Spazio di Schwartz
# Spazio di Schwartz

In matematica, lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida è lo spazio funzionale delle funzioni lisce le cui derivate (e le funzioni stesse) decrescono più velocemente di un qualsiasi potenza di 1/x. Prende il nome del matematico Laurent Schwartz.

Indicato con ${\mathcal {S}}$, è caratterizzato dall'importante fatto che su di esso la trasformata di Fourier è un automorfismo e grazie a questa proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier sugli elementi nello spazio duale di ${\mathcal {S}}$, che è lo spazio delle distribuzioni temperate.

## Definizione

Data una funzione $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$, si definisca:

    $\|f\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }f(x)|$

dove $\alpha$ e $\beta$ sono multiindici, e:

    $D^{\beta }={\frac {\partial ^{|\beta |}}{\partial x_{1}^{\beta _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\beta _{n}}}}$

Lo spazio di Schwartz ${\mathcal {S}}$ su $\Omega$ è lo spazio funzionale:

    ${\mathcal {S}}\left(\Omega \right)=\{f\in C^{\infty }(\Omega )\mid \|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \quad \forall \,\alpha ,\beta \}$

dove $C^{\infty }(\Omega )$ è lo spazio delle funzioni con tutte le derivate continue da $\Omega$ a $\mathbb {C}$. Su ${\mathcal {S}}$ consideriamo la topologia di spazio localmente convesso generato dalle seminorme $\|\cdot \|_{\alpha ,\beta }$.

Ad esempio, se i è un multiindice e $a$ è un numero reale positivo, allora $x^{i}e^{-ax^{2}}$ appartiene allo spazio di Schwartz. Anche ogni funzione $C^{\infty }$ con supporto compatto appartiene a ${\mathcal {S}}$. Questo è evidente per la continuità di ogni derivata, quindi $(x^{\alpha }D^{\beta })f$ ha un massimo in $\mathbb {R} ^{n}$.

Lo spazio duale ${\mathcal {S}}'$ di ${\mathcal {S}}$ è lo spazio delle distribuzioni temperate.

## Proprietà

* ${\mathcal {S}}$ è uno spazio vettoriale complesso, cioè chiuso rispetto a somma e moltiplicazione per scalari complessi.
* Usando la regola di Leibniz, segue che ${\mathcal {S}}$ è chiuso anche sotto moltiplicazione; se $f,g\in {\mathcal {S}}$, allora $f,g:x\mapsto f(x)g(x)$ appartiene ancora a ${\mathcal {S}}$.
* Per ogni $1\leq p\leq \infty$, si ha che ${\mathcal {S}}\subset L^{p},$ dove $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ rappresenta lo spazio Lp su $\mathbb {R} ^{n}$. Le funzioni in ${\mathcal {S}}$ sono anche funzioni limitate.
* La trasformata di Fourier è un isomorfismo lineare ${\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}$.
* Lo spazio di Schwartz è completo.
* ${\mathcal {S}}$ è denso in $L^{2},$ perché per esempio la base hilbertiana di $L^{2},$ $H_{n}(x)e^{-x^{2}/2}$ con $H_{n}$ i polinomi di Hermite appartiene a ${\mathcal {S}}$.
* Lo spazio delle funzioni di test è contenuto in ${\mathcal {S}}$.
