Teorema dell'elemento primitivo
# Teorema dell'elemento primitivo

In matematica, il teorema dell'elemento primitivo è un risultato della teoria dei campi che caratterizza le estensioni algebriche che sono semplici, ovvero che possono essere generate da un unico elemento (detto appunto elemento primitivo per l'estensione).

## Teorema

Esistono due formulazioni del teorema dell'elemento primitivo.

La prima è la seguente: un'estensione algebrica $K\subseteq L$ è semplice (ovvero possiede un elemento primitivo) se e solo se ci sono solo un numero finito di campi intermedi (ovvero di campi $L_{1}$ tali che $K\subseteq L_{1}\subseteq L$).

Nella seconda, sia $L=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ un'estensione algebrica finita di $K$. Se $\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ sono separabili su $K$, allora l'estensione $K\subseteq L$ è semplice.

In entrambi i casi, un corollario immediato è che ogni estensione separabile finita di $K$ è semplice; in particolare, ogni estensione finita di un campo di caratteristica 0 (ad esempio, ogni campo di numeri - ovvero ogni estensione finita dei numeri razionali) è un'estensione semplice.

Un'altra conseguenza diretta è che le estensioni finite dei campi finiti sono semplici.

## Elementi primitivi

Le dimostrazioni di entrambe le forme del teorema mostrano che, se un elemento primitivo esiste, allora ha la forma $x_{1}\alpha _{1}+\cdots +x_{n}\alpha _{n}$, dove $L=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ e gli $x_{i}$ sono elementi di $K$; in particolare, mostrano che, ad eccezione di un numero finito di $n$-uple $(x_{1},\ldots ,x_{n})$, l'elemento $x_{1}\alpha _{1}+\cdots +x_{n}\alpha _{n}$ è sempre primitivo (in particolare, non è unico).

Le dimostrazioni mostrano inoltre che, se $L=K(\alpha ,\beta )$ è generato da due elementi, allora $\alpha +c\beta$ è un elemento primitivo se

    $c\neq {\frac {\alpha -\alpha _{i}}{\beta _{j}-\beta }}$,

dove gli $\alpha _{i}$ sono i coniugati di $\alpha$ su $K$ e i $\beta _{j}$ sono i coniugati di $\beta$.

## Esempi

* Se $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$, un elemento primitivo dell'estensione è ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$.
* Più in generale, se $K(\alpha )$ e $K(\beta )$ sono estensioni normali di $K$ e $K(\alpha )\cap K(\beta )=K$, allora $\alpha +\beta$ è un elemento primitivo di $K(\alpha ,\beta )$.
* Se $L=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ e due degli $\alpha _{i}$ non sono separabili, allora l'estensione può non essere semplice. Ad esempio, se $K$ è un campo di caratteristica $p$ e $X,Y$ sono due indeterminate su $K$, allora l'estensione

    $K(X^{p},Y^{p})\subseteq K(X,Y)$

non è semplice, in quanto ha grado $p^{2}$ ma ogni elemento di $K(X,Y)$ ha grado $p$ su $K(X^{p},Y^{p})$.

