Fórmula de De Polignac
# Fórmula de De Polignac

En teoría de números, la Fórmula de De Polignac, llamada así en honor a Alphonse de Polignac, proporciona la factorización en primos del factorial n, donde n≥1 es un número entero. L. E. Dickson atribuye la fórmula a Legendre.

## La fórmula

Sea n ≥ 1 un entero. Entonces, la descomposición en números primos de n! es dada mediante

    $\prod _{p{\text{ primo}} \atop p\leq n}p^{s_{p}(n)}$

donde

    $s_{p}(n)=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor$

y los corchetes representan la función piso.

Nótese que, para cualquier número real x, y cualquier entero n, se obtiene:

    $\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor }{n}}\right\rfloor$

que permite calcular más sencillamente los términos $s_p(n).$

## Notas y referencias

* ↑ Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.
