Hipotenusa
# Hipotenusa

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo, y resulta ser su lado de mayor longitud.

Según el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los otros dos lados del triángulo rectángulo, denominados catetos.

## Etimología

La palabra hipotenusa proviene del término griego ὑποτείνουσα, un compuesto de hipó, ‘debajo’, y téino, ‘estirar’.

## Relaciones métricas

* Establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Es decir, si a representa la longitud de la hipotenusa, b y c la de los catetos, es:

    $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

Por lo cual:

    $a={\sqrt {b^{2}+c^{2}}}$

Proyecciones ortogonales:

* La longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de las proyecciones ortogonales de ambos catetos.

    $a=m+n$
* El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de su proyección ortogonal sobre la hipotenusa por la longitud de ésta.

    $b^{2}=m\cdot a$
    $c^{2}=n\cdot a$
* El cuadrado de la longitud de la altura es igual al producto de las longitudes de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

    $h^{2}=m\cdot n$

## Proposiciones

* En un triángulo inscrito la hipotenusa coincide con un diámetro tanto como segmento cuanto en longitud.
* El radio de una circunferencia circunscrita es igual a la mitad de la longitud del diámetro.
* En un triángulo rectángulo inscrito un radio coincide con la mediana que une la hipotenusa con el ángulo recto.
* De los triángulos rectángulos que tienen la misma hipotenusa y constante la suma de sus catetos, el que tiene mayor área es el triángulo rectángulo isósceles.
* Una de las diagonales de un rectángulo determina dos triángulos rectángulos iguales ( congruentes), siendo la diagonal, la hipotenusa común.

## Razones trigonométricas

Mediante razones trigonométricas se puede obtener el valor de los dos ángulos agudos, $\alpha \,$y $\beta \,$, del triángulo rectángulo.

Conocida la longitud de la hipotenusa $c\,$y la de un cateto $b\,$, la razón entre ambos es:

          ${\frac {b}{c}}=\operatorname {sen}(\beta )\,$

Por tanto, la función trigonométrica inversa es:

          $\beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,$

Siendo $\beta \,$el valor del ángulo opuesto al cateto $b\,$.

El ángulo contiguo al cateto $b\,$será $\alpha \,$ = 90° – $\beta \,$

También se puede obtener el valor del ángulo $\beta \,$mediante la ecuación:

          $\beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,$

Siendo $a\,$el otro cateto.

