Implicazione inversa
# Implicazione inversa

Nella logica e nella matematica, la inversione di un'affermazione categoriale o implicazionale è il risultato dell'inversione delle sue due affermazioni costituenti. Per l'implicazione P → Q, il contrario è Q → P. Per la proposizione categorica "Ogni S è P", il contrario è "Ogni P è S". In ogni caso, la verità del contrario è generalmente indipendente da quella dell'affermazione originale.

## Inversione implicita

Sia S una proposizione della forma P implica Q (P → Q). Allora l'inverso di S è l'affermazione Q implica P (Q → P). In generale, la verità di S non dice nulla sulla verità del suo inverso, a meno che l'antecedente P e la conseguente Q non siano logicamente equivalenti.

Ad esempio, si consideri la vera affermazione "Se sono un umano, allora sono mortale". Il contrario di tale affermazione è "Se sono mortale, allora sono un umano", il che non è necessariamente vero.

Resta invece vero il contrario di un enunciato quando i termini si includono a vicenda, data la verità della proposizione originaria. Ciò equivale a dire che è vero il contrario di una definizione. Pertanto, l'affermazione "Se sono un triangolo, allora sono un poligono a tre lati" è logicamente equivalente a "Se sono un poligono a tre lati, allora sono un triangolo", perché la definizione di "triangolo" è "poligono a tre lati". I due termini intermedi "triangolo" e "poligono a tre lati" si appartengono reciprocamente e sono quindi tra loto equivalenti.

Una tavola di verità chiarisce che S e il contrario di S non sono logicamente equivalenti, a meno che entrambi i termini non si implichino a vicenda:

| $P$ | $Q$ | $P\rightarrow Q$ | $P\leftarrow Q$ (inversione) |
| - | - | - | - |
| Vero | Vero | Vero | Vero |
| Vero | Falso | Falso | Vero |
| Falso | Vero | Vero | Falso |
| Falso | Falso | Vero | Vero |

L'errore di affermare il conseguente consiste nel passare da un enunciato al suo contrario. Tuttavia, se l'affermazione S e il suo inverso sono equivalenti (cioè, P è vero se e solo se anche Q è vero), allora sarà valido affermare anche il conseguente.

L'implicazione inversa è logicamente equivalente alla disgiunzione di $P$ e $\neg Q$:

| $P\leftarrow Q$ | $\Leftrightarrow$ | $P$ | $\lor$ | $\neg Q$ |
| - | - | - | - | - |
| | $\Leftrightarrow$ | | $\lor$ | |

Nel linguaggio naturale, questo potrebbe essere reso "non Q senza P ".

## Inversione di un teorema

In matematica, l'inverso di un teorema della forma P → Q sarà Q → P. Il contrario può o non può essere vero, e anche qualora sia vero, la dimostrazione può risultare difficile. Ad esempio, il teorema dei quattro vertici è stato dimostrato nel 1912, ma il suo contrario è stato dimostrato solo nel 1997.

In pratica, quando si determina il contrario di un teorema matematico, gli aspetti dell'antecedente possono essere assunti per stabilire il contesto: il contrario di "Dato P, se Q allora R "sarà "Dato P, se R allora Q". Ad esempio, il teorema di Pitagora può essere affermato come:

    Dato un triangolo con i lati a e b, e lunghezza c, se l'angolo opposto al lato della lunghezza c è un angolo retto, allora $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Il contrario, che appare anche negli Elementi di Euclide (Libro I, proposizione 48), può essere affermato come:

    Dato un triangolo con i lati di lunghezza a e b e base di lunghezza c, se $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, allora l'angolo opposto al lato della lunghezza c è un angolo retto.

### Inversione di una relazione

Se $R$ è una relazione binaria con $R\subseteq A\times B$, allora la relazione inversa $R^{T}=\{(b,a):(a,b)\in R$ è detta trasposta.

## Notazione

La inversione di un’implicazione P → Q può essere scritta $P\leftarrow Q$, ma può anche esser denotata come $P\subset Q$, oppure "Bpq" (nella notazione di Józef Maria Bocheński).

## Inversione di una proposizione categorica

Nella logica tradizionale, si dice inversione il processo che porta a sostituire il termine soggetto con il termine predicato. Ad esempio, "Nessun S è P" si inverte in "Nessun P è S". Nelle parole di Asa Mahan:

«La proposizione originaria si chiama "exposita"; una volta invertita, si chiama "inversa". L'inversione è valida quando, e solo quando, nulla è affermato nell'inversa che non sia affermato o implicito nell'exposita.»

L'"exposita" è più comunemente chiamata invertenda (lett. proposizione che deve essere invertita). Nella sua forma semplice, la inversione vale solo per le proposizioni di tipo E ed I:

| Tipo | Invertenda | Inversione semplice | Inversione per accidens (valida se P esiste) |
| - | - | - | - |
| A | Ogni S è P | non valida | Qualche P è S |
| E | Nessun S è P | Nessun P è S | Qualche P è non-S |
| I | Qualche S è P | Qualche P è S | – |
| O | Qualche S è non- P | non valida | – |

La validità della semplice inversione solo per le proposizioni E e I può essere espressa dalla restrizione che "Nessun termine deve essere distribuito nell'inversa che non sia già distribuito nella invertenda". Per le proposizioni di tipo E sia il soggetto che l predicato sono distribuiti, mentre nelle proposizioni di tipo I non lo sono né il soggetto né il predicato.

Per le proposizioni di tipo A, il soggetto è distribuito mentre il predicato non lo è, e quindi l'inferenza da un'affermazione A al suo contrario non è valida. Ad esempio, per la proposizione A "Tutti i gatti sono mammiferi", il contrario "Tutti i mammiferi sono gatti" è ovviamente falso. Tuttavia, l'affermazione più debole "Alcuni mammiferi sono gatti" è vera. I logici definiscono inversione per accidens il processo di produzione di questa affermazione più debole. L'inferenza da un'affermazione al suo inverso per accidens è generalmente valida. Tuttavia, come per i sillogismi, questo passaggio dall'universale al particolare causa problemi con le categorie vuote: "Tutti gli unicorni sono mammiferi" è spesso considerato vero, mentre l'inversione per accidens "Alcuni mammiferi sono unicorni" è chiaramente falsa.

Nel calcolo dei predicati del primo ordine, la proposizione "Ogni S è P" può essere rappresentata come $\forall x.S(x)\to P(x)$. È quindi chiaro che l'inverso categoriale è strettamente correlato all'inverso implicazionale e che S e P non sono intercambiabili nella proposizione "Ogni S è P".

