Algebra supercommutativa
# Algebra supercommutativa

In matematica e in fisica teorica un'algebra supercommutativa è una superalgebra (cioè una algebra $\mathbb {Z} _{2}$-graduata) in cui vale una proprietà di commutazione che dipende dalla gradazione degli elementi.

## Definizione

Una superalgebra$A$ è un'algebra supercommutativa se per ogni coppia $x,y\in A$ di elementi omogenei si ha:

    $yx=(-1)^{|x||y|}xy,$

dove con $|x|$ e $|y|$ si indicano le gradazioni rispettivamente di $x$ e $y.$ In maniera equivalente, si tratta di una superalgebra in cui il supercommutatore

    $[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx$

è sempre nullo.

La gradazione $|x|$ vale 0 per gli operatori bosonici chiamati anche elementi pari, vale invece 1 per gli operatori fermionici chiamati anche elementi dispari.

Ogni algebra commutativa (ossia ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè se tutti gli elementi sono pari). Le algebre di Grassmann sono i più comuni esempi di algebre supercommutative banali. Il supercentro di qualsiasi superalgebra è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa.

