Dimostrazione della irrazionalità di π
# Dimostrazione della irrazionalità di π

Sono state date molte dimostrazioni dell'irrazionalità di pi greco, di queste alcune a opera di Johann Heinrich Lambert, Adrien-Marie Legendre e Niven.

## Dimostrazione di Adrien-Marie Legendre (1794)

Si dimostra che $\pi ^{2}$ è irrazionale.

Sia $n$ un intero positivo, definiamo $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ come

    $f(x):={\frac {x^{n}(1-x)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}x^{n+k},$

dove l'ultimo membro segue dal teorema binomiale. Poiché $f(x)$ è un polinomio di $2n$-esimo grado di $x$ sarà $f^{(m)}(x)=0$ per ogni $x\in \mathbb {R}$ e per ogni intero $m>2n.$ Inoltre $f^{(m)}(0)=0$ per ogni $m<n$ poiché il minimo esponente con cui compare $x$ in $f(x)$ è $n.$

Se $m\in \{n,n+1,\dots ,2n\}$ si ha d'altra parte:

    $f^{(m)}(x)={\frac {1}{n!}}\sum _{k=m-n}^{n}{n \choose k}{\frac {(n+k)!}{(n+k-m)!}}(-1)^{k}x^{n+k-m},$

per cui per ogni $m\in \{n,n+1,\dots ,2n\}$ abbiamo che

    $f^{(m)}(0)={\frac {1}{n!}}{{n} \choose {m-n}}m!(-1)^{m-n}\in \mathbb {Z} .$

Queste considerazioni mostrano che $f^{(m)}(0)\in \mathbb {Z}$ per ogni $m\in \mathbb {N} .$ Da cui, essendo $f(1-x)=f(x),$ abbiamo anche $f^{(m)}(1)\in \mathbb {Z} .$

Supponiamo ora, per assurdo, che esistano due interi positivi $a$ e $b$ tali che $\pi ^{2}={\frac {a}{b}}.$ Definiamo $F_{n}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ come:

    $F_{n}(x):=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2(n-k)}f^{(2k)}(x).$

Per quanto detto prima $F_{n}(0)$ e $F_{n}(1)$ sono interi. Inoltre, ricordando che $f^{(2n+2)}(x)=0,$ abbiamo:

    $F_{n}^{(2)}(x)+\pi ^{2}F_{n}(x)=b^{n}\left[\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2(n-k)}f^{(2k+2)}(x)+\pi ^{2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2(n-k)}f^{(2k)}(x)\right]=$
    $=b^{n}\left[-\pi ^{2}\sum _{h=1}^{n+1}(-1)^{h}\pi ^{2(n-h)}f^{(2h)}(x)+\pi ^{2}\sum _{h=0}^{n}(-1)^{h}\pi ^{2(n-h)}f^{(2h)}(x)\right]=b^{n}\pi ^{2(n+1)}f(x)=a^{n}\pi ^{2}f(x).$

Da questi calcoli segue che:

    ${\frac {d}{dx}}\left[F_{n}^{(1)}(x)\sin(\pi x)-\pi F_{n}(x)\cos(\pi x)\right]=\pi ^{2}a^{n}f(x)\sin(\pi x).$

Si ha quindi:

    $\pi a^{n}\int _{0}^{1}f(x)\sin(\pi x)dx={\frac {1}{\pi }}\left[F_{n}^{(1)}(x)\sin(\pi x)-\pi F_{n}(x)\cos(\pi x)\right]_{0}^{1}=F_{n}(1)+F_{n}(0)\in \mathbb {Z} .$

Poiché per ogni $x\in (0,1)$ abbiamo che $x^{n}(1-x)^{n}\in (0,1),$ otteniamo che

    $0<f(x)<{\frac {1}{n!}}.$

Quindi

    $\pi a^{n}\int _{0}^{1}f(x)\sin(\pi x)dx\in \left(0,{\frac {\pi a^{n}}{n!}}\right)\cap \mathbb {Z} .$

D'altra parte,

    $\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {\pi a^{n}}{n!}}=0,$

quindi, per $n$ sufficientemente grande,

    $\left(0,{\frac {\pi a^{n}}{n!}}\right)\subset (0,1).$

Abbiamo quindi trovato che

    $\pi a^{n}\int _{0}^{1}f(x)\sin(\pi x)dx\in (0,1)\cap \mathbb {Z} .$

Ma non esistono interi nell'intervallo $(0,1)$, quindi abbiamo raggiunto un assurdo. Questo mostra che $\pi ^{2}$ (e quindi anche $\pi$) è irrazionale.

