Limite diretto
# Limite diretto

In matematica, il limite diretto (anche chiamato limite induttivo) è una costruzione che, dati degli oggetti relazionati tra loro attraverso dei morfismi, fornisce un nuovo oggetto. Il limite diretto può essere definito in ogni categoria.

## Definizione formale

### Limite diretto di gruppi

Iniziamo con la definizione di un sistema diretto di gruppi e omomorfismi. Siano (I, ≤) un insieme parzialmente ordinato e diretto e ( $A_i$ $)_{i∈I}$ una famiglia di gruppi. Sia poi $f_{ij}:$ $A_i$ → $A_j$ per i ≤ j (si noti l'ordine) una famiglia di omomorfismi con le seguenti proprietà:

* $f_{ii}$ è l'identità in $A_i$ per ogni i,
* $f_{ik}$ = $f_{jk}$ o $f_{ij}$ per ogni i ≤ j ≤ k.

Allora l'insieme delle coppie ( $A_i,$ $f_{ij}$ ) è chiamato un sistema diretto di gruppi e morfismi su I.

Definiamo il limite diretto del sistema diretto ( $A_i,$ $f_{ij}$ ) come l'unione disgiunta degli $A_i,$ modulo una certa relazione d'equivalenza ~,

    $\varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .$

La relazione d'equivalenza ~ è definita come segue: due elementi $x_i$ ∈ $A_i$ e $x_j$ ∈ $A_j$ sono equivalenti se esiste un qualche k ∈ I tale che i, j ≤ k e che $f_{ik}(x_i)$ = $f_{jk}(x_j).$ Euristicamente, due elementi nell'unione disgiunta sono equivalenti se e solo se diventano uguali da un certo punto in poi nel sistema diretto.

Il limite diretto, che per comodità indicheremo con A, è fornito di morfismi canonici $φ_i:$ $A_i$ → A che mandano ogni elemento nella sua classe d'equivalenza. Inoltre, il limite diretto gode della proprietà universale descritta nella sezione seguente. Infine, se i vari gruppi $A_i$ sono gruppi topologici (e i morfismi sono omomorfismi continui), allora su A si pone la topologia più fine che rende continui i morfismi canonici ed A risulta essere un gruppo topologico rispetto a tale topologia.

La stessa costruzione può essere effettuata anche se gli $A_i$ al posto di essere gruppi sono insiemi, anelli, moduli (su un anello fissato), algebre (su un campo fissato), etc., e gli omomorfismi sono omomorfismi per le corrispondenti categorie. Il limite diretto apparterrà anch'esso a quella categoria.

### Definizione generale

Il limite diretto può essere definito in modo astratto in una qualsiasi categoria attraverso una proprietà universale. Sia $(X_i,$ $f_{ij})$ un sistema diretto di oggetti e morfismi in una categoria C. Il limite diretto di questo sistema è un oggetto X in C insieme con dei morfismi $φ_i:$ $X_i$ → X soddisfacenti a $φ_i$ = $φ_j$ o $f_{ij}$ per ogni i ≤ j. La coppia (X, $φ_i)$ deve essere universale nel senso che per ogni altra coppia (Y, $ψ_i)$ esiste un unico morfismo u: X → Y tale che il seguente diagramma commuti:

per ogni i ≤ j. Il limite diretto è in genere denotato come

    $X=\varinjlim X_{i},$

lasciando sottinteso il sistema diretto $(X_i,$ $f_{ij}).$

Al contrario di ciò che accade per gli oggetti algebrici, in alcuni casi il limite diretto può non esistere. Tuttavia, se esiste esso è unico, nel senso che tutti i limiti diretti di un sistema diretto sono isomorfi tra loro. In altre parole, se X e X′ sono due limiti diretti di uno stesso sistema, allora esiste un unico isomorfismo X′ → X che commuta con le proiezioni.

## Esempi

* Una collezione di sottoinsiemi $M_i$ di un insieme M può essere parzialmente ordinata dall'inclusione. Se definiamo il morfismo da A a B come l'inclusione per ogni coppia di sottoinsiemi A e B con A ⊆ B, allora il limite diretto risultante da questo sistema non è altro che l'unione degli $M_i.$
* Se l'insieme degli indici I di un sistema diretto $(X_i,$ $f_{ij})$ ha un massimo i*, allora il limite diretto del sistema è isomorfo a $X_{i*}$ e il morfismo canonico $φ_{i*}$ : $X_{i*}$ → X è un isomorfismo.
* Sia p un primo. Si consideri il sistema diretto composto dai gruppi $Z/p^nZ$ e dagli omomorfismi $Z/p^nZ$ → $Z/p^mZ,$ con n ≤ m, che sono indotti dalla moltiplicazione per $p^{m-n}.$ Il limite diretto di questo sistema è isomorfo al gruppo di tutte le radici dell'unità di ordine una qualche potenza di p, ed è chiamato gruppo di Prüfer $Z(p^∞).$
* I limiti diretti sono connessi ai limiti proiettivi attraverso la relazione

    $\mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).$
