Espiral dorada
# Espiral dorada

La Espiral dorada (denominada también espiral áurea) es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado. La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada o número áureo. Aparece esta espiral representada en diversas figuras de la naturaleza (planta, galaxias espirales), así como en el arte.

## Desarrollo matemático

La ecuación polar que describe la espiral dorada es la misma que cualquier otra espiral logarítmica, pero con el factor de crecimiento (b) igual Φ, esto es:

    $r=ae^{b\theta }\,$

o, de la misma forma casa

    $\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$

Siendo e la base del logaritmo natural, a es una constante real positiva y b es tal que cuando el ángulo θ es un ángulo recto:

    $e^{b\theta _{\mathrm {recto} }}\,=\phi$

Por lo tanto, b se encuentra determinado por

    $b={\ln {\phi } \over \theta _{\mathrm {recto} }}.$

El valor numérico de b depende de si el ángulo θ es medido en grados o radianes; como b puede tomar valores positivos o negativos según el signo de θ lo más sencillo es indicar su valor absoluto:

    $|b|={\ln {\phi } \over 90}=0.0053468\,$ para θ en grados;
    $|b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0.306349\,$ para θ en radianes.

Una fórmula alternativa para la espiral dorada se obtiene en:

    $r=ac^{\theta }\,$

donde la constante c está determinada por:

    $c=e^{b}\,$

para la espiral dorada los valores de c son:

    $c=\phi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611$

si θ se mide en grados sexagesimales, y

    $c=\phi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.$

si θ se mide en radianes.

## Aproximaciones a la espiral dorada

Existen aproximaciones a la espiral dorada, que no son iguales. Este tipo de espirales, a menudo se confunden con la espiral dorada. Un ejemplo es la espiral de Fibonacci que resulta ser una aproximación a la espiral dorada.

## Generación

Espirales doradas :

* Mediante convolución de rectas
* Mediante convolución de rectas
* La cáscara de un Nautilus
* La cáscara de un Nautilus
* Espiral en el triángulo y su serie de Fibonacci
* Espiral en el triángulo y su serie de Fibonacci
