Determinante di Fredholm
# Determinante di Fredholm

In matematica, il determinante di Fredholm è una funzione a valori complessi che generalizza la nozione di determinante di una matrice. Definito per operatori limitati su uno spazio di Hilbert, deve il nome a Erik Ivar Fredholm.

## Definizione

Sia $H$ uno spazio di Hilbert e $G$ l'insieme degli operatori limitati invertibili definiti su $H$ che hanno la forma $I+T$, dove $I$ è l'identità e $T$ un operatore di classe traccia (dunque un operatore compatto). L'insieme $G$ è un gruppo in quanto:

    $(I+T)^{-1}-I=-T(I+T)^{-1}$

e si può definire in modo naturale una metrica data da:

    $d(X,Y)=\|X-Y\|_{1}$

dove $\|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|$. Se $H$ ha come prodotto interno $(\cdot ,\cdot )$, allora la potenza esterna k-esima $\Lambda ^{k}H$ è a sua volta uno spazio di Hilbert con prodotto interno:

    $(v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots \wedge w_{k})={\rm {det}}\,(v_{i},w_{j})$

In particolare:

    $e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})$

fornisce una base ortonormale di $\Lambda ^{k}H$ se $(e_{i})$ è una base ortonormale di $H$.

Se $A$ è un operatore limitato su $H$, allora $A$ definisce funzionalmente un operatore limitato $\Lambda ^{k}(A)$ su $\Lambda ^{k}H$:

    $\Lambda ^{k}(A)v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=Av_{1}\wedge Av_{2}\wedge \cdots \wedge Av_{k}$

Se $A$ è di classe traccia, allora lo è anche $\Lambda ^{k}(A)$ con:

    $\|\Lambda ^{k}(A)\|_{1}\leq \|A\|_{1}^{k}/k!$

In questo modo ha senso la definizione di determinante di Fredholm:

    ${\rm {det}}\,(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)$

## Proprietà

* Se $A$ è di classe traccia:

       ${\rm {det}}\,(I+zA)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)$
    definisce una funzione intera tale che:
       $|{\rm {det}}\,(I+zA)|\leq \exp(|z|\cdot \|A\|_{1})$
* La funzione $\det(I+A)$ è continua sullo spazio degli operatori di classe traccia, con:

       $|{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\|A\|_{1}+\|B\|_{1}+1)$
    Tale disuguaglianza può essere migliorata scrivendola nella forma:
       $|{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\max(\|A\|_{1},\|B\|_{1})+1)$
* Se $A$ e $B$ sono di classe traccia:

       ${\rm {det}}(I+A)\cdot {\rm {det}}(I+B)={\rm {det}}(I+A)(I+B)$
* La funzione determinante definisce un omomorfismo tra $G$ e il gruppo moltiplicativo $\mathbb {C} ^{*}$ dei numeri complessi non nulli.
* Se $T\in G$ e $X$ è invertibile:

       ${\rm {det}}\,XTX^{-1}={\rm {det}}\,T$
* Se $A$ è di classe traccia:

       ${\rm {det}}\,e^{A}=\exp \,{\rm {Tr}}(A)$
       $\log {\rm {det}}\,(I+zA)={\rm {Tr}}(\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {{\rm {Tr}}A^{k}}{k}}z^{k}$

## Commutatori

Una funzione $F(t):(a,b)\to G$ è differenziabile se $F(t)-I$ è differenziabile come funzione che mappa nello spazio vettoriale degli operatori di classe traccia, ovvero se esiste il limite:

    ${\dot {F}}(t)=\lim _{h\rightarrow 0}{F(t+h)-F(t) \over h}$

nella norma $\|\cdot \|_{1}$. Se $g(t)$ è una funzione differenziabile che mappa nello spazio degli operatori di classe traccia, allora lo è anche $\exp(g(t))$ e si ha:

    $F^{-1}{\dot {F}}={{\rm {id}}-\exp -{\rm {ad}}g(t) \over {\rm {ad}}g(t)}\cdot {\dot {g}}(t)$

dove:

    ${\rm {ad}}(X)\cdot Y=XY-YX$

Israel Gohberg e Mark Krein provarono che se $F$ è differenziabile a valori in $G$ allora $f=\det(F)$ è una funzione differenziabile a valori in $\mathbb {C} ^{*}$ con:

    $f^{-1}{\dot {f}}={\rm {Tr}}F^{-1}{\dot {F}}$

Questo risultato fu utilizzato da Joel Pincus, William Helton e Roger Howe per mostrare che se $A$ e $B$ sono operatori limitati con commutatore $AB-BA$ di classe traccia allora:

    ${\rm {det}}\,e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp {\rm {Tr}}(AB-BA)$
