Matrice di Toeplitz
# Matrice di Toeplitz

In algebra lineare, una matrice di Toeplitz o matrice a diagonali costanti è una matrice in cui ogni diagonale discendente da sinistra a destra è costante. Ad esempio, la seguente matrice è una matrice di Toeplitz:

    ${\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\f&a&b&c&d\\g&f&a&b&c\\h&g&f&a&b\\i&h&g&f&a\end{bmatrix}}$

Queste matrici prendono il loro nome dal matematico tedesco Otto Toeplitz (1881-1940).

Ogni matrice $A$ di ordine $n$ della seguente forma

    $A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}$

è una matrice di Toeplitz.

Indicando con $A_{ij}$ l'elemento della matrice $A$ della riga $i$ e della colonna $j$ si ottiene:

    $A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{i-j}.$

Una matrice di Toeplitz non è necessariamente quadrata.

## Proprietà

In generale, un'equazione matriciale

    $Ax=b$

rappresenta un sistema di $n$ equazioni lineari. Se $A$ è una matrice di Toeplitz, allora il sistema ricade in un caso particolare (ha solo $2n-1$ gradi di libertà, invece di $n^{2}$). Ci si può quindi aspettare che la soluzione di un sistema di Toeplitz sia ottenibile con un procedimento specifico e semplice.

Ciò può essere verificato dalla trasformazione:

    $AU_{n}-U_{m}A,$

che ha due righe, dove $U_{k}$ è l'operatore di riduzione. Nello specifico, si può, con un semplice calcolo, dimostrare che

    $AU_{n}-U_{m}A={\begin{bmatrix}a_{-1}&\cdots &a_{-n+1}&0\\\vdots &&&-a_{-n+1}\\\vdots &&&\vdots \\0&\cdots &&-a_{n-n-1}\end{bmatrix}},$

dove si intende che gli spazi vuoti nella matrice contengano degli zeri.

