Relación ternaria
# Relación ternaria

Una relación ternaria R es el subconjunto de los elementos de $A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\$ que cumplen una determinada condición:

    $R=\{(a_{1},a_{2},a_{3}):\;(a_{1},a_{2},a_{3})\in A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\land \ R(a_{1},a_{2},a_{3})=Verdadero\}$

## Ejemplo

* Dado el conjunto $\mathbb {N}$ de los números naturales, se define la relación ternaria $R(x,y,z)$ tal que $x+y=z$

    $R=\{(x,y,z):(x,y,z)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \mathbb {N} \land x+y=z\}$
    $R=\{(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),(2,2,4),\cdots \}$

## Clasificación

### Relaciones homogéneas

Una relación ternaria homogénea $R$ se llama así si para todo $x,y,z$ se cumple:

* simétrica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (y,x,z)\in \ R$.
* simétrica (simétrica): $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (z,y,x)\in \ R$.
* simétrica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (x,z,y)\in \ R$.
* Completamente simétrica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (u,v,w)\in \ R$, siendo $(u,v,w)$ $(x,y,z)$.
* asimétrica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (z,y,x)\notin \ R$.
* Completamente asimétrica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (u,v,w)\notin \ R$, siendo $(u,v,w)$ $(x,y,z)$.
* Completamente reflexiva: ${\mbox{card}}\{x,y,z\}\leq 2\Rightarrow (x,z,y)\in \ R$.
* Transitiva: $(x,y,z),(x,z,u)\in \ R\Rightarrow (x,y,u)\in \ R$.
* Cíclica: $(x,y,z)\in \ R\Rightarrow (z,x,y)\in \ R$.
* Completa: $x\neq y\neq z\neq x\Rightarrow \exists (u,v,w)\in \ R$, siendo $(u,v,w)$ $(x,y,z)$.
