Fórmula de De Moivre
# Fórmula de De Moivre

La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) $x$ y para cualquier $n\in \mathbb {Z}$ se verifica que

    $(\cos(x)+i\operatorname {sen}(x))^{n}=\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)$.

Esta fórmula conecta los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría.

La expresión $\cos x+i\operatorname {sen} x$ en ocasiones se abrevia como $\operatorname {cis} x$.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible obtener expresiones muy útiles para $\cos(nx)$ y $\operatorname {sen}(nx)$ en términos de $\cos x$ y $\operatorname {sen} x$. Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la $n$-ésima raíz de la unidad, eso es, números complejos $z$ tal que $z^{n}=1$.

## Historia

La forma actual de la fórmula aparece en la obra Introductio in analysin infinitorum de Euler, que la demuestra para todos los enteros naturales $n$ en 1748. Pero también aparece implícitamente en los trabajos de Abraham de Moivre varias veces desde 1707, en su trabajo sobre las raíces $n$-ésimas de números complejos. De hecho, los dos problemas están relacionados: escribir que (cos x + i sin $x)^n$ = cos(nx) + i sin(nx) es equivalente a decir que cos x + i sin x es una de las raíces enésimas del complejo cos(nx) + i sin(nx).

## Relación con la fórmula de Euler

La fórmula de Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

    $e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x$

aplicando leyes de la exponenciación

    $\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}$

Entonces, por la fórmula de Euler,

    $e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)$.

## Algunos resultados

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

    $e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x$

si hacemos $x=\pi$ entonces tenemos la identidad de Euler:

    ${\begin{aligned}e^{i\pi }&=\cos \pi +i\sin \pi \\&=-1+0\\&=-1\end{aligned}}$

Es decir:

    $e^{i\pi }=-1\,$

Además como tenemos estas dos igualdades:

    $e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x$
    $e^{-ix}=\cos x-i\operatorname {sen} x$

podemos deducir lo siguiente:

    ${\begin{aligned}\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\\operatorname {sen} x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\end{aligned}}$

## Demostración por inducción

Consideramos tres casos.

Para un entero $n>0$, procedemos por inducción matemática. Cuando $n=1$ el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo $k$. Eso es que asumimos:

    $\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k}=\cos(kx)+i\operatorname {sen}(kx)$

Ahora, considerando el caso $n=k+1$:

    ${\begin{aligned}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\operatorname {sen} \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\qquad {\mbox{por la hipótesis de inducción}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\operatorname {sen} \left(kx\right)\operatorname {sen} x+i\left[\cos \left(kx\right)\operatorname {sen} x+\operatorname {sen} \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\operatorname {sen} \left[\left(k+1\right)x\right]\qquad {\mbox{por las identidades trigonométricas}}\end{aligned}}$

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando $n=0$ la fórmula es verdadera ya que $\cos(0x)+i\operatorname {sen}(0x)=1+i0=1$, y (por convención) $z^{0}=1$.

Cuando $n<0$, consideramos que existe un entero positivo $m$ tal que $n=-m$, por lo que

    ${\begin{aligned}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\operatorname {sen} mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\operatorname {sen} \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\operatorname {sen} \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\operatorname {sen} \left(nx\right).\end{aligned}}$

Por lo tanto el teorema es verdadero para todo $n\in \mathbb {Z}$.

## Generalización

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

    $\left(\cos z+i\operatorname {sen} z\right)^{w}$

es una función multivaluada mientras

    $\cos(wz)+i\operatorname {sen}(wz)$

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

    $\cos(wz)+i\operatorname {sen}(wz)$ es un valor de $\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,$.

## Aplicaciones

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

    $z=r\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)$

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar, siendo $r$ el módulo.

### Potencia

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

    $z^{n}=\left[|z|\left(\cos(x)+i\operatorname {sen}(x)\right)\right]^{n}=|z|^{n}\left[\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)\right]$

### Raíces

Para obtener las $n$ raíces de un número complejo, se aplica:

    $z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\operatorname {sen} \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]$

donde $k$ es un número entero que va desde $0$ hasta $n-1$, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las $n$ raíces diferentes de $z$.

