Trasformata discreta del coseno
# Trasformata discreta del coseno

La trasformata discreta del coseno o DCT (dall'inglese Discrete Cosine Transform), è la più diffusa funzione che provvede alla compressione spaziale, capace di rilevare le variazioni di informazione tra un'area e quella contigua di un'immagine digitale trascurando le ripetizioni; la funzione che supporta la compressione temporale è affidata invece ad un apposito "vettore movimento", che individua le componenti dinamiche tralasciando quelle statiche.

## Descrizione

È una trasformata simile alla trasformata discreta di Fourier (DFT), ma fa uso solo di numeri reali. È equivalente a una DFT di lunghezza circa doppia, che opera su funzioni reali e pari (dato che la trasformata di Fourier di una funzione reale e pari è reale e pari a sua volta), dove in alcune varianti l'input e/o l'output sono traslati di mezzo campione.

La variante più comune della trasformata discreta del coseno è la DCT tipo II che è spesso chiamata semplicemente "la DCT"; la sua inversa, la DCT tipo III è, in corrispondenza, chiamata spesso DCT inversa o "la IDCT". Due trasformazioni correlate sono la trasformata discreta del seno (DST), che è equivalente ad una DFT su numeri reali e funzioni dispari e la trasformata discreta modificata del coseno (MDCT), che è basata su una DCT di dati sovrapposti.

### Definizione formale

La DCT in una dimensione, per una successione di lunghezza N, è definita come:

${\mathcal {C}}(u)=\alpha (u)\sum _{x=0}^{N-1}f(x)\cos \left[{\frac {\pi (2x+1)u}{2N}}\right]$,

per $u=0,\dots ,N-1$ dove $\alpha (u)={\begin{cases}{\sqrt {1/N}},&{\mbox{se }}u=0\\{\sqrt {2/N}},&{\mbox{se }}u\neq 0.\end{cases}}$

## Applicazioni

La DCT, e in particolare la DCT-II, è spesso usata nell'elaborazione dei segnali e delle immagini, specialmente per la compressione con perdita. Per esempio, l'algoritmo JPEG è basato sulla Trasformata discreta del coseno bidimensionale, che viene applicata su blocchi di 8x8 pixel, e i cui risultati sono poi quantizzati e compressi con tecniche basate sull'entropia (come la Codifica di Huffman o la Codifica aritmetica).

