Distanza di Hausdorff
# Distanza di Hausdorff

In geometria, la distanza di Hausdorff è una particolare definizione di distanza introdotta da Felix Hausdorff per misurare la distanza tra due sottoinsiemi di uno spazio metrico.

## Definizione

Dato uno spazio metrico $X$ e due sottoinsiemi $A,B\subseteq X$ definiamo qualche quantità preliminare: si dice distanza di un punto dall'insieme $A$ la quantità

    $d(x,A):=\inf _{y\in A}d(x,y)$.

Si definisce eccedenza di A su B la quantità

    $e(A,B):=\sup _{x\in A}d(x,B)$.

Si definisce dunque distanza di Hausdorff tra $A$ e $B$ la quantità

    $d(A,B):={\mbox{max}}\{e(A,B),e(B,A)\}$

## Proprietà

La distanza di Hausdorff è una funzione $d:P(X)\times P(X)\to \mathbb {R} _{0}^{+}$. Essa soddisfa le seguenti proprietà:

* se $A=B$ allora $d(A,B)=0$
* $d(A,B)=d(B,A)$
* $d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B)$

Tali proprietà la rendono una pseudometrica sull'insieme delle parti di $X$. Essa soddisfa anche l'ultima proprietà di una metrica (cioè $d(A,B)=0$ implica $A=B$) se $A$ e $B$ sono chiusi.

## Campi applicativi

La distanza di Hausdorff consente di definire un concetto di continuità per multifunzioni, cioè per funzioni $F:A\to P(B)$. Se si munisce $P(B)$ della distanza di Hausdorff ed $A$ è uno spazio quantomeno topologico, è naturale dire $F$ continua in $x_{0}$ se

    per ogni $\epsilon >0$ esiste un intorno di $x_{0}$ tale che per ogni $x$ in quell'intorno è $d(F(x),F(x_{0}))<\epsilon$.

Al di fuori della matematica, la distanza di Hausdorff trova utilizzo in svariati campi di ricerca tra cui la computer vision e la bioinformatica. Sovente si applicano varie metriche onde trovare una stima affidabile dell'errore.

