Número de cruce (teoría de grafos)
# Número de cruce (teoría de grafos)

En teoría de grafos, el número de cruce cr(G), también llamado número de cruzamiento, de un grafo G es el menor número de cruces de aristas en un diagrama plano del grafo G. Por ejemplo, un grafo es plano si y solo si su número de cruce es cero.

El estudio de los números de cruce tuvo su origen en el problema de la fábrica de ladrillos de Turán, en el cual Pál Turán buscó determinar el número de cruce del grafo bipartito completo $K_{m,n}.$ Sin embargo, el mismo problema de minimizar cruces fue también considerado en sociología aproximadamente al mismo tiempo que Turán, en conexión con la construcción de sociogramas. Sigue siendo de gran importancia en diagramado de grafos.

Sin otra especificación, el número de cruce permite diagramas en los que las aristas pueden ser representadas por curvas arbitrarias; el número de cruce rectilineo requiere que todas las aristas sean segmentos de línea recta, y puede diferir del número de cruce. En particular, el número de cruce rectilineo de un grafo completo es esencialmente el mismo que el número mínimo de cuadriláteros convexos determinados por un conjunto de "n" puntos en posición general, estrechamente relacionado con el problema del final feliz.

## Historia

Durante la Segunda Guerra Mundial, el matemático húngaro Pál Turán se vio obligado a trabajar en una fábrica de ladrillos, empujando vagones cargadas de ladrillos de los hornos a los almacenes. La fábrica tenía vías que iban de cada horno a cada almacén, y los vagones eran más difíciles de empujar en los puntos donde las vías se cruzaban, lo que llevó a Turán a plantearse su problema de la fábrica de ladrillos: ¿cuál es el número mínimo posible de cruces en un diagrama de un grafo bipartito completo?

Zarankiewicz intentó resolver el problema de la fábrica de ladrillos de Turán; su prueba contenía un error, pero estableció un límite superior válido de

    $cr(K_{m,n})\leq \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor$

para el número de cruce del grafo bipartito completo $K_{m,n}.$ La conjetura de que esta desigualdad es en realidad una igualdad hoy se conoce como conjetura del número de cruce de Zarankiewicz. El error en la prueba de la cota inferior no fue descubierto hasta once años después de su publicación, casi simultáneamente por Gerhard Ringel y Paul Kainen (véase "Decline and fall of Zarankiewicz's Theorem").

El problema de determinar el número de cruce del grafo completo fue planteado por primera vez por Anthony Hill, y aparece impreso en 1960. Hill y su colaborador John Ernest eran dos artistas constructivistas fascinados por las matemáticas, quienes no solo formularon este problema sino que también originaron un límite superior conjetural para este número de cruce, publicado por Richard K. Guy en 1960, a saber:

    $cr(K_{p})\leq (1/4)\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {p-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {p-2}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {p-3}{2}}\right\rfloor ,$

que da valores de $1,3,9,18,36,60,100,150$ para $p=1,\ldots ,12;$ (véase (sucesión A000241 en OEIS)).

Una formulación independiente de la conjetura fue hecha por Thomas L. Saaty en 1964. Saaty verificó además que el límite superior es alcanzado por $p\leq 10$; y Pan y Richter demostraron que también es alcanzado por $p=11,p=12.$ Si solo se permiten segmentos de línea recta, se necesitarán más cruces. Los números de cruce rectilíneos para $K_5$ hasta $K_{12}$ son 1, 3, 9, 19, 36, 62, 102, 153, y se conocen los valores hasta $K_{27},$ con $K_{28}$ requiriendo o 7233 o 7234 cruces. Valores posteriores son recogidos en el Rectilinear Crossing Number project. Curiosamente, no se sabe si los números de cruce ordinarios y rectilíneos son los mismos para grafos bipartitos completos. Si la conjetura de Zarankiewicz es correcta, entonces la fórmula para el número de cruce del grafo completo es asintóticamente correcta; es decir,

    $\lim _{p\to \infty }\;cr(K_{p})\;64/p^{4}=1.$

Hasta enero de 2012, se conocen los números de cruce de muy pocas familias de grafos. En particular, a excepción de algunos casos iniciales, el número de cruce de grafos completos, grafos bipartitos completos y productos de ciclos siguen siendo desconocidos. Ha habido algunos avances en cotas inferiores, según lo informado por de Klerk et al. (2006).

La conjetura de Albertson, formulada por Michael O. Albertson en 2007, establece que, entre todos los grafos con número cromático n, el grafo completo $K_n$ tiene el número mínimo de cruces. Es decir, si la conjetura de Guy-Saaty sobre el número de cruce del grafo completo es válida, cada grafo n-cromático tiene un número de cruce por lo menos igual al de la fórmula en la conjetura. Se sabe que esto es válido para n ≤ 16.

## Complejidad

En general, determinar el número de cruces de un gráfico es difícil; Garey y Johnson demostraron en 1983 que es un problema NP-difícil. De hecho, el problema sigue siendo NP-difícil incluso cuando se restringe a grafos cúbicos y a los gráficos casi planos (gráficos que se vuelven planos después de eliminar un solo borde). Más específicamente, determinar el número de cruce rectilíneo es de complejidad completa para la teoría existencial de los reales.

En el lado positivo, existen algoritmos eficientes para determinar si el número de cruce es menor que una constante fija k; en otras palabras, el problema es de complejidad parametrizada. Sigue siendo difícil para k más grandes, como |V|/2. También hay algoritmos de aproximación eficientes para estimar cr(G) en gráficos de grado acotado. En la práctica, se utilizan algoritmos heurísticos, como el algoritmo simple que comienza sin bordes y agrega continuamente cada nuevo borde de manera que produzca la menor cantidad posible de cruces adicionales. Estos algoritmos se utilizan en el proyecto Rectilinear Crossing Number mediante computación distribuida.

## Número de cruce de gráficos cúbicos

Los grafos cúbicos más pequeños con números de cruce del 1 al 8 se conocen como (sucesión A110507 en OEIS). El gráfico cúbico de 1 cruce más pequeño es el grafo bipartito completo $K_{3,3},$ con 6 vértices. El grafo cúbico de 2 cruces más pequeño es el grafo de Petersen, con 10 vértices. El grafo cúbico de 3 cruces más pequeño es el grafo de Heawood, con 14 vértices. El grafo cúbico de 4 cruces más pequeño es el grafo de Möbius-Kantor, con 16 vértices. El grafo cúbico de 5 cruces más pequeño es el grafo de Papo, con 18 vértices. El grafo cúbico de 6 cruces más pequeño es el grafo de Desargues, con 20 vértices. Ninguno de los cuatro grafos cúbicos de 7 cruces, con 22 vértices, es bien conocido. Los grafos cúbicos de 8 cruces más pequeños incluyen el grafo de Nauru y el grafo de McGee o (3,7)-jaula, con 24 vértices.

En 2009, Exoo conjeturó que el grafo cúbico más pequeño con el número de cruce 11 es el grafo de Coxeter, el grafo cúbico más pequeño con el número de cruce 13 es el grafo de Tutte-Coxeter y el grafo cúbico más pequeño con el número de cruce 170 es la 12-jaula de Tutte.

## La desigualdad del número de cruce

La muy útil desigualdad del número de cruce, descubierta independientemente por Ajtai, Chvátal, Newborn y Szemerédi y por Leighton, afirma que si un grafo G (no dirigido, sin bucles ni aristas múltiples) con n vértices y e aristas satisface

    $e>7n,\,$

entonces se tiene que

       $\operatorname {cr} (G)\geq {\frac {e^{3}}{29n^{2}}}.$

La constante 29 es la más conocida hasta la fecha, y se debe a Ackerman. La constante 7.5 se puede bajar a 4, pero a costa de reemplazar 29 con la peor constante de 64.

La motivación de Leighton para estudiar los números de cruce fue para aplicaciones al diseño de integración a muy gran escala en teoría de Ciencias de la Computación. Más tarde, Székely también se dio cuenta de que esta desigualdad producía pruebas muy simples de algunos teoremas importantes en geometría de la incidencia, como el teorema de Beck y el teorema de Szemerédi-Trotter. Tamal Dey lo usó para probar los límites superiores en k-conjuntos geométricos.

Para gráficos con cintura mayor que 2r y e ≥ 4n, Pach, Spencer y Tóth demostraron una mejora de esta desigualdad a:

       $\operatorname {cr} (G)\geq c_{r}{\frac {e^{r+2}}{n^{r+1}}}.$

### Demostración de la desigualdad del número de cruce

Primero se da una estimación preliminar: para cualquier grafo G con n vértices y e aristas, se tiene que

    $\operatorname {cr} (G)\geq e-3n.\,$

Para probar esto, considérese un diagrama G que tiene exactamente cr(G) cruces. Cada uno de estos cruces se puede eliminar eliminando un borde de G. Así, se puede encontrar un grafo con al menos $e-\operatorname {cr} (G)$ aristas y n vértices sin cruces, y por lo tanto es un grafo plano. Pero según la fórmula de Euler entonces se deben tener $e-\operatorname {cr} (G)\leq 3n$. De hecho, se tienen $e-\operatorname {cr} (G)\leq 3n-6$ para n ≥ 3.

Para obtener la desigualdad del número de cruce real, se usa un argumento probabilístico. Se deja que el parámetro 0 < p < 1 sea una probabilidad que se elija más tarde, y se construye un subgrafo aleatorio H de G permitiendo que cada vértice de G se encuentre en H independientemente con probabilidad p, y permitiendo que una arista de G se encuentre en H si y solo si sus dos vértices se eligieron para que se encuentren en H. Sea $e_{H}$ el número de aristas de H y $n_{H}$ sea el número de vértices.

Ahora considérese un diagrama de G con cr(G) cruces. Se puede suponer que cualquiera de los dos bordes en este diagrama con un vértice común son disjuntos, de lo contrario se podrían intercambiar las partes de intersección de los dos bordes y reducir el número de cruce en uno. Así, cada cruce en este diagrama involucra cuatro vértices distintos de G.

Dado que H es un subgrafo de G, este último diagrama contiene un diagrama de H. Sea ​​$\operatorname {cr} _{H}$ el número de cruces de este grafo aleatorio. Por la desigualdad del número de cruce previa, se tiene que

    $\operatorname {cr} _{H}\geq e_{H}-3n_{H}.$

Tomando estadísticamente esperanzas, se obtiene que

    ${\mathbb {E}}(\operatorname {cr} _{H})\geq {{\mathbb {E}}(e_{H})}-3{\mathbb {E}}(n_{H}).$

Como cada uno de los vértices n en G tenía una probabilidad p de estar en H, entonces ${\mathbb {E}}(n_{H})=pn$. De manera similar, dado que cada una de las aristas en G tiene una probabilidad $p^{2}$ de permanecer en H (ya que ambos extremos necesita permanecer en H), entonces ${\mathbb {E}}(e_{H})=p^{2}e$. Finalmente, todo cruce en el diagrama de G tiene una probabilidad $p^{4}$ de permanecer en H, ya que todo cruce involucra cuatro vértices, y por tanto ${\mathbb {E}}(\operatorname {cr} _{H})=p^{4}\operatorname {cr} (G)$. Así, se tiene que

    $p^{4}\operatorname {cr} (G)\geq p^{2}e-3pn.\,$

Si ahora se hace que p sea igual a 4n/e (que es menor que uno, ya que se supone que e es mayor que 4n), se obtiene después de un poco de álgebra que

    $\operatorname {cr} (G)\geq e^{3}/64n^{2}.\,$

Un ligero refinamiento de este argumento permite reemplazar 64 por 33.75 cuando "e" es mayor que 7.5 "n".

