Arbelo
# Arbelo

In geometria l'arbelo è una figura geometrica piana delimitata da tre semicirconferenze. Il termine arbelo deriva dal greco e indica il "trincetto da calzolaio". Sembrerebbe essere la prima figura che prende il nome da oggetti di uso quotidiano, in particolare da attrezzi artigianali o contadini. Probabilmente un'arma persiana aveva la stessa forma. L'arbelo è stata oggetto di studio da parte di Archimede ed è la base per la costruzione dei cerchi gemelli di Archimede.

La costruzione dell'arbelo è la seguente: sul diametro $AB$ di un semicerchio si fissa un punto qualsiasi $O,$ e si descrivono le due semicirconferenze interne al semicerchio dato e aventi come diametro rispettivamente $AO$ e $OB.$ La figura che ne risulta, limitata dalle tre semicirconferenze, è detta arbelo.

Posto ${\overline {OA}}=a$ e ${\overline {OB}}=b$ l'area dell'arbelo, che indichiamo con $S,$ è:

    $S={\frac {\pi }{2}}\left[{\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}\right]={\frac {\pi }{4}}ab.$

Indicato con $h$ la lunghezza del segmento $OC$ innalzato perpendicolarmente ad $AB$ fino ad incontrare la semicirconferenza maggiore in $C,$ per il secondo teorema di Euclide, si ha che $h^{2}=ab,$ pertanto il valore della superficie può essere espresso anche come

    $S=\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\pi .$

Si può pertanto concludere che: l'area dell'arbelo è uguale a quella del cerchio di diametro $OC.$

Se indichiamo con $P$ il perimetro dell'arbelo si ha:

    $P={\frac {\pi }{2}}\left({a+b+a+b}\right)=\left({a+b}\right)\pi .$

Quindi: il perimetro dell'arbelo è uguale alla lunghezza della circonferenza di diametro $AB.$

