Base holonómica
# Base holonómica

En matemáticas y física matemática, una base coordenada o base holonómica para una variedad diferenciable $M$, es un conjunto de bases de campos vectoriales $\{e_{a}\}$ definido en cada punto $P$ de una región de la variedad como

    $\mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},$

donde $s$ es el vector de desplazamiento infinitesimal entre el punto $P$ y un punto cercano $Q$ cuya separación de coordenadas desde $P$ es $\delta x^{a}$ a lo largo de la curva de coordenadas $x^{a}$ (ej. la curva en la variedad a través de $P$ para la cual la coordenada $x^{a}$ varía pero todas las demás coordenadas son constantes.

Es posible hacer una asociación entre tal base y operadores derivados direccionales. Dada una curva parametrizada $C$ en la variedad definida por $x^{a}(\lambda )$ con el vector tangente $u=u^{a}e_{a}$, donde $u^{a}={\tfrac {dx^{a}}{d\lambda }}$, y una función $f(x^{a})$ definida en un entorno de $C$, la variación de $f$ a lo largo de $C$ puede ser escrita como

    ${\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}.$

Ya que tenemos que $u=u^{a}e_{a}$, la identificación es comúnmente hecha entre un vector de base de coordenadas $e_{a}$ y el operador diferencial parcial ${\tfrac {\partial }{\partial x^{a}}}$, bajo la interpretación de las relaciones de todos los vectores como iguales entre operadores actuando en cantidades escalares.

Una condición local para que una base $\{e_{k}\}$ sea holonómica es que (con esta interpretación) todas las derivadas de Lie mutuas, desaparezcan:

    $\left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]=0.$

Una base que no es holonómica, se le llama base no holonómica o base no coordenada.

Es generalmente imposible encontrar una base holonómica que también sea ortogonal en cada región abierta $U$ de una variedad $M$, con una obvia excepción del espacio coordenado real $R^{n}$, considerado como una variedad con la métrica euclidiana ${\delta }_{ij}$ en cada punto.

