Numero multiperfetto
# Numero multiperfetto

In matematica, il concetto di numero multiperfetto è la generalizzazione di quello di numero perfetto.

Dato un numero naturale $k,$ un numero $n$ è chiamato $k$-perfetto se e solo se la somma di tutti i divisori di $n$ (la funzione divisore $\sigma (n)$) è uguale a $kn;$ un numero è dunque perfetto se e solo se è 2-perfetto. Un numero che è $k$-perfetto per un qualche $k$ è chiamato genericamente numero multiperfetto. A luglio 2004 è noto che esistono numeri $k$-perfetti per ogni valore di $k$ fino a 11.

Può essere dimostrato che:

* Per un dato numero primo $p,$ se $n$ è $p$-perfetto e $p$ non divide $n,$ allora $pn$ è $(p+1)$-perfetto. Questo implica che se un intero $n$ è un numero 3-perfetto divisibile per 2 ma non per 4, allora $n/2$ è un numero perfetto dispari. Siccome si ritiene assai improbabile che esistano numeri perfetti dispari, risulta verosimile che i numeri 3-perfetti siano tutti multipli di 4.
* Se $3n$ è $4k$-perfetto e 3 non divide $n,$ allora $n$ è $3k$-perfetto.

## I più piccoli numeri k-perfetti noti

La seguente tabella mostra i più piccoli numeri $k$-perfetti per $k\leq 7$:

| k | Numero k-perfetto più piccolo | Scoperto da |
| - | - | - |
| 1 | 1 | sconosciuto |
| 2 | 6 | sconosciuto |
| 3 | 120 | sconosciuto |
| 4 | 30.240 | René Descartes, 1638 circa |
| 5 | 14.182.439.040 | René Descartes, 1638 circa |
| 6 | 154.345.556.085.770.649.600 | R.D. Carmichael, 1907 |
| 7 | 141.310.897.947.438.348.259.849.402.738.485.523.264.343.544.818.565.120.000 | T.E. Mason, 1911 |
