Funzione eta di Dirichlet
# Funzione eta di Dirichlet

Per ogni s con $Re(s)>0$ la funzione eta di Dirichlet si definisce come:

    $\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots$

Sono disponibili alcune estensioni che portano la serie a convergere per ogni $s\in \mathbb {C}$

## Correlazione con la funzione zeta di Riemann

Poiché la funzione zeta è definita come:

    $\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$

Possiamo dire che:

    ${\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots$

Ora se aggiungiamo questa somma alla funzione eta avremo che:

    $\eta (s)+{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)=$
    $=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots +{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots =$
    $=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots$

Se ci aggiungiamo un'altra volta :${\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)$ avremo che:

    $\eta (s)+{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)+{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)=$
    $=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots +{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots$

Ossia:

    $\eta (s)+{\frac {1}{2^{s-1}}}\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots =\zeta (s)$

E dunque:

    $\eta (s)=\zeta (s)-{\frac {1}{2^{s-1}}}\zeta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)$

Si può stabilire una correlazione tra la funzione eta e la funzione zeta di Riemann ζ:

    $\eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)$

Poiché la funzione eta converge per ogni $Re(s)>0$ mentre la funzione zeta solo per $Re(s)>1$ la funzione eta può rappresentare un prolungamento analitico dell'altra.

## Relazione di riflessione

Analogamente alla funzione zeta di Riemann si può dimostrare questa formula di riflessione

    $\eta (-s)=-(2^{{s \over 2}\ -1}csch({s\ ln(2) \over 2})+1)\pi ^{-s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s+1)\eta (s+1).$

Che ci fornisce un prolungamento analitico per il semipiano complesso negativo.

## Valori particolari

Grazie alla suddetta formula che collega la funzione eta a la funzione zeta si possono ricavare delle forme esatte (o chiuse) per ogni valore in cui la funzione zeta di Riemann è definita esattamente, ovvero per i valori pari di s, mentre per i valori dispari non si dispone ancora di una forma esatta. Nel caso s=0 (nel quale la formula è indeterminata) invece si dispone di un valore adatto poiché è un caso particolare della serie di Mercator.

Ecco dunque i valori per cui si dispone di una forma esatta:

    $\!\ \eta (1)=\ln 2$, ossia la serie armonica a segni alterni
    $\eta (2)={\pi ^{2} \over 12}$
    $\eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}$
    $\eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}$
    $\eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}$
    $\eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}$
    $\eta (12)={{61499\pi ^{12}} \over {56855407305}}$

Più in generale per ogni valore pari di s:

$\eta (2s)={{B_{2s}\pi ^{2s}(4^{s}-1)} \over {(2s!)}}$

Dove $B_{s}$ sono i numeri di Bernoulli

Per i valori di s minori di 1 la serie diverge ma è possibile trovare dei prolungamenti analitici:

$\eta (0)=1-1+1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}$

$\eta (-1)=1-2+3-4+5-\cdots ={\frac {1}{4}}$

Generalizzando per ogni s minore di uno

$\eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.$

