Teorema del minimax
# Teorema del minimax

Il teorema del minimax è dovuto a von Neumann. Il teorema del minimax fornisce condizioni sufficienti affinché la disuguaglianza max-min

    $\max _{y\in {\mathit {K_{2}}}}\min _{x\in {\mathit {K_{1}}}}f(x,y)\leq \min _{x\in {\mathit {K_{1}}}}\max _{y\in {\mathit {K_{2}}}}f(x,y).$

sia un’uguaglianza.

Il teorema costituisce non solo il punto di inizio della teoria dei giochi, ma altresì un teorema della dualità per i problemi di programmazione lineare laddove la regione ammissibile è convessa e compatta (chiusa e limitata).

## Enunciato

Sia ${\displaystyle f:{\mathit {K_{1}}}\times {\mathit {K_{2}}}\to \mathbb {R} }$ una funzione continua dove ${\mathit {K_{1}}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ e ${\mathit {K_{2}}}\subset \mathbb {R} ^{m}$ sono insiemi convessi compatti. Se $f$ è una funzione convessa-concava, ossia tale che

    $f(\cdot ,y):{\mathit {K_{1}}}\to \mathbb {R}$ è convessa per $y$ fissato e
    $f(x,\cdot ):{\mathit {K_{2}}}\to \mathbb {R}$ è concava per $x$ fissato,

allora

    $\min _{x\in {\mathit {K_{1}}}}\max _{y\in {\mathit {K_{2}}}}f(x,y)=\max _{y\in {\mathit {K_{2}}}}\min _{x\in {\mathit {K_{1}}}}f(x,y).$

## Esempi

* Nella teoria dei giochi per un gioco finito a somma zero a due giocatori con un numero finito n di strategie (c.d. giochi simmetrici), è facile pensare alla funzione di pagamento $f:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb {R}$ come ad una forma bilineare alternante la cui proprietà di alternanza $f(s_{1},s_{2})=-f(s_{2},s_{1})$ matematizza la contrapposizione totale dei due giocatori, ossia il fatto che la somma dei pagamenti sia zero. Indicato con $S_{1}$ e $S_{2}$ l’insieme delle strategie pure dei due giocatori e ponendo

       $f_{1}(s_{1},s_{2}):=f(s_{1},s_{2})$
       $f_{2}(s_{1},s_{2}):=f(s_{2},s_{1})$
    si ottiene la definizione di gioco a somma zero:
       $f_{1}(s_{1},s_{2})+f_{2}(s_{1},s_{2})$ ≡ $0$ per ogni $s_{1}\in S_{1}$ e per ogni $s_{2}\in S_{2}$
    Nei giochi finiti è immediato constatare che i due insiemi $S_{1}$ e $S_{2}$ risultano essere compatti poiché sono finiti e dunque privi di punti di accumulazione. Le funzioni dei pagamenti $f_{i}$ risultano definite su insiemi privi di punti di accumulazione, insiemi dunque costituiti dai soli punti isolati, punti cioè in cui le due funzioni $f_{i}$ risultano essere continue (di più uniformemente continue). In merito alla richiesta che i due insiemi $S_{1}$ e $S_{2}$ siano convessi è sufficiente considerarne il politopo (involucro convesso) una volta introdotto il concetto di strategia mista come una ennupla non negativa di numeri $({\tilde {s}}_{1},\ldots ,{\tilde {s}}_{n})$ tali che ${\tilde {s}}_{1}+...+{\tilde {s}}_{n}=1$. Il dominio di variazione delle strategie miste è più esteso di quello delle strategie pure: per queste ultime infatti il dominio è un semplice insieme finito di $n$ ennuple ordinate, mentre le strategie miste sono definite su un sottoinsieme dello spazio vettoriale di dimensione $n$ costituito da tutte le combinazioni lineari convesse delle $n$ strategie pure e come tale risulta convesso ed avente dimensione finita pari a $n+1$. L’inviluppo convesso è compatto perché è costruito sull’insieme compatto delle strategie pure. Se $f_{1}(\cdot ,{\tilde {s}}_{2})$ risulta essere convessa rispetto a ${\tilde {s}}_{1}$ per ${\tilde {s}}_{2}$ fissato e poiché $f_{1}=-f_{2}$, allora $f_{2}({\tilde {s}}_{1},\cdot )$ risulta essere concava rispetto a ${\tilde {s}}_{2}$ per ${\tilde {s}}_{1}$ fissato, sicché le condizioni del teorema del minimax risultano soddisfatte.
* Il valore di un gioco simmetrico a somma zero a due giocatori esteso a strategie miste presenta valore pari a zero. Il valore di un gioco per definizione è

       $\min _{{\tilde {s}}_{1}}\max _{{\tilde {s}}_{2}}f({\tilde {s}}_{1},{\tilde {s}}_{2})=v^{*}=\max _{{\tilde {s}}_{2}}\min _{{\tilde {s}}_{1}}f({\tilde {s}}_{1},{\tilde {s}}_{2})$
    Si consideri dapprima la parte sinistra delle due eguaglianze appena scritte $v*=\min _{{\tilde {s}}_{1}}\max _{{\tilde {s}}_{2}}f({\tilde {s}}_{1},{\tilde {s}}_{2})$, per ipotesi è $f({\tilde {s}}_{1},{\tilde {s}}_{2})=-f({\tilde {s}}_{2},{\tilde {s}}_{1})$ dunque
       $v^{*}=\min _{{\tilde {s}}_{1}}\max _{{\tilde {s}}_{2}}f({\tilde {s}}_{1},{\tilde {s}}_{2})=\min _{{\tilde {s}}_{1}}\max _{{\tilde {s}}_{2}}[-f({\tilde {s}}_{2},{\tilde {s}}_{1})]=-\max _{{\tilde {s}}_{1}}\min _{{\tilde {s}}_{2}}f({\tilde {s}}_{2},{\tilde {s}}_{1})$.
    Poiché l'insieme delle strategie per i due giocatori sono identiche $S_{1}=S_{2}$, scambiando ${\tilde {s}}_{1}$ con ${\tilde {s}}_{2}$ si ottiene
       $-\max _{{\tilde {s}}_{1}}\min _{{\tilde {s}}_{2}}f({\tilde {s}}_{2},{\tilde {s}}_{1})=-\max _{{\tilde {s}}_{2}}\min _{{\tilde {s}}_{1}}f({\tilde {s}}_{1},{\tilde {s}}_{2})=-v^{*}$.
    Per confronto risulta $v^{*}=-v^{*}$ e quindi necessariamente il valore del gioco è $v^{*}=0$.
* La matrice associata alla funzione dei pagamenti $f$ è una matrice antisimmetrica e presenta quali elementi della diagonale principale solo zeri in quanto da $f(s_{1},s_{2})=-f(s_{2},s_{1})$ per ogni $s_{1}$,$s_{2}$ segue immediatamente che è $f(s_{1},s_{1})=0$ per ogni $s_{1}$ una volta scelto $s_{1}=s_{2}$.

## Il teorema del min-max e la programmazione convessa

Il teorema alla base dei giochi antagonisti può essere preso come punto di unione tra la teoria della dualità ed i problemi di programmazione convessa, in particolare quelli di programmazione lineare. Le coppie di problemi constitute dal problema primale e dal suo problema duale sono infatti strettamente legate al problema di determinare i punti di sella $(\mathbf {x} ^{\ast },\mathbf {y} ^{\ast })$ della funzione lagrangiana ${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$. Se $\mathbf {x} ^{\ast }$ è soluzione del problema primale di massimizzazione e se $\mathbf {y} ^{\ast }$ è soluzione del problema duale di minimizzazione allora il valore all'ottimo della funzione lagrangiana del problema primale, $maxmin{\mathcal {L}}$, coincide con il valore all'ottimo della funzione lagrangiana del problema duale, $minmax{\mathcal {L}}$. In altri termini vale la relazione di dualità:

    $\max _{x\in {\mathit {K_{1}}}}\min _{y\in {\mathit {K_{2}}}}{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\mathcal {L}}(\mathbf {x} ^{\ast },\mathbf {y} ^{\ast })=\min _{y\in {\mathit {K_{2}}}}\max _{x\in {\mathit {K_{1}}}}{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

In generale almeno uno dei due insiemi ${\mathit {K_{1}}}$ o ${\mathit {K_{2}}}$ è un insieme illimitato, dunque non è compatto: ciò costituisce il motivo per cui il teorema di von Neumann non è largamente applicato nella programmazione convessa.

### Esempio

In un generico gioco a somma zero a due persone per il giocatore massimizzante si ha il problema primale seguente:

       $\max _{x\in {\mathit {K_{1}}}}v$

soggetto ai vincoli:

       $\left\{{\begin{array}{l}{\begin{matrix}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}\cdot x_{j}\end{matrix}}\geq v\quad \forall i=1,...,m\\{\begin{matrix}\sum _{j=1}^{n}x_{j}\end{matrix}}=1\\x_{j}\geq 0\quad \forall j=1,...,n\\\end{array}}\right.$

La funzione lagrangiana associata a questo problema è:

    ${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=v+\left\langle \mathbf {y} ,A\mathbf {x} -\mathbf {v} \right\rangle$

dove $\mathbf {v} =\left(v,\cdots ,v\right)$, mentre $\mathbf {y} =(y_{1},\cdots ,y_{m})$ rappresentano i moltiplicatori di lagrange e costituiscono le strategie miste del giocatore avversario.

Osservato che la funzione lagrangiana ${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=v+\left\langle \mathbf {y} ,A\mathbf {x} -\mathbf {v} \right\rangle$ risulta essere una funzione convessa nella variabile $\mathbf {x}$ sull'insieme ${\mathit {K_{1}}}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}|\sum _{j=1}^{n}x_{j}\cdot \alpha _{j}\quad |\quad \alpha _{j}=1,\quad \sum _{j=1}^{n}x_{j}=1,\quad x_{j}\geq 0\quad \forall j\right\}$, che la lagrangiana ${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ è chiaramente una funzione lineare in $\mathbf {y}$, dunque risulta essere banalmente concava in $\mathbf {y}$ in quanto ogni funzione lineare è sia concava che convessa e che i due insiemi ${\mathit {K_{1}}}$ e ${\mathit {K_{2}}}$ sono compatti, si deduce che la relazione di dualità

    $\max _{x\in {\mathit {K_{1}}}}\min _{y\in {\mathit {K_{2}}}}{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\min _{y\in {\mathit {K_{2}}}}\max _{x\in {\mathit {K_{1}}}}{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

è diretta conseguenza del teorema del minimax.

La formulazione esplicita del problema duale si ottiene considerando

    $\min _{y\in {\mathit {K_{2}}}}\max _{x\in {\mathit {K_{1}}}}{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

Dapprima si massimizza la lagrangiana per $\mathbf {y}$ fisso e $\mathbf {x}$ variabile in ${\mathit {K_{1}}}$

       $\max _{x\in {\mathit {K_{1}}}}{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\max _{x\in {\mathit {K_{1}}}}\left[v-\left\langle \mathbf {y} ,\mathbf {v} \right\rangle +\left\langle \mathbf {y} ,A\mathbf {x} \right\rangle \right]$

Essendo $\sum _{j=1}^{n}x_{j}=1$ si può scrivere $v=v\cdot 1=v{\dot {\left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}\right)}}=vx_{1}+\cdots +vx_{n}=\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \right\rangle$ dove $\mathbf {v} =\left(v,\cdots ,v\right)$. Ricordato che $\left\langle \mathbf {y} ,A\mathbf {x} \right\rangle =\left\langle A^{t}\mathbf {y} ,\mathbf {x} \right\rangle$ si ottiene

       $\max _{x\in {\mathit {K_{1}}}}\left[-\left\langle \mathbf {y} ,\mathbf {v} \right\rangle +\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \right\rangle +\left\langle A^{t}\mathbf {y} ,\mathbf {x} \right\rangle \right]=-\left\langle \mathbf {y} ,\mathbf {v} \right\rangle +\max _{x\in {\mathit {K_{1}}}}\left[\left\langle \mathbf {v} +A^{t}\mathbf {y} ,\mathbf {x} \right\rangle \right]$.

Poiché $x_{j}\geq 0$ per tutti i j da $1$ a $m$, si avrà $\left\langle \mathbf {v} +A^{t}\mathbf {y} ,\mathbf {x} \right\rangle >0$ se $\mathbf {v} +A^{t}\mathbf {y} >0$ oppure $\left\langle \mathbf {v} +A^{t}\mathbf {y} ,\mathbf {x} \right\rangle \leq 0$ se $\mathbf {v} +A^{t}\mathbf {y} \leq 0$.

Dunque si ha:

       $\min _{y\in {\mathit {K_{2}}}}\max _{x\in {\mathit {K_{1}}}}{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=-\min _{y\in {\mathit {K_{2}}}}\left[\left\langle \mathbf {y} ,\mathbf {v} \right\rangle \right]=\min _{y\in {\mathit {K_{2}}}}-v$ per $\mathbf {v} +A^{t}\mathbf {y} \leq 0$

ed il problema duale presenta la formulazione seguente:

       $\min _{y\in {\mathit {K_{2}}}}-v$

soggetto ai vincoli:

       $\left\{{\begin{array}{l}{\begin{matrix}\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\cdot y_{i}\end{matrix}}\leq -v\quad \forall j=1,...,n\\{\begin{matrix}\sum _{i=1}^{m}y_{i}\end{matrix}}=1\\y_{i}\geq 0\quad \forall i=1,...,m\\\end{array}}\right.$

Posto ${\tilde {v}}=-v$ si ha

       $\min _{y\in {\mathit {K_{2}}}}{\tilde {v}}$
       $\left\{{\begin{array}{l}{\begin{matrix}-A^{t}\cdot \mathbf {y} \mathbf \end{matrix}}\geq -{\tilde {v}}\\{\begin{matrix}\sum _{i=1}^{m}y_{i}\end{matrix}}=1\\y_{i}\geq 0\quad \forall i=1,...,m\\\end{array}}\right.$
