Simboli 6j
# Simboli 6j

In matematica, i simboli 6j (o 6-j), detti anche simboli di Wigner 6j, si riferiscono ai valori assunti da una funzione di sei variabili che possono assumere valori interi o semiinteri (0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ...).

Sono stati introdotti da Eugene Paul Wigner nel 1940, e pubblicati nel 1965.

Vengono in utilizzati in teoria dei gruppi (nello studio delle rappresentazioni del gruppo delle rotazioni) e nella teoria del momento angolare (in particolare nella meccanica quantistica).

## Definizione

Essi sono strettamente collegati con i coefficienti W di Racah e si possono definire come

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}:=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).$

## Relazioni di simmetria

I simboli 6j, rispetto ai coefficienti W di Racah hanno il vantaggio di una maggiore simmetria. Essi sono invarianti per tutti gli scambi di due colonne:

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}.$

Essi inoltre sono invarianti per lo scambio degli argomenti superiori di una qualsiasi coppia di colonne con i corrispondenti argomenti inferiori

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.$

Il simbolo 6j

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}$

è diverso da 0 se e solo se $j_{1}$, $j_{2}$ e $j_{3}$ soddisfano la disuguaglianza triangolare

    $j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}.$

Questa condizione combinata con le proprietà di simmetria comporta che la disuguaglianza triangolare deve essere soddisfatta anche dalle terne $(j_{1},j_{5},j_{6})$, $(j_{4},j_{2},j_{6})$ e $(j_{4},j_{5},j_{3})$.

## Valori particolari

Quando $j_{6}=0$ il simbolo 6j viene dato dall'espressione:

    ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\Delta (j_{1},j_{2},j_{3}).$

Qui si usa la funzione $\Delta (j_{1},j_{2},j_{3})$ uguale ad 1 se la terna $(j_{1},j_{2},j_{3})$ soddisfa la disuguaglianza triangolare, uguale a 0 altrimenti. Le relazioni di simmetria consentono di trovare le espressioni per gli altri simboli 6j con un argomento nullo.

## Relazione di ortogonalità

Vale la seguente relazione di ortogonalità, collegata alla interpretazione dei simboli come coefficienti di cambiamenti di base per uno spazio di rappresentazione del gruppo delle rotazioni:

    $\sum _{j_{3}=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^j_{6}'}}{2j_{6}+1}}\Delta (j_{1},j_{5},j_{6})\Delta (j_{4},j_{2},j_{6}).$
