Decomposizione di una matrice
# Decomposizione di una matrice

In matematica, in particolare in algebra lineare, la decomposizione di una matrice o fattorizzazione di una matrice è la fattorizzazione di una matrice nel prodotto di più matrici. Vi sono diverse decomposizioni matriciali in letteratura, ognuna delle quali associata ad una certa classe di problemi.

## Elenco di alcune delle decomposizioni più utilizzate

* Decomposizione LU
   * Applicabile a: matrici quadrate.
   * Decomposizione: $A=LU$, dove $L$ è una matrice triangolare inferiore e $U$ una matrice triangolare superiore.
* Decomposizione di Cholesky
   * Applicabile a: matrici quadrate, matrici simmetriche, definite positive.
   * Decomposizione: $A=U^{T}U$, dove $U$ è una matrice triangolare superiore con elementi sulla diagonale positivi.
* Decomposizione QR
   * Applicabile a: matrici di dimensione $m\times n$.
   * Decomposizione: $A=QR$ dove $Q$ è una matrice ortogonale di dimensione $m\times m$ e $R$ una matrice triangolare superiore di dimensione $m\times n$.
* Decomposizione ai valori singolari
   * Applicabile a: matrici di dimensione $m\times n$.
   * Decomposizione: $A=UDV^{H}$, dove $D$ è una matrice diagonale non-negativa, $U$ e $V$ sono matrici unitarie, e $V^{H}$ denota la trasposta coniugata di $V$.
* Teorema spettrale
   * Applicabile a: matrici quadrate con autovettori distinti (ma non necessariamente anche distinti autovalori).
   * Decomposizione: $A=VDV^{-1}$, dove $D$ è una matrice diagonale composta da autovalori di $A$ e le colonne di $V$ sono i corrispondenti autovettori.
* Forma canonica di Jordan
   * Applicabile a: matrici quadrate.
   * La forma canonica di Jordan generalizza la decomposizione spettrale a casi in cui vi sono autovalori ripetuti e non è possibile effettuare la diagonalizzazione. Vi è inoltre la decomposizione di Jordan-Chevalley, che può essere facilmente descritta quando si conosce la forma canonica di Jordan; a differenza di essa, però, esiste sotto ipotesi più deboli (non richiede la scelta di una base).
* Decomposizione di Schur
   * Applicabile a: matrici quadrate.
   * Decomposizione (versione complessa): $A=UTU^{H}$, dove $U$ è una matrice unitaria, $U^{H}$ è la trasposta coniugata e $T$ è una matrice triangolare superiore detta forma di Schur complessa, che possiede gli autovalori di $A$ sulla diagonale. Una matrice complessa ammette sempre una decomposizione di Schur.
   * Decomposizione (versione reale): $A=VSV^{T}$, dove $A$, $V$, $S$ e $V^{T}$ (la trasposta di $V$) sono matrici reali. In tal caso $V$ è ortogonale, $S$ è una matrice triangolare superiore a blocchi detta forma di Schur reale. Una matrice reale ammette una decomposizione di Schur se e solo se posside tutti gli autovalori reali.
* Decomposizione QZ
   * Applicabile a: due matrici quadrate.
   * Decomposizione (versione complessa): $A=QSZ^{H}$ e $B=QTZ^{H}$ dove $Q$ e $Z$ sono unitarie, $S$ e $T$ triangolari superiori.
   * Decomposizione (versione reale): $A=QSZ^{T}$ e $B=QTZ^{T}$, dove $A$, $B$, $Q$, $Z$, $S$ e $T$ sono matrici reali. In tal caso $Q$ e $Z$ sono ortogonali, $S$ e $T$ triangolari superiori a blocchi.
* Fattorizzazione di Takagi
   * Applicabile a: matrici quadrate, complesse e simmetriche.
   * Decomposizione: $A=VDV^{T}$, dove $D$ è diagonale e non-negativa e $V$ è unitaria.
* Fattorizzazione non-negativa
   * Applicabile a: matrici di dimensione $m\times n$ non-negative.
   * Decomposizione: $A=WH$, dove $W$ e $H$ possiedono elementi positivi.
   * La fattorizzazione non negativa è una soluzione, in genere di minimo locale, della funzione obiettivo:

       $f(W,H)={\frac {1}{2}}\|A-WH\|_{F}^{2}$
       con i vincoli $w_{i,j}\geq 0$ e $h_{h,k}\geq 0$.

## Altre decomposizioni

* Decomposizione polare
* Analisi delle componenti principali
