Teorema del valor medio de Cauchy
# Teorema del valor medio de Cauchy

En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir de este puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones $\textstyle {\frac {0}{0}}$ o $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$.

## Enunciado

El teorema, aparecido en su Cours d’Analyse (1821), se enuncia de la siguiente manera:

* Sean $f$ y $g$ continuas en $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$. Entonces existe al menos un punto $c\in (a,b)$ tal que:
* $(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,$
* En el caso de que g(a) ≠ g(b) y además g′(c) ≠ 0, entonces se puede escribir:
* ${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot$
* Augustin Louis Cauchy

Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.

## Demostración

* Sea G(x) una función definida como:

   $G(x)=[g(b)-g(a)]\cdot [f(x)-f(a)]-[f(b)-f(a)]\cdot [g(x)-g(a)]\,\!$
    donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0.
* Por el Teorema de Rolle, existe un c, perteneciente al intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) se obtiene:

   $G'(x)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(x)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(x)$
    y sabiendo que G'(c) es 0
   $0=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)$
    de donde se deduce que
   $[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)$
* Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:

   ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$

Q.E.D.

## Consecuencias

El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:

   $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

muy usada en análisis matemático, para el cálculo de límites de la forma de $\textstyle {\frac {0}{0}}$ o $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$.

