Politopo cíclico
# Politopo cíclico

En matemáticas, un politopo cíclico, denotado como C(n,d), es un tipo de politopo convexo formado como la envolvente convexa de n puntos distintos de una curva normal racional en $R^d,$ donde n es mayor que d. Estos politopos fueron estudiados por Constantin Carathéodory, David Gale, Theodore Motzkin, Victor Klee y otros. Desempeñan un papel importante en la combinatoria poliédrica: según el teorema del límite superior, demostrado por Peter McMullen y Richard Stanley, el límite Δ(n,d) del politopo cíclico C (n,d) maximiza el número $f_i$ de caras de dimensión i entre todos las esferas simpliciales de dimensión d − 1 con n vértices.

## Definición

La curva de momentos en $\mathbb {R} ^{d}$ está definida por

    $\mathbf {x} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{d},\mathbf {x} (t):={\begin{bmatrix}t,t^{2},\ldots ,t^{d}\end{bmatrix}}^{T}$.

El politopo cíclico de dimensión $d$ con $n$ vértices es la envolvente convexa

    $C(n,d):=\mathbf {conv} \{\mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})\}$

de $n>d\geq 2$ distintos puntos $\mathbf {x} (t_{i})$ con $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ en la curva de momentos.

La estructura combinatoria de este politopo es independiente de los puntos elegidos, y el politopo resultante tiene dimensión d y n vértices. Su límite es un politopo simplicial (d − 1)-dimensional denotado Δ(n,d).

## Condición de uniformidad de Gale

La condición de uniformidad de Gale proporciona una condición necesaria y suficiente para determinar una cara en un politopo cíclico.

Sea $T:=\{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\}$. Entonces, si y solo si un subconjunto $d$ $T_{d}\subseteq T$ forma una faceta de $C(n,d)$. Dos elementos cualquiera en $T\setminus T_{d}$ están separados por un número par de elementos de $T_{d}$ en la secuencia $(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})$.

## Politopos vecinos

Los politopos cíclicos son ejemplos de politopos vecinos, ya que cada conjunto de como máximo d/2 vértices forma una cara. Fueron los primeros politopos vecinos conocidos, y Theodore Motzkin conjeturó que todos los politopos vecinos son combinatoriamente equivalentes a los politopos cíclicos, pero ahora se sabe que esto es falso.

## Número de caras

El número de caras de dimensión i del politopo cíclico Δ(n,d) viene dado por la fórmula

    $f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor$

y $(f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})$ determinan completamente $(f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})$ a través de las ecuaciones de Dehn-Sommerville.

## Teorema del límite superior

El teorema del límite superior establece que los politopos cíclicos tienen el máximo número posible de caras para una determinada dimensión y número de vértices: si Δ es una esfera simplicial de dimensión d − 1 con n vértices, entonces

    $f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {for}}\quad i=0,1,\ldots ,d-1.$

La conjetura del límite superior para los politopos simpliciales fue propuesta por Theodore Motzkin en 1957 y probada por Peter McMullen en 1970. Victor Klee sugirió que la misma declaración debería ser válida para todas las esferas simpliciales y esto fue establecido en 1975 por Richard P. Stanley utilizando la noción del anillo de Stanley-Reisner y métodos homológicos.

