Test chi quadrato di Pearson
# Test chi quadrato di Pearson

Il test chi quadrato di Pearson (o della bontà dell'adattamento) è un test non parametrico applicato a grandi campioni quando si è in presenza di variabili nominali e si vuole verificare se il campione è stato estratto da una popolazione con una predeterminata distribuzione o che due o più campioni derivino dalla stessa popolazione.

Fa parte di un'ampia classe di test detti test chi quadrato in quanto hanno in comune le formule e la variabile casuale Chi Quadrato ma non necessariamente anche le ipotesi di base o le finalità.

## Test della bontà dell'adattamento

Questa variante del test utilizza i dati di un solo campione e verifica l'ipotesi nulla che il campione sia stato estratto da una popolazione di cui è nota la distribuzione.

Sia

    $X^{2}=\sum _{i=1}^{g}{\frac {(n_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}=\sum _{i=1}^{g}{\frac {n_{i}^{2}}{E_{i}}}-n$

dove

    $n_{i}$ è il numero di casi osservati nel campione per la i-esima modalità
    $E_{i}$ è il numero di casi attesi nel caso l'ipotesi nulla fosse vera
    g è il numero di modalità nella quale si esprime la variabile nominale
    $n=\sum _{i=1}^{g}n_{i}=\sum _{i=1}^{g}E_{i}$ è la numerosità del campione.

Allora X² è distribuita approssimativamente come una variabile casuale Chi Quadrato con (g-1) gradi di libertà $\chi _{g-1}^{2}$.

Si richiede però che tutte le frequenze attese $E_{i}$ raggiungano un valore minimo (a seconda delle esigenze, almeno pari a 5 oppure almeno pari a 10). Qualora ci siano delle frequenze attese troppo piccole, bisogna procedere ad un raggruppamento di modalità.

## Test per due campioni indipendenti

Questa variante del test, per molti versi uguale alla precedente, verifica l'ipotesi nulla che due campioni siano indipendenti e derivino dalla stessa popolazione (di cui non è richiesto conoscere la distribuzione).

Organizzati i dati in una tabella di contingenza g x 2, sia

    $X^{2}=\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{2}{\frac {(n_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}=\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{2}{\frac {n_{ij}^{2}}{E_{ij}}}\ -\ n$

dove

    $n_{ij}$ è il numero di casi osservati nel campione j e che corrispondono alla i-esima modalità
    $E_{ij}$ è il numero di casi attesi nel campione j e per la i-esima modalità nel caso l'ipotesi nulla fosse vera
    g è il numero di modalità nella quale si esprime la variabile nominale
    $n=\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{2}n_{ij}=\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{2}E_{ij}$ è la numerosità dei due campioni messi insieme.

per via dell'ipotesi di indipendenza dei campioni si ha che

    $E_{ij}={\frac {n_{.j}\ n_{i.}}{n}}$

essendo

    $n_{.j}=\sum _{i=1}^{g}n_{ij}$ , la numerosità di ciascun campione
    $n_{i.}=\sum _{j=1}^{2}n_{ij}$ , la frequenza marginale per ciascuna della g modalità

Allora, se i campioni sono sufficientemente grandi, e le modalità tali che tutti gli $e_{ij}$ non sono troppo piccoli (a seconda della esigenze almeno pari a 5 o almeno pari a 10), la variabile test X² è distribuita come una variabile casuale Chi Quadrato con (g-1) gradi di libertà ($\chi _{g-1}^{2}$)

## Test per k campioni indipendenti

Questa variante del test, praticamente uguale alla precedente, verifica l'ipotesi nulla che k campioni siano indipendenti e derivino dalla stessa popolazione (di cui non è richiesto conoscere la distribuzione).

Organizzati i dati in una tabella di contingenza g x k, sia

    $X^{2}=\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{k}{\frac {(n_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}=\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{k}{\frac {n_{ij}^{2}}{E_{ij}}}\ -\ n$

dove

    $n_{ij}$ è il numero di casi osservati nel campione j e che corrispondono alla i-esima modalità
    $E_{ij}$ è il numero di casi attesi nel campione j e per la i-esima modalità nel caso l'ipotesi nulla fosse vera
    g è il numero di modalità nella quale si esprime la variabile nominale
    $n=\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{k}n_{ij}=\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{k}E_{ij}$ è la numerosità di tutti i campioni messi insieme.

per via dell'ipotesi di indipendenza dei campioni si ha che

    $E_{ij}={\frac {n_{.j}\ n_{i.}}{n}}$

essendo

    $n_{.j}=\sum _{i=1}^{g}n_{ij}$ , la numerosità di ciascuno dei k campioni
    $n_{i.}=\sum _{j=1}^{k}n_{ij}$ , la frequenza marginale per ciascuna della g modalità

Allora, se i campioni sono sufficientemente grandi, e le modalità tali che tutti gli $e_{ij}$ non sono troppo piccoli (a seconda della esigenze almeno pari a 5 o almeno pari a 10), la variabile test X² è distribuita come una variabile casuale Chi Quadrato con (g-1)(k-1) gradi di libertà ($\chi _{(g-1)(k-1)}^{2}$)

## Test alternativi

Qualora la variabile nominale sia dicotomica, allora si può fare ricorso al test binomiale, valido anche nel caso di piccoli campioni.

Nel caso di un solo o al massimo due campioni, qualora la variabile sia stata all'origine ordinale (e possibilmente continua) allora si può fare ricorso al test di Kolmogorov-Smirnov, per il quale non si pone il problema di valori attesi piccoli e dunque, non necessitando di raggruppare le classi, sfrutta meglio le informazioni presenti nei dati.

Nel caso di due campioni e una variabile dicotomica, si può ricorrere al test esatto di Fisher che sfrutta tutte le informazioni disponibili nei dati, qualora si tratti di variabili intrinsecamente dicotomiche.

