Símbolo de Jacobi
# Símbolo de Jacobi

| n \ m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | |
| 3 | 0 | 1 | -1 | | | | | | | | | | | | | | |
| 5 | 0 | 1 | -1 | -1 | 1 | | | | | | | | | | | | |
| 7 | 0 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | | | | | | | | | | |
| 9 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | | | | | | | | |
| 11 | 0 | 1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | -1 | | | | | | |
| 13 | 0 | 1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | 1 | | | | |
| 15 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | -1 | 1 | 0 | 0 | -1 | 0 | -1 | -1 | | |
| 17 | 0 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 1 |

El símbolo Jacobi (m/n) para varios m (parte superior) y n (lado izquierdo). Solo se muestran 0 ≤ m < n, ya que debido a la regla (2) por debajo de cualquier otra m puede ser reducida a módulo n. Los residuos cuadráticos se resaltan en amarillo —nótese que ninguna entrada con un símbolo de Jacobi de -1 es un residuo cuadrático, y si m es un residuo cuadrático (mod n) y gcd (m,n)=1, entonces (m|n)=1, pero algunas entradas con un símbolo de Jacobi de 1 (véase la fila n = 9) no son residuos cuadráticos. Nótese también que cuando tanto n o m son un cuadrado, todos los valores son 0 o 1.

En la teoría de los números, el símbolo de Jacobi, denotado como $\textstyle \left({\frac {m}{n}}\right)$, es una función aritmética que toma dos argumentos y devuelve un valor entero comprendido en el intervalo $[-1,1]$. En esencia se puede considerar como una generalización del símbolo de Legendre para valores impares de $n$ que no necesariamente han de ser primos. Debe su nombre al matemático Carl Gustav Jakob Jacobi que lo introdujo en 1837.

## Definición

Sea m un número entero y n un número natural impar, cuya descomposición en factores primos es

    $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}$,

se denomina símbolo de Jacobi a la expresión:

    $\left({\frac {m}{n}}\right)=\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {m}{p_{i}}}\right)^{a_{i}}$

donde para todo i, $p_i$ es primo y $a_i$ es un número natural, denotando mediante $\textstyle \left({\frac {m}{p_{i}}}\right)$ el símbolo de Legendre. Obviamente, cuando n es un número primo impar, el correspondiente símbolo de Jacobi se reduce al de Legendre.

## Propiedades

El símbolo de Jacobi satisface las mismas reglas que aquel al que generaliza, además de algunas adicionales:

    i) Si $n|m$ entonces $\left({\frac {m}{n}}\right)=0$.
    ii) Un caso especial de esto último es que $\left({\frac {m}{m}}\right)=0$.
    iii) Si $m$ y $n$ son números impares primos relativos entre sí, y $n\geq 3$ se cumple la siguiente relación:
       $\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}$
    iv)

Si $h\equiv k{\pmod {P}},$, entonces $\left({\frac {h}{P}}\right)=\left({\frac {k}{P}}\right)$

    v) Para P entero positivo impar se cumple: $\left({\frac {a}{P}}\right)\left({\frac {b}{P}}\right)=\left({\frac {ab}{P}}\right)$
