Constante de Bruijn-Newman
# Constante de Bruijn-Newman

La constante de Bruijn-Newman, denotada por $\Lambda$ y nombrada así por Nicolaas Govert de Bruijn y Charles M. Newman, es una constante matemática definida a través de los ceros de cierta función $H:\mathbb {R} \times \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ , donde consideramos a $\lambda$ como la variable real y a $z$ como la variable compleja . Específicamente se define

    $H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)du$ ,

dónde $\Phi :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ es

    $\Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}$

la cual decae super -exponencialmente. Y de esta forma definimos $\Lambda$ como el único número real con la propiedad de que $H(\lambda ,\cdot )$ tiene solamente ceros reales si y solo si $\lambda \geq \Lambda$.

La constante $\Lambda$ está estrechamente relacionada con la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta de Riemann: dado que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que todos los ceros de $H(0,\cdot )$ son reales, la hipótesis de Riemann es equivalente a la conjetura de que $\Lambda$. Brad Rodgers y Terence Tao demostraron que $\Lambda <0$ no puede ser cierto, por lo que la hipótesis de Riemann es equivalente a $\Lambda =0$ . Posteriormente, Alexander Dobner proporcionó una prueba simplificada del resultado de Rodgers-Tao.

## Historia

De Bruijn demostró en 1950 que $H(\lambda ,\cdot )$ solo tiene ceros reales si $\lambda \geq {\frac {1}{2}}$ , y además, que si $H(\lambda ,\cdot )$ tiene solo ceros reales para algún $\lambda$, $H(\lambda ,\cdot )$ también tiene solo ceros reales si $\lambda$ se reemplaza por cualquier valor mayor. Newman demostró en 1976 la existencia de una constante $\Lambda$ para la cual se cumple la afirmación "si y solo si"; y esto implica entonces que $\Lambda$ es único. Newman también conjeturó que $\Lambda \geq 0$.

## Cotas Superiores

El límite superior de De Bruijn de $\Lambda \leq 1/2$ no mejoró hasta 2008, cuando Ki, Kim y Lee demostraron $\Lambda <1/2$, haciendo estricta la desigualdad .

En diciembre de 2018, el proyecto 15th Polymath mejoró el límite a $\Lambda \leq 0,22$ . Se envió un manuscrito del trabajo de Polymath a arXiv a fines de abril de 2019, y se publicó en la revista Research In the Mathematical Sciences en agosto de 2019.

Este límite fue mejorado ligeramente en abril de 2020 por Platt y Trudgian para $\Lambda \leq 0.2$ .

## Cotas inferiores a través del tiempo

Límites inferiores históricos :

| Año | Límite inferior en $\Lambda$ | Autores |
| - | - | - |
| 1987 | −50 | Csordas, G.; Norfolk, TS; Varga, RS |
| 1990 | −5 | Te Riele, HJJ |
| 1992 | −0.385 | Norfolk, TS; Ruttán, A.; Varga, RS |
| 1991 | −0.0991 | Csordas, G.; Ruttán, A.; Varga, RS |
| 1993 | −5,895 $×10^{−9}$ | Csordas, G.; Odlyzko, AM; Smith, W.; Varga, RS |
| 1994 | −4,379 $×10^{−6}$ | Csordas, George; Smith, Wayne; Varga, Richard S. |
| 2000 | −2,7 $×10^{−9}$ | Odlyzko, AM |
| 2011 | −1,1 $×10^{−11}$ | Saouter, Yannick; Gourdon, Xavier; Demichel, Patricio |
| 2018 | 0 | Rogers, Brad; Tao, Terencio |
