Disuguaglianza di Carleman
# Disuguaglianza di Carleman

La disuguaglianza di Carleman è una disuguaglianza, il cui nome deriva da Torsten Carleman, che la dimostrò nel 1923 e la usò per provare il teorema di Denjoy-Carleman su le classi di funzioni quasi analitiche.

## Enunciato

Sia $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, ... una successione di numeri reali non negativi, allora

    $\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}\leq e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$

La costante e nella disuguaglianza è ottimale, cioè la disuguaglianza non vale sempre se $e$ è sostituito da un numero più piccolo. La disuguaglianza è stretta (vale con $<$ invece di $\leq$) se qualche elemento della successione è non nullo.

## Versione integrale

La disuguaglianza di Carleman possiede una versione integrale, la quale afferma che

    $\int _{0}^{\infty }\exp \left\{{\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}\ln f(t)dt\right\}dx\leq e\int _{0}^{\infty }f(x)dx$

per ogni $f\geq 0$

## Disuguaglianza di Carleson

Una generalizzazione, dovuta a Lennart Carleson, afferma il seguente enunciato:

per ogni funzione convessa $g$ con $g(0)=0$, e per ogni $p>-1$,

    $\int _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g(x)/x}dx\leq e^{p+1}\int _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g'(x)}dx.$

La disuguaglianza di Carleman corrisponde al caso $p=0$.

## Dimostrazione

Una dimostrazione elementare è abbozzata di seguito. Dalla disuguagianza della media aritmetica e geometrica applicata a $1\cdot a_{1},2\cdot a_{2},\dots ,n\cdot a_{n}$

    $\mathrm {MG} (a_{1},\dots ,a_{n})=\mathrm {MG} (1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}\leq \mathrm {MA} (1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}$

dove MG indica la media geometrica e MA quella aritmetica. Dall'approssimazione di Stirling si ottiene che $n!\geq {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}$, e applicata a $n+1$ implica

    $(n!)^{-1/n}\leq {\frac {e}{n+1}}$ per ogni $n\geq 1.$

Perciò,

    $MG(a_{1},\dots ,a_{n})\leq {\frac {e}{n(n+1)}}\,\sum _{1\leq k\leq n}ka_{k}\,,$

da cui

    $\sum _{n\geq 1}MG(a_{1},\dots ,a_{n})\leq \,e\,\sum _{k\geq 1}{\bigg\sum _{n\geq k}{\frac {1}{n(n+1)}}{\bigg )}\,ka_{k}=\,e\,\sum _{k\geq 1}\,a_{k}\,,$

che dimostra la disuguaglianza. Oltretutto, la disuguaglianza della media aritmetica e geometrica di $n$ numeri non negativi si sa essere una uguaglianza se e solo se tutti i numeri coincidono, cioè in questo caso se e solo se $a_{k}=C/k$ per $k=1,\dots ,n$. Di conseguenza, la disuguaglianza di Carleman non è mai un'uguaglianza per le serie convergenti, a meno che tutti gli $a_{n}$ si annullino, poiché la serie armonica è divergente.

Si può provare la disuguaglianza di Carleman anche utilizzando la disuguaglianza di Hardy

    $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}$

per ogni numero non negativo $a_{1}$,$a_{2}$,... e $p>1$, sostituendo ogni $a_{n}$ con $a^{1/p}$ e con $p\to \infty$.

