Conjetura de Hall
# Conjetura de Hall

En matemáticas, la conjetura de Hall es una pregunta abierta, a partir de 2015, sobre las diferencias entre cuadrados perfectos y cubos perfectos. Afirma que un cuadrado perfecto $y^2$ y un cubo perfecto $x^3$ que no son iguales deben estar a una distancia sustancial entre sí. Esta pregunta surgió al considerar la ecuación de Mordell en la teoría de puntos enteros en curvas elípticas.

## Historia

La versión original de la conjetura de Hall, formulada por Marshall Hall, Jr. en 1970, dice que existe una constante positiva C tal que para cualquier par de números enteros x e y para los que $y^2$ ≠ $x^3,$ se cumple que

    $|y^{2}-x^{3}|>C{\sqrt {|x|}}.$

Hall sugirió que quizás C podría tomarse como 1/5, lo que era consistente con todos los datos conocidos en el momento en que se propuso la conjetura. Danilov demostró en 1982 que el exponente 1/2 en el lado derecho (es decir, el uso de $|x|^{1/2})$ no puede ser reemplazado por ninguna potencia mayor: para ningún δ>0 existe una constante C tal que $|y^2$ - $x^3|$ > $C|x|^{1/2+δ}$ siempre que $y^2$ ≠ $x^3.$

En 1965, Davenport demostró un análogo de la conjetura anterior en el caso de los polinomios: si f (t) y g (t) son polinomios distintos de cero sobre C, de modo que $g(t)^3$ ≠ $f(t)^2$ en C[t], entonces

    $\deg(g(t)^{2}-f(t)^{3})\geq {\frac {1}{2}}\deg f(t)+1.$

La forma débil de la conjetura de Hall, enunciada por Stark y Trotter alrededor de 1980, reemplaza la raíz cuadrada en el lado derecho de la desigualdad por cualquier exponente menor que 1/2: para cualquier ε > 0, hay una constante c(ε) dependiendo de ε tal que para cualquier par de números enteros x e y para los que $y^2$ ≠ $x^3,$

    $|y^{2}-x^{3}|>c(\varepsilon )x^{1/2-\varepsilon }.$

La forma original, fuerte, de la conjetura con exponente 1/2 nunca ha sido refutada, aunque ya no se piensa que sea cierta y el término conjetura de Hall ahora generalmente significa la versión con la ε en ella. Por ejemplo, en 1998, Noam Elkies encontró el ejemplo

$447884928428402042307918^2$ - $5853886516781223^3$ = -1641843,

para el que la compatibilidad con la conjetura de Hall requeriría que C sea menor que .0214 ≈ 1/50, aproximadamente 10 veces más pequeño que la elección original de 1/5 que sugirió Hall.

La forma débil de la conjetura de Hall se seguiría de la conjetura ABC. Una generalización a otras potencias perfectas es la conjetura de Pillai.

La siguiente tabla muestra los casos conocidos con $r={\sqrt {x}}/|y^{2}-x^{3}|>1$. Téngase en cuenta que y se puede calcular como el número entero más cercano a $x^{3/2}.$

| # | x | r |
| - | - | - |
| 1 | 2 | 1.41 |
| 2 | 5234 | 4.26 |
| 3 | 8158 | 3.76 |
| 4 | 93844 | 1.03 |
| 5 | 367806 | 2.93 |
| 6 | 421351 | 1.05 |
| 7 | 720114 | 3.77 |
| 8 | 939787 | 3.16 |
| 9 | 28187351 | 4.87 |
| 10 | 110781386 | 1.23 |
| 11 | 154319269 | 1.08 |
| 12 | 384242766 | 1.34 |
| 13 | 390620082 | 1.33 |
| 14 | 3790689201 | 2.20 |
| 15 | 65589428378 | 2.19 |
| 16 | 952764389446 | 1.15 |
| 17 | 12438517260105 | 1.27 |
| 18 | 35495694227489 | 1.15 |
| 19 | 53197086958290 | 1.66 |
| 20 | 5853886516781223 | 46.60 |
| 21 | 12813608766102806 | 1.30 |
| 22 | 23415546067124892 | 1.46 |
| 23 | 38115991067861271 | 6.50 |
| 24 | 322001299796379844 | 1.04 |
| 25 | 471477085999389882 | 1.38 |
| 26 | 810574762403977064 | 4.66 |
| 27 | 9870884617163518770 | 1.90 |
| 28 | 42532374580189966073 | 3.47 |
| 29 | 51698891432429706382 | 1.75 |
| 30 | 44648329463517920535 | 1.79 |
| 31 | 231411667627225650649 | 3.71 |
| 32 | 601724682280310364065 | 1.88 |
| 33 | 4996798823245299750533 | 2.17 |
| 34 | 5592930378182848874404 | 1.38 |
| 35 | 14038790674256691230847 | 1.27 |
| 36 | 77148032713960680268604 | 10.18 |
| 37 | 180179004295105849668818 | 5.65 |
| 38 | 372193377967238474960883 | 1.33 |
| 39 | 664947779818324205678136 | 16.53 |
| 40 | 2028871373185892500636155 | 1.14 |
| 41 | 10747835083471081268825856 | 1.35 |
| 42 | 37223900078734215181946587 | 1.38 |
| 43 | 69586951610485633367491417 | 1.22 |
| 44 | 3690445383173227306376634720 | 1.51 |
| 45 | 133545763574262054617147641349 | 1.69 |
| 46 | 162921297743817207342396140787 | 10.65 |
| 47 | 374192690896219210878121645171 | 2.97 |
| 48 | 401844774500818781164623821177 | 1.29 |
| 49 | 500859224588646106403669009291 | 1.06 |
| 50 | 1114592308630995805123571151844 | 1.04 |
| 51 | 39739590925054773507790363346813 | 3.75 |
| 52 | 862611143810724763613366116643858 | 1.10 |
| 53 | 1062521751024771376590062279975859 | 1.006 |
| 54 | 6078673043126084065007902175846955 | 1.03 |
