Statistica d'ordine
# Statistica d'ordine

Sia $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$ una distribuzione di un carattere $X$ quantitativo oppure qualitativo ordinabile (ossia le cui modalità possano essere ordinate in base a qualche criterio), rilevato su $n$ unità statistiche. Indichiamo con $X_{(1)}$ la modalità minima secondo l'ordine dato, con $X_{(2)}$ quella che descrive la modalità successiva in ordine crescente rispetto all'ordine dato e così via. Ciascun indice $X_{(1)},X_{(2)},\ldots ,X_{(n)}$ viene detto statistica d'ordine.

## In probabilità

In teoria delle probabilità, date Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): n variabili aleatorie $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},$ si possono definire le statistiche d'ordine $X_{(1)},X_{(2)},\ldots ,X_{(n)},$ che sono ancora variabili aleatorie, ordinando le realizzazioni delle variabili $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},$ in ordine crescente.

Se le variabili $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ sono indipendenti ed identicamente distribuite, è possibile determinare esplicitamente la funzione di ripartizione di una statistica d'ordine come funzione delle funzioni di ripartizione delle variabili non ordinate.

La statistica d'ordine la cui funzione di ripartizione è la più intuitiva è quella che identifica la variabile aleatoria dell'insieme la cui determinazione avrà il valore massimo tra tutte le determinazioni, in formule

    $X_{(n)}=\max\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}.$

Infatti si ha che

    $X_{(n)}\leq x\Leftrightarrow X_{1}\leq x,\ldots ,X_{n}\leq x$

e di conseguenza

    $F_{X_{(n)}}=P(X_{(n)}\leq x)=P(X_{1}\leq x,\ldots ,X_{n}\leq x)$

e visto che le variabili sono indipendenti ed identicamente distribuite si ha:

    $F_{X_{(n)}}=P(X_{(n)}\leq x)=P(X_{1}\leq x,\ldots ,X_{n}\leq x)=P(X_{1}\leq x)\cdots P(X_{n}\leq x)=\prod _{i=1}^{n}{F(x)}=F(x)^{n},$

dove $F(x)$ è l'identica funzione di ripartizione di ogni variabile dell'insieme. Analogamente si può determinare la funzione di ripartizione di $F_{X_{(1)}}$, notando che l'evento complementare è che tutte le variabili aleatorie abbiano valore maggiore di $x$:

    $F_{X_{(1)}}=1-P(X_{1}>x,\ldots ,X_{n}>x)=1-P(X_{1}>x)\cdots P(X_{n}>x)=1-\prod _{i=1}^{n}{P(X_{i}>x)}=1-\prod _{i=1}^{n}{[1-F(x)]}=1-[1-F(x)]^{n}.$

Per determinare invece la funzione di ripartizione di statistiche d'ordine differenti dal minimo e dal massimo, bisogna ricorrere sempre a delle elaborazioni di carattere logico-insiemistico sugli eventi, per esempio $X_{(3)}\leq x$ se e solo se il numero di variabili aleatorie la cui determinare è minore o uguale a $x$ è almeno 3.

Se volessimo calcolare le probabilità che il numero di variabili aleatorie la cui determinazione sarà minore o uguale a $x$ sia esattamente 3, si dovrebbe far ricorso ad una variabile aleatoria binomiale $B$ di parametri $n$ e $p=F(x)$, dove $n$ è il numero di variabili aleatorie dell'insieme. Quindi si avrebbe che questa probabilità coincide con

    $P(B=3)={\binom {n}{3}}F(x)^{3}[1-F(x)]^{n-3}.$

Tuttavia, si vuole la probabilità $P(B\geq 3)$, che in generale ha la seguente espressione:

    $P(B\geq 3)=\sum _{i=3}^{n}P(B=i).$

Di conseguenza, per una generica statistica d'ordine:

    $F_{X_{(r)}}(x)=P(B\geq r)=\sum _{i=r}^{n}P(B=i)=\sum _{i=r}^{n}{\binom {n}{i}}F(x)^{i}[1-F(x)]^{n-i}.$
