Quadricorrente
# Quadricorrente

In fisica, in particolare in elettrodinamica, la quadricorrente è il quadrivettore Lorentz covariante la cui componente temporale è la densità di carica elettrica e quella spaziale è la densità di corrente elettrica.

## Definizione

La quadricorrente è un quadrivettore definito come:

    $J^{a}=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)=\left(c\rho ,j^{1},j^{2},j^{3}\right)$

dove $c$ è la velocità della luce, $\rho$ la densità di carica e $\mathbf {j}$ la densità di corrente, mentre $a$ denota le dimensioni spaziotemporali.

La quadricorrente può essere espressa in funzione della quadrivelocità $U^{\alpha }$ come:

    $J^{\alpha }=\rho _{0}U^{\alpha }=\rho {\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}U^{\alpha }$

dove la densità di carica $\rho$ è misurata da un osservatore fermo che vede muoversi la corrente elettrica, mentre $\rho _{0}$ è misurata da un osservatore posto nel sistema di riferimento in moto delle cariche, che si muove ad una velocità $u=\|\mathbf {u} \|$ pari alla norma della componente spaziale di $U^{\alpha }$.

La quadricorrente può essere definita anche per una carica puntiforme $q$ in moto con legge oraria ${\vec {z}}(s)$ se si assume che la densità di carica ad essa associata sia:

    $\rho (\mathbf {x} )=q\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {z} (s))$

dove il simbolo $\delta ^{(3)}$ indica la distribuzione Delta di Dirac tridimensionale. In questo caso si ha che, detta $z^{\mu }(s)$ una componente della parametrizzazione della curva di universo della particella, la giusta definizione per la corrente ad essa associata è:

    $J^{\mu }(x)=cq\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dz^{\mu }(s)}{ds}}\delta ^{(4)}(x-z(s))ds$

In questa formula, le grandezze $x$ e $z$ vanno intese come quadrivettori, mentre $s$ è un parametro arbitrario.

In relatività generale la quadricorrente è definita come la divergenza del vettore spostamento elettromagnetico, dato da:

    ${\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\qquad J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }$

## Equazione di continuità

In relatività speciale la legge di conservazione della carica, che nel limite non relativistico è espressa dall'equazione di continuità, assume la seguente forma tensoriale:

    $\partial _{\alpha }\cdot J=\partial _{a}J^{a}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

dove $\partial _{\alpha }$ è il quadrigradiente, dato da:

    $\partial _{\alpha }\ =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)\qquad \partial _{a}J^{a}=\sum _{i=0}^{3}\partial _{i}J^{i}$

L'equazione di continuità si può scrivere anche come:

    $J^{a}_{,a}=0$

dove $;$ denota la derivata covariante.

