Teorema della farfalla
# Teorema della farfalla

In matematica, e in particolare in geometria euclidea, il teorema della farfalla afferma che:

    sia $M$ il punto medio di una corda $PQ$ di un cerchio e siano $AB$ e $CD$ altre due corde passanti per $M$ e siano $X$ e $Y$ i punti di intersezione tra le corde $AD$ e $BC$ e la corda $PQ$ rispettivamente. Allora $M$ sarà il punto medio di $XY$.

## Dimostrazione

Siano $XX'$ e $XX''$ le perpendicolari, condotte da $X$, rispettivamente a $AM$ e a $DM$. In modo analogo, siano $YY'$ e $YY''$ le perpendicolari, condotte da $Y$, rispettivamente a $BM$ e a $CM$.

Adesso, poiché

       $\triangle MXX'\sim \triangle MYY',\,$
    ${MX \over MY}={XX' \over YY'},$
       $\triangle MXX''\sim \triangle MYY'',\,$
    ${MX \over MY}={XX'' \over YY''},$
       $\triangle AXX'\sim \triangle CYY'',\,$
    ${XX' \over YY''}={AX \over CY},$
       $\triangle DXX''\sim \triangle BYY',\,$
    ${XX'' \over YY'}={DX \over BY},$

Dalle precedenti equazioni, si può facilmente dedurre che

    $\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},$
    $={AX.DX \over CY.BY},$
    $={PX.QX \over PY.QY},$
    $={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},$
    $={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},$

poiché $PM$ = $MQ$

Ora,

    ${(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.$

Pertanto, possiamo concludere che $MX=MY,$, ovvero $M$ è il punto medio di $XY.$

