Base aurea
# Base aurea

La base aurea è un sistema di numerazione posizionale non intero che utilizza il rapporto aureo (il numero irrazionale 1 + ${\sqrt {5}}$/2 ≈ 1,61803399, simboleggiato dalla lettera greca φ) come sua base. Viene talvolta chiamato base φ o, in inglese, phinary. Qualsiasi numero reale non negativo può essere rappresentato come un numero in base φ utilizzando solo le cifre 0 e 1, ed evitando la sequenza di cifre "11": questa viene chiamata forma standard. Un numero in base φ che include la sequenza di cifre "11" può sempre essere riscritto in forma standard, utilizzando le proprietà algebriche della base φ, in particolare $φ^1$ + $φ^0$ = $φ^2.$ Ad esempio, $11_φ$ = $100_φ.$

Nonostante utilizzi una base costituita da un numero irrazionale, quando si utilizza la forma standard, tutti i numeri interi non negativi hanno una rappresentazione univoca in base φ finita. L'insieme di numeri che possiedono una rappresentazione finita in base φ è l'anello Z[1 + ${\sqrt {5}}$/2]; esso svolge lo stesso ruolo in questo sistema di numerazione che le frazioni diadiche svolgono nei numeri binari.

Altri numeri hanno rappresentazioni standard in base φ ed i numeri razionali hanno rappresentazioni periodiche.

## Esempi

| Decimale | Potenze di φ | Base φ |
| - | - | - |
| 1 | $φ^0$ | 1 |
| 2 | $φ^1$ + $φ^{−2}$ | 10,01 |
| 3 | $φ^2$ + $φ^{−2}$ | 100,01 |
| 4 | $φ^2$ + $φ^0$ + $φ^{−2}$ | 101,01 |
| 5 | $φ^3$ + $φ^{−1}$ + $φ^{−4}$ | 1000,1001 |
| 6 | $φ^3$ + $φ^1$ + $φ^{−4}$ | 1010,0001 |
| 7 | $φ^4$ + $φ^{−4}$ | 10000,0001 |
| 8 | $φ^4$ + $φ^0$ + $φ^{−4}$ | 10001,0001 |
| 9 | $φ^4$ + $φ^1$ + $φ^{−2}$ + $φ^{−4}$ | 10010,0101 |
| 10 | $φ^4$ + $φ^2$ + $φ^{−2}$ + $φ^{−4}$ | 10100,0101 |

## Rappresentazione di alcuni numeri irrazionali notevoli in base φ

Di seguito sono riportate le rappresentazioni in base φ di alcuni interessanti numeri irrazionali:

* $\pi$ ≈ 100,0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100 $..._φ$
* e ≈ 100,0000 1000 0100 1000 0000 0100 $..._φ$
* ${\sqrt {2}}$ ≈ 1,0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101 $..._φ$
* φ = 1+${\sqrt {5}}$/2 = $10_φ$
* ${\sqrt {5}}$ = $10,1_φ$
