Funzione gradino
# Funzione gradino

In matematica, una funzione reale si dice funzione a gradino o funzione a gradinata o funzione a scala se è costante a tratti.

Ad esempio, la funzione seguente è a gradino:

    $F:\mathbb {R} \to [0,1],x\mapsto {\begin{cases}0&x<0\\0,2&x\in [0,2)\\0,6&x\in [2,4)\\1&x\geq 4\end{cases}}$

In generale, detta $A_i=[x_i,$ $x_{i+1}),$ i∈I, $−∞≤x_i≤+∞{\textstyle$ A_{i}=[x_{i}, x_{i+1}), i\in I, -\infty \leq x_{i}\leq +\infty } una partizione - finita o infinita a seconda della cardinalità di I{\textstyle I}- del dominio, allora f:A⊆R→R{\textstyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} } è detta a gradino se esistono $α_1,$ …, $α_n∈R{\textstyle$ \alpha _{1}, \ldots , \alpha _{n}\in \mathbb {R} } tali che:

    $f(x)=\sum _{i\in I}\alpha _{i}\cdot \chi _{A_{i}}(x)$

dove $\chi _{A_{i}}(x)$ è la funzione indicatrice dell'insieme $A_{i}$, cioè

    $f_{/A_{i}}(x)=\alpha _{i}\quad \forall x\in A_{i}$

Una funzione a gradino non è altro che una combinazione lineare di funzioni indicatrici.

## Proprietà

Una funzione a gradino non è generalmente continua, come è facile notare, ma è comunque continua quasi ovunque (possiede un numero finito o numerabile di discontinuità) e dunque è integrabile secondo Riemann; il suo integrale è

    $\int f(x)\mathop \!\mathrm {d} x=\sum _{i\in I}\alpha _{i}(x_{i+1}-x_{i})$,

cioè, come è immaginabile, l'area sottesa è la somma delle aree dei singoli rettangolini di base $(x_{i+1}-x_{i})$ e altezza $\alpha _{i}$.

Dall'integrale di particolari funzioni a gradino Riemann partirà poi per la costruzione del suo integrale.

