Notación Steinhaus–Moser
# Notación Steinhaus–Moser

En matemáticas, la notación Steinhaus–Moser es una notación para expresar números extremadamente grandes con seguridad. Es una extensión de la notación polígono de Steinhaus.

## Definiciones

    un número n en un triángulo significa $n^n$
    un número n en un cuadrado es equivalente a "el número n dentro de n triángulos, los cuales están todos anidados."
    un número en un pentágono es equivalente a "el número n dentro de n cuadrados, los cuales son todos están todos anidados."

etc.: n escrito en un polígono de m lados es equivalente a "el número n dentro de n polígonos anidados de (m - 1) lados". En una serie de polígonos anidados, estos están asociados hacia adentro. El número n dentro de dos triángulos es equivalentes a $n^n$ dentro de un triángulo, el cual es equivalente a $n^n$ elevado a la potencia $n^n.$

Steinhaus solo definió el triángulo, el cuadrado, y un círculo , el equivalente al pentágono definido anteriormente.

## Valores especiales

Moser definió:

* mega es el equivalente al número 2 en un pentagono:
* megiston es el equivalente al número 10 en un círculo: ⑩

El número de Moser es el número representado por "2 en un megagón", donde un megagón es un polígono con "mega" lados.

Notaciones alternativas:

* Utilizar la cuadrado de funciones(x) y triángulo(x)
* Dejar M(M(n, m, p), M(n, m, p), M(n, m, p)) ser el número representado por el número n en m anidado p cara polígonos; entonces las reglas son:
* Y
   * mega =$M(2,1,5)$
   * megagón =$M(10,1,5)$
   * moser =$M(2,1,M(2,1,5))$

## Mega

Un mega, ②, es ya un número muy grande, desde ② = cuadrado(cuadrado(2)) = cuadrado(triángulo(triángulo(2))) = cuadrado(triángulo(22)) = cuadrado(triángulo(4)) = cuadrado(44) = cuadrado(256) = triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(256)...))) [256 triángulos] = triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(256256)...))) [255 triángulos] ~ triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(3.2 × 10616)...))) [254 triángulos] = ...

Utilizando la otra notación:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

Con la función hemos mega = $f(x)=x^{x}$$f^{256}(256)=f^{258}(2)$ dónde el superíndice denota un potencia funcional, no una potencia numérica.

Tenemos (nota la convención que las potencias están evaluadas de derechas a izquierdas):

* M(256,2,3) =$(256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}$
* M(256,3,3) = ≈$(256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}$$256^{\,\!256^{256^{257}}}$

De modo parecido:

* M(256,4,3) ≈${\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}$
* M(256,5,3) ≈${\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$

etc.

Así:

* mega = $M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257$, dónde $(256\uparrow )^{256}$ denota una potencia funcional de la función $f(n)=256^{n}$.

Redondeando más crudamente (reencuadradando el 257 al final por 256), conseguimos mega ≈ $256\uparrow \uparrow 257$, utilizando la notación flecha de Knuth.

Después de los pocos pasos iniciales, el valor de es cada vez aproximadamente igual a $n^{n}$$256^{n}$. De hecho, es incluso aproximadamente igual a $10^{n}$. Utilizando base 10 poderes, conseguimos:

* $M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}$ ($\log _{10}616$ está añadido al 616)
* $M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}$ ($619$ está añadido al $1.99\times 10^{619}$, el cual es insignificante; por tanto justo un 10 está añadido en el inferior)
* mega = $M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}$, dónde denota un poder funcional de la función $(10\uparrow )^{255}$$f(n)=10^{n}$. De ahí $10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258$

## Número de Moser

Ha sido probado que en la notación flecha encadenada de Conway,

    $\mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,$

Y, en la notación flecha arriba de Knuth,

    $\mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ donde }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.$

Por lo tanto, el número de Moser, a pesar de que es incomprensiblemente grande, es increíblemente pequeño comparado al número de Graham:

    $\mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{el número de Graham}}.$
