Distribución F
# Distribución F

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución F, también conocida como distribución de Fisher-Snedecor (nombrada por Ronald Fisher y George Snedecor), es una distribución de probabilidad continua, aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

## Definición

Sea $X$ una variable aleatoria continua y sean $m,n\in \mathbb {Z}$. Se dice que la variable aleatoria $X$ tiene una distribución $F$ con $m$ y $n$ grados de libertad y escribimos $X\sim F_{m,n}$ si su función de densidad está dada por

    $f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {m+n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}{\frac {x^{\frac {m-2}{2}}}{\left(1+{\frac {mx}{n}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}}$

para $x>0$.

La expresión anterior también suele escribirse como

    $f(x)={\frac {1}{x\operatorname {B} \left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}}{\sqrt {\frac {(mx)^{m}n^{n}}{(mx+n)^{m+n}}}}$

donde $\operatorname {B}$ es la función beta.

## Propiedades

Si $X\sim F_{m,n}$ entonces la variable aleatoria $X$ satisface algunas propiedades:

### Media

La media de $X$ es

    $\operatorname {E} [X]={\frac {n}{n-2}}$

para $n>2$.

### Varianza

La varianza de $X$ está dada por

    $\operatorname {Var} (X)={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}$

para $n>4$.

## Teorema

Sean $U$ y $V$ variables aleatorias independientes tales que $U\sim \chi _{m}^{2}$ y $V\sim \chi _{n}^{2}$, esto es $U$ y $V$ siguen una distribución chi-cuadrado con $m$ y $n$ grados de libertad respectivamente entonces la variable aleatoria

    ${\frac {U/m}{V/n}}\sim F_{m,n}$

donde $F_{m,n}$ denota la distribución $F$ con $m$ y $n$ grados de libertad.

### Demostración

Utilizaremos el teorema del cambio de variable, definimos

    $X:={\frac {U/m}{V/n}}\qquad {\mbox{y}}\qquad Y:=V$

La función de densidad conjunta de $U$ y $V$ está dada por

    ${\begin{aligned}f_{U,V}(u,v)&=f_{U}(u)f_{V}(v)\\&={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{m/2}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)}}u^{{\frac {m}{2}}-1}e^{-{\frac {u}{2}}}{\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}v^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {v}{2}}}\\&={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}u^{{\frac {m}{2}}-1}v^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {u+v}{2}}}\end{aligned}}$

como U=m/n XY{\textstyle U={\frac {m}{n}}XY} y $V=Y$ entonces el Jacobiano de la transformación está dado por

    $J=\left|{\begin{matrix}{\frac {m}{n}}y&{\frac {m}{n}}x\\0&1\end{matrix}}\right|={\frac {m}{n}}y$

La función de densidad conjunta de $(X,Y)$ está determinada por

    ${\begin{aligned}f_{X,Y}(x,y)&={\frac {m}{n}}y\,{\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}xy\right)^{{\frac {m}{2}}-1}y^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {m}{n}}x+1)y}\\&={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}x^{{\frac {m}{2}}-1}y^{{\frac {m+n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {m}{n}}x+1)y}\end{aligned}}$

y como la densidad marginal de $X$ está dada por

    $f_{X}(x)=\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)dy$

entonces

    ${\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}x^{{\frac {m}{2}}-1}\int _{0}^{\infty }y^{{\frac {m+n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {m}{n}}x+1)y}dy\\&={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}x^{{\frac {m}{2}}-1}{\frac {\Gamma \left({\frac {m+n}{2}}\right)}{\left[{\frac {1}{2}}({\frac {m}{n}}x+1)\right]^{\frac {m+n}{2}}}}\\&={\frac {\Gamma \left({\frac {m+n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}{\frac {x^{\frac {m-2}{2}}}{\left({\frac {m}{n}}x+1\right)^{\frac {m+n}{2}}}}\\\end{aligned}}$

que corresponde a la función de densidad de una variable aleatoria con distribución $F$, por lo tanto

    ${\frac {U/m}{V/n}}\sim F_{m,n}$

## A partir de una muestra con distribución normal

Sean $X_{1},X_{2},\dots ,X_{m+1}$ una muestra aleatoria de la distribución $N(\mu _{x},\sigma _{x}^{2})$ y $Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n+1}$ una muestra aleatoria de la distribución $N(\mu _{y},\sigma _{y}^{2})$ donde ambas muestras son independientes entre sí, se tiene que

    ${\bar {X}}=\sum _{i=1}^{m+1}{\frac {X_{i}}{m+1}}\qquad {\mbox{y}}\qquad {\bar {Y}}=\sum _{j=1}^{n+1}{\frac {Y_{j}}{n+1}}$
    $S_{X}^{2}=\sum _{i=1}^{m+1}{\frac {\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{m}}\qquad {\mbox{y}}\qquad S_{Y}^{2}=\sum _{j=1}^{n+1}{\frac {\left(Y_{i}-{\bar {Y}}\right)^{2}}{n}}$

entonces

    ${\frac {mS_{X}^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}\sim \chi _{m}^{2}\qquad {\mbox{y}}\qquad {\frac {nS_{Y}^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}\sim \chi _{n}^{2}$

y por el teorema anterior

    ${\frac {S_{X}^{2}/\sigma _{X}^{2}}{S_{Y}^{2}/\sigma _{Y}^{2}}}\sim F_{m,n}$

## Distribuciones Relacionadas

* Si $X\sim F_{m,n}$ entonces $Y=\lim _{n\to \infty }mX$ tiene una distribución chi cuadrada $\chi _{m}^{2}$.
* Si $X\sim \chi _{m}^{2}$ y $Y\sim \chi _{n}^{2}$ son independientes entonces ${\frac {X/m}{Y/n}}\sim F_{m,n}$.
* Si $X\sim \operatorname {Beta} \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\beta }{2}}\right)$ entonces ${\frac {\beta X}{\alpha (1-X)}}\sim F_{\alpha ,\beta }$.
* Si $X\sim F_{m,n}$ entonces $X^{-1}\sim F_{n,m}$.
* Si $X\sim t_{(n)}$ — Distribución t de Student — entonces : $X^{2}\sim F_{1,n}$
* Si $X\sim \Gamma (\alpha _{1},\beta _{1})$ y $Y\sim \Gamma (\alpha _{2},\beta _{2})$ son independientes entonces ${\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X}{\alpha _{1}\beta _{2}Y}}\sim F_{2\alpha _{1},2\alpha _{2}}$.
