Reglas de derivación
# Reglas de derivación

Este es un resumen de reglas de diferenciación, esto es, reglas para calcular la derivado de una función en cálculo.

## Reglas elementales de diferenciación

A menos que se diga lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales ($\mathbb {R}$) que regresan valores reales, es decir, $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$.

### La diferenciación es lineal

Para cualesquier funciones $f$ y $g$ y cualesquiera números reales $a$ y $b$, la derivada de la función $h(x)=af(x)+bg(x)$ con respetar a $x$ es

    $h'(x)=af'(x)+bg'(x).$

en la notación de Leibniz esto se escribe como:

    ${\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.$

Casos especiales incluyen:

* La regla del producto por una constante

    $(af)'=af'$
* La regla de suma

    $(f+g)'=f'+g'$
* La regla de la resta

    $(f-g)'=f'-g'.$

### La regla de producto

Para las funciones $f$ y $g$, la derivada de la función $h(x)=f(x)g(x)$ con respecto a $x$ es

    $h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$

En la notación de Leibniz esto se escribe como

    ${\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.$

### La regla de cadena

La derivada de la función $h(x)=f(g(x))$ es

    $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).$

En la notación de Leibniz esto se escribe como:

    ${\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),$

a menudo abreviado a

    ${\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.$

### La regla de la función inversa

Si la función $f$ tiene como función inversa $g$, esto es, $g(f(x))=x$ y $f(g(y))=y$ entonces

    $g'={\frac {1}{f'\circ g}}.$

En Leibniz notación esto se escribe como

    ${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.$

## Leyes de potencias, polinomios, cocientes y reciproco

### La regla de la potencia

Si $f(x)=x^{r}$, para cualquier número real $r\neq 0,$ entonces

    $f'(x)=rx^{r-1}.$

cuando $r=1,$ esto se convierte en el caso especial que si $f(x)=x$ entonces $f'(x)=1.$

Combinando la regla de la potencia con la suma y las reglas del producto por una constante permite el cálculo de la derivada de cualquier polinomio.

### La regla recíproca

La derivada de $h(x)={\frac {1}{f(x)}}$ para cualquier función $f$ es:

    $h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}$

siempre que $f(x)\neq 0$ para toda $x\in \mathbb {R}$.

En la notación de Leibniz esto se escribe como

    ${\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.$

La regla recíproca puede ser obtenida a partir de la regla de cociente o de la combinación de regla de una potencia y la regla de cadena.

### La regla de cociente

Si $f$ y $g$ son funciones entonces:

    $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad$

siempre que $g\neq 0$.

Esta puede ser obtenida a partir de la regla de producto y la regla recíproca.

### Regla de la potencia generalizada

La regla elemental de la potencia generalizada cambia considerablemente. La regla de la potencia más general es la regla de la potencia a una función: para cualesquiera funciones $f$ y $g$

    $(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad$

como casos especiales se tiene

* Si f(x)=xa{\textstyle f(x)=x^{a}\!} entonces $f^′(x)=ax^{a−1}{\textstyle$ f'(x)=ax^{a-1}} cuando $a\neq 0$ es un número real cualquiera y $x$ es positivo.
* La regla recíproca puede ser obtenida como el caso especial cuando g(x)=−1{\textstyle g(x)=-1\!}.

## Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas

    ${\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0$

la ecuación de arriba es válida para todo $c$, pero la derivada para c<0{\textstyle c<0} obtiene un número complejo.

    ${\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}$
    ${\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1$

la ecuación de arriba también es válida para todo $c$ pero se obtiene un número complejo si c<0{\textstyle c<0\!}.

    ${\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.$
    ${\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.$
    ${\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).$
    ${\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ y si }}{\frac {df}{dx}}{\text{ y }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ existen.}}$
    ${\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ si }}f_{i<n}(x)>0{\text{ y }}$ ${\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ existe. }}$

### Derivadas logarítmicas

La derivada logarítmica es otra manera de enunciar la regla para derivar el logaritmo de una función (utilizando la regla de cadena):

    $(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad$

cuando $f$ es positiva.

La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos pueden ser utilizados para remover exponentes, convertir productos en sumas y convertir una división a una resta.

## Derivadas de funciones trigonométricas

| $(\sin x)'=\cos x$ | $(\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$ |
| - | - |
| $(\cos x)'=-\sin x$ | $(\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$ |
| $(\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x$ | $(\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}$ |
| $(\cot x)'=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)$ | $(\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}$ |
| $(\sec x)'=\tan x\sec x$ | $(\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$ |
| $(\csc x)'=-\cot x\csc x$ | $(\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$ |

## Derivadas de funciones hiperbólicas

| $(\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$ | $(\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$ |
| - | - |
| $(\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$ | $(\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$ |
| $(\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}$ | $(\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}$ |
| $(\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$ | $(\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}$ |
| $(\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$ | $(\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$ |
| $(\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$ | $(\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$ |

## Derivadas de funciones especiales

* Función gamma$\quad \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt$
* $\Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt$
* $\,=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)$
* $\,=\Gamma (x)\psi (x)$
* con $\psi (x)$ siendo la función digamma, expresada por la expresión en paréntesis a la derecha de $\Gamma (x)$.
* Función de Zeta del Riemann$\quad \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}$
* $\zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots$
* $\,=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}$

## Derivadas de integrales

Supone que se requiere derivar con respetar a $x$ la función

    $F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,$

donde las funciones $f(x,t)$ y ${\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)$ son ambas continuas en $t$ y en $x$ en alguna del plano $(t,x)$, incluyendo $a(x)\leq t\leq b(x),$ $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ y las funciones $a(x)$ y $b(x)$ son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuos para $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ entonces para:$\,x_{0}\leq x\leq x_{1}$:

    $F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.$

esta fórmula es la forma general de la regla de diferenciación de Leibniz y puede ser obtenida utilizando el teorema fundamental de cálculo.

## Derivadas de $n$-ésimo orden

Algunas reglas existen para calcular la $n$-ésima derivada de una función, donde $n$ es un entero positivo. Estas incluyen:

### Fórmula de Faà di Bruno

Si $f$ y $g$ son $n$ veces diferenciables entonces

    ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}$

donde $r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}$ y el conjunto $\{k_{m}\}$ consta de todos los enteros no negativos que son soluciones de la ecuación de Diophantine $\sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n$.

### Regla general de Leibniz

Si $f$ y $g$ son $n$ veces diferenciables entonces

    ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)$
