Teorema dell'intorno tubolare
# Teorema dell'intorno tubolare

In geometria, il teorema dell'intorno tubolare è un importante strumento della topologia differenziale, utile in presenza di una varietà differenziabile contenuta in un'altra varietà di dimensione più grande. Si tratta di uno dei primi risultati topologici in cui è necessaria la struttura differenziabile: il teorema può non essere valido infatti nell'ambito delle varietà topologiche.

## Enunciato

Sia $M$ una varietà differenziabile di dimensione $n$ e $N\subset M$ una sottovarietà differenziabile compatta di dimensione $n-k$. Esiste un intorno aperto $T$ di $M$ diffeomorfo ad un fibrato su $N$, con fibra omeomorfa ad una palla

    $B^{k}=\{x\in \mathbb {R} ^{k}\ |\ |x|<1\}$

in cui $N$ giace come la sezione nulla.

Tale intorno viene detto intorno tubolare di $N$ in $M$. L'intorno è unico a meno di isotopia in $M$ (e quindi in particolare a meno di diffeomorfismo).

## Il fibrato

### Locale e globale

Localmente, l'intorno tubolare è del tipo $U\times B^{k}$, dove $U$ è un aperto di $N$, e $N$ giace come $U\times \{0\}$. Come in ogni fibrato, il fatto che sia localmente un prodotto non garantisce che lo sia anche globalmente.

Ad esempio, l'intorno tubolare di una curva semplice chiusa in una superficie è un fibrato, la cui fibra è un intervallo $B^{1}=(-1,1)$. Globalmente, l'intorno tubolare può essere omeomorfo ad un prodotto $S^{1}\times (-1,1)$, cioè un anello, oppure ad un nastro di Möbius.

### Codimensione uno

Nel caso in cui $M$ sia orientabile e $N$ abbia codimensione $k=1$, l'intorno tubolare $T$ è determinato a meno di diffeomorfismo da $N$. Se $N$ è anch'essa orientabile, $T$ è diffeomorfo al prodotto $N\times (-1,1)$. In generale, $T$ è l'unico fibrato orientabile con fibra $(-1,1)$ e base $N$.

### Retratto di deformazione

La sottovarietà $N$ è sempre un retratto di deformazione forte del suo intorno tubolare $T$. In particolare, $N$ e $T$ sono omotopicamente equivalenti.

