Teorema della categoria di Baire
# Teorema della categoria di Baire

In matematica, il teorema della categoria di Baire è un importante strumento della topologia generale e dell'analisi funzionale. Il teorema è disponibile in due versioni, ciascuna delle quali fornisce una condizione sufficiente affinché uno spazio topologico sia uno spazio di Baire.

Si deve al matematico francese René-Louis Baire, che lo dimostrò nella sua tesi di laurea nel 1899, Sur les fonctions de variable réelles.

## Enunciato del teorema

Vi sono due versioni del teorema. La prima riguarda gli spazi metrici:

TCB1 Ogni spazio metrico completo non vuoto è uno spazio di Baire. Più in generale, ogni sottoinsieme aperto di uno spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire.

La seconda riguarda gli spazi di Hausdorff:

TCB2 Ogni spazio di Hausdorff non vuoto e localmente compatto è uno spazio di Baire.

Nessuna delle due proposizioni implica l'altra poiché non necessariamente uno spazio metrico completo è localmente compatto (un esempio è un qualunque spazio di Hilbert di dimensione infinita) così come uno spazio di Hausdorff localmente compatto non è necessariamente metrizzabile (vedi lo spazio di Fort, non numerabile).

Un sottoinsieme di uno spazio metrico è mai denso se la sua chiusura ha parte interna vuota. Il teorema di Baire per gli spazi metrici può essere formulato nel modo seguente:

TCB3 Uno spazio metrico completo non può essere unione numerabile di insiemi mai densi.

La seguente versione è molto utilizzata come teorema di esistenza.

TCB4 In uno spazio metrico completo l'intersezione numerabile di aperti densi è densa.

## Dimostrazione

Si fornisce la dimostrazione del teorema nella forma TCB3. Sia $(X,d)$ uno spazio metrico completo e si supponga, per assurdo, che:

    $X=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$

dove la chiusura ${\overline {A_{n}}}$ ha parte interna vuota per ogni $n$.

Si scelgano $x_{1}$ in $X$ ed $0<r<1$ tali che:

    $B(x_{1},r_{1})\cap A_{1}=\emptyset$

Ciò è possibile perché la chiusura di $A_{1}$ ha parte interna vuota. Indicando con $B(x,r)$ la palla aperta in $X$ di centro $x$ e raggio $r$, è possibile scegliere $x_{2}$ in $B(x_{1},r_{1})$ e $0<r_{2}<1/2$ tali che:

    ${\overline {B(x_{2},r_{2})}}\subseteq B(x_{1},r_{1})\qquad B(x_{2},r_{2})\cap A_{2}=\emptyset$

ciò che è possibile perché la chiusura di $A_{2}$ ha parte interna vuota. Iterando il procedimento si costruiscono, quindi, due successioni, $(x_{n})$ in $X$ e $(r_{n})$ in $\mathbb {R}$ tali che:

    $0<r_{n}<{\frac {1}{2^{n-1}}}\qquad {\overline {B(x_{n},r_{n})}}\subseteq B(x_{n-1},r_{n-1})\qquad B(x_{n},r_{n})\cap A_{n}=\emptyset \ \forall n\in \mathbb {N}$

ne segue che, per ogni $n,m$ naturali con $n,m>N$, risulta:

    $d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {1}{2^{N-1}}}$

e, pertanto, la successione $(x_{n})$ è di Cauchy e quindi convergente ad un certo $x$ in $X$. D'altronde, $x$ non è in $A_{n}$ per ogni $n$ e, pertanto,

    $x\notin \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}=X$

il che è assurdo, il che dimostra la tesi.

## Relazione con l'assioma della scelta

Le dimostrazioni di entrambe le versioni richiedono una forma debole dell'assioma della scelta; infatti, la proposizione che ogni spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire è un'affermazione equivalente all'assioma della scelta dipendente (DC).

## Applicazioni del teorema

TCB1 è utilizzato nelle dimostrazioni del teorema della funzione aperta, del teorema del grafico chiuso e del principio dell'uniforme limitatezza.

TCB1 mostra inoltre che ogni spazio metrico completo privo di punti isolati è non numerabile (se $X$ è uno spazio metrico completo numerabile privo di punti isolati, allora ogni insieme $\{x\}$ formato da un punto in $X$ è mai denso e pertanto $X$ stesso è di prima categoria). In particolare, ciò mostra che l'insieme di tutti i numeri reali è non numerabile.

TCB1 mostra che ciascuno dei seguenti insiemi è uno spazio di Baire:

* L'insieme $\mathbb {R}$ dei numeri reali
* L'insieme di Cantor
* Ogni varietà (in quanto insiemi localmente compatti)
* Ogni spazio topologico omeomorfo ad uno spazio di Baire (per esempio, l'insieme dei numeri irrazionali che non è completo rispetto alla metrica ereditata da $\mathbb {R}$)

Vi sono anche altre applicazioni importanti di TCB1.

