Magnitud (matemática)
# Magnitud (matemática)

La magnitud es una medida asignada para cada uno de los objetos de un conjunto medible, formados por objetos matemáticos. La noción de magnitud concebida así puede abstraerse a objetos del mundo físico o propiedades físicas que son susceptibles de ser medidos.

Las medidas de propiedades físicas usualmente son representables mediante números reales o n-tuplas de números reales, y usualmente para ser interpretables requieren del uso de una unidad de medida pertinente. Una propiedad importante de muchas magnitudes es admitan grados de comparación "más que", "igual que" o "menos que".

Una magnitud matemática usada para representar un proceso físico es el resultado de una medición; en cambio las magnitudes matemáticas admiten definiciones abstractas, mientras que las magnitudes físicas se miden con instrumentos apropiados.

Los griegos distinguían entre varios tipos de magnitudes, incluyendo:

* Fracciones positivas.
* Segmentos según su longitud.
* Polígonos según su superficie.
* Sólidos según su volumen.
* Ángulos según su magnitud angular.

Probaron que los dos primeros tipos no podían ser iguales, o siquiera sistemas isomorfos de magnitud. No consideraron que las magnitudes negativas fueran significativas, y el concepto se utilizó principalmente en contextos en los que cero era el valor más bajo.

## Asignación de una medida

La noción abstracta de magnitud implica la existencia de una función real que asignar a una colección de "objetos medibles" ${\mathcal {M}}$ un valor numérico real, ya que los números reales son un cuerpo totalmente ordenado con operaciones compatibles con dicha ordenación. Es decir, para cada magnitud M existe una función:

   (*)$f_{M}:{\mathcal {M}}\to \mathbb {R} ^{+}$

En las medidas usadas asociadas a conceptos métricos, los objetos medibles son subconjuntos de un espacio métrico o alternativamente un espacio de medida, no siendo en general cualquier subconjunto de dicho espacio (se requieren ciertas condiciones de regularidad para que la magnitud de un objeto esté bien definida).

## Números

La magnitud de cualquier número x se denomina usualmente su "valor absoluto" o "módulo", indicado por |x|.

### Números reales

El valor absoluto de un número real r se define como:

    |r| = r, si r ≥ 0
    |r| = -r, si r < 0.

Se puede considerar como la distancia numérica entre el cero y la recta numérica real. Por ejemplo, el valor absoluto tanto de 7 como de -7 es 7. En este caso el conjunto de objetos medibles en la función (*) es ${\mathcal {M}}=\mathbb {R}$ y la magnitud asociada al valor absoluto es la función: $f_{\text{abs}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ dada por $r\mapsto |r|={\text{abs}}(r)$

### Números complejos

Un número complejo z puede visualizarse como la posición del punto P en un espacio euclídeo bidimensional, llamado plano complejo.

El valor absoluto de z puede considerarse como la distancia desde el origen de tal espacio hasta P. La fórmula para el valor absoluto de z es similar a la de la norma euclidea del espacio bidimensional:

   $\left|z\right|={\sqrt {\Re (z)^{2}+\Im (z)^{2}}}={\sqrt {z^{*}z}}$

donde ℜ(z) y ℑ(z) son respectivamente la parte real y la parte imaginaria de z y z* es su complejo conjugado. Por ejemplo, el módulo de −3 + 4i es 5. En este caso se tiene ${\mathcal {M}}=\mathbb {C}$ y $f_{\text{mod}}:\mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{+}$ dada por $z\mapsto {\sqrt {z^{*}z}}=|z|$.

## Propiedades métricas

### Distancias

Dado un espacio métrico $(E,d)$ la distancia es una magnitud definida sobre pares de puntos. Por tanto, el conjunto de objetos medibles son todos los pares de puntos $(p,q)\in E\times E$, es decir, $(p,q)\mapsto d(p,q)\geq 0$

### Ángulos

Dado un espacio vectorial con producto escalar $(E,\cdot )$, se puede dotar a dicho espacio de una norma vectorial dada por: $\|\mathbf {v} \|={\sqrt {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }}$ lo que a su vez permite definir el ángulo entre dos vectores mediante la fórmula:

   $\theta _{\mathbf {v} ,\mathbf {w} }=\arccos \left({\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {w} \|}}\right)$

En este caso el conjunto de objetos medibles viene dado por ${\mathcal {M}}=E^{2}$ y además se cumplirá que $0\leq \theta _{\mathbf {v} ,\mathbf {w} }<\pi$

### Áreas y Volúmenes

**Variedades de Riemann**

En una variedad de Riemann orientable de dimensión n > 2 en general podrán definirse longitudes (1-medidas), superficies (2-medidas), volúmenes (3-medidas), etc. En este caso los conjuntos de objetos medibles ${\mathcal {M}}$ serán subvariedades diferenciables.

**Medidas abstractas**

En un espacio de medida $(E,{\mathcal {A}},\mu )$ también es posible construir medidas de conjuntos, aunque en general no todo subconjunto del espacio de medida será medible, sino sólo una cierta σ-álgebra. En este caso el conjunto de objetos medibles es precisamente ${\mathcal {M}}={\mathcal {A}}$ y la magnitud asociada a la medida de estos conjuntos viene dada por la función $f_{\mu }:{\mathcal {M}}\to \mathbb {R} ^{+}$ definida por $f_{\mu }(A)=\mu (A)$. Existen dos casos interesantes de este tipo de medidas:

* Cuando $E=\mathbb {R} ^{n}$ es un espacio euclídeo, ${\mathcal {A}}$ es la σ-álgebra de Borel asociada a la topología euclídea ordinaria y $\mu$ está relacionada con la medida de Lebesgue, la medida abstracta es interpretable como el n-volumen de dicho espacio euclídeo.
* Otro ejemplo interesante de medida de este tipo son los espacios de probabilidad $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ donde la medida de todo objeto medible (o evento aleatorio) satisface que $0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1$.

## Conjuntos finitos

En un conjunto finito F puede definirse una magnitud sencilla asociada a la "cantidad de objetos" de un subconjunto. En ese caso, el conjunto de objetos medibles es ${\mathcal {M}}={\mathcal {P}}(F)$ el conjunto de partes de F, y la magnitud asociada se llama número de elementos o cardinal: $f_{\text{card}}:{\mathcal {P}}(F)\to \mathbb {N} \subset \mathbb {R} ^{+}$ dada por $f_{\text{card}}(G):={\text{card}}(G)\leq {\text{card}}(F)$.

Nótese que la "cantidad de objetos" de hecho es un caso particular de espacio de medida, donde la σ-álgebra coincide con el conjunto de partes del conjunto base usado para construir las medidas.

