Módulo semisimple
# Módulo semisimple

En matemáticas, concretamente en álgebra abstracta y teoría de módulos, un módulo semisimple o módulo completamente reducible es un tipo de módulo que se expresa como suma directa de submódulos simples. Los anillos que son módulos semisimples sobre sí mismos se llaman anillos semisimples, y su estructura queda determinada por el Teorema de Artin-Wedderburn, que los caracteriza como isomorfos a un producto directo de anillos de matrices sobre anillos de división.

## Definición

Un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) se dice semisimple (o completamente reducible) cuando es una suma directa de submódulos simples.

### Caracterización

Para un módulo cualquiera $M$, equivalen:

* $M$ es semisimple, suma directa de módulos simples.
* $M$ es la suma directa de sus submódulos simples.
* Cada submódulo de $M$ es un sumando directo; es decir, para cada submódulo $N$ de $M$, existe un complemento $P$ tal que $M=N\oplus P$.

## Propiedades

* Si $M$ es semisimple y $N$ es un submódulo, entonces $N$ y $M/N$ son también semisimples.
* Si cada $M_{i}$ es un módulo semisimple, también lo es $\bigoplus _{i}M_{i}$.
* Un módulo $M$ es finitamente generado y semisimple si y sólo si es artiniano y su radical es cero.
