Fórmula barométrica
# Fórmula barométrica

La fórmula barométrica, a veces llamada atmósfera exponencial o atmósfera isotérmica, es una fórmula utilizada para modelar cómo la presión y la densidad del aire cambian con la altitud. La presión disminuye aproximadamente en 11,3 pascales por metro en los primeros 1000 metros sobre el nivel del mar.

## Ecuaciones de presión

Existen dos ecuaciones diferentes para calcular la presión en varios regímenes de altura por debajo de 86 km (o 278 400 pies). La primera ecuación se utiliza cuando el valor de la temperatura estándar «tasa de caída» no es igual a cero:

    ${P}=P_{b}\cdot \left[{\frac {T_{b}+L_{b}\cdot (h-h_{b})}{T_{b}}}\right]^{\textstyle {\frac {-g_{0}\cdot M}{R^{*}\cdot L_{b}}}}$
    $P=P_{b}\cdot \exp \left[{\frac {-g_{0}\cdot M\cdot (h-h_{b})}{R^{*}\cdot T_{b}}}\right]$

donde:

    $P_{b}$ = presión de referencia (Pa)
    $T_{b}$ = temperatura de referencia (K)
    $L_{b}$ = «tasa de caída» de la temperatura (K/m) en ISA
    $h$ = altura a la que se calcula la presión (m)
    $h_{b}$ = altura del nivel de referencia b (meters; e.g., $h_b$ = 11 000 m)
    $R^{*}$ = Constante de los gases ideales: 8.3144598 J/(mol·K)
    $g_{0}$ = aceleración de la gravedad en la Tierra: 9.80665 $m/s^2$
    $M$ = masa molar del aire de la Tierra: 0.0289644 kg/mol

O convertido a «unidades imperiales»:

dónde

    $P_{b}$ = presión de referencia ( pulgadas de mercurio)
    $T_{b}$ = temperatura de referencia (K)
    $L_{b}$ = «tasa de caída» de la temperatura (K/ft) en ISA
    $h$ = altura a la que se calcula la presión (ft)
    $h_{b}$ = altura del nivel de referencia b (feet; e.g., $h_b$ = 36,089 ft)
    $R^{*}$ = Constante de los gases $ideales:8.9494596×10^4$ $lb·ft^2/(lb-mol·K·s^2)$
    $g_{0}$ = aceleración de lagravedad: 32.17405 $ft/s^2$
    $M$ = masa molar del aire de la Tierra: 28.9644 lb/lb-mol

El valor del subíndice b varía de 0 a 6 de acuerdo con cada una de las siete capas sucesivas de la atmósfera que se muestran en la siguiente tabla. En estas ecuaciones, $g_0,$ M y $R^*$ son constantes de valor único, mientras que P, L, T, y h son constantes de valores múltiples de acuerdo con la tabla siguiente. Los valores usados para M, $g_0,$ and $R^*$ están de acuerdo con la Atmósfera Estándar de EE.UU., 1976, y el valor de $R^*$ en particular no concuerda con los valores estándar para esta constante.

El valor de referencia para $P_b$ para b = 0 es el valor del nivel del mar definido, $P_0$ = 101 325 Pa o 29.92126 inHg. Los valores de $P_b$ con b = 1 hasta b = 6 se obtienen de la aplicación del miembro apropiado del par de ecuaciones 1 y 2 para el caso en que h = $h_{b+1}.$

| Subíndice b | Altura sobre el nivel del mar | Altura sobre el nivel del mar | Presión estática | Presión estática | Temperatura estándar (K) | Tasa de lapso de temperatura | Tasa de lapso de temperatura |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Subíndice b | (m) | (ft) | (Pa) | (inHg) | Temperatura estándar (K) | (°C/m) | (K/ft) |
| 0 | 0 | 0 | 101 325.00 | 29.92126 | 288.15 | -0.0065 | -0.0019812 |
| 1 | 11 000 | 36,089 | 22 632.10 | 6.683245 | 216.65 | 0.0 | 0.0 |
| 2 | 20 000 | 65,617 | 5474.89 | 1.616734 | 216.65 | 0.001 | 0.0003048 |
| 3 | 32 000 | 104,987 | 868.02 | 0.2563258 | 228.65 | 0.0028 | 0.00085344 |
| 4 | 47 000 | 154,199 | 110.91 | 0.0327506 | 270.65 | 0.0 | 0.0 |
| 5 | 51 000 | 167,323 | 66.94 | 0.01976704 | 270.65 | -0.0028 | -0.00085344 |
| 6 | 71 000 | 232,940 | 3.96 | 0.00116833 | 214.65 | -0.002 | -0.0006096 |

## Ecuaciones de densidad

Las expresiones para calcular la densidad son casi idénticas a las de calcular la presión. La única diferencia es el exponente en la Ecuación 1.

Hay dos ecuaciones diferentes para calcular la densidad en varios regímenes de altura por debajo de 86 km geométricos (84 852 metros geopotenciales o 278 385,8 pies geopotenciales). La primera ecuación se utiliza cuando el valor de la tasa de variación de temperatura estándar no es igual a cero; la segunda ecuación se usa cuando la tasa de variación de temperatura estándar es igual a cero.

### Ecuación 1

    ${\rho }=\rho _{b}\cdot \left[{\frac {T_{b}}{T_{b}+L_{b}\cdot (h-h_{b})}}\right]^{\left(1+{\frac {g_{0}\cdot M}{R^{*}\cdot L_{b}}}\right)}$

### Ecuación 2

    ${\rho }=\rho _{b}\cdot \exp \left[{\frac {-g_{0}\cdot M\cdot (h-h_{b})}{R^{*}\cdot T_{b}}}\right]$

donde

    ${\rho }$ = densidad de masa $(kg/m^3)$
    $T_{b}$ = temperatura estándar (K)
    $L$ = tasa de variación de temperatura estándar (consulte la tabla siguiente) (K / m) en ISA (K/m) in ISA
    $h$ = altura sobre el nivel del mar (metros geopotenciales)
    $R^{*}$ = Constante de los gases ideales 8.3144598 N·m/(mol·K)
    $g_{0}$ = aceleración gravitacional: 9.80665 $m/s^2$
    $M$ = masa molar del aire de la Tierra: 0.0289644 kg/mol

o, convertido a unidades gravitacionales inglesas de pie-libra-segundo:

    ${\rho }$ = densidad de masa $(slug/ft^3)$
    $T_{b}$ = temperatura estándar (K)
    $L$ = tasa de variación de temperatura estándar (consulte la tabla siguiente) (K/ft) en ISA (K/m) in ISA
    $h$ = altura sobre el nivel del mar (pies geopotenciales)
    $R^{*}$ = Constante de los gases ideales 8.3144598 $^4$ $ft^2/(s·K)$
    $g_{0}$ = aceleración gravitacional: 9.80665 $ft/s^2$
    $M$ = masa molar del aire de la Tierra: 0.0289644 kg/mol

El valor del subíndice b varía de 0 a 6 de acuerdo con cada una de las siete capas sucesivas de la atmósfera que se muestran en la siguiente tabla. El valor de referencia para $ρ_b$ para b = 0 es el valor definido del nivel del mar, $ρ_0$ = 1.2250 $kg/m^3$ o 0.0023768908 $slug/ft^3.$ Valores de $ρ_b$ desde b = 1 hasta b = 6 se obtienen de la aplicación del miembro apropiado del par de ecuaciones 1 y 2 para el caso en que h = $h_{b+1}.$

En estas ecuaciones $g_0,$ M y $R^*$ son constantes de valor único, mientras que ρ, L, T y h son constantes de valores múltiples de acuerdo con la siguiente tabla. Los valores usados para están de acuerdo con la Atmósfera Estándar de EE.UU., 1976, y el valor de $R^*$ en particular no concuerda con los valores estándar para esta constante.

| Subíndice b | Altura sobre el nivel del mar (h) | Altura sobre el nivel del mar (h) | Densidad de masa ($\rho$) | Densidad de masa ($\rho$) | Temperatura estándar (T') (K) | Tasa de lapso de temperatura (L) | Tasa de lapso de temperatura (L) |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Subíndice b | (metro) | (pie) | $(kg/m^3)$ | $(slug/ft^3)$ | Temperatura estándar (T') (K) | (K/m) | (K/ft) |
| 0 | 0 | 0 | 1.2250 | 2.3768908 x $10^{−3}$ | 288.15 | -0.0065 | -0.0019812 |
| 1 | 11 000 | 36,089.24 | 0.36391 | 7.0611703 x $10^{−4}$ | 216.65 | 0.0 | 0.0 |
| 2 | 20 000 | 65,616.79 | 0.08803 | 1.7081572 x $10^{−4}$ | 216.65 | 0.001 | 0.0003048 |
| 3 | 32 000 | 104,986.87 | 0.01322 | 2.5660735 x $10^{−5}$ | 228.65 | 0.0028 | 0.00085344 |
| 4 | 47 000 | 154,199.48 | 0.00143 | 2.7698702 x $10^{−6}$ | 270.65 | 0.0 | 0.0 |
| 5 | 51 000 | 167,322.83 | 0.00086 | 1.6717895 x $10^{−6}$ | 270.65 | -0.0028 | -0.00085344 |
| 6 | 71 000 | 232,939.63 | 0.000064 | 1.2458989 x $10^{−7}$ | 214.65 | -0.002 | -0.0006096 |

## Derivación

La fórmula barométrica se puede derivar utilizando la Ley de los gases ideales:

    $P={\frac {\rho }{M}}\cdot {R^{*}}T$

Suponiendo que toda presión es hidrostática:

    $dP=-\rho g\,dz\,$

y dividiendo $dP$ por $P$ se tiene la expresión:

    ${\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{R^{*}T}}$

Integrando esta expresión de la superficie a la altitud z se tiene:

    $P=P_{0}e^{-\int _{0}^{z}{Mgdz/R^{*}T}}\,$

Suponiendo un cambio de temperatura lineal $T=T_{0}+L\cdot z$ y la masa molar constante y la aceleración gravitacional, obtenemos la primera fórmula barométrica:

    $P=P_{0}\cdot \left[{\frac {T_{0}}{T}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{R^{*}L}}}$

En cambio, suponiendo una temperatura constante, la integración da la segunda fórmula barométrica:

    $P=P_{0}e^{-Mgz/R^{*}T}\,$

En esta formulación, $R^*$ es la constante de los gases, y el término $R^*T/Mg$ da la altura de escala (aproximadamente igual a 8.4 kmpara la troposfera

Para obtener resultados exactos, hay que recordar que las atmósferas que contienen agua no se comportan como un gas ideal. Véase gas real o gas perfecto o gas para una mayor comprensión.

