Teorema di sviluppabilità in serie bilatera
# Teorema di sviluppabilità in serie bilatera

Il teorema di sviluppabilità in serie bilatera, anche conosciuto come teorema di Laurent, permette di esplicitare qualsiasi funzione complessa come una serie bilatera.

## Teorema

Ip: Data una funzione $f:A\rightarrow B$ olomorfa in $A=\{z\in \mathbb {C} :R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}\}$, dove $z_{0}$ è una singolarità isolata.

Th: Allora $\forall z\in A,f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {c_{-n}}{(z-z_{0})^{n}}}$

### Dimostrazione

Avendo a disposizione una corona circolare, ne costruisco un'altra all'interno, scegliendo un qualsiasi $z$ all'interno di essa. Quindi la nuova corona circolare sarà $R_{1}<r_{1}<|z-z_{0}|<r_{2}<R_{2}$. Prendo i bordi corona circolare e li chiamo $\gamma _{1}=\partial B_{r_{1}}$ e $\gamma _{2}=\partial B_{r_{2}}$, dove la $B$ è intesa come la corona circolare di raggio $r_{1},r_{2}$. Dal Teorema integrale di Cauchy, so che: $f(z)={\frac {1}{2\,\pi \,i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(s)}{s-z}}\,ds$ con $z$ la singolarità isolata.

$\Gamma$ è la curva composta da 4 pezzi: i due bordi della corona circolare più due trattini per chiudere la curva. Percorrendo i due trattini prima in un verso e poi nell'altro, si annullano a vicenda. Quindi il mio integrale diventa:

$f(z)={\frac {1}{2\,\pi \,i}}\left[\overbrace {\int _{\gamma _{2}}{\frac {f(s)}{s-z}}\,ds} ^{I}-\overbrace {\int _{\gamma _{1}}{\frac {f(s)}{s-z}}\,ds} ^{II}\right]$

Il secondo integrale è negativo, poiché si percorre la curva in senso orario.

Al primo integrale applichiamo il seguente artifizio a $s-z$

$s-z=s-z_{0}+z_{0}-z=(s-z_{0})\left[1-{\frac {z-z_{0}}{s-z_{0}}}\right]$ Quindi:

${\frac {1}{2\,\pi \,i}}\int _{\gamma _{2}}{\frac {f(s)}{(s-z_{0})\left[1-{\frac {z-z_{0}}{s-z_{0}}}\right]}}\,ds$.

Racchiusa nella parentesi quadra è presente la serie geometrica con condizione $|z-z_{0}|<|s-z_{0}|$.

${\frac {1}{2\,\pi \,i}}\int _{\gamma _{2}}{\frac {f(s)}{s-z_{0}}}\,\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\frac {(z-z_{0})^{n}}{(s-z_{0})^{n}}}\,ds$

Porto fuori il segno di sommatoria essendo essa convergente per costruzione; quindi

$\sum _{n=0}^{+\infty }\,\underbrace {\left[{\frac {1}{2\,\pi \,i}}\,\int _{\gamma _{2}}{\frac {f(s)}{(s-z_{0})^{n+1}}}\,ds\right]} _{c_{n}}\,(z-z_{0})^{n}$

Al secondo integrale applichiamo un artifizio simile, sfruttando il meno davanti all'integrale.

$z-s=z-z_{0}+z_{0}-s=(z-z_{0})\left[1-{\frac {s-z_{0}}{z-z_{0}}}\right]$ Quindi:

${\frac {1}{2\,\pi \,i}}\int _{\gamma _{1}}{\frac {f(s)}{(z-z_{0})\left[1-{\frac {s-z_{0}}{z-z_{0}}}\right]}}\,ds$.

Racchiusa nella parentisi quadra è presente la serie geometrica con condizione $|s-z_{0}|<|z-z_{0}|$.

${\frac {1}{2\,\pi \,i}}\int _{\gamma _{1}}{\frac {f(s)}{z-z_{0}}}\,\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\frac {(s-z_{0})^{n}}{(z-z_{0})^{n}}}\,ds$

Porto fuori il segno di sommatoria essendo essa convergente per costruzione; quindi

$\sum _{n=0}^{+\infty }\,\left[{\frac {1}{2\,\pi \,i}}\,\int _{\gamma _{1}}{f(s)}{(s-z_{0})^{n}}\,ds\right]\,{\frac {1}{(z-z_{0})^{n+1}}}$

Shiftando i parametri ottengo

$\sum _{n=1}^{+\infty }\,\underbrace {\left[{\frac {1}{2\,\pi \,i}}\,\int _{\gamma _{1}}{f(s)}{(s-z_{0})^{n-1}}\,ds\right]} _{c_{-n}}\,{\frac {1}{(z-z_{0})^{n}}}$

## Conclusioni

I valori di $c_{n}$ e $c_{-n}$ sono numeri, poiché sono le soluzioni degli integrali. Da notare come $c_{-1}$ è il valore del residuo di $f$ in $z_{0}$, cioè $\operatorname {Res} (f,z_{0})$.

