Quadrica
# Quadrica

In matematica, e in particolare in geometria, una quadrica (o superficie quadrica) è una (iper-)superficie di uno spazio n-dimensionale sui complessi o sui reali rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine nelle variabili spaziali (coordinate). Se le coordinate spaziali sono $\{x_{1},\ \dots ,\ x_{n}\}$, allora la generale quadrica nello spazio $\mathbb {C} ^{n}$ (o $\mathbb {R} ^{n}$) è definita da un'equazione della forma

    $\sum _{i,j=1}^{n}B_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}E_{i}x_{i}+F=0,$

dove $B_{ij}$ è una matrice (non nulla), $E$ un vettore e $F$ una costante.

Un punto qualsiasi di una superficie quadrica si definisce iperbolico, parabolico o ellittico a seconda che il piano tangente alla superficie in quel punto tagli la quadrica in due rette reali e distinte, coincidenti o immaginarie coniugate. I punti di una quadrica sono tutti dello stesso tipo, cioè o tutti iperbolici o tutti parabolici o tutti ellittici. Tale caratteristica dipende solo dal segno del determinante della quadrica (invariante nei sistemi di riferimento cartesiani ortogonali) e viene spesso posta in evidenza come aggettivo della quadrica (ad esempio, iperboloide iperbolico).

Attraverso traslazioni e rotazioni ogni quadrica può essere trasformata in una forma "normalizzata", sensibilmente più semplice di quella generale. Ad esempio, l'equazione normalizzata di molte quadriche nello spazio a tre dimensioni ($n=3$) è:

    $\pm {x^{2} \over a^{2}}\pm {y^{2} \over b^{2}}\pm {z^{2} \over c^{2}}\,=\,1$

Nello spazio euclideo tridimensionale ogni quadrica può essere scritta in una delle seguenti 9 forme normalizzate:

Quadriche non degeneri :

| Ellissoide | Ellissoide scaleno | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$ |
| - | - | - |
| Ellissoide | Sferoide prolato | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1$ |
| Ellissoide | Sferoide oblato | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1$ |
| Ellissoide | Sfera | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1$ |
| Paraboloide | Paraboloide ellittico | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z \over c}=0$ |
| Paraboloide | Paraboloide circolare | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z \over c}=0$ |
| Paraboloide | Paraboloide iperbolico | ${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-{z \over c}=0$ |
| Iperboloide | Iperboloide ad una falda (iperboloide iperbolico) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ |
| Iperboloide | Iperboloide a due falde (iperboloide ellittico) | $-{x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$ |
| Quadriche degeneri ||||
| Cono (a due falde) | Cono (a due falde) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0$ |
| Cilindro | Cilindro ellittico | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$ |
| Cilindro | Cilindro circolare | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1$ |
| Cilindro | Cilindro parabolico | ${x^{2} \over 2a}+y=0$ |
| Cilindro | Cilindro iperbolico | ${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1$ |

Nello spazio proiettivo reale, a meno di una trasformazione proiettiva ci sono tre classi di equivalenza di quadriche:

* il cono, il cilindro e le altre quadriche "degeneri", cioè con curvatura gaussiana zero, sono tra loro equivalenti;
* i due paraboloidi iperbolici e le superfici rigate sono tra loro equivalenti;
* l'ellissoide, il paraboloide ellittico, l'iperboloide a due falde e le rimanenti quadriche sono tra loro equivalenti.

Nello spazio proiettivo complesso tutte le quadriche non degeneri sono tra loro equivalenti, a meno di trasformazioni proiettive.

