Tronco di cono
# Tronco di cono

In geometria solida il tronco di cono è un cono al quale è stata tagliata la punta con un piano parallelo alla base. Qualora il piano non sia parallelo alla base, la sezione ottenuta è un'ellisse anziché un cerchio.

## Formule

Sia $T$ un tronco di cono d'altezza $h$ e le cui basi hanno raggi $R$ e $r$. Il volume del tronco è pari a

    $V={\frac {1}{3}}\pi h(R^{2}+rR+r^{2}).$

La superficie laterale $S_{l}$ del tronco di cono è data dalla formula

    $S_{l}=\pi (r+R)a$

dove $a$ è l'apotema, la lunghezza del lato obliquo del tronco di cono, pari a

    $a={\sqrt {h^{2}+(R-r)^{2}}}.$

La superficie totale del cono è data dalla formula:

    $S_{t}=S_{l}+S_{b},$

oppure

    $S_{t}=S_{l}+\pi (R^{2}+r^{2}).$

## Dimostrazione della formula del volume

È dato un tronco di cono T in cui R sia il raggio della base maggiore, r quello della minore e h l'altezza.

Si prolunghi la superficie laterale dalla parte di r fino ad ottenere il cono $V_1$ di base in R e altezza pari a h + $h_2,$ in cui $h_2$ è l'altezza del cono $V_2$ con base in r. Il volume del tronco è quindi:

$V_{T}=V_{1}-V_{2}$

I triangoli di lati r e $h_2$ e di lati h e R-r sono simili, poiché hanno tutti gli angoli uguali. Pertanto possiamo scrivere:

$h:(R-r)=h_{2}:r$

Per cui: $h_{2}={\frac {hr}{R-r}}$

Partendo dalla formula del volume del cono:

$V_{1}={\frac {\pi R^{2}(h+h_{2})}{3}}$

$V_{2}={\frac {\pi r^{2}h_{2}}{3}}$

Sostituendo in $h_2:$

$V_{1}={\frac {\pi R^{2}h}{3}}+{\frac {\pi R^{2}hr}{3(R-r)}}$

$V_{2}={\frac {\pi r^{2}hr}{3(R-r)}}$

Tornando alla formula iniziale:

$V_{T}={\frac {\pi R^{2}h}{3}}+{\frac {\pi R^{2}hr}{3(R-r)}}-{\frac {\pi r^{2}hr}{3(R-r)}}$

$V_{T}={\frac {\pi h}{3}}(R^{2}+{\frac {R^{2}r}{R-r}}-{\frac {r^{3}}{R-r}})$

$V_{T}={\frac {\pi h}{3}}{\frac {R^{3}-R^{2}r+R^{2}r-r^{3}}{R-r}}$

$V_{T}={\frac {\pi h}{3}}{\frac {R^{3}-r^{3}}{R-r}}$

$V_{T}={\frac {\pi h}{3}}{\frac {(R-r)(R^{2}+r^{2}+Rr)}{R-r}}$

$V_{T}={\frac {\pi h}{3}}(R^{2}+r^{2}+Rr)$

## Volume del tronco di cono ellittico

La formula per calcolare il volume di un tronco di cono ellittico è la seguente:

$V={\frac {\pi }{3}}\left\{r^{3}\tan {\alpha }-{\frac {1}{2}}b\left[{\sqrt {4a^{2}-(H-h)^{2}}}(r\tan {\alpha }-h)-(H-h)(r-h\cot {\alpha })\right]\right\}$

dove V è il volume del tronco di cono, r è il raggio, α è l'inclinazione dell'apotema del cono sezionato, a e b sono i semiassi dell'ellisse ottenuta dal sezionamento del cono e H e h sono rispettivamente l'altezza massima e minima del tronco di cono.

## Comparazione con il cilindro

Un cilindro può essere pensato come un tronco di cono con basi di uguali dimensioni. Partendo quindi dalla formula del volume di un tronco di cono C per il quale il raggio R risulta anche uguale a r, si ha:

$V_{C}={\frac {\pi h}{3}}(R^{2}+R^{2}+RR)$

$V_{C}={\frac {\pi h}{3}}(3R^{2})$

$V_{C}=\pi hR^{2}$

che è la formula del volume di un cilindro.

