Método de Hamming
# Método de Hamming

El método Hamming es un tipo de codificación por bloques.

En el proceso de comunicación y envió de mensajes con el uso de las actuales tecnologías, existen diferentes errores al intercambiar información. En otros tiempos, las cartas podían llegar con errores ortográficos, mojadas, retrasadas o simplemente en ocasiones no llegaban a su destino. En la comunicación mediante computadoras sucede algo parecido, es decir, la tecnología no se exonera de los errores que puedan aparecer al enviar información.

## Código de Hamming

Un código Hamming es un código de bloque capaz de identificar y corregir cualquier error de bit simple que ocurra dentro de él. Se identifica, como en el teorema de Hamming, por los números K y Kc, según código de Hamming se denomina por $(k,kc)\,$. Este código, como el de bloques, emplea aritmética módulo 2. El código Hamming debe su nombre a su desarrollador y descubridor Richard Hamming.

## Errores

Primero se debe conocer que es un error, que no es más que un dato que tiene m bits y se le agregan r bits de redundancia o de chequeo, por tanto, los bits a transmitir serán n = m + r. Existen métodos que detectan errores y otros que corrigen errores o ambos a la vez. Uno de esos métodos es el método de Hamming, el cual corrige y detecta errores de grado x. Para la detección de errores, considere un sistema de transmisión que al codificar, genera un alfabeto con un número N de secuencias $({x_{i}})_{n}\,$, n = 1 · · · N, y una de esas secuencias se transmite sobre el canal. Debido a los errores, se recibe ${y_{j}}\,$. El decodificador entonces determina que la secuencia enviada es aquella del alfabeto generado, cuya distancia Hamming entre$({y_{j}})\,$ y $({x_{i}})_{n}\,$ sea mínima.

## Distancia de Hamming

La distancia de Hamming es el número de bits en que difieren dos palabras del código. Si dos palabras están separadas una distancia d, se requerirán de errores simples para convertir una en la otra. La mínima es la distancia del código. En general hay 2m mensajes válidos pero no todos los 2n lo son. La idea de similitud es más consistente debido a la definición de la distancia Hamming.

Sean ${x_{i}}\,$ y ${x_{j}}\,$ dos secuencias binarias de la misma longitud i, j = 1,..., K, la distancia Hamming entre ellas es el número de símbolos en que difiere. Siendo W $({x_{i}})\,$ el peso de Hamming de una secuencia y $x_{i}\,$ el número de unos de la secuencia, la distancia Hamming dij = d $({x_{i}},{x_{j}})\,$está dada por:

donde ⊕ será la suma modular entre 2 secuencias de longitud iguales, no pueden ser de longitudes distintas. Por ejemplo un ⊕ entre:

## Tipo de codificación

El método Hamming es un tipo de codificación por bloques, que trabaja de la siguiente manera: cada vez que, y solamente cuando llegan al codificador k símbolos (mensaje), este envía al siguiente bloque, l símbolos (palabra código), dependientes únicamente de los k recibidos (una palabra código asociada a cada mensaje), con l > k. El ruido del canal se combate gracias a la redundancia (n − k) de la información. Codificadores de se suelen utilizar como códigos externos, más cercanos a la fuente, cuando se utilizan en combinación con los continuos. Tasa del codificador: R = k/l.

## Eficiencia

Para diseñar un buen código, se trata de asegurar que la distancia Hamming entre posibles códigos ${x_{i}}\,$ sea más larga que la distancia Hamming proveniente del error. Por lo que el decodificar puede describirse como: “Elegir la palabra de código con la mínima distancia Hamming de la palabra recibida”. Un código con todas las palabras distintas debe tener al menos una distancia de Hamming mínima. Las prestaciones de un código continuo no solo dependen de un buen algoritmo de codificación, también dependen de las propiedades de distancia del código.

La importancia de este parámetro en un código reside en que la probabilidad de error de decodificación es menor cuanto mayor es la distancia Hamming. Esto es porque, cuanto mayor sea la distancia, más variaciones deber producir ́el canal en la secuencia transmitida, para que en la decodificación se produzca un error al confundir la secuencia de entrada que generará la secuencia codificada.

## Deficiencia

Los Código Hamming tienen la misma dificultad que los códigos de bloque, pues solo ofrecen protección contra errores de bit simple, es decir errores de grado 1, y ofrecen una pequeña protección contra errores dispersos. Además el decodificador, denominado de decisión remanente, recibe la señal cuantificada del demodulador sin importar cuan grande fue el error de la señal analógica recibida.

## Método de Hamming para una Matriz [12][8] en Java

Se parte de un código de n dígitos de distancia mínima uno 1. Estos n dígitos son conocidos dentro del código de Hamming como "dígitos de datos". A continuación se le añaden p (cp-1,..., c2, c1, c0) dígitos denominados de control o paridad. Así pues, el nuevo código tendrá una longitud de palabra de l=n+p. La numeración de los dígitos es la habitual (de derecha a izquierda) pero comenzando por uno: ${(d_{n}p+d_{n}p-1...d_{2}d_{1})}\,$

