Scomposizione di Gordon
# Scomposizione di Gordon

In fisica matematica, la scomposizione di Gordon (dal nome di Walter Gordon) della corrente di Dirac è una scissione della corrente di carica o numero di particelle in una parte che deriva dal moto del centro di massa delle particelle e una parte che deriva dai gradienti della densità di spin. Fa un uso esplicito dell'equazione di Dirac e quindi si applica solo alle soluzioni "on-shell" dell'equazione di Dirac.

## Tecnica originale

### Enunciato

Per qualsiasi soluzione $\psi$ dell'equazione di Dirac massiva,

    $(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0,$

la corrente Lorentz-covariante $j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$ può essere espressa come

    ${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\psi )+{\frac {1}{m}}\partial _{\nu }({\bar {\psi }}\Sigma ^{\mu \nu }\psi ),$

dove

    $\Sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$

è il generatore spinoriale delle trasformazioni di Lorentz.

La corrispondente versione nello spazio degli impulsi per soluzioni di onde piane $u(p)$ e ${\bar {u}}(p')$ che obbedisce

    $(\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m)u(p)=0$
    ${\bar {u}}(p')(\gamma ^{\mu }p'_{\mu }-m)=0,$

è

    ${\bar {u}}(p')\gamma ^{\mu }u(p)={\bar {u}}(p')\left[{\frac {(p+p')^{\mu }}{2m}}+i\sigma ^{\mu \nu }{\frac {(p'-p)_{\nu }}{2m}}\right]u(p)~,$

dove

    $\sigma ^{\mu \nu }=2\Sigma ^{\mu \nu }.$

### Dimostrazione

Dall'equazione di Dirac segue che

    ${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(m\psi )={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(i\gamma ^{\nu }\nabla _{\nu }\psi )$

e, dal coniugato dell'equazione di Dirac,

    $({\bar {\psi }}m)\gamma ^{\mu }\psi =((\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})(-i\gamma ^{\nu }))\gamma ^{\mu }\psi .$

Sommando queste due equazioni si ottiene

    ${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\nabla _{\nu }\psi -(\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\psi ).$

Dall'algebra di Dirac, si può dimostrare che le matrici di Dirac soddisfano

    $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=\eta ^{\mu \nu }-i\sigma ^{\mu \nu }=\eta ^{\nu \mu }+i\sigma ^{\nu \mu }.$

Usando questa relazione,

    ${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}(\eta ^{\mu \nu }-i\sigma ^{\mu \nu })\nabla _{\nu }\psi -(\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})(\eta ^{\mu \nu }+i\sigma ^{\mu \nu })\psi ),$

che equivale proprio alla decomposizione di Gordon, dopo un po' di calcoli.

### Utilità

La seconda parte della, dipendente dallo spin, parte della corrente accoppiata al campo di fotoni, $-A_{\mu }j^{\mu }$ cede, a meno di una divergenza totale trascurabile,

    $-{\frac {e\hbar }{2mc}}\partial _{\nu }A_{\mu }{\bar {\psi }}\sigma ^{\nu \mu }\psi =-{\frac {e\hbar }{2mc}}{\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }{\bar {\psi }}\sigma ^{\mu \nu }\psi ,$

cioè, un termine efficace di momento di Pauli, $-(e\hbar /2mc){\vec {B}}\cdot \psi ^{\dagger }{\vec {\sigma }}\psi$ .

## Generalizzazione alle particelle senza massa

Questa scomposizione della corrente in un flusso di numero di particelle (primo termine) e contributo di spin legato (secondo termine) richiede $m\neq 0$ .

Se si assume che la soluzione data abbia energia $E={\sqrt {|{\mathbf {k} }|^{2}+m^{2}}}$ così che $\psi ({\mathbf {r} },t)=\psi ({\mathbf {r} })\exp\{-iEt\}$, si potrebbe ottenere una scomposizione valida sia per i casi massivi che per quelli senza massa.

Usando ancora l'equazione di Dirac, si trova che

    ${\mathbf {j} }\equiv e{\bar {\psi }}{\boldsymbol {\gamma }}\psi ={\frac {e}{2iE}}\left(\psi ^{\dagger }\nabla \psi -(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {e}{E}}(\nabla \times {\mathbf {S} }).$

dove ${\boldsymbol {\gamma }}=(\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3})$, e ${\mathbf {S} }=\psi ^{\dagger }{\hat {\mathbf {S} }}\psi$ con $({\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z})=(\Sigma ^{23},\Sigma ^{31},\Sigma ^{12}),$ così che

    ${\hat {\mathbf {S} }}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{matrix}{\boldsymbol {\sigma }}&0\\0&{\boldsymbol {\sigma }}\end{matrix}}\right],$

dove ${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ è il vettore delle matrici di Pauli.

Con la densità del numero di particelle identificata con $\rho =\psi ^{\dagger }\psi$, e per una soluzione in onda quasi piana di estensione finita, si può interpretare il primo termine nella scomposizione come l'attuale ${\mathbf {j} }_{\rm {free}}=e\rho {\mathbf {k} }/E=e\rho {\mathbf {v} }$, a causa delle particelle che si muovono a velocità ${\mathbf {v} }={\mathbf {k} }/E$ .

Il secondo termine, ${\mathbf {j} }_{\rm {bound}}=(e/E)\nabla \times {\mathbf {S} }$ è la corrente dovuta ai gradienti nella densità di momento magnetico intrinseca. Il momento magnetico stesso si trova integrando per parti per mostrare che

    ${\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times {\mathbf {j} }_{\rm {bound}}\,d^{3}x={\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {e}{E}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x={\frac {e}{E}}\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x~.$

Per una singola particella massiccia nel suo sistema di riferimento di riposo, dove $E=m$, il momento magnetico si riduce a

    ${\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Dirac}}=\left({\frac {e}{m}}\right){\mathbf {S} }=\left({\frac {eg}{2m}}\right){\mathbf {S} }.$

dove $|{\mathbf {S} }|=\hbar /2$ e $g=2$ è il valore di Dirac del rapporto giromagnetico.

Per una singola particella priva di massa che obbedisce all'equazione di Weyl destrorsa, lo spin-1/2 è fissato nella direzione ${\hat {\mathbf {k} }}$ del suo momento cinetico e il momento magnetico diventa

    ${\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Weyl}}=\left({\frac {e}{E}}\right){\frac {\hbar {\hat {\mathbf {k} }}}{2}}.$

## Densità di momento angolare

Sia per il caso massivo sia per quello senza massa, si ha anche un'espressione per la densità di momento come parte del tensore simmetrico di Belinfante-Rosenfeld stress-energia

    $T_{\rm {BR}}^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi +{\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\nu }\psi ).$

Usando l'equazione di Dirac si può valutare $T_{\rm {BR}}^{0\mu }=({\mathcal {E}},{\mathbf {P} })$ per trovare la densità di energia per essere ${\mathcal {E}}=E\psi ^{\dagger }\psi$, e la densità di quantità di moto,

    ${\mathbf {P} }={\frac {1}{2i}}\left(\psi ^{\dagger }(\nabla \psi )-(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }.$

Se si usa il tensore canonico energia-impulso non simmetrico

    $T_{\rm {canonico}}^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi ),$

non si troverebbe il contributo spin-momento legato.

Mediante un'integrazione per parti si trova che il contributo di spin al momento angolare totale è

    $\int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x=\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x.$

Questo è ciò che ci si aspetta, quindi è necessaria la divisione per 2 nel contributo di spin alla densità di momento. L'assenza di una divisione per 2 nella formula per la corrente riflette il $g=2$ rapporto giromagnetico dell'elettrone. In altre parole, un gradiente di densità di spin è due volte più efficace nel creare una corrente elettrica quanto nel contribuire alla quantità di moto lineare.

## Spin nelle equazioni di Maxwell

Motivato dalla forma vettoriale di Riemann-Silberstein delle equazioni di Maxwell, il fisico Michael Berry usa la strategia di Gordon per ottenere espressioni gauge-invarianti per la densità di momento angolare di spin intrinseco per le soluzioni delle equazioni di Maxwell.

Assume che le soluzioni siano monocromatiche e usa le espressioni del fasore ${\mathbf {E} }={\mathbf {E} }({\mathbf {r} })e^{-i\omega t}$, ${\mathbf {H} }={\mathbf {H} }({\mathbf {r} })e^{-i\omega t}$ . La media temporale della densità di moto del vettore di Poynting è quindi data da

    ${\begin{aligned}\langle \mathbf {P} \rangle &={\frac {1}{4c^{2}}}[{\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {H} }+{\mathbf {E} }\times {\mathbf {H} }^{*}]\\&={\frac {\epsilon _{0}}{4i\omega }}[{\mathbf {E} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {E} })-(\nabla {\mathbf {E} }^{*})\cdot {\mathbf {E} }+\nabla \times ({\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {E} })]\\&={\frac {\mu _{0}}{4i\omega }}[{\mathbf {H} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {H} })-(\nabla {\mathbf {H} }^{*})\cdot {\mathbf {H} }+\nabla \times ({\mathbf {H} }^{*}\times {\mathbf {H} })].\\\end{aligned}}$

dove nel passaggio dalla prima alla seconda e terza riga si sono usate le equazioni di Maxwell, e in espressioni come ${\mathbf {H} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {H} })$ il prodotto scalare è tra i campi in modo che il carattere vettoriale sia determinato da $\nabla$.

Siccome

    $\mathbf {P} _{\rm {tot}}=\mathbf {P} _{\rm {libera}}+\mathbf {P} _{\rm {legata}},$

e per un fluido con densità di momento angolare intrinseca ${\mathbf {S} }$ noi abbiamo

    $\mathbf {P} _{\rm {legata}}={\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} },$

queste identità suggeriscono che la densità di spin può essere identificata come

    $\mathbf {S} ={\frac {\mu _{0}}{2i\omega }}\mathbf {H} ^{*}\times \mathbf {H}$

o come

    $\mathbf {S} ={\frac {\epsilon _{0}}{2i\omega }}\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {E} .$

Le due decomposizioni coincidono quando il campo è parassiale. Essi coincidono anche quando il campo è uno stato di elicità puro, cioè quando $\mathbf {E} =i\sigma c\mathbf {B}$ dove l'elicità $\sigma$ prende i valori $\pm 1$ per la luce che è rispettivamente polarizzata circolarmente verso destra o verso sinistra. In altri casi possono differire.

