Sfere di Dandelin
# Sfere di Dandelin

In geometria una sezione conica non degenere, figura considerata come ottenuta dalla intersezione di un piano con un cono, possiede una o due sfere di Dandelin caratterizzate dalla proprietà:

«una sfera di Dandelin è tangente sia al piano sia al cono»

Ogni sezione conica non degenere ha associata una sfera di Dandelin a ciascuno dei suoi due fuochi o al suo unico fuoco.

* Un'ellisse possiede due sfere di Dandelin, entrambe tangenti alla stessa falda del cono (figura a lato).
* Un'iperbole ha due sfere di Dandelin che toccano le falde opposte del cono.
* Una parabola possiede una sola sfera di Dandelin.

## Teorema di Dandelin

L'interesse per le sfere di Dandelin viene dal seguente teorema:

«il punto nel quale una sfera tocca il piano è un fuoco della sezione conica»

Dimostrazione: si consideri l'illustrazione che raffigura un piano che interseca un cono in un'ellisse e mostra anche le due sfere di Dandelin. Ciascuna sfera tocca il cono nei punti di una circonferenza. Ogni sfera tocca il piano in un punto. Denotiamo questi due punti con $F_1$ ed $F_2.$ Sia P un generico punto sulla ellisse. Ci proponiamo di dimostrare che la somma delle distanze $d(F_1,$ P) + $d(F_2,$ P) rimane costante al muoversi del punto P lungo la curva. La retta passante per P e il vertice del cono interseca le due circonferenze in due punti che denotiamo con $P_1$ e $P_2.$ Quando P si muove sull'ellisse, $P_1$ e $P_2$ si muovono ciascuno su una circonferenza. La distanza tra $F_i$ e P è uguale alla distanza tra $P_i$ e P, poiché entrambi i segmenti appartengono a rette tangenti alla stessa sfera. Di conseguenza la somma delle distanze $d(F_1,$ P) + $d(F_2,$ P) è uguale alla somma delle distanze $d(P_1,$ P) + $d(P_2,P).$ lunghezza del segmento fra $P_1$ e $P_2.$ Dato che P si trova sulla retta per $P_1$ e $P_2,$ la precedente somma è uguale a $d(P_1,P_2)$ e questa rimane costante al variare di P sull'ellisse; questo dimostra che gli $F_i$ sono i fuochi dell'ellisse.

Questa argomentazione può essere adattata alle iperboli e alle parabole considerate intersezioni di un piano con un cono. Un altro adattamento funziona per una ellisse ottenuta come intersezione di un piano con un cilindro circolare retto.

### Conseguenze del teorema e sua dimostrazione

Se, come si fa spesso, si assume come definizione dell'ellisse quella di luogo dei punti P tali che $d(F_1,$ P) + $d(F_2,$ P) = a costante positiva, allora l'argomentazione precedente dimostra che l'intersezione di un piano con un cono è proprio un'ellisse. Che l'intersezione del piano con il cono sia simmetrica rispetto all'asse del segmento avente come estremità $F_1$ ed $F_2$ può risultare non intuitivo, ma l'argomentazione precedente lo rende chiaro.

