Relación n-aria
# Relación n-aria

En matemáticas y lógica, una relación n-aria R (o a menudo comúnmente relación) es una generalización de la relación binaria, donde R está formada por una tupla de n términos:

    $R=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\;x_{1}\in X_{1}\;\land \;x_{2}\in X_{2}\;\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in X_{n}\;\land \;R(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\rm {{verdadero}\}}}$

Un predicado n-ario: $R(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\rm {verdadero}}$ es una función a valores de verdad de n variables.

Debido a que una relación como la anterior define de manera única un predicado n-ario que vale para $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ si y sólo si $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ está en $R\,$, y viceversa, la relación y el predicado se denotan a menudo con el mismo símbolo. Así pues, por ejemplo, las dos proposiciones siguientes se consideran como equivalentes:

* $R(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$
* $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in R$

## Ejemplo

La siguiente relación, definida sobre el conjunto N de los números naturales, es n-aria, pues posee n términos:

    $C=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,\;a_{n}):\;(a_{1},a_{2},\ldots ,\;a_{n})\in \mathbb {N} ^{n}\;\land \;(a_{1}<a_{2}<\ldots \;<a_{n})\}$

La relación dice que cada uno de los términos es mayor que el anterior. El valor de n es un parámetro fijo, que se puede explicitar, o bien dejar como genérico, para describir un caso general.

## Subtipos

Las relaciones se clasifican según el número de conjuntos en el producto cartesiano; en otras palabras, el número de términos en la expresión:

* Relación unaria: R(x).
* Relación binaria: R(x, y).
* Relación ternaria: R(x, y, z).
* Relación cuaternaria: R(x, y, z, t).

Las relaciones con más de 4 términos generalmente se llaman n-arias; por ejemplo "una relación 5-aria".

