Fattoriale crescente
# Fattoriale crescente

In matematica, per fattoriale crescente di $x$ con $n$ fattori si intende il prodotto della forma

    $x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)$ .

Qui $n$ denota un intero naturale, mentre $x$ può denotare un numero reale o complesso, oppure una variabile formale o anche un elemento generico di un anello (in tal caso gli interi si identificano con i multipli dell'elemento unità dell'anello).

Per denotare la precedente espressione si usano varie notazioni:

    $(x)_{n}=x^{\overline {n}}=x^{(n)}:=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}.$

La prima notazione spesso utilizzata, soprattutto per studiare funzioni speciali, viene detta simbolo di Pochhammer, in quanto è stata introdotta dal matematico tedesco Leo August Pochhammer. Taluni, in combinatorica, usano il simbolo di Pochhammer per denotare il fattoriale decrescente di $x$ con $n$ fattori

    $x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)$ ;

questa espressione usando il simbolo di Pochhammer sopra definito sarebbe data da

    $(x-n+1)_{n}$

Una notazione alternativa utilizzata da Ronald L. Graham, Donald E. Knuth e Oren Patashnik nel loro libro Concrete Mathematics esprime rispettivamente il fattoriale crescente come

    $x^{\overline {n}}:=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=(x)_{n},$

e il fattoriale decrescente come

    $x^{\underline {n}}:=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=(x-n+1)_{n}.$

Essa ha due pregi: distinguersi nettamente da altre notazioni ed evidenziare il parallelismo tra le due costruzioni.

Per $n=0$ fattoriale crescente e fattoriale decrescente danno il prodotto vuoto, cioè

    $x^{\overline {0}}=x^{\underline {0}}=(x)_{0}=1.$

Sia il fattoriale crescente che il fattoriale decrescente possono essere espressi mediante un coefficiente binomiale:

    ${x \choose n}={\frac {x^{\underline {n}}}{n!}},$
    ${x+n-1 \choose n}={\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}={\frac {(x)_{n}}{n!}}.$

Quindi le numerose identità riguardanti i coefficienti binomiali conducono a corrispondenti identità per i fattoriali crescenti e decrescenti.

## Collegamento con il calcolo umbrale

I fattoriali crescenti e i fattoriali decrescenti possono essere interpretati come polinomi nella variabile $x$ e le due successioni

    $x^{\overline {n}}\ {\mbox{ per }}\ n=0,1,2,\ldots \qquad x^{\underline {n}}\ {\mbox{ per }}\ n=0,1,2,\ldots$

come successioni di polinomi. Questi hanno ruoli particolari nelle formule che riguardano l'azione sui polinomi di operatori come l'operatore alle differenze in avanti $\Delta$, formule corrispondenti al teorema di Taylor del calcolo infinitesimale indotta dall'azione dell'operatore derivazione. In queste formule e in molte altre circostanze i fattoriali crescenti e i decrescenti nel calcolo delle differenze finite giocano il ruolo che i polinomi $x^{n}$ giocano nel calcolo differenziale. Si osservi ad esempio la somiglianza fra la

    $\Delta (x)_{k}=k(x)_{k-1},$

e la

    $Dx^{k}=kx^{k-1}$

(dove $D$ denota la derivata rispetto alla variabile $x$). La teoria che consente di trattare sistematicamente e rigorosamente queste somiglianze è l'odierno calcolo umbrale. Più specificamente le teorie che riguardano relazioni di questo genere coinvolgenti polinomi come i fattoriali crescenti e i decrescenti sono la teoria delle sequenze polinomiali di tipo binomiale e la teoria delle successioni di Sheffer.

