Triángulo aritmético de Fibonacci
# Triángulo aritmético de Fibonacci

Es una ordenación triangular de números enteros impares que utilizó Fibonacci para demostrar la identidad $\,1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}$

## El triángulo

| 1 |
| - |
| 5 | 3 |
| 11 | 9 | 7 |
| 19 | 17 | 15 | 13 |
| 29 | 27 | 25 | 23 | 21 |
| 41 | 39 | 37 | 35 | 33 | 31 |
| 55 | 53 | 51 | 49 | 47 | 45 | 43 |
| 71 | 69 | 67 | 65 | 63 | 61 | 59 | 57 |
| 89 | 87 | 85 | 83 | 81 | 79 | 77 | 75 | 73 |
| 109 | 107 | 105 | 103 | 101 | 99 | 97 | 95 | 93 | 91 |

## La demostración

Fibonacci observó que cada k-ésima fila es una progresión aritmética cuyo valor medio es k². Por consiguiente, la suma de los k términos de la k-ésima fila es k ·k² = k³. La suma S de las primeras n filas consecutivas es $\,S=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}$. Además Fibonacci conocía un resultado que la leyenda atribuye a Pitágoras: la suma de los primeros m enteros impares es igual a m². De esta forma $\,S=(1+2+3+...+n)^{2}$ porque en las primeras k filas hay 1 + 2 + 3 + ... + k números enteros impares.

## Propiedades elementales del triángulo de Fibonacci

* La k-ésima fila tiene k elementos.
* La suma de los elementos de la k-ésima fila es igual a k³.
* El menor número entero impar que forma parte de la k-ésima fila es igual a k² - (k - 1).
* El mayor número entero impar que está en la k-ésima fila es igual a k² + (k - 1).

## Identidades deducidas del triángulo

Conocemos la identidad $\,1+2+3+...+n={\frac {n^{2}+n}{2}}$, que se demuestra por inducción matemática en los cursos elementales de álgebra. También sabemos que $\,1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}$.

La suma de cubos de números enteros hasta un valor arbitrario n-1 es $\,1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+(n-1)^{3}=\left({\frac {\left(\,n-1\right)^{2}+\left(\,n-1\right)}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {n^{2}-2\cdot n+1+n-1}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {n^{2}-n}{2}}\right)^{2}$.

Evidentemente $\,n^{3}=\left(\,1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}\right)-\left(\,1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+(n-1)^{3}\right)=\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {n^{2}-n}{2}}\right)^{2}=$ $=\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {(n-1)^{2}+(n-1)}{2}}\right)^{2}$.

La primera identidad deducida nos dice, entonces, que todo cubo es una diferencia de cuadrados, los cuadrados de dos números triangulares consecutivos cuyos órdenes son la raíz cúbica del cubo y ésta menos la unidad.

La segunda identidad es una generalización de verificación inmediata: $n^{2j-1}=\left({\frac {n^{j}+n^{j-1}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {n^{j}-n^{j-1}}{2}}\right)^{2}$. Cualquier potencia de exponente impar puede escribirse como una diferencia de cuadrados.

Aunque originalmente estas consideraciones fueron efectuadas para números enteros, las identidades deducidas valen en el campo real.

## Notas y referencias

* ↑ Dantzig, Tobías (1971). «Segunda Parte, B, Temas de los Enteros». El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana S.A. p. 278.
* ↑ Dantzig, Tobías (1971). «Segunda Parte, B, Temas de los Enteros». El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana S.A. pp. 277,78.
* Datos: Q6152984
