Sistema reales naturales
# Sistema reales naturales

En el conjunto de los números reales existe un subconjunto propio, provisto de dos leyes de composición interna y una relación de orden. Se les llama el conjunto de los reales naturales, es isomorfo al sistema de los naturales ℕ, este dotado de dos operaciones: adición y multiplicación y una relación de orden

## Definición

Existe un subconjunto propio N de los reales tal que:

i) 0 está en N y si n está en N, lo está también n + 1. En este caso es un conjunto inductivo

ii) Sea S un subconjunto de N que satisface j) 0 está en S, jj) s+1 está en S, siempre que s es miembro de S, entonces

    S = N ( Principio de inducción matemática).

### Entero real

z es entero real si z es natural o el opuesto de real natural

### Potencias naturales de los reales

Sea a cualquier número real se define por inducción la potencia natural de n

    $a^0$ = 1
    $a^n$ = $a^{n-1}a$
    si n es negativo y a ≠ 0 entonces $a^n$ = $1/a^{-n}$

**Propiedades**

* $a^ma^n$ = $a^{m+n}$
* $(a^m)^n$ = $a^{mn}$
* $a^{-n}$ = $1/a^n,$ en donde a ≠ 0
* $(ab)^m$ = $a^mb^m$ .

**Propiedades**

**Cero se considera real natura**

* Para usar en aplicación del principio de inducción matemática
* Para escribir los naturales en cualquier base de un sistema de numeración, que reclama el 0.
* Para definir la potencia cero de un número, inductivamente como lo hace 'todo el mundo'
* Para denotar el término inicial de una sucesión en muchos casos.
* Para enumerar las raíces enésimas complejas de la unidad desde 0 hasta n-1.
* El cero se identifica con ∅ y con la clase de los conjuntos que no tienen elementos.
