Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing
# Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing

La costante Gauss-Kuzmin-Wirsing (il nome deriva dai matematici Carl Gauss, Rodion Osievich Kuzmin e Eduard Wirsing) è una costante matematica che si incontra in combinatoria ed è importante nello studio dell'efficienza dell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comune divisore. Non è noto se sia irrazionale. È legata alla funzione Zeta di Riemann.

## Definizione

Sia G l'operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing, cioè:

    Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle [Gf](x) = \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{(x+n)^2} f \left(\frac {1}{x+n}\right).}

L'autovalore maggiore in valore assoluto è 1 e corrisponde alla funzione:

    ${\frac {\ln 2}{1+x}}.$

Il secondo autovalore è la costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing e vale all'incirca:

    $\lambda =0,30366300289...$

Eduard Wirsing ha mostrato che, se $F_{n}(x)$ è la distribuzione Gauss-Kuzmin, allora:

    $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n}(x)-\ln(1-x)}{(-\lambda )^{n}}}=\Psi (x),$

dove $\Psi (x)$ è una funzione analitica tale che $\Psi (0)=\Psi (1)=0$.

## Relazione con la funzione Zeta di Riemann

L'operatore GKW è legato alla funzione Zeta di Riemann. La funzione Zeta di Riemann può essere scritta così:

    $\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-s\int _{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx$

questo implica che:

    $\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{0}^{1}dx\;x\left[Gx^{s-1}\right]$

dopo un cambio di variabile.

