Sedeniones
# Sedeniones

Los sedeniones forman un álgebra 16-dimensional sobre los números reales y se obtienen aplicando la Construcción de Cayley-Dickson sobre los octoniones.

Como en los octoniones, la multiplicación de sedeniones no es conmutativa, ni asociativa. Pero al contrario que los octoniones, los sedeniones no tienen ni siquiera la propiedad de ser un álgebra alternativa. Sin embargo, tienen la propiedad de ser potencia-asociativos.

Los sedeniones tienen el 1 como elemento neutro e inversas para la multiplicación, pero no son un álgebra de división, ya que tienen divisores del cero.

Todo sedenión es una combinación lineal de los sedeniones unitarios 1, $e_1,$ $e_2,$ $e_3,$ $e_4,$ $e_5,$ $e_6,$ $e_7,$ $e_8,$ $e_9,$ $e_{10},$ $e_{11},$ $e_{12},$ $e_{13},$ $e_{14}$ y $e_{15},$ que forman la base del espacio vectorial de los sedeniones. La tabla de multiplicación de estos sedeniones unitarios es la siguiente.

| × | 1 | $e_1$ | $e_2$ | $e_3$ | $e_4$ | $e_5$ | $e_6$ | $e_7$ | $e_8$ | $e_9$ | $e_{10}$ | $e_{11}$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{14}$ | $e_{15}$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 1 | $e_1$ | $e_2$ | $e_3$ | $e_4$ | $e_5$ | $e_6$ | $e_7$ | $e_8$ | $e_9$ | $e_{10}$ | $e_{11}$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{14}$ | $e_{15}$ |
| $e_1$ | $e_1$ | −1 | $e_3$ | $−e_2$ | $e_5$ | $−e_4$ | $−e_7$ | $e_6$ | $e_9$ | $−e_8$ | $−e_{11}$ | $e_{10}$ | $−e_{13}$ | $e_{12}$ | $e_{15}$ | $−e_{14}$ |
| $e_2$ | $e_2$ | $−e_3$ | −1 | $e_1$ | $e_6$ | $e_7$ | $−e_4$ | $−e_5$ | $e_{10}$ | $e_{11}$ | $−e_8$ | $−e_9$ | $−e_{14}$ | $−e_{15}$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ |
| $e_3$ | $e_3$ | $e_2$ | $−e_1$ | −1 | $e_7$ | $−e_6$ | $e_5$ | $−e_4$ | $e_{11}$ | $−e_{10}$ | $e_9$ | $−e_8$ | $−e_{15}$ | $e_{14}$ | $−e_{13}$ | $e_{12}$ |
| $e_4$ | $e_4$ | $−e_5$ | $−e_6$ | $−e_7$ | −1 | $e_1$ | $e_2$ | $e_3$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{14}$ | $e_{15}$ | $−e_8$ | $−e_9$ | $−e_{10}$ | $−e_{11}$ |
| $e_5$ | $e_5$ | $e_4$ | $−e_7$ | $e_6$ | $−e_1$ | −1 | $−e_3$ | $e_2$ | $e_{13}$ | $−e_{12}$ | $e_{15}$ | $−e_{14}$ | $e_9$ | $−e_8$ | $e_{11}$ | $−e_{10}$ |
| $e_6$ | $e_6$ | $e_7$ | $e_4$ | $−e_5$ | $−e_2$ | $e_3$ | −1 | $−e_1$ | $e_{14}$ | $−e_{15}$ | $−e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{10}$ | $−e_{11}$ | $−e_8$ | $e_9$ |
| $e_7$ | $e_7$ | $−e_6$ | $e_5$ | $e_4$ | $−e_3$ | $−e_2$ | $e_1$ | −1 | $e_{15}$ | $e_{14}$ | $−e_{13}$ | $−e_{12}$ | $e_{11}$ | $e_{10}$ | $−e_9$ | $−e_8$ |
| $e_8$ | $e_8$ | $−e_9$ | $−e_{10}$ | $−e_{11}$ | $−e_{12}$ | $−e_{13}$ | $−e_{14}$ | $−e_{15}$ | −1 | $e_1$ | $e_2$ | $e_3$ | $e_4$ | $e_5$ | $e_6$ | $e_7$ |
| $e_9$ | $e_9$ | $e_8$ | $−e_{11}$ | $e_{10}$ | $−e_{13}$ | $e_{12}$ | $e_{15}$ | $−e_{14}$ | $−e_1$ | −1 | $−e_3$ | $e_2$ | $−e_5$ | $e_4$ | $e_7$ | $−e_6$ |
| $e_{10}$ | $e_{10}$ | $e_{11}$ | $e_8$ | $−e_9$ | $−e_{14}$ | $−e_{15}$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ | $−e_2$ | $e_3$ | −1 | $−e_1$ | $−e_6$ | $−e_7$ | $e_4$ | $e_5$ |
| $e_{11}$ | $e_{11}$ | $−e_{10}$ | $e_9$ | $e_8$ | $−e_{15}$ | $e_{14}$ | $−e_{13}$ | $e_{12}$ | $−e_3$ | $−e_2$ | $e_1$ | −1 | $−e_7$ | $e_6$ | $−e_5$ | $e_4$ |
| $e_{12}$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{14}$ | $e_{15}$ | $e_8$ | $−e_9$ | $−e_{10}$ | $−e_{11}$ | $−e_4$ | $e_5$ | $e_6$ | $e_7$ | −1 | $−e_1$ | $−e_2$ | $−e_3$ |
| $e_{13}$ | $e_{13}$ | $−e_{12}$ | $e_{15}$ | $−e_{14}$ | $e_9$ | $e_8$ | $e_{11}$ | $−e_{10}$ | $−e_5$ | $−e_4$ | $e_7$ | $−e_6$ | $e_1$ | −1 | $e_3$ | $−e_2$ |
| $e_{14}$ | $e_{14}$ | $−e_{15}$ | $−e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{10}$ | $−e_{11}$ | $e_8$ | $e_9$ | $−e_6$ | $−e_7$ | $−e_4$ | $e_5$ | $e_2$ | $−e_3$ | −1 | $e_1$ |
| $e_{15}$ | $e_{15}$ | $e_{14}$ | $−e_{13}$ | $−e_{12}$ | $e_{11}$ | $e_{10}$ | $−e_9$ | $e_8$ | $−e_7$ | $e_6$ | $−e_5$ | $−e_4$ | $e_3$ | $e_2$ | $−e_1$ | −1 |
