dei potenziali di nodo, e si scrivono le relazioni costitutive nella forma matriciale $Mv+Ni=U_{s}$. Assemblando le 2l + n - 1 equazioni in un'unica equazione in forma matriciale, si ha:

${\begin{bmatrix}A&0&0\\0&1_{l}&-A^{T}\\N&M&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i\\v\\e\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\U_{s}\end{bmatrix}}$

La matrice a blocchi così ottenuta ha numerosi elementi nulli ed è quindi una matrice sparsa (i metodi numerici per la soluzione di equazioni formate da matrici sparse sono generalmente molto efficienti).

