Distribución beta
# Distribución beta

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución beta es una familia de distribuciones continuas de probabilidad definidas en el intervalo $(0,1)$ parametrizada por dos parámetros positivos de forma, denotados por $\alpha$ y $\beta$, que aparecen como exponentes de la variable aleatoria y controlan la forma de la distribución.

La generalización de esta distribución a varias variables es conocida como la distribución de Dirichlet.

## Definición

### Notación

Si una variable aleatoria continua $X$ tiene una distribución beta con parámetros $\alpha ,\beta >0$ entonces escribiremos $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$.

Otras notaciones para la distribución beta usadas son $X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )$, $X\sim {\mathcal {Be}}(\alpha ,\beta )$ o $X\sim \beta _{\alpha ,\beta }$.

### Función de densidad

La función de densidad de $X$ es

    $f_{X}(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$

para valores $0<x<1$ donde $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ es la función beta y se define para $\alpha ,\beta >0$ como

    $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx$

y algunas de las propiedades que satisface son:

* $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\mathrm {B} (\beta ,\alpha )$
* $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$

### Función de distribución

La función de distribución de $X$ es

    $F_{X}(x)={\frac {\mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )$

donde $\mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )$ es la función beta incompleta y $I_{x}(\alpha ,\beta )$ es la función beta incompleta regularizada.

## Propiedades

Si $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ entonces la variable aleatoria $X$ satisface algunas propiedades.

### Media

La media de la variable aleatoria $X$ es

    ${\text{E}}[X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$

### Varianza

La varianza de la variable aleatoria $X$ es

    ${\text{Var}}(X)={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta +1)(\alpha +\beta )^{2}}}$.

### Moda

La moda de la variable aleatoria $X$ es

    ${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$

para valores de $\alpha ,\beta >1$.

### Momentos

El $n$-ésimo momento de $X$ es

    ${\begin{aligned}{\text{E}}[X^{n}]&={\frac {\mathrm {B} (\alpha +n,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha +\beta )}}\\&=\prod _{r=0}^{n-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\\&={\frac {\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)\cdots (\alpha +\beta +n-1)}}\end{aligned}}$

para $n\in \mathbb {N}$.

### Función generadora de momentos

La función generador de momentos de la variable aleatoria $X$ está dada por

    ${\begin{aligned}M_{X}(t)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +n,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{n-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}\end{aligned}}$

### Media geométrica

El logaritmo de la media geométrica $G_{X}$ de una distribución con variable aleatoria $X$ es la media aritmética de $\ln(X)$ o equivalentemente, su valor esperado:

    $\ln G_{X}=\operatorname {E} [\ln X]$

Para una distribución beta:

    ${\begin{aligned}\operatorname {E} [\ln X]&=\int _{0}^{1}\ln xf_{X}(x)dx\\&=\int _{0}^{1}\ln x\;{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}{\frac {\partial x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\partial \alpha }}\;dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\&={\frac {\partial \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\&={\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha )}{\partial \alpha }}-{\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha +\beta )}{\partial \alpha }}\\&=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}$

donde $\psi$ es la función digamma.

## Distribuciones relacionadas

### Transformaciones

* Si $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ entonces $1-X\sim \mathrm {B} (\beta ,\alpha )$.
* Si $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ entonces ${\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )$, la distribución beta de segundo orden.
* Si $X\sim \mathrm {B} \left({\frac {n}{2}},{\frac {m}{2}}\right)$ entonces ${\frac {mX}{n(1-X)}}\sim F_{n,m}$.
* Si $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,1)$ entonces $-\ln(X)\sim \operatorname {Exponencial} (\alpha )$.

### Casos particulares

* Si $X\sim \mathrm {B} (1,1)$ entonces $X\sim \operatorname {U} (0,1)$.
* $\lim _{n\to \infty }n\mathrm {B} (1,n)=\operatorname {Exponencial} (1)$.
* $\lim _{n\to \infty }n\mathrm {B} (k,n)=\Gamma (k,1)$.
* Un caso partícular de la Distribución Beta es la Distribución PERT que toma tres parámetros: Optimista, más frecuente y pesimista.
