Distribución conjunta
# Distribución conjunta

* Tipo de distribución de probabilidad
* $X$
* $Y$
* $p(X)$
* $p(Y)$
* Muchas observaciones de muestras (en negro) se observan a partir de una distribución de probabilidad conjunta. También se muestran las densidades marginales.

En probabilidad, dados dos eventos aleatorios X y Y, la distribución conjunta de X e Y es la distribución de probabilidad de la intersección de eventos de X e Y, esto es, de los eventos X e Y ocurriendo de forma simultánea. En el caso de solo dos variables aleatorias se denomina una distribución bivariada, pero el concepto se generaliza a cualquier número de eventos o variables aleatorias.

## Caso discreto

Para variables aleatorias discretas, la función de probabilidad conjunta está dada por la siguiente expresión:

    ${\begin{aligned}\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {y} \ Y=y)&=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)\\&=\mathrm {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y).\end{aligned}}$

Dadas esas probabilidades, se tiene que:

    $\sum _{x}\sum _{y}\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {y} \ Y=y)=1.\;$

## Caso continuo

Para las variables aleatorias continuas la función de densidad de probabilidad conjunta puede ser escrita como $f_{X,Y}(x,$ y) teniendo:

    $f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\;$

Donde $f_{Y|X}(y|x)$ y $f_{X|Y}(x|y)$ dan la Probabilidad condicionada de Y dado X = x y de X dado Y = y respectivamente, y $f_X(x)$ y $f_Y(y)$ dada la distribución marginal para X y Y respectivamente.

De nuevo, dado que son distribuciones de probabilidad:

    $\int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.$
