Principio di minima azione
# Principio di minima azione

Il principio di minima azione (o più generalmente principio di azione stazionaria) è un principio variazionale a partire dal quale si determina l'equazione del moto di un sistema dinamico. Più precisamente, se un sistema è olonomo e monogenico allora è possibile derivare dal principio le equazioni di Lagrange.

Il nome deriva storicamente dall'osservazione che in meccanica newtoniana nei fenomeni della natura l'azione viene sempre minimizzata.

## Esempi classici

Tra gli esempi più noti vi sono:

* il principio di Maupertuis, che impone la condizione di minimo all'integrale dell'azione ridotta sulla traiettoria reale.
* il principio variazionale di Hamilton, che riguarda la stazionarietà dell'integrale d'azione nella traiettoria reale del moto.

## Formulazione moderna

Detta ${\mathcal {S}}$ l'azione, il principio di minima azione stabilisce che ad una leggera perturbazione della reale evoluzione del sistema tra due istanti di tempo $t_{1}$ e $t_{2}$ corrisponde un cambiamento al secondo ordine dell'azione ${\mathcal {S}}$, ovvero nell'intervallo di tempo considerato si ha un punto stazionario (solitamente un punto di minimo):

    $\delta {\mathcal {S}}=0$

dove $\delta$ indica un "piccolo" cambiamento. Esplicitamente:

    $\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)\;\mathrm {d} t=0$

con ${\mathcal {L}}$ la lagrangiana.

