Teorema di Weyl (algebra lineare)
# Teorema di Weyl (algebra lineare)

In algebra lineare, il teorema di Weyl, anche detto disuguaglianza di Weyl o teorema di monotonicità di Weyl, caratterizza gli autovalori della matrice somma di due matrici hermitiane.

## Enunciato

Siano $\mathrm {A}$ e $\mathrm {B}$ due matrici hermitiane $n\times n$ con autovalori $\lambda _{1}\leq ...\leq \lambda _{n}$ e $\mu _{1}\leq ...\leq \mu _{n}$ rispettivamente. Siano $\gamma _{1}\leq \dots \leq \gamma _{n}$ gli autovalori della matrice $\mathrm {A} +\mathrm {B}$, si ha:

    $\lambda _{j}+\mu _{k-j+1}\leq \gamma _{k}\leq \lambda _{i}+\mu _{n-i+k}\qquad \forall k\leq n$

per $1\leq j\leq k\leq i\leq n$.

## Dimostrazione

Si considerino le seguenti diagonalizzazioni:

    $\mathrm {A} =\mathrm {U\Lambda U} ^{H}\qquad \mathrm {B} =\mathrm {VMV} ^{H}\qquad \mathrm {A} +\mathrm {B} =\mathrm {W\Gamma W} ^{H}$

dove $\mathrm {U}$, $\mathrm {V}$ e $\mathrm {W}$ sono unitarie. Dette $\mathbf {u} _{i}$, $\mathbf {v} _{i}$ e $\mathbf {w} _{i}$ le colonne di $\mathrm {U}$, $\mathrm {V}$ e $\mathrm {W}$, si considerino gli spazi:

    ${\mathcal {U}}=\langle \mathbf {u} _{j},\dots ,\mathbf {u} _{n}\rangle$
    ${\mathcal {V}}=\langle \mathbf {v} _{k-j+1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\rangle$
    ${\mathcal {W}}=\langle \mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{k}\rangle$

con $j\leq k\leq i$ fissati. Applicando la formula delle dimensioni si ottiene:

    $\dim \left({\mathcal {U}}\cap {\mathcal {V}}\cap {\mathcal {W}}\right)=1$

Allora esiste un vettore $\mathbf {z} \in {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {V}}\cap {\mathcal {W}}$ di norma euclidea:

    $\left\|\mathbf {z} \right\|_{2}=1\qquad \mathbf {z} \in \mathrm {U}$

perciò:

    $\mathbf {z} =\alpha _{j}\mathbf {u} _{j}+\dots +\alpha _{n}\mathbf {u} _{n}$

con $\alpha _{i}\in \mathbb {C}$. Inoltre dato che $\mathrm {U}$ è unitaria e che $\left\|\mathbf {z} \right\|_{2}=1$:

    $\mathbf {z} ^{H}\mathrm {Az} \geq \lambda _{j}$

usando la diagonalizzazione unitaria di $\mathrm {A}$. Con lo stesso ragionamento:

    $\mathbf {z} ^{H}\mathrm {Bz} \geq \mu _{k-j+1}$, $\mathbf {z} ^{H}\mathrm {(A} +\mathrm {B)z} =\gamma _{k}$

Da queste ultime tre disuguaglianze si ricava la prima disuguaglianza del teorema:

    $\gamma _{k}\geq \mathbf {z} ^{H}\mathrm {(A} +\mathrm {B)} \mathbf {z} =\mathbf {z} ^{H}\mathrm {A} \mathbf {z} +\mathbf {z} ^{H}\mathrm {B} \mathbf {z} \geq \lambda _{j}+\mu _{k-j+1}$

Per la seconda disuguaglianza del teorema si procede in modo analogo.

