Il più grande numero primo conosciuto
# Il più grande numero primo conosciuto

Il più grande numero primo conosciuto è, a marzo 2022, $2^{82589933}$ − 1, un numero che, se scritto in base 10, è composto da 24 862 048 cifre. Tale numero è stato scoperto il 7 dicembre 2018 da Patrick Laroche nell'ambito del progetto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).

Benché già nel 300 a.C. Euclide abbia dimostrato l'infinità dei numeri primi, ossia di quei numeri naturali divisibili solo per uno e per sé stessi, e che quindi non esista il più grande dei numeri primi, molti matematici e amanti della matematica sono comunque alla continua ricerca di numeri primi sempre più grandi. I numeri primi hanno un ruolo essenziale nella crittografia, ma numeri come quelli scoperti negli ultimi anni sono troppo grandi per essere usati a questo scopo. A spingere matematici professionisti e dilettanti alla loro caccia è quindi piuttosto una sfida intellettuale anche perché non è stato individuato alcuno schema nella loro distribuzione e quindi non esiste alcun algoritmo che generi tutti e soli i numeri primi.

Dopo il 1992 tutti i numeri primi più grandi conosciuti sono stati numeri primi di Mersenne, ossia numeri primi inferiori di uno rispetto a una potenza di due. Al dicembre 2019, gli otto più grandi numeri primi conosciuti sono numeri primi di Mersenne e gli ultimi 17 numeri primi ad aver detenuto il record di numero primo più grande conosciuto sono stati numeri primi di Mersenne, l'ultimo numero primo non di Mersenne ad aver detenuto il suddetto record è stato 391 581 × $2^{216193}$ − 1, scoperto nel 1989.

Per quanto riguarda l'identificazione di tali numeri, l'implementazione della trasformata di Fourier veloce del test di primalità di Lucas-Lehmer per i numeri primi di Mersenne si è rivelata un metodo molto più veloce rispetto agli altri test di primalità conosciuti per gli altri tipi di numeri; proprio tale relativa rapidità spiega la grande quantità di numeri di Mersenne tra i più grandi numeri primi conosciuti.

## Record attuale

A marzo 2022 il primato di numero primo più grande conosciuto è detenuto da $2^{82589933}$ − 1, un numero di 24 862 048 cifre scoperto il 7 dicembre 2018 nell'ambito del progetto di calcolo distribuito GIMPS, che ha sorpassato di circa 1,6 milioni di cifre il precedente numero detentore del titolo. Si tratta del 51º numero primo di Mersenne e il suo valore è:

«1488944457420413255478064584723979166030262739927953241852712 89425213239361064475310309971132180337174752834401423587560 ...

(24 861 808 cifre omesse)

... 062107557947958297531595208807192693676521782184472526640076 912114355308311969487633766457823695074037951210325217902591»

## Premi

Il Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) offre un premio di 3 000 dollari per tutti i partecipanti al progetto il cui computer, dopo aver scaricato il loro software gratuito, scopre un nuovo numero primo di Mersenne avente meno di 100 milioni di cifre.

Altri premi riguardanti numeri primi da record sono offerti dalla Electronic Frontier Foundation, e lo stesso GIMPS sta coordinando una ricerca ad ampio raggio avente lo scopo di individuare numeri primi formati almeno da 100 milioni di cifre; a tal proposito ha affermato che dividerà con l'utilizzatore del software che risultasse vincitore i 150 000 dollari messi in palio per il raggiungimento di tale traguardo dalla Electronic Frontier Foundation.

Il numero primo più grande mai conosciuto ha passato il milione di cifre nel 1999, con lo scopritore che si è aggiudicato un premio da 50 000 dollari. Nel 2008, invece, è stato oltrepassato il muro delle 10 milioni di cifre e lo scopritore si è aggiudicato un premio da 100 000 dollari più un Cooperative Computing Award, sempre da parte della Electronic Frontier Foundation. In entrambi i casi il premio è stato vinto da un partecipante al progetto GIMPS.

## Storia

La seguente tabella mostra la progressione dei più grandi numeri primi conosciuti, riportati in ordine crescente. Qui $M_n$ = $2^n$ − 1 rappresenta il numero di Mersenne avente esponente n. Il numero ad aver detenuto il record per più tempo è stato $M_{19}$ = 524 287, che è stato il più grande numero primo conosciuto per ben 144 anni. I dati sono mostrati a partire dal 1456.

| Numero | Cifre | Anno della scoperta | Scopritore | Espansione decimale (solo per numeri < $10^{50})$ |
| - | - | - | - | - |
| $M_{13}$ | 4 | 1456 | Anonimo | 8 191 |
| $M_{17}$ | 6 | 1588 | Pietro Antonio Cataldi | 131 071 |
| $M_{19}$ | 6 | 1588 | Pietro Antonio Cataldi | 524 287 |
| ${\tfrac {2^{32}+1}{641}}$ | 7 | 1732 | Eulero | 6 700 417 |
| $M_{31}$ | 10 | 1772 | Eulero | 2 147 483 647 |
| ${\tfrac {2^{64}+1}{274177}}$ | 14 | 1855 | Thomas Clausen | 67 280 421 310 721 |
| $M_{127}$ | 39 | 1876 | Édouard Lucas | 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 |
| ${\tfrac {2^{148}+1}{17}}$ | 44 | 1951 | Aimé Ferrier con una calcolatrice meccanica; | 20 988 936 657 440586 486 151 264 256610 222 593 863 921 |
| $180×(M_{127})^2+1$ | 79 | 1951 | Computer EDSAC dell'Università di Cambridge | |
| $M_{521}$ | 157 | 1952 | | |
| $M_{607}$ | 183 | 1952 | | |
| $M_{1279}$ | 386 | 1952 | | |
| $M_{2203}$ | 664 | 1952 | | |
| $M_{2281}$ | 687 | 1952 | | |
| $M_{3217}$ | 969 | 1957 | | |
| $M_{4423}$ | 1 332 | 1961 | | |
| $M_{9689}$ | 2 917 | 1963 | | |
| $M_{9941}$ | 2 993 | 1963 | | |
| $M_{11213}$ | 3 376 | 1963 | | |
| $M_{19937}$ | 6 002 | 1971 | | |
| $M_{21701}$ | 6 533 | 1978 | | |
| $M_{23209}$ | 6 987 | 1979 | | |
| $M_{44497}$ | 13 395 | 1979 | | |
| $M_{86243}$ | 25 962 | 1982 | | |
| $M_{132049}$ | 39 751 | 1983 | | |
| $M_{216091}$ | 65 050 | 1985 | | |
| 391 $581×2^{216193}−1$ | 65 087 | 1989 | | |
| $M_{756839}$ | 227 832 | 1992 | | |
| $M_{859433}$ | 258 716 | 1994 | | |
| $M_{1257787}$ | 378 632 | 1996 | | |
| $M_{1398269}$ | 420 921 | 1996 | GIMPS, Joel Armengaud | |
| $M_{2976221}$ | 895 932 | 1997 | GIMPS, Gordon Spence | |
| $M_{3021377}$ | 909 526 | 1998 | GIMPS, Roland Clarkson | |
| $M_{6972593}$ | 2 098 960 | 1999 | GIMPS, Nayan Hajratwala | |
| $M_{13466917}$ | 4 053 946 | 2001 | GIMPS, Michael Cameron | |
| $M_{20996011}$ | 6 320 430 | 2003 | GIMPS, Michael Shafer | |
| $M_{24036583}$ | 7 235 733 | 2004 | GIMPS, Josh Findley | |
| $M_{25964951}$ | 7 816 230 | 2005 | GIMPS, Martin Nowak | |
| $M_{30402457}$ | 9 152 052 | 2005 | GIMPS, Curtis Cooper e Steven Boone | |
| $M_{32582657}$ | 9 808 358 | 2006 | GIMPS, Curtis Cooper e Steven Boone | |
| $M_{43112609}$ | 12 978 189 | 2008 | GIMPS, Edson Smith | |
| $M_{57885161}$ | 17 425 170 | 2013 | GIMPS, Curtis Cooper | |
| $M_{74207281}$ | 22 338 618 | 2016 | GIMPS, Curtis Cooper | |
| $M_{77232917}$ | 23 249 425 | 2017 | GIMPS, Jonathan Pace | |
| $M_{82589933}$ | 24 862 048 | 2018 | GIMPS, Patrick Laroche | |

Gli ultimi 15 numeri ad aver detenuto il record sono stati trovati grazie al software elaborato nell'ambito del progetto GIMPS, utilizzando ordinari computer di partecipanti al progetto sparsi nel mondo.

## I venti più grandi numeri primi conosciuti

Chris K. Caldwell cura e mantiene aggiornata una lista dei 5 000 più grandi numeri primi conosciuti, di cui vengono qui di seguito riportati i primi venti.

| Rank | Numero | Scoperta | Cifre |
| - | - | - | - |
| 1 | $2^{82589933}$ − 1 | 7 dicembre 2018 | 24 862 048 |
| 2 | $2^{77232917}$ − 1 | 26 dicembre 2017 | 23 249 425 |
| 3 | $2^{74207281}$ − 1 | 7 gennaio 2016 | 22 338 618 |
| 4 | $2^{57885161}$ − 1 | 25 gennaio 2013 | 17 425 170 |
| 5 | $2^{43112609}$ − 1 | 23 agosto 2008 | 12 978 189 |
| 6 | $2^{42643801}$ − 1 | 4 giugno 2009 | 12 837 064 |
| 7 | $2^{37156667}$ − 1 | 6 settembre 2008 | 11 185 272 |
| 8 | $2^{32582657}$ − 1 | 4 settembre 2006 | 9 808 358 |
| 9 | 10 223 × $2^{31172165}$ + 1 | 31 ottobre 2016 | 9 383 761 |
| 10 | $2^{30402457}$ − 1 | 15 dicembre 2005 | 9 152 052 |
| 11 | $2^{25964951}$ − 1 | 18 febbraio 2005 | 7 816 230 |
| 12 | $2^{24036583}$ − 1 | 15 maggio 2004 | 7 235 733 |
| 13 | $2^{20996011}$ − 1 | 17 novembre 2003 | 6 320 430 |
| 14 | 1 059 $094^{1048576}$ + 1 | 31 ottobre 2018 | 6 317 602 |
| 15 | 919 $444^{1048576}$ + 1 | 29 agosto 2017 | 6 253 210 |
| 16 | 168 451 × $2^{19375200}$ + 1 | 17 settembre 2017 | 5 832 522 |
| 17 | 123 $447^{1048576}$ − 123 $447^{524288}$ + 1 | febbraio 2017 | 5 338 805 |
| 18 | 7 × $6^{6772401}$ + 1 | settembre 2019 | 5 269 954 |
| 19 | 8 508 301 × $2^{17016602}$ − 1 | 21 marzo 2018 | 5 122 515 |
| 20 | 2 740 879 × $2^{13704395}$ − 1 | ottobre 2019 | 4 125 441 |
