Politopo de cruce
# Politopo de cruce

En geometría, un politopo de cruce u ortoplex, es un politopo regular convexo que existe en cualquier número de dimensiones. Los vértices de un politopo de cruce consisten de todas las permutaciones de (±1, 0, 0, …, 0). El politopo de cruce es el casco o envoltorio convexo de sus vértices. (Nota: algunos autores definen al politopo convexo sólo como la envoltura de esta región).

En una dimensión, el politopo de cruce es simplemente un segmento de línea [−1, +1], en dos dimensiones es el cuadrado con vértices {(±1, 0), (0, ±1)}. En tres dimensiones es el octaedro (uno de los cinco poliedros conocidos como sólidos platónicos. Los politopos de cruce en mayor número de dimensiones son generalizaciones de estos.

| 2 dimensiones | 3 dimensiones | 4 dimensiones |
| - | - | - |

El politopo de cruce es el dual del politopo de medida.

## Cuatro dimensiones

El politopo de cruce de cuatro dimensiones tiene el nombre de hexadecacoron o 16-cell, uno de los seis polícoros regulares. Estos polícoros fueron descriptos originalmente por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX.

## Dimensiones mayores

En n dimensiones con n > 4 existen sólo tres politopos regulares: el simplex, el politopo de medida, y el politopo de cruce, siendo estos dos últimos duales y el simplex auto-dual.

El politopo de cruce n-dimensional tiene 2n vértices, y $2^n$ facetas (componentes (n−1)-dimensionales) todos los cuales son n−1-simplices. Las figuras de vértice son todas politopos de cruce (n−1)dimensionales. El símbolo de Schläfli del politopo de cruce es {3,3,…,3,4}.

El número de componentes k-dimensionales (vértices, aristas, caras, …, facetas) de un politopo de cruce n-dimensional está determinado por (ver coeficiente binomial):

    $2^{k+1}{n \choose {k+1}}$

Para los primeros n y k tendremos:

Elementos de los Politopos de Cruce :

| n | $β_n$ $k_{11}$ | Name(s) Grafo | Schläfli | Vértices | Aristas | Caras | 3-caras | 4-caras | 5-caras | 6-caras | 7-caras | 8-caras | 9-caras |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | $β_1$ | Segmento 1-ortoplex | | 2 | | | | | | | | | |
| 2 | $β_2$ $−1_{11}$ | Cuadrado 2-ortoplex Bicruce | {4}+ | 4 | 4 | | | | | | | | |
| 3 | $β_3$ $0_{11}$ | Octaedro 3-orthoplex Tricruce | {3,4} ${3^{0,1,1}}++$ | 6 | 12 | 8 | | | | | | | |
| 4 | $β_4$ $1_{11}$ | Hexadecacoron 4-orthoplex Tetracruce | {3,3,4} ${3^{1,1,1}}$ 4 | 8 | 24 | 32 | 16 | | | | | | |
| 5 | $β_5$ $2_{11}$ | 5-ortoplex Pentacruce | ${3^3,4}$ ${3^{2,1,1}}$ 5 | 10 | 40 | 80 | 80 | 32 | | | | | |
| 6 | $β_6$ $3_{11}$ | 6-ortoplex Hexacruce | ${3^4,4}$ ${3^{3,1,1}}$ 6 | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | | | | |
| 7 | $β_7$ $4_{11}$ | 7-ortoplex Heptacruce | ${3^5,4}$ ${3^{4,1,1}}$ 7 | 14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | | | |
| 8 | $β_8$ $5_{11}$ | 8-ortoplex Octacruce | ${3^6,4}$ ${3^{5,1,1}}$ 8 | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | | |
| 9 | $β_9$ $6_{11}$ | 9-ortoplex Eneacruce | ${3^7,4}$ ${3^{6,1,1}}$ 9 | 18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | |
| 10 | $β_{10}$ $7_{11}$ | 10-ortoplex Decacruce | ${3^8,4}$ ${3^{7,1,1}}$ 10 | 20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 |
| n | $β_n$ $k_{11}$ | n-ortoplex n-cruce | ${3^{n−2},4}$ ${3^{n−3,1,1}}$ n | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., $2^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., $2^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., $2^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., $2^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., $2^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., $2^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., $2^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., $2^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., $2^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., $2^n$ (n-1)-caras |

Los vértices de un politopo de cruz alineado según los ejes están todos a igual distancia unos de otros en la Distancia Manhattan $(L^1$ norm). La Conjetura de Kusner's afirma que afirma que este conjunto de puntos 2D es el mayor conjunto equidistante posible para esta distancia.

