Polinomi ortogonali
# Polinomi ortogonali

In matematica, una famiglia di polinomi $p_{n}(x)$ per $n=0,1,2,\ldots ,$ dove per ogni $n$ si ha un polinomio di grado $n$, si dice una sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo $[a,b]$ rispetto alla funzione peso $w(x)$ positiva nell'intervallo scelto se

    $\int _{a}^{b}w(x)p_{n}(x)p_{m}(x)\,dx=0,\qquad \forall n,m=0,1,2,\dots ,\qquad {\mbox{con }}n\neq m.$

Mentre i polinomi di una qualsiasi sequenza polinomiale possono essere considerati vettori di uno spazio vettoriale mutuamente linearmente indipendenti, i componenti di una sequenza di polinomi ortogonali si possono considerare vettori mutuamente ortogonali di uno spazio vettoriale con prodotto interno, quando si definisce questa funzione bilineare chiedendo che applicata a una qualsiasi coppia di polinomi $p(x)$ e $q(x)$ dia

    $\int _{a}^{b}w(x)p(x)q(x)\,dx.$

Esempi di successioni di polinomi ortogonali sono:

Un'altra possibilità è definire un prodotto interno:

    $(f_{n},f_{m})=\sum _{i=a}^{b}w(x_{i})f_{n}(x_{i})^{*}f_{m}(x_{i}),$

dove gli $x_{i}$ sono numeri interi nell'intervallo $[a,b]$. Con questa definizione,

Esiste una classificazione dei polinomi ortogonali inventata dal matematico statunitense Richard Askey che utilizza le funzioni ipergeometriche.

## Polinomi ortonormali

In linea con la definizione di base ortonormale, dei polinomi ortogonali si dicono ortonormali se soddisfano la relazione:

    $(p_{i},p_{j})=\int _{a}^{b}w(x)\,p_{i}(x)\,p_{j}(x)\,dx=\delta _{i,j},$

per ogni $i,j$.

