Funzione localmente integrabile
# Funzione localmente integrabile

In matematica, una funzione localmente integrabile è una funzione che è integrabile su ogni sottoinsieme compatto del dominio.

Detto $U$ un insieme aperto nello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ e $f\colon U\to \mathbb {C}$ una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue, se l'integrale di Lebesgue:

    $\int _{K}|f|\,d\mu$

esiste finito per ogni sottoinsieme compatto $K$ in $U$, allora $f$ è detta localmente integrabile.

Le funzioni localmente integrabili giocano un ruolo importante nella teoria delle distribuzioni, e compaiono nel teorema di Radon-Nikodym.

## Definizione alternativa

Sia $\Omega$ un insieme aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ e $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ l'insieme delle funzioni infinitamente differenziabili $\varphi \colon \Omega \to \mathbb {C}$ a supporto compatto definite su $\Omega$. Una funzione $f\colon \Omega \to \mathbb {C}$ tale che:

    $\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$

è detta localmente integrabile. L'insieme di tutte queste funzioni è denotato con $L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )$.

Questa definizione trova le sue radici nell'approccio alla teoria della misura e dell'integrazione basato sul concetto di operatore lineare continuo in uno spazio vettoriale topologico, sviluppato dal gruppo Nicolas Bourbaki e altri, ed utilizzato spesso nell'ambito dell'analisi funzionale. In particolare la definizione di funzionali lineari tramite integrali di nucleo $f$ è una pratica utilizzata nella teoria delle distribuzioni, dove in tal caso le funzioni $\varphi$ sono dette funzioni di test.

Si tratta di una definizione equivalente a quella standard, data in apertura, ossia:

    $\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,\quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compatto}}$

se e solo se:

    $\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,\quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).$

### Dimostrazione

Infatti, sia $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$. Essendo una funzione misurabile limitata dalla sua norma uniforme $\|\varphi \|$ ed avendo un supporto $K$ compatto per la definizione standard, si ha:

    $\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty .$

Per mostrare l'implicazione inversa, sia $K$ un sottoinsieme compatto di $\Omega$. Si vuole innanzitutto costruire una funzione di test $\varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ che maggiora la funzione indicatrice $\chi _{K}$ di $K$. La distanza (insiemistica) tra $K$ e la sua frontiera $\partial K$ è strettamente maggiore di zero, ovvero:

    $\Delta :=d(K,\partial \Omega )>0$

ed è quindi possibile scegliere un numero reale $\delta$ tale per cui $\Delta >2\delta >0$ (se $\partial K$ è vuoto si prende $\Delta =\infty$). Siano ora $K_{\delta }$ e $K_{2\delta }$ gli intorni chiusi di $K$ aventi rispettivamente raggio $\delta$ e $2\delta$. Essi sono compatti e soddisfano:

    $K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.$

Grazie alla convoluzione $*$ si definisce la funzione $\varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ come:

    $\varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,$

dove $\varphi _{\delta }$ è un mollificatore. Dal momento che $\varphi _{K}(x)=1$ per tutti gli $x\in K$ si ha che $\chi _{K}\leq \varphi _{K}$.

Se $f$ è una funzione localmente integrabile rispetto alla seconda definizione si ha:

    $\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<+\infty$

e poiché questo vale per ogni sottoinsieme compatto $K$ di $\Omega$, $f$ è localmente integrabile anche rispetto alla prima definizione.

## Generalizzazione

Sia $\Omega$ un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ e $f\colon \Omega \to \mathbb {C}$ una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue. Se per un dato $p$ tale che $1\leq p\leq +\infty$ la funzione $f$ soddisfa:

    $\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

ossia appartiene allo spazio $L^{p}(K)$ per tutti i sottoinsiemi compatti di $\Omega$, allora $f$ è localmente $p$-integrabile. L'insieme di tutte le funzioni di questo tipo si indica con $L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega )$.

## Proprietà

### Completezza dello spazio metrico $L^p_{loc}$

Lo spazio $L_{\mathrm {loc} }^{p}$ è uno spazio metrico completo per $p\geq 1$. La sua topologia può essere generata dalla famiglia di metriche:

    $d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}},\qquad u,v\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),$

dove $\{\omega _{k}\}_{k\geq 1}$ è una famiglia di insiemi non vuoti tale che:

* $\omega _{k}\subsetneq \omega _{k+1}$, ossia $\omega _{k}$ è strettamente incluso in $\omega _{k+1}$.
* $\bigcup _{k}\omega _{k}=\Omega$.
* Le funzioni $\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}\colon L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega )\to \mathbb {R} ^{+}$, con $k\in \mathbb {N}$, sono una famiglia indicizzata di seminorme definita come:

    ${\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\int _{\omega _{k}}|u|^{p}\,\mathrm {d} x,\qquad \forall \,u\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ).$

### $L^p$ come sottospazio di $L^p_{loc}$ per p ≥ 1

Ogni funzione $f\in L^{p}$, dove $1\leq p\leq +\infty$ e $\Omega$ è un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$, è localmente integrabile.

Per mostrare questo fatto, data la semplicità del caso $p=1$ si assume nel seguito $1<p\leq +\infty$. Considerando la funzione indicatrice $\chi _{k}$ del sottoinsieme compatto $K\subset \Omega$, si ha:

    $\left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|\mu (K)|^{1/q}<+\infty ,$

dove $q$ è un numero positivo tale che $1/p+1/q=1$ per un dato $1\leq p\leq +\infty$, e $\mu (K)$ è la misura di Lebesgue di $K$. Allora, per la disuguaglianza di Hölder il prodotto $f\chi _{K}$ è una funzione integrabile, ossia appartiene a $L^{1}(\Omega )$ e:

    ${\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty .$

Quindi $f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )$. Si nota che dal momento che vale:

    ${\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty .$

Il teorema si applica anche quando $f$ appartiene solo allo spazio delle funzioni localmente $p$-integrabili, e pertanto si ha come corollario che ogni funzione $f\in L_{\mathrm {loc} }^{p}$, dove $1<p\leq +\infty$, è localmente integrabile, ovvero appartiene a $f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}$.

## Esempi

* Ogni funzione integrabile (globalmente) in $U$ è localmente integrabile, cioè:

       $L^{1}(U)\subset L_{\mathrm {loc} }^{1}(U).$
* Più generalmente, ogni funzione in $L^{p}(U)$, con $1\leq p\leq +\infty$ è localmente integrabile:

       $L^{p}(U)\subset L_{\mathrm {loc} }^{1}(U).$
* La funzione costante a $1$ definita sulla retta reale è localmente integrabile, ma non globalmente. Più generalmente, le funzioni continue sono localmente integrabili.
* La funzione $f(x)=1/x$ per $x\neq 0$ e $f(0)=0$ non è localmente integrabile su $\mathbb {R}$, perché la condizione cade negli intervalli contenenti l'origine, mentre la sua restrizione a $(0,+\infty )$appartiene a $L_{\mathrm {loc} }^{1}(0,+\infty )$.
