Teorema geométrico de Euler
# Teorema geométrico de Euler

En geometría, el teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro de un triángulo, cumple la relación siguiente:

    $d^{2}=R(R-2r)\,$

o de forma equivalente

    ${\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}$

donde R y r denotan el circunradio y el inradio (los radios de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia inscrita respectivamente).

El teorema recibe su nombre en memoria de Leonhard Euler, quien lo publicó en 1767, aunque el mismo resultado ya había sido dado a conocer por William Chapple en 1746.

Del teorema se deduce la Desigualdad de Euler:

    $R\geq 2r,$

que se convierte en una igualdad solo en el caso del triángulo $equilátero.^{:p.198}$

## Demostración

Siendo O el circuncentro de triángulo ABC, e I su incentro, la extensión de AI cruza la circunferencia circunscrita en L. Entonces, L es el punto medio del arco BC. Se unen LO y se extiende hasta cruzar la circunferencia circunscrita en M. Se construye ahora una perpendicular a AB, desde I, siendo D su pie, así que ID = r. No es difícil de probar que el triángulo ADI es similar al triángulo MBL, así que ID / BL = AI / ML; y por lo tanto ID × ML = AI × BL. En consecuencia, 2Rr = AI × BL. Únase BI. Debido a que

    ∠ BIL = ∠ A / 2 + ∠ ABC / 2,
    ∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ A / 2,

se tiene que ∠ BIL = ∠ IBL, y así BL = IL, y AI × IL = 2 Rr. Extendiendo OI de modo que cruce la circunferencia circunscrita en P y Q; entonces PI × QI = AI × IL = 2Rr, así que (R + d)(R − d) = 2Rr, entonces $d^2$ = R(R - 2r).

## Versión fuerte de la desigualdad

Una versión más fuerte $es^{:p.198}$

    ${\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2.$
