Teorema del resto
# Teorema del resto

In algebra, il teorema del resto consente di determinare il resto di un polinomio intero $P(x)$ nella divisione per un binomio della forma $(x-a)$ senza dover effettuare la divisione. Esso afferma che il resto di tale divisione è uguale al valore che il polinomio assume per $x=a$.

Dividendo un polinomio $P(x)$ per un polinomio $D(x)$, si ha una relazione del tipo:

    $P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x),$

dove $R(x)$ è un polinomio di grado minore di quello di $D(x)$. In particolare, se $D(x)=x-a$, la relazione diventa:

    $P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+r,$

dove $r$ è una costante numerica. Ponendo $x=a$ si ottiene:

    $P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+r=r.$

Quindi $P(a)=r$ ossia ciò che vogliamo dimostrare.

## Teorema di Ruffini

Un ovvio corollario del teorema del resto è il teorema di Ruffini:

    Un polinomio $P(x)$ è divisibile per $(x-a)$ se e solo se il resto è nullo e quindi $P(a)=0$.

In questo modo diventa possibile determinare la divisibilità per un binomio $(x-a)$ senza eseguire la divisione.

