Cotangente
# Cotangente

In matematica, in particolare in trigonometria, la cotangente di un angolo è definita come la proiezione sull'asse $x$ del punto di incontro tra il prolungamento del secondo lato dell'angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto $(0;1)$. Spesso si usa definirla anche tramite il rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo:

$\cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}$,

oppure ricordando che la cotangente è il reciproco della tangente: $\cot x={\frac {1}{\tan x}}.$

In un triangolo rettangolo, la cotangente di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra il cateto ad esso adiacente e quello opposto. Ne segue appunto che la cotangente è il reciproco della tangente.

La cotangente è una funzione continua nel dominio ed è periodica con periodo minimo $\pi$, cioè $\cot x=\cot(x+k\pi ),k\in \mathbb {Z}$. Non è una funzione limitata, né invertibile. Tuttavia se si restringe il dominio all'intervallo $(0,\pi )$ la funzione cotangente ristretta risulta invertibile in quanto strettamente monotona (in particolare strettamente decrescente) in tale intervallo.

La sua derivata è ${\frac {d}{dx}}\cot x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-(1+\cot ^{2}x)$, mentre la sua funzione primitiva è: $\int \cot {x}\,\mathrm {d} x=\ln {\left|\operatorname {sen} {x}\right|+c}.$

La funzione inversa della cotangente ristretta all'intervallo $(0,\pi )$ prende il nome di arcocotangente.

Lo sviluppo di Taylor della funzione cotangente (qui arrestato al quinto ordine) è: $\cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}+o(x^{6}).$ Inoltre la cotangente, essendo il reciproco della tangente che è una funzione dispari, è ancora una funzione dispari, e ciò comporta che:

    $\cot(-x)=-\cot {x}.$

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione cotangente:

| x in radianti | 0 | ${\frac {\pi }{12}}$ | ${\frac {\pi }{6}}$ | ${\frac {\pi }{4}}$ | ${\frac {\pi }{3}}$ | ${\frac {5\pi }{12}}$ | ${\frac {\pi }{2}}$ | $\pi$ | ${\frac {3\pi }{2}}$ | $2\pi$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| x in gradi | 0° | 15° | 30° | 45° | 60° | 75° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| cot(x) | $\nexists$ | $2+{\sqrt {3}}$ | ${\sqrt {3}}$ | 1 | ${\frac {\sqrt {3}}{3}}$ | $2-{\sqrt {3}}$ | 0 | $\nexists$ | 0 | $\nexists$ |
