Divisibilidad
# Divisibilidad

En matemáticas, concretamente en aritmética, se dice que un número entero a es divisible entre otro entero b (no nulo) si al dividir $a$ entre $b$ el resto es cero o, dicho simbólicamente, $a\div b=0$.

Se suele expresar de la forma $a\mid b$, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a». Por ejemplo, 6 es divisible entre 3, ya que 3×2=6; pero 6 no es divisible entre 4, pues no existe un entero $c$ tal que $4\times c=6$; es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Cualquier número natural es divisible entre 1 y entre sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se llaman números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

## Definición

El número entero $a$ es divisible entre el número entero $b\neq 0$ (o lo que es lo mismo, b divide a a) si hay un número $q$ entero, tal que $a=b\cdot q$.

Este hecho se denomina divisibilidad del número entero $a$ por el número entero $b$ y se denota por $b|a$; que no es otra cosa que una afirmación entre los números enteros, que, en un contexto concreto, puede ser cierta o no. Por ejemplo $3|12$ es cierta; sin embargo, $3|17$ no es cierta. Si $b$ no es divisor de $a$ se escribe $b\nmid a$. Nótese que $0\nmid a$ para todo $a$ distinto de cero, pues $a\neq 0=k\cdot 0$ para todo $k$ entero.

## Factor o divisor propio

Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de n, pero diferente de 1 y de n. Los divisores 1 y n son denominados impropios.

Por ejemplo, los divisores propios de 28 son 2, 4, 7 y 14. Cuando se toman en cuenta enteros negativos, un divisor propio es aquel cuyo valor absoluto es menor que el número dado. En este caso, los divisores propios serían -14, -7, -4, -2, 2, 4, 7, 14.

Casos especiales: 1 y -1 son factores triviales de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.

Si d es un divisor de a y el único divisor que admite d es 1 y él mismo, se llama divisor primo de a. De hecho es un número primo. El 1 es el único entero que tiene un solo divisor positivo.

## Propiedades

Sean $a,b,c\in \mathbb {Z}$, es decir $\ a$, $\ b$ y $\ c$ son números enteros. Se dan las propiedades básicas:

* Si $a\neq 0$ entonces $a\mid a$ (Propiedad reflexiva).
* si $a\mid b$ y $b\mid a$ entonces $|a|=|b|$ . Son iguales o bien uno es el opuesto del otro.
* Cuando $a\mid b$ y $b\mid c$, entonces $a\mid c$ (Propiedad transitiva).
* Si $a\mid b$ y $b\neq 0$, entonces $|a|\leq |b|$.
* $a\mid b$ y $a\mid c$, implica $a\mid \beta b+\gamma c\ \ \forall \ \beta ,\gamma \in \mathbb {Z}$. Divisor de la combinación lineal.
* $a\mid b$ y $a\mid c$, implica $a\mid \theta b^{k}+\kappa c^{j}\ \ \forall \ \theta ,\kappa ,k,j\in \mathbb {Z}$. Divisor de la combinación lineal de potencias.
* Si $a\mid b$ y $a\mid b\pm \ c$, entonces $a\mid c$.
* De $a\mid b$ y $a\neq 0$, se deduce ${\frac {b}{a}}\mid b$. Divisores conjugados.
* Para $c\neq 0$, $a\mid b$ si y solo si $ac\mid bc$.
* Si $a\mid bc$ y $\ \operatorname {mcd} (a,b)=1$, entonces $a\mid c$.
* Cuando $\ \operatorname {mcd} (a,b)=1$ y $\ c$ cumple que $a\mid c$ y $b\mid c$, entonces $ab\mid c$.
* $n\mid 0$ y $1\mid n$ para todo $\ n$ entero ya que $0=0\cdot n$ y $n=n\cdot 1$.
* $1\mid \operatorname {mcd} (a,b)\mid a\mid \operatorname {mcm} (a,b)\mid 0$ .
* abcd es divisible entre n-1 si y solo si a+b+c+d es múltiplo de (n-1), siempre que abcd esté escrito en la base n, (n≥ 3 ).
* Si mcd(a,b) = 1 no cabe $a^k$ = $b^h$ para cualesquiera h, k números enteros positivos; potencias de coprimos no son iguales en ningún caso.
* En cualquier sistema de numeración, para chequear si n es múltiplo de h, divisor de la base, basta analizar la última cifra de n. Así, en la numeración decimal, para saber si n es múltiplo de 5, basta ver si la última cifra es 5 o 0. En la base 12, para saber si n es divisible entre 6, basta ver si termina en 6 o 0. En el sistema hexadecimal, para chequear si n es múltiplo de 4 basta ver que termina en uno de estos dígitos: 0, 4, 8.

### Número de divisores

Si la factorización en números primos de n viene dada por

    $n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}$

entonces el número de divisores positivos de n es

    $d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),$

y cada uno de los divisores tiene la forma

    $p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}$

donde $0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}$ para cada $1\leq i\leq k.$

## Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios permiten averiguar si un número es divisible entre otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar la división.

| Número | Criterio | Ejemplo |
| - | - | - |
| 1 | Todos los números | 5: porque si divides 5:1=5 y ese número es un múltiplo o divisor de cualquier número. |
| 2 | El número termina en una cifra par (0, 2, 4, 6, 8). | 378: porque la última cifra (8) es par. |
| 3 | La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. | 480: porque 4+8+0 =12 es múltiplo de 3. |
| 4 | Sus últimos dos dígitos son 0 o un múltiplo de 4. | 300 y 516 son divisibles entre 4 porque terminan en 00 y en 16, respectivamente, siendo este último un múltiplo de 4 (16=4*4). |
| 5 | La última cifra es 0 o 5. | 485: porque termina en 5. |
| 6 | Es divisible entre 2 y 3. | 912: porque es par y 9+1+2=12 es múltiplo de 3 |
| 7 | Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7. Otro sistema: Si la suma de la multiplicación de los números por la serie 2,3,1,-2,-3,-1... da 0 o un múltiplo de 7. | 34349: separamos el 9, y lo duplicamos (18), entonces 3434-18=3416. Repetimos el proceso separando el 6 (341'6) y duplicándolo (12), entonces 341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es múltiplo de 7. Ejemplo método 2: 34349: [(2*3)+(3*4)+(1*3)-(2*4)-(3*9)]= 6+12+3-8-27 = -14. |
| 8 | Para saber si un número es divisible entre 8 hay que comprobar que sus tres últimas cifras sean divisibles entre 8. Si sus tres últimas cifras son divisibles entre 8 entonces el número también es divisible entre 8. | Ejemplo: El número 571.328 es divisible por 8 ya que sus últimas tres cifras (328) son divisibles por 8 (32 = 8*4 y 8 = 8*1). Realizando la división comprobamos que 571.328 : 8 = 71.416 |
| 9 | Un número es divisible por 9 cuando al sumar todas sus cifras el resultado es múltiplo de 9. | 504: sumamos 5+0+4=9 y como 9 es múltiplo de 9 504 es divisible por 9 |
| 10 | La última cifra es 0. | 4680: porque termina en 0 |
| 11 | Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. Si el resultado es cero o un múltiplo de 11, el número es divisible entre este. Si el número tiene solo dos cifras y estas son iguales será múltiplo de 11. | 42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 42702 es múltiplo de 11. 66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es múltiplo de 11. |
| 12 | Es divisible entre 3 y 4 | 900: porque 9 = 3+3+3 lo que lo hace divisible para 3 y 00 (sus últimas 2 cifras) son múltiplos de 4 porque 4x0 = 00 |
| 13 | Un número es divisible entre 13 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 13 | 3822: separamos el último dos (382'2) y lo multiplicamos por 9, 2×9=18, entonces 382-18=364. Repetimos el proceso separando el 4 (36'4) y multiplicándolo por 9, 4×9=36, entonces 36-36=0; por lo tanto, 3822 es divisible entre 13. |
| 14 | Un número es divisible entre 14 cuando es par y divisible entre 7 | 546: separamos el último seis (54'6) y lo doblamos, 6×2=12, entonces 54-12=42. 42 es múltiplo de 7 y 546 es par; por lo tanto, 546 es divisible entre 14. |
| 15 | Un número es divisible entre 15 cuando es divisible entre 3 y 5 | 225: termina en 5 y la suma de sus cifras es múltiplo de 3; por lo tanto, 225 es divisible entre 15. |
| 17 | Un número es divisible entre 17 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 17 | 2142: porque 214'2, 2*5=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 4*5=20, entonces 20-20=0; por lo tanto, 2142 es divisible entre 17. |
| 18 | Un número es divisible entre 18 si es par y divisible entre 9 (Si es par y además la suma de sus cifras es múltiplo de 9) | 9702: Es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18 que también es divisible entre 9. Y efectivamente, si hacemos la división entre 18, obtendremos que el resto es 0 y el cociente 539. |
| 19 | Un número es divisible entre 19 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 2 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 19. | 3401: separamos el 1, lo doblamos (2) y sumamos 340+2= 342, ahora separamos el 2, lo doblamos (4) y sumamos 34+4=38 que es múltiplo de 19, luego 3401 también lo es. |
| 20 | Un número es divisible entre 20 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 20. Cualquier número par que tenga uno o más ceros a la derecha, es múltiplo de 20. | 57860: Sus 2 últimas cifras son 60 (Que es divisible entre 20), por lo tanto 57860 es divisible entre 20. |
| 23 | Un número es divisible entre 23 si al separar la cifra de las unidades, multiplicar por 7 y sumar las cifras restantes el resultado es múltiplo de 23. | 253: separamos el 3, lo multiplicamos por 7 y sumamos 25+21= 46, 46 es múltiplo de 23 así que es divisible entre 23. |
| 25 | Un número es divisible entre 25 si sus dos últimas cifras son 00, o en múltiplo de 25 (25,50,75,...) | 650: Es múltiplo de 25 por lo cual es divisible. 400 también será divisible entre 25. |
| 27 | Un número es divisible entre 27, si al dividirlo entre 3 da un cociente exacto que es divisible de 9. | 11745: Entre 3, cociente =3915; cuyas cifras suman 18, luego 11745 en divisible entre 27. |
| 29 | Un número es divisible entre 29 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 29. | 2262: separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos, 226+6= 232, ahora separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos 23+6=29 que es múltiplo de 29, luego 2262 también lo es. |
| 31 | Un número es divisible entre 31 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y restar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 31. | 8618: separamos el 8, lo triplicamos (24) y restamos 861-24=837, ahora separamos el 7, lo triplicamos (21) y restamos, 83-21=62 que es múltiplo de 31, luego 8618 también lo es. |
| 50 | Un número es múltiplo de 50 cuando sus dos últimas cifras son 00 o 50. | 123450: sería divisible entre 50 porque termina en 50. |
| 100 | Un número será divisible entre 100 si dicho número termina en 00. | 1000: Este número será divisible entre cien ya que sus dos últimas cifras son 00, independientemente de las demás. |
| 125 | Un número será divisible entre 125 si termina en 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 o 875. | 3000: Sería divisible entre 125 ya que sus tres últimas cifras son 000. 4250: Este número también sería divisible entre 125 ya que termina en 250. |

### Observación

Todos los criterios señalados funcionan si el número está escrito en el sistema de numeración decimal. En otra base no siempre ocurre así. Pues $102_7,$ escrito en base 7, termina en cifra par, pero no es divisible entre 2. En este caso se suman las cifras 1+2=3; 3=1 (Mód 2), luego $102_7$ es impar (en decimal es $7^2+2=51).$

## Otros contextos

La divisibilidad es posible tratar dentro de las propiedades aritméticas de los

* Enteros gaussianos
* Enteros algebraicos
* Polinomios en una indeterminada con coeficientes enteros
* Números enteros pares
* Números de Fibonacci
* Anillos cuadráticos
