Teorema della bisettrice
# Teorema della bisettrice

Il teorema della bisettrice dell'angolo interno di un triangolo è un teorema della geometria elementare che è una particolare conseguenza del teorema di Talete.

## Enunciato

In un triangolo due lati stanno fra loro come le parti in cui resta diviso il terzo lato dalla bisettrice dell'angolo interno ad esso opposto.

In altri termini: dato il triangolo ABC sia AL la bisettrice dell'angolo interno in A; sussiste allora la proporzione

$\scriptstyle BA:AC=BL:LC$

## Dimostrazione

Si conduca dal vertice C la parallela alla retta AL fino a incontrare il prolungamento del lato BA dalla parte di A nel punto D. Il triangolo ACD è isoscele perché i suoi angoli in C e in D sono congruenti. Infatti:

$\scriptstyle A{\widehat {C}}D=C{\widehat {A}}L$ perché alterni interni rispetto alle rette parallele AL e DC tagliate dalla trasversale AC;

$\scriptstyle A{\widehat {D}}C=B{\widehat {A}}L$ perché corrispondenti rispetto alle rette parallele AL e DC tagliate dalla trasversale AD;

$\scriptstyle C{\widehat {A}}L=B{\widehat {A}}L$ perché parti uguali dello stesso angolo.

Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza è allora

$\scriptstyle A{\widehat {D}}C=A{\widehat {C}}D$. Si ha pertanto che i segmenti AC e AD sono congruenti.

Per il teorema di Talete sussiste la proporzione

$\scriptstyle BA:AD=BL:LC$

e poiché AC e AD sono congruenti anche

$\scriptstyle BA:AC=BL:LC$

