Teorema del rango
# Teorema del rango

In algebra lineare, il teorema del rango, detto anche teorema di nullità più rango, o teorema della dimensione, afferma che la somma tra la dimensione dell'immagine e la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio di tale trasformazione lineare; equivalentemente, la somma del rango e della nullità di una matrice è uguale al numero di colonne della matrice.

## Enunciato

Il teorema vale nel contesto delle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali, con l'ipotesi che lo spazio vettoriale di partenza abbia dimensione finita.

Data una applicazione lineare fra spazi vettoriali:

    $f\colon \ V\to W$

il teorema stabilisce che vale la relazione:

    $\dim \operatorname {Im} (f)+\dim \operatorname {Ker} (f)=n$

dove ${\textrm {Im}}(f)$ e ${\textrm {Ker}}(f)$ sono rispettivamente l'immagine e il nucleo di $f$ e $n$ è la dimensione di $V$.

In modo equivalente, se $A$ è una matrice $m\times n$ allora:

    $\operatorname {rk} (A)+\operatorname {null} (A)=n$

Dove $\operatorname {rk} (A)$ indica il rango di $A$ e $\operatorname {null} (A)$ indica la nullità di $A$, cioè la $\dim \operatorname {Ker} (A)$, o indice di nullità.

L'equivalenza degli enunciati deriva dal fatto che ogni applicazione lineare $f\colon \ \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m}$, con $\mathbb {K}$ campo arbitrario, può essere scritta, passando in coordinate rispetto a due basi fissate, nel seguente modo:

    $f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} ,$

dove $A$ è la matrice di trasformazione associata ad $f$ rispetto a due date basi dei due spazi vettoriali.

Il nucleo di $f$ è lo spazio delle soluzioni del sistema di equazioni lineari omogeneo associato alla matrice $A$, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle sue colonne $A^{1},\ldots ,A^{n}$.

## Dimostrazione

Poiché $V$ ha dimensione finita, il sottospazio vettoriale ${\textrm {Ker}}(f)$ ha anch'esso dimensione finita. Il nucleo ha quindi una base:

    $B=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r})$

Per il teorema della base incompleta esistono $\mathbf {v} _{r+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ tali che:

    $B'=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r},\mathbf {v} _{r+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$

sia una base di $V$. Per concludere è sufficiente mostrare che i vettori:

    $f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})$

formano una base di ${\textrm {Im}}(f)$. L'immagine è generata dai vettori:

    $f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{r}),f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})$

I primi $r$ vettori sono però nulli (per definizione di Ker), quindi l'immagine è generata dagli ultimi $n-r$ vettori:

    $f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})$

Resta quindi da verificare l'indipendenza lineare di questi vettori. Si suppone quindi data una combinazione lineare nulla:

    $\lambda _{r+1}f(\mathbf {v} _{r+1})+\ldots +\lambda _{n}f(\mathbf {v} _{n})=0$

Per linearità si ottiene:

    $f(\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=0$

Quindi:

    $\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\in \operatorname {Ker} (f)$

Poiché questo vettore sta nel nucleo, è esprimibile come combinazione lineare dei vettori $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r}$:

    $\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=\alpha _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {v} _{r}$

In altre parole:

    $-\alpha _{1}\mathbf {v} _{1}-\ldots -\alpha _{n}\mathbf {v} _{r}+\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=0$

Poiché $(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ è una base di $V$, tutti i coefficienti qui presenti sono nulli. In particolare, $\lambda _{j}=0$ per ogni $j$.

Quindi i vettori $f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})$ sono effettivamente indipendenti. L'immagine ha quindi dimensione $n-r$. Pertanto:

    $\dim(\operatorname {Im} (f))=n-r=\dim(V)-\dim(\operatorname {Ker} (f))$

## Dimostrazione con il teorema di isomorfismo

Il teorema del rango può essere visto come corollario al primo teorema di isomorfismo:

    $V/\operatorname {Ker} f\cong \operatorname {Im} f$

dove $f$ è un omomorfismo di gruppi (in particolare, di spazi vettoriali) che agisce su $V$. Si ha infatti:

    $\dim(V/\operatorname {Ker} f)=\dim(\operatorname {Im} f)$
    $\dim(V)-\dim(\operatorname {Ker} f)=\dim(\operatorname {Im} f)$

che è l'asserto del teorema.

## Applicazioni lineari iniettive - suriettive - biunivoche

Data un'applicazione lineare $f\colon V\to W,$ con $\dim(V)=n$ e $\dim(W)=m,$ essa è:

* iniettiva se e solo se $\dim \operatorname {Ker} (f)=0;$
* suriettiva se e solo se $\dim \operatorname {Im} (f)=m;$
* biiettiva se $m=n$ e sono verificate entrambe le precedenti condizioni.

Ne segue quindi che, se $m=n$, l'applicazione lineare è iniettiva se e solo se è suriettiva.

Inoltre, in base alle dimensioni $m$ e $n$, si ha che:

* se $n>m,$ l'applicazione lineare non sarà mai iniettiva, poiché $\dim \operatorname {Ker} (f)>0;$
* se $n<m,$ l'applicazione lineare non sarà mai suriettiva, poiché $\dim \operatorname {Im} (f)<m.$

## Caso di dimensione infinita

Supponiamo il caso particolare in cui l'applicazione lineare è un endomorfismo, cioè una applicazione lineare $f\colon V\to V$ dallo spazio $V$ in sé stesso. La relazione appena dimostrata:

    $\dim \operatorname {Im} (f)+\dim \operatorname {Ker} (f)=n$

dice che l'iniettività e la suriettività dell'applicazione si implicano a vicenda.

Nel caso infinito questo cessa di essere vero. Ad esempio, considerando:

    $\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }:=\{(x_{1},x_{2},\dots )\quad x_{i}\in \mathbb {R} \quad \forall i\in \mathbb {N} \}$

come spazio vettoriale su $\mathbb {R}$ e l'applicazione $f\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty }$ che agisce "spostando" in avanti le coordinate e mettendo lo zero in prima posizione, cioè:

    $\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\to (0,x_{1},x_{2},\dots )$

è immediato mostrare che tale applicazione è lineare e iniettiva, ma banalmente non suriettiva.

## Riformulazioni e generalizzazioni

In linguaggio più moderno, il teorema può essere espresso nel seguente modo. Se:

    $\displaystyle \ 0\rightarrow U\rightarrow V\rightarrow R\rightarrow 0$

è una successione esatta corta di spazi vettoriali, allora:

    $\displaystyle \ \dim(U)+\dim(R)=\dim(V)$

Qui $R$ gioca il ruolo di $\operatorname {Im} T$ e $U$ è $\operatorname {ker} T$.

Nel caso finito-dimensionale questa formulazione è suscettibile di generalizzazione. Se:

    $\displaystyle \ 0\rightarrow V_{1}\rightarrow V_{2}\rightarrow \dots \rightarrow V_{r}\rightarrow 0$

è una successione esatta di spazi vettoriali a dimensioni finite, allora:

    $\sum _{i=1}^{r}(-1)^{i}\dim(V_{i})=0$

Il teorema del rango per gli spazi vettoriali di dimensione finita può anche essere formulato in termini degli indici di una mappa lineare. L'indice di una mappa lineare $T\colon V\to W$, dove $V$ e $W$ sono di dimensione finita, è definito da:

    $\operatorname {index} T=\dim(\operatorname {ker} T)-\dim(\operatorname {coker} T)$

Intuitivamente, $\dim \operatorname {ker} T$ è il numero di soluzioni indipendenti $x$ dell'equazione $Tx=0$, e $\dim \operatorname {coker} T$ è il numero di restrizioni indipendenti che devono essere poste su $y$ per rendere $Tx=y$ risolvibile. Il teorema del rango per gli spazi vettoriali di dimensione finita è equivalente all'espressione:

    $\operatorname {index} T=\dim(V)-\dim(W)$

Si vede che possiamo facilmente leggere l'indice della mappa lineare $T$ dagli spazi coinvolti, senza la necessità di esaminare $T$ in dettaglio. Questo effetto si trova anche in un risultato molto più profondo: il teorema dell'indice di Atiyah-Singer afferma che l'indice di determinati operatori differenziali può essere letto dalla geometria degli spazi coinvolti.

