Teorema dei seni
# Teorema dei seni

In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.

Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.

    $a={\overline {BC}},~~\alpha =C{\hat {A}}B$
    $b={\overline {AC}},~~\beta =A{\hat {B}}C$
    $c={\overline {AB}},~~\gamma =B{\hat {C}}A$

Vale quindi

    ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R$

dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e

    $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone.

La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:

    $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma$.

## Applicazioni

Il teorema può essere adoperato

* per determinare il raggio del cerchio circoscritto:

    $R={\frac {a}{2\,\sin \alpha }}$
* per la risoluzione di un triangolo dati un angolo, un lato adiacente all'angolo e il lato opposto (vedere figura a lato):

    $\alpha =\mathrm {arcsen} \,{\frac {a\,\sin \beta }{b}}$.

## Generalizzazione alle geometrie non euclidee

Per una superficie non euclidea dalla curvatura K, il raggio di curvatura ρ è

    $\rho =1/{\sqrt {|K|}}$.

Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo:

    $a={\overline {BC}}/\rho$,
    $b={\overline {AC}}/\rho$,
    $c={\overline {AB}}/\rho$.

Nel caso di un triangolo sferico, a, b e c corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi [BC], [AC] e [AB] (vedere figura).

### Geometria sferica

In un triangolo sferico ABC tracciato sulla sfera di centro O e di raggio ρ, il teorema del seno è espresso da

    ${\frac {\sin a}{\sin \alpha }}={\frac {\sin b}{\sin \beta }}={\frac {\sin c}{\sin \gamma }}={\frac {6V_{OABC}}{\rho ^{3}\,\sin a\ \sin b\ \sin c}}$,

dove $V_{OABC}$ è il volume del tetraedro OABC.

### Geometria iperbolica

In un triangolo iperbolico, il teorema dei seni si esprime con

    ${\frac {\mathrm {senh} \,a}{\sin \alpha }}={\frac {\mathrm {senh} \,b}{\sin \beta }}={\frac {\mathrm {senh} \,c}{\sin \gamma }}$.

## Generalizzazione al tridimensionale (euclideo)

Si consideri un tetraedro $A_1A_2A_3A_4$ nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce e angoli del tetraedro:

* $S_k$ la faccia opposta al vertice $A_k;$
* $s_k$ la superficie di $S_k;$
* $Δ_k$ il piano su cui giace $S_k;$
* $θ_{ij}$ l'angolo diedro ${\widehat {(\Delta _{i},\Delta _{j})}}$.

Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice $A_1$ si definisce nel modo seguente:

    $\sin A_{1}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{23}-\cos ^{2}\theta _{24}-\cos ^{2}\theta _{34}-2\cos \theta _{23}\cos \theta _{24}\cos \theta _{34}}}{\sin \theta _{23}\ \sin \theta _{24}\ \sin \theta _{34}}}$;

E in modo analogo per gli altri angoli triedri.

Vale quindi

    ${\frac {s_{1}}{\sin A_{1}}}={\frac {s_{2}}{\sin A_{2}}}={\frac {s_{3}}{\sin A_{3}}}={\frac {s_{4}}{\sin A_{4}}}={\frac {2s_{1}s_{2}s_{3}s_{4}}{9V}}$,

dove V è il volume del tetraedro.

