Funzione quadratica
# Funzione quadratica

In algebra, una funzione quadratica è una funzione in una o più variabili definita in modo esplicito attraverso un polinomio di secondo grado. Ad esempio, una funzione quadratica nelle variabili x, y, z ha la seguente forma generale: $f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j$ con almeno uno tra $a,b,c,d,e,f$ diverso da 0.

Una funzione quadratica in una variabile ha forma: $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Il suo grafico è una parabola con l'asse di simmetria parallelo all'asse y. Uguagliando a zero una funzione quadratica si ottiene una equazione di secondo grado; le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono dette radici del polinomio associato.

Una funzione quadratica in due variabili ha forma: $f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f$ con $a,b,c$ non contemporaneamente nulli. Il grafico di una funzione quadratica è, in generale, una ipersuperficie detta quadrica. Il sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{2}$ descritto da $f(x,y)=0$ è una sezione conica (ellisse, circonferenza, parabola, iperbole).

I coefficienti del polinomio che definisce la funzione possono essere reali o complessi, perché un polinomio può essere definito su qualunque anello. Nel caso in cui tutti i coefficienti dei termini di secondo grado siano uguali a zero, si parla di caso degenere della funzione.

I polinomi di secondo grado (e quindi anche le funzioni quadratiche) sono generalizzate sugli spazi vettoriali dal concetto di forma quadratica.

## Etimologia

L'aggettivo quadratico deriva dal latino quadratum (quadrato). Un termine di secondo grado $x^{2}$ è detto quadrato perché rappresenta l'area di un quadrato di lato $x$.

## Forme nel caso in una variabile

Una funzione quadratica in una variabile può essere espressa in tre forme:

* $f(x)=ax^{2}+bx+c$, forma normale;
* $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$, forma fattorizzata, con $x_{1},x_{2}$ radici del polinomio associato;
* $f(x)=a(x-h)^{2}+k$, forma del vertice, dove $(h,k)$ sono le coordinate cartesiane del vertice della parabola data dal grafico.

La conversione dalla forma normale a quella fattorizzata si effettua calcolando le radici del polinomio; la conversione dalla forma normale a quella del vertice si effettua attraverso il completamento del quadrato; la forma normale si ricava dalle altre due eseguendo le operazioni indicate.

## Grafico della funzione in una variabile

A prescindere dalla forma dell'espressione, il grafico di una funzione quadratica in una variabile $f(x)=ax^{2}+bx+c$ è una parabola. Da questo si ha, equivalentemente, che una parabola può essere descritta come ${(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=ax^{2}+bx+c}$.

Se $a>0$, la parabola volge la concavità verso l'alto; se $a<0$, la parabola volge la concavità verso il basso.

Il coefficiente $a$ controlla la curvatura del grafico: maggiore è il suo valore assoluto, più stretta è la parabola. I coefficienti $a$ e $b$ concorrono a definire la posizione dell'asse di simmetria della parabola, quindi la coordinata $x_{0}$ del vertice, data da $x_{0}=-{\frac {b}{2a}}$. Il coefficiente $c$ controlla l'altezza della parabola; in particolare essa intercetta l'asse y nel punto di coordinate $(0,c)$.

### Vertice

Il vertice è il massimo o minimo assoluto della parabola. Se la funzione è nella forma del vertice, le sue coordinate sono $(h,k)$.

Attraverso il completamento del quadrato, la forma normale

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

può essere trasformata in

$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$;

ponendo $\Delta =b^{2}-4ac$ (discriminante)

allora il vertice ha coordinate $\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$

quindi l'asse di simmetria passa per il vertice.

Se la funzione è in forma fattorizzata, sfruttando la simmetria della parabola, si dimostra che le coordinate del vertice possono essere calcolate equivalentemente come $\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\right)$.

Siccome il punto di vertice è un massimo o un minimo della funzione quadratica, esso può essere trovato attraverso i teoremi dell'analisi matematica. Quindi, il punto di vertice deve essere radice della derivata:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\Rightarrow f'(x)=2ax+b\Rightarrow x=-{\frac {b}{2a}}$

in questo punto la funzione vale

$f\left(-{\frac {b}{2a}}\right)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}=-{\frac {\Delta }{4a}}$

quindi le coordinate del vertice sono:

$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$

in accordo con quanto trovato prima.

## Radici della funzione in una variabile

Le radici (o zeri) di una funzione in una variabile sono i valori di $x$ per i quali $f(x)=0$. Per il teorema fondamentale dell'algebra per una funzione quadratica le radici sono due (eventualmente coincidenti). Attraverso il completamento del quadrato si trova che:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

Quindi a seconda del segno del discriminante si possono avere tre casi:

* $\Delta >0$ due radici reali e distinte,
* $\Delta =0$ due radici reali e coincidenti, con $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$,
* $\Delta <0$ due radici complesse distinte.

Il modulo delle radici non può essere più grande di $\phi \left({\frac {max\{|a|,|b|,|c|\}}{|a|}}\right)$, dove $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$è la sezione aurea.

## Radice quadrata della funzione in una variabile

La funzione data dalla radice quadrata di una funzione quadratica in una variabile ha forma $f(x)={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ ed ha come grafico una ellisse o una iperbole.

Se $a>0$ il grafico è un'iperbole. La direzione dell'asse dell'iperbole è determinata dall'ordinata del vertice: se è negativa l'asse trasverso è verticale, se è negativa l'asse trasverso è orizzontale.

Se $a<0$ il grafico è un'ellisse se esistono due radici reali e distinte; altrimenti è un punto (radici coincidenti), oppure non esiste grafico sul piano cartesiano (radici complesse).

## Iterazione

Iterare una funzione significa applicarla ripetutamente, sostituendo alla variabile indipendente il valore della funzione trovato nella iterazione precedente. L'iterazione n-esima viene indicata con $f^{(n)}(x)$; la notazione può essere estesa ai numeri negativi se è possibile iterare la funzione inversa (se esiste) di $f(x)$. Non è sempre possibile scrivere l'espressione analitica di $f^{(n)}(x)$. Di seguito sono trattati due casi di funzioni quadratiche iterate in cui può essere scritto la forma analitica in modo esplicito.

Per la funzione $f(x)=a(x-c)^{2}+c$ (con $a,c$ parametri reali) la forma iterata è

$x_{n+1}=a(x_{n}-c)^{2}+c$

ponendo $g(x)=ax^{2}h(x)=x-c$

allora $f(x)=h^{-1}(g(h(x))$

quindi per induzione $f(x)=h^{-1}(g^{n}(h(x))$

sempre per induzione si ha che $g^{n}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}$

allora $f(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c$ è la soluzione esplicita.

La mappa logistica $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})0\leq x_{o}<1$ con parametro $r\in [2,4]$ può essere risolta solo in alcuni casi, almeno uno dei quali è caotico e uno non lo è. Nel caso caotico $r=4$ la soluzione è

$x_{n}=sin^{2}(2^{n}\theta \pi )$ dove la condizione iniziale $\theta$ è data da $\theta ={\frac {1}{\pi }}sin^{-1}({\sqrt {x_{0}}})$. Per $\theta$ razionale, dopo un numero finito di iterazioni, $x_{n}$ entra in una sequenza periodica. Per $\theta$ irrazionale $x_{n}$ non si ripete mai con sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali; siccome la maggior parte dei $\theta$ è irrazionale, il comportamento è caotico.

La soluzione della mappa logistica con $r=2$ è $x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$ per $x_{0}\in [0,1)$.

Se $(1-2x_{0})\in (-1,1)$, per ogni valore di $x_{0}$ diverso dal valore instabile $0$, il termine $(1-2x_{0})\rightarrow 0$ per $n\rightarrow +\infty$, quindi $x_{n}\rightarrow {\frac {1}{2}}$.

## Funzione quadratica in due variabili

Una funzione quadratica in due variabili è una funzione definita da un polinomio di secondo grado della forma:

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f$

dove $a,b,c,d,e,f$ sono costanti e $a,b$ non sono contemporaneamente nulli. Il grafico di questa funzione è una superficie(quadrica). L'insieme descritto da $f(x,y)=0$ è l'intersezione tra la superficie e il piano $z=0$ ovvero una sezione conica.

### Massimi e minimi

Se $4ab-e^{2}<0$ la funzione non ha massimi né minimi; il grafico è un paraboloide iperbolico.

Se $4ab-e^{2}>0$ la funzione ha un punto di massimo ($a>0$) o di minimo ($a>0$); il suo grafico è un paraboloide ellittico. Le coordinate del punto di massimo o minimo sono $\left({\frac {de-2bc}{4ab-e^{2}}},{\frac {ce-2ad}{4ab-e^{2}}}\right)$.

Se $4ab-e^{2}=0$ e $de-2cb=2ad-ce\neq 0$ la funzione non ha massimi né minimi; il suo grafico è un cilindro parabolico.

Se $4ab-e^{2}=0$ e $de-2cb=2ad-ce=0$ la funzione raggiunge un punto di massimo ($a<0$) o minimo ($a>0$); il suo grafico è un cilindro parabolico.

