Algebra simmetrica
# Algebra simmetrica

In matematica, l'algebra simmetrica su uno spazio vettoriale V su un campo K è una particolare K-algebra commutativa; può essere vista come una rappresentazione dell'anello dei polinomi in K, con indeterminate corrispondenti agli elementi della base di V, senza una scelta delle coordinate.

È denotata con $S(V)$ o $\mathrm {Sym} (V)$.

## Costruzione

L'algebra simmetrica può essere definita a partire dall'algebra tensoriale $T(V)$, "forzando" gli elementi di $V$ ad essere commutativi in $T(V)$: più precisamente, $S(V)$ può essere definita come l'anello quoziente di $T(V)$ rispetto all'ideale generato dagli elementi

    $v\otimes w-w\otimes v$,

al variare di $v$ e $w$ in $V$.

L'applicazione $V\mapsto S(V)$ può essere estesa ad un funtore tra la categoria dei $K$-spazi vettoriali e quella delle $K$-algebre.

## Proprietà

### Struttura graduata

L'algebra simmetrica $S(V)$ può essere vista come un'algebra graduata: l'insieme $S^{k}(V)$ degli elementi omogenei di grado k è lo spazio vettoriale generato dai monomi di grado k negli elementi di $V$; alternativamente, $S^{k}(V)$ può essere visto come il quoziente di $T^{k}(V)$ rispetto all'ideale $I\cap T^{k}(V)$, dove $I$ è l'ideale generato in $T(V)$ dagli elementi $v\otimes w-w\otimes v$.

Lo spazio $S^{k}(V)$ è chiamato la potenza simmetrica k-esima di $V$; la sua dimensione è pari a

    ${\binom {n+k-1}{k}}$,

dove n è la dimensione di $V$ su $K$. Così come $V\mapsto S(V)$, anche ogni applicazione $V\mapsto S^{k}(V)$ può essere estesa ad un funtore.

Ad esempio, $S^{0}(V)$ è sempre isomorfo a $K$, mentre $S^{1}(V)$ è sempre isomorfo a $V$.

### Anello dei polinomi

Se $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ è una base di $V$, allora si può definire un isomorfismo di algebre tra $S(V)$ e l'anello dei polinomi $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ in n indeterminate, mandando $v_{i}$ in $X_{i}$.

In particolare, questo mostra come l'anello dei polinomi possa essere pensato come un'algebra simmetrica su cui è stato scelto un sistema di coordinate (la base $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$) e, viceversa, $S(V)$ possa essere pensato come una versione senza coordinate di $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Da questo segue anche che l'anello dei polinomi è isomorfo in modo canonico all'algebra simmetrica del duale di $V$.

