Teoria di Fredholm
# Teoria di Fredholm

In matematica, la teoria di Fredholm è una teoria riguardante le equazioni integrali che si occupa della teoria spettrale applicata agli operatori di Fredholm e ai nuclei integrali di Fredholm in uno spazio di Hilbert.

Tra i principali risultati di questa teoria vi sono i teoremi di Fredholm, tra cui l'alternativa di Fredholm, ed il fatto che il nucleo è un operatore compatto quando lo spazio è formato da funzioni equicontinue.

La teoria prende il nome da Erik Ivar Fredholm, che nel 1903 pubblicò, sugli Acta Mathematica, uno dei più importanti articoli nell'ambito della teoria degli operatori.

## Equazioni omogenee

Una notevole parte della teoria di Fredholm si occupa dello studio di un'equazione differenziale del tipo:

    $Lg(x)=f(x)$

dove $L$ è un operatore differenziale lineare, $f$ è una funzione data e $g$ l'incognita. Ad esempio, $L$ può essere l'operatore ellittico $d^{2}/dx^{2}$, ed in tal caso l'equazione diventa l'equazione di Poisson.

Un metodo generale per la soluzione di queste equazioni è l'utilizzo di un'opportuna funzione di Green $K$, che è soluzione dell'equazione:

    $LK(x,y)=\delta (x-y)$

dove $\delta (x)$ è la delta di Dirac. La soluzione dell'equazione differenziale lineare è allora scritta in termini della funzione di Green attraverso l'equazione integrale di Fredholm:

    $g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy$

Si tratta di un'equazione integrale che si incontra anche in diversi ambiti della fisica, e la funzione di Green $K(x,y)$ è anche detta nucleo integrale.

In un contesto più generale $x$ e $y$ sono visti come punti di una varietà, che nel caso più semplice è uno spazio euclideo, e si utilizzano spesso funzioni quadrato sommabili o appartenenti ad uno spazio di Sobolev. La natura dello spazio utilizzato è in moti casi determinata dalle soluzioni dell'equazione agli autovalori:

    $L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)$

dove $\omega _{n}$ sono gli autovalori e $\psi _{n}(x)$ gli autovettori. Gli autovettori formano uno spazio di Banach, in cui si definisce in modo naturale un prodotto interno, sicché essi formano uno spazio di Hilbert completo:

    $\delta (x-y)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)$

in cui si applica il teorema di rappresentazione di Riesz. Il nucleo integrale può essere allora scritto come:

    $K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}$

dove $\psi _{n}^{*}$ è lo spazio duale a quello generato dai $\psi _{n}$. In una tale forma, $K(x,y)$ è detto spesso operatore di Fredholm o nucleo di Fredholm. Dal momento che gli autovalori $\omega _{n}$ sono crescenti, gli autovalori di $K(x,y)$ decrescono a zero.

## Equazioni non omogenee

L'equazione integrale di Fredholm non omogenea ha la forma:

    $f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy$

e può essere riscritta come:

    $f=(K-\omega )\phi$

la cui soluzione è:

    $\phi ={\frac {1}{K-\omega }}f$

Una soluzione di questo tipo è tipica della teoria spettrale, in cui l'operatore risolvente è definito come:

    $R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}$

Considerando una collezione di autovalori e autovettori di $K$ il risolvente può essere esplicitato nel seguente modo:

    $R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}$

e la soluzione è:

    $\phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy$

Una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di tale soluzione è data da uno dei teoremi di Fredholm. Il risolvente può essere sviluppato in serie di potenze $\lambda =1/\omega$ tramite la serie di Liouville-Neumann. In tal caso l'equazione integrale è scritta come:

    $g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy$

ed il risolvente assume la forma:

    $R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}$

## Determinante di Fredholm

Il determinante di Fredholm è definito come:

    $\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr} \,K^{n}\right]$

dove:

    $\operatorname {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx$

e:

    $\operatorname {Tr} \,\lambda ^{2}(K)=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$

e così via. La corrispondente funzione zeta di Riemann è:

    $\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}$

che può essere vista come il determinante del risolvente.

