Teorema del massimo modulo
# Teorema del massimo modulo

In matematica, il teorema del massimo modulo è un risultato di analisi complessa.

Afferma che se una funzione $f(z)$ è analitica in un dominio (aperto e connesso) $D$, allora $|f(z)|$ ammette un massimo in $D$ se e solo se $f(z)$ è una funzione costante.

In particolare, se $f(z)$ è una funzione analitica non costante in un dominio limitato $D$ e continua sul bordo $\partial D$ allora il valore massimo di $|f(z)|$ sulla chiusura di $D$ (che esiste per il teorema di Weierstrass) viene raggiunto su $\partial D$.

Analogo risultato vale per il minimo ma solo se la funzione non ha zeri all'interno del dominio $D$.

## Dimostrazione

Supponiamo che $|f(z)|$ ammetta un massimo $M$ in un punto $z_{0}\in D$. Essendo $D$ aperto, segue che esiste $\delta >0$ tale che il cerchio $R_{\delta }$ di centro $z_{0}$ e raggio $\delta$ sia contenuto in $D$.

Dalla formula integrale di Cauchy segue che

    $f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{R_{\delta }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\ dz$

e quindi, dalla disuguaglianza di Darboux

    $M=|f(z_{0})|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {|f(z)|}{|z-z_{0}|}}\ |dz|\leq M',$

dove $M'=\max _{z\in R_{\delta }}|f(z)|$ e l'uguaglianza vale se e solo se $f(z)$ è costante (con $|f(z)|=M$) su $R_{\delta }$ e quindi su tutto $D$ per prolungamento analitico. Il teorema segue quindi osservando che $M$ è il massimo di $|f(z)|$ e dunque si deve necessariamente avere $M=M'$.

