Spazio botte
# Spazio botte

In matematica, in particolare in analisi funzionale, uno spazio botte (in inglese barrelled space) è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso $E$ che condivide diverse caratteristiche degli spazi di Fréchet. Gli spazi botte, introdotti dal gruppo di matematici Nicolas Bourbaki, sono studiati soprattutto perché per essi è valida una forma del principio dell'uniforme limitatezza.

Un insieme $A\subset E$ è detto bilanciato se:

    $\alpha x\in A\qquad \forall x\in A\quad \forall |\alpha |<1$

L'insieme bilanciato $A$ è detto assorbente se esiste $\alpha >0$ tale che:

    $\alpha x\in A\qquad \forall x\in E$

Un insieme botte è un insieme convesso, bilanciato, assorbente e chiuso.

Uno spazio botte è uno spazio vettoriale topologico con una topologia localmente convessa tale per cui ogni insieme botte è un intorno del vettore nullo.

## Esempi

* In uno spazio vettoriale semi-normato la sfera unitaria chiusa è un insieme botte.
* Ogni spazio vettoriale topologico localmente convesso ha una base di intorni costituita da insiemi botte.
* Gli spazi di Fréchet, in particolare gli spazi di Banach, sono spazi botte. In generale, tuttavia, gli spazi normati non sono spazi botte.
* Gli spazi di Montel sono spazi botte.
* Gli spazi localmente convessi che sono spazi di Baire sono spazi botte.
* Gli spazi separati e gli spazi completi sono spazi botte.
