Teorema di Vitale
# Teorema di Vitale

In matematica, il teorema di Vitale o disuguaglianza di Brunn-Minkowski casuale è un teorema dovuto a Richard Vitale che generalizza la disuguaglianza di Brunn-Minkowski classica, che vale per i sottoinsiemi compatti di uno spazio euclideo n-dimensionale $R^n,$ a insiemi compatti casuali.

## Enunciato della disuguaglianza

Sia X un insieme compatto casuale in $R^n,$ ossia supponiamo di avere una funzione misurabile di Borel da uno spazio di probabilità (Ω, Σ, Pr) allo spazio dei sottoinsiemi compatti non vuoti di $R^n$ fornito di metrica di Hausdorff. Un vettore casuale V : Ω → $R^n$ è detto una selezione di X se Pr(V ∈ X) = 1. Se K è un sottoinsieme compatto non vuoto di $R^n,$ sia

    $\|K\|=\max \left\{\left.\|v\|_{\mathbb {R} ^{n}}\right|v\in K\right\}$

e definiamo l'aspettazione E[X] di X come

    $\mathrm {E} [X]=\{\mathrm {E} [V]|V{\mbox{ è una selezione di }}X{\mbox{ e }}\mathrm {E} \|V\|<+\infty \}.$

Notiamo che E[X] è un sottoinsieme di $R^n.$ In questa notazione, il teorema di Vitale, o disuguaglianza di Brunn-Minkowski casuale, afferma che, per ogni insieme compatto casuale X con E[X] < +∞,

    $\left(\mathrm {vol} \left(\mathrm {E} [X]\right)\right)^{1/n}\geq \mathrm {E} \left[\mathrm {vol} (X)^{1/n}\right],$

dove vol denota la misura di Lebesgue n-dimensionale.

## Relazione con la disuguaglianza di Brunn-Minkowski

Se X assume i valori (insiemi compatti non vuoti) K and L con probabilità 1 − λ e λ rispettivamente, allora il teorema di Vitale, o disuguaglianza di Brunn-Minkowski casuale, è semplicemente l'originale teorema di Brunn-Minkowski, o disuguaglianza di Brunn-Minkowski, per gli insiemi compatti.

