Relación Faber-Jackson
# Relación Faber-Jackson

La relación Faber-Jackson es una temprana y empírica ley potencial que establece la relación entre la luminosidad $L$ y la dispersión de velocidades $\sigma$ de las estrellas centrales de una de una galaxia elíptica para el cálculo de su distancia. Está dada por:

    $L=C\times \sigma ^{4}$

Fue establecida por vez primera por los astrónomos Sandra M. Faber y Robert Earl Jackson en 1976.

## Demostración

El potencial de un gas de Radio R y masa M con densidad constante está dado por:

    $U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}$

La energía cinética se puede representar como:

    $K={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}$

Por el Teorema de virial $2K+U=0$ se tiene:

    $\sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}$ para una masa M virializada.

Si se supone que la relación masa-luminosidad es constante ${\frac {M}{L}}=C$, entonces:

    $M\propto L$

Despejando M e igualando:

    $L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}$

entonces:

    $R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}$

Suponiendo el mismo brillo superficial:

    $B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}$, entonces:
    $L=4\pi R^{2}B$

sustituyendo:

    $L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B$

desarrollando:

    $L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}$

es decir:

    $L\propto \sigma ^{4}$

o

    $L=C\times \sigma ^{4}$
