Teorema di Stolz-Cesaro
# Teorema di Stolz-Cesaro

In matematica, il teorema di Stolz-Cesaro, il cui nome è dovuto a Otto Stolz e Ernesto Cesaro, è un criterio per dimostrare la convergenza di una successione.

Siano $(a_{n})_{n\geq 1}$ e $(b_{n})_{n\geq 1}$ due successioni di numeri reali. Se $b_{n}$ è una successione positiva, strettamente crescente, illimitata, ed esiste il seguente limite:

    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l$

allora esiste anche il limite:

    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l$

La forma generale del teorema è la seguente. Se $(a_{n})_{n\geq 1}$ e $(b_{n})_{n\geq 1}$ sono due successioni tali che $b_{n}$ è monotona e non limitata, allora:

    $\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}$

Il teorema di Stolz–Cesaro può essere considerato come una generalizzazione della somma di Cesaro, ma anche come una sorta di regola di de l'Hôpital per successioni, vedendo le differenze come approssimazioni delle derivate al primo ordine.

Ponendo $a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mbox{ e }}b_{n}=n$ si ottiene la somma di Cesaro.

