Curva quintica
# Curva quintica

In matematica una curva quintica è una curva algebrica piana di quinto grado. Può essere definita da un polinomio della forma:

$Ax^{5}+By^{5}+Cx^{4}y+Dxy^{4}+Ex^{3}y^{2}+Fx^{2}y^{3}+Gx^{4}+Hy^{4}+Ix^{3}y+Jxy^{3}+Kx^{2}y^{2}+Lx^{3}+My^{3}+Nx^{2}y+Oxy^{2}+Px^{2}+Qy^{2}+Rxy+Sx+Ty+U=0$

L'equazione ha 21 coefficienti, ma la curva non cambia se li moltiplichiamo tutti per una costante non nulla. Quindi i coefficienti essenziali sono 20 e le quintiche sono $∞^{20}.$ E una di esse è individuata dal suo passaggio per 20 punti generici.

Una curva quintica (n=5) irriducibile può avere al massimo:

* (n-1)(n-2)/2 + 1 = 7 componenti connesse
* (n-1)(n-2)/2 = 6 punti doppi
* n(n-2)(n-3)(n+3)/2 = 120 rette bitangenti
* 3n(n-2) = 45 punti di flesso.

## Esempi

* Curva di Burnside

$x^{5}-y^{2}-x=0$

* Curva Keratoide

$x^{5}+x^{2}y-y^{2}=0$

* Curva a staffa

$y^{2}(y-1)(y-2)(y+5)-(x^{2}-1)^{2}=0$

* Curva a birilli

$25x^{5}+45y^{5}+68x^{4}-155y^{4}-12x^{3}+175y^{3}-35x^{2}-65y^{2}+x+4=0$

* Curva di De l'Hospital

$(x^{2}+y^{2})^{2}(y-2)+y(4x^{4}+x^{2}+y^{2})=0$

* Curva di Mutasci

$x^{4}(x-1)+y^{4}(y-1)-xy=0$

* Curva sinuosa

$x^{5}+y^{5}-x=0$

* Maracas di Chioppa

$4y^{5}+24x^{4}y+35x^{2}y^{3}-21x^{4}-45x^{2}y^{2}-40y^{3}-46x^{2}y-13y^{2}+57y+36=0$

* Butterfly Catastrophe

$36864y^{5}+84375x^{4}-24576a^{2}y^{4}+144000ax^{2}y^{2}+4096a^{4}y^{3}-86400a^{3}x^{2}y+13824a^{5}x^{2}=0$

* Curva a bulbo

$y^{5}+5(x^{4}-y^{4}-1)=0$

* Foglia di Patarino

$x^{2}(13y^{3}-5x^{2}+33y^{2}+36y+14)+y(2x^{4}+5y^{4}+15y^{3}+12y^{2}-10y-16)-5=0$

* Curva a tulipano

$x^{2}(9x^{2}-8y^{3}+4y^{2}+8)+y(9x^{4}+3y^{4}-7y^{3}+4y^{2}+5y-8)-5=0$

* Curva a gocce

$5y^{5}-x^{4}-2y^{3}+2x^{2}-1=0$

* Impulso singolo

$y^{5}+100x^{4}y+20x^{2}y^{3}-100x+10y-1000=0$

* Doppio impulso

$y^{5}+100x^{4}y+20x^{2}y^{3}+100x=0$

* Curva con punto triplo

$x^{5}+y^{5}+xy(x-y)=0$

* Curva a tre cappi

$(x^{2}-y^{2})(y^{2}-1)(2y-3)-y(x^{2}+y^{2}-2y)^{2}=0$

* Curva bicuspinodata

$x^{2}(x^{2}-2)+2y^{2}(y^{3}+y^{2}-1)+2x^{2}y(x^{2}-y^{2}-1)+1=0$

* Curva a 36 bitangenti

$20y(x^{2}+y^{2}-1)(5x^{2}+y^{2}-2)+1=0$

* Curva con 10 flessi

$x(xy^{3}-14xy+1)+y(y^{4}+10x^{4}-6y^{2}+4)=0$

* Curva esaconnessa

$(7y^{3}-6x^{2}y-8x^{2}+7y^{2}+4)(10x^{2}+6y^{2}+4y-9)-1=0$

* Curva esanodata

$4x^{2}(3x^{3}+2x^{2}-13x+8)-36y^{2}(y^{3}-2y^{2}-4y+8)+3x^{2}y^{2}(11x-10y+39)-2xy(2x^{3}-18y^{3}+29x^{2}+57y^{2}+59x+3y-90)=0$

* Curva di Burnside
* Curva Keratoide
* Curva a staffa
* Curva a Birilli
* Curva di De L'Hospital
* Curva di Mutasci
* Curva sinuosa
* Maracas di Chioppa
* Butterfly Catastrophe
* Curva a bulbo
* Foglia di Patarino
* Curva a tulipano
* Curva a gocce
* Curva con punto triplo
* Impulso singolo
* Doppio impulso
* Curva bicuspinodata
* Curva a 36 bitangenti
* Curva con 10 flessi
* Curva esaconnessa
* Curva esanodata
