Trasformazione di Möbius
# Trasformazione di Möbius

In geometria, una trasformazione di Möbius è una funzione

    $f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

dove $z,a,b,c$ e $d$ sono numeri complessi con $ad-bc\neq 0$.

La funzione è definita sulla sfera di Riemann, ed è un ingrediente fondamentale della geometria proiettiva e dell'analisi complessa. Si usano anche i termini trasformazione omografica e trasformazione lineare fratta. Il nome è legato al matematico August Ferdinand Möbius.

## Definizione

Una trasformazione di Möbius è una funzione

    $f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}$

definita sulla sfera di Riemann

    ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \},$

della forma

    $f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

con determinante diverso da zero

    $\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc\neq 0.$

## Automorfismi della sfera di Riemann

### Esempi

La condizione sul determinante è necessaria affinché la funzione sia effettivamente definita su tutta la sfera di Riemann. Valgono in particolare le relazioni

    $f\left(-{\frac {d}{c}}\right)={\frac {ad-bc}{0}}=\infty ,$
    $f\left(-{\frac {b}{a}}\right)={\frac {0}{-cb+ad}}=0,$
    $f(\infty )={\frac {a}{c}}.$

### Rappresentazione tramite matrici

La trasformazione $f$ è determinata dalla matrice

    $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$

Poiché ha determinante non nullo, la matrice è invertibile. Quindi è un elemento del gruppo generale lineare ${\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ composto da tutte le matrici complesse invertibili $2\times 2$.

La rappresentazione tramite matrici è molto comoda, in virtù del fatto seguente: la composizione di due trasformazioni di Möbius, descritte dalle matrici $A$ e $B$, è anch'essa una trasformazione di Möbius, descritta dalla matrice $BA$.

### Automorfismo

La descrizione tramite matrici mostra che ogni trasformazione di Möbius è una funzione biettiva dalla sfera di Riemann in sé. Infatti, una trasformazione associata alla matrice $A$ ha una inversa, associata alla matrice inversa $A^{-1}$.

Per questo motivo una trasformazione di Möbius è chiamata automorfismo. Le trasformazioni di Möbius formano un gruppo, indicato con

    ${\rm {Aut({\widehat {\mathbb {C} }}).}}$

### Struttura di gruppo

La rappresentazione matriciale fornisce un omomorfismo di gruppi

    $h:{\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )\to {\rm {Aut({\widehat {\mathbb {C} }}).}}$

L'omomorfismo è suriettivo ma non iniettivo: il nucleo consiste infatti di tutte le matrici della forma $\lambda I$, dove $I$ è la matrice identità e $\lambda \neq 0$ è un numero complesso. Il primo teorema d'isomorfismo fornisce quindi un isomorfismo di gruppi

    ${\rm {PGL}}_{2}(\mathbb {C} ):={\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )/_{\sim }\cong {\rm {Aut}}({\widehat {\mathbb {C} }})$

dove $A\sim B$ se e solo se $A=\lambda B$ per qualche $\lambda$. Il quoziente è indicato con una "P" davanti, perché questa costruzione è identica a quella dello spazio proiettivo di uno spazio vettoriale.

## Proprietà basilari

### Trasformazioni elementari

Ogni automorfismo di Möbius è ottenuto componendo alcune trasformazioni elementari di questo tipo:

* $f(z)=z+b\;$   (traslazione)
* $f(z)=1/z\;$    (inversione)
* $f(z)=az\;$     (omotetia e rotazione)

La traslazione tiene fisso il punto all'infinito e trasla tutti i punti del piano complesso. L'inversione scambia i punti $0$ e $\infty$. A proposito della terza trasformazione, scrivendo $a$ in coordinate polari

    $a=re^{i\theta }\;$

si verifica che è una rotazione di angolo $\theta$, composta con una omotetia di fattore $r$.

### Mappe conformi

Un automorfismo di Möbius è una mappa conforme, una mappa cioè che preserva gli angoli. Infatti, ciascuna delle trasformazioni elementari descritte preserva gli angoli. Un automorfismo però non preserva lunghezze o aree.

### Rette e circonferenze

Una circonferenza nella sfera di Riemann ${\widehat {\mathbb {C} }}$ è una circonferenza di $\mathbb {C}$, oppure una retta di $\mathbb {C}$ completata con il punto all'infinito.

L'immagine $f(C)$ di una circonferenza $C$ tramite una funzione di Möbius $f$ è un'altra circonferenza. Le trasformazioni di Möbius mandano quindi circonferenze in circonferenze.

Questa proprietà è verificata dalle trasformazioni elementari (traslazioni, inversioni, rotazioni, omotetie), e per questo motivo è verificata da qualsiasi trasformazione.

### Birapporto

Una trasformazione di Möbius $f$ preserva il birapporto ${\rm {brp}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})$ di quattro punti della sfera di Riemann. Vale cioè la relazione

    ${\rm {brp}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\rm {brp}}(f(z_{1}),f(z_{2}),f(z_{3}),f(z_{4})).\;$

### Funzione meromorfa

Con il linguaggio dell'analisi complessa, un automorfismo di Möbius è una particolare funzione meromorfa, avente un polo in $z=-d/c$ di ordine 1.

### Trasformazione proiettiva

Con il linguaggio della geometria proiettiva, la sfera di Riemann è identificata con la retta proiettiva complessa $\mathbb {CP} ^{1}$ tramite la mappa

    $\phi :\mathbb {CP} ^{1}\to {\widehat {\mathbb {C} }},$
    $\phi :[z_{0},z_{1}]\mapsto {\frac {z_{0}}{z_{1}}}.$

Con questa identificazione, le trasformazioni di Möbius sono esattamente gli isomorfismi proiettivi della retta proiettiva complessa.

