Decadimento beta
# Decadimento beta

In fisica nucleare, il decadimento β è un tipo di decadimento radioattivo, ovvero una delle reazioni nucleari spontanee attraverso le quali elementi chimici radioattivi si trasformano in altri con diverso numero atomico. Il processo coinvolge le forze nucleari deboli e determina l'emissione di particelle subatomiche ionizzanti secondo le leggi di conservazione della massa/energia e della quantità di moto.

## Storia

Negli anni successivi alla scoperta della radioattività, fu osservato un diverso comportamento delle particelle emesse dalle sostanze radioattive durante il decadimento. In molti casi, gli strumenti di rilevazione mostravano la presenza di tracce simili a scie: quando era applicato un campo magnetico, le tracce provenienti da alcune sostanze radioattive avevano la curvatura rivolta verso lati opposti. Ai raggi associati alle tracce deviate in modo opposto fu convenzionalmente dato il nome di raggi alfa (oggi si utilizza più comunemente il termine radiazione alfa parlando delle particelle emesse in questo caso e dei loro effetti) e di raggi beta (oggi radiazione beta); i rimanenti presero il nome di raggi gamma (oggi radiazione gamma).

La natura delle particelle emesse e dei decadimenti è radicalmente diversa nei tre casi. La scoperta dei processi che avvengono all'interno del nucleo e danno luogo a questi decadimenti ha richiesto notevoli ricerche agli inizi del XX secolo. Queste ricerche hanno portato al rilievo che la scia emessa nel caso dei raggi beta è dovuta all'emissione di un elettrone. Il motivo per cui i tre tipi di raggi sono deviati in modo diverso dipende dalla diversa carica elettrica che hanno le particelle emesse: positive nel caso decadimento alfa (particelle alfa) e $\beta ^{+}$ (positroni), negative nel caso del decadimento $\beta ^{-}$ (elettroni), e neutre nel caso del decadimento gamma (se si tratta di fotoni).

Il primo inquadramento teorico del decadimento $\beta$ fu realizzato da Enrico Fermi che nel 1933 pubblicò la sua teoria del decadimento beta.

Oggi il decadimento e la radiazione vengono classificati come beta ($\beta$) non più in base alla carica della particella emessa, bensì in base al particolare tipo di processo nucleare che avviene tramite interazione debole. Normalmente, il neutrone coinvolto si trova in un nucleo di un atomo e quello che si verifica, oltre all'emissione delle due particelle, è che l'atomo si trasforma in quello di un altro elemento, ovvero in quello con numero atomico (Z) successivo. La somma dei protoni e dei neutroni (chiamata numero di massa A) all'interno del nucleo rimane invariata. A questo decadimento ci si riferisce con il nome di decadimento $\beta ^{-}$ (si parla di meno perché l'elettrone emesso ha carica negativa).

Viene osservato anche il decadimento:

    $p\rightarrow n+e^{+}+{\nu }_{e}$

in cui un protone legato si trasforma in un neutrone legato, un positrone ed un neutrino. Il positrone, che è l'antiparticella dell'elettrone, ha carica positiva; pertanto, questo decadimento viene indicato con il termine $\beta ^{+}$.

È importante sottolineare che il decadimento $\beta ^{+}$ può avvenire, per motivi cinematici di conservazione dell'energia, solo per protoni legati; mai, quindi, per protoni liberi.

## Descrizione

Secondo le attuali teorie accettate, il decadimento $\beta$ può avvenire in due modi:

### Decadimento β negativo

È un decadimento tipico dei nuclei aventi un eccesso di neutroni rispetto ai loro isobari stabili; il nucleo si trasforma in un suo isobaro con contestuale emissione di un elettrone e di un antineutrino elettronico secondo la legge

    $A(Z,N)\;\to \;A(Z+1,N-1)+e^{-}+{\bar {\nu }}_{e}.$

**Condizioni energetiche**

Per il principio di conservazione dell'energia applicato a questo tipo di decadimento, è possibile scrivere la seguente relazione

    $M(A,Z)=M(A,Z+1)+T_{A}+m_{e}+T_{e}+E_{{\bar {\nu }}_{e}},$

dove:

* $M(A,Z)$ e $M(A,Z+1)$ sono le masse rispettivamente del nucleo padre e del nucleo figlio
* $T_{A}$ e $T_{e}$ sono le energie cinetiche del nucleo e dell'elettrone
* $E_{{\bar {\nu }}_{e}}$ è l'energia dell'antineutrino emesso.

Spostando a sinistra dell'equazione le masse e tenendo a destra le energie, è possibile ricavare la condizione energetica a cui avviene il decadimento $\beta ^{-}$:

    $Q_{\beta ^{-}}=M(A,Z)-M(A,Z+1)-m_{e}=T_{A}+T_{e}+E_{{\bar {\nu }}_{e}}>0$

in cui $Q_{\beta ^{-}}$ è l'energia liberata. Pertanto, affinché avvenga il decadimento, l'energia liberata deve essere positiva. Ciò per esempio accade nel decadimento del neutrone: un neutrone, libero o meno, decade in una coppia protone-elettrone più un antineutrino elettronico secondo la relazione:

    $n\;\to \;p+e^{-}+{\bar {\nu }}_{e}$

che è possibile da un punto di vista energetico poiché $Q_{\beta ^{-}}=m_{n}-m_{p}-m_{e}=782keV>0.$ Il protone resta nel nucleo atomico, mentre le altre due particelle vengono emesse. Un esempio di decadimento $\beta ^{-}$ è il decadimento del radionuclide cobalto-60 nel nuclide nichel-60, che segue questo schema:

    $_{27}^{60}{\hbox{Co}}\rightarrow_{28}^{60}{\hbox{Ni}}+e^{-}+{\bar {\nu }}_{e}.$

### Decadimento β positivo

È un decadimento tipico dei nuclei aventi un difetto di neutroni rispetto ai loro isobari stabili; il nucleo si trasforma in un suo isobaro con contestuale emissione di un positrone e di un neutrino elettronico secondo la legge

    $A(Z,N)\;\to \;A(Z-1,N+1)+e^{+}+{\nu }_{e}.$

**Condizioni energetiche**

Sempre applicando il principio di conservazione dell'energia alle masse ed energie in gioco nel decadimento, è possibile scrivere che

    $M(A,Z)=M(A,Z-1)+T_{A}+m_{e}+T_{e}+E_{{\nu }_{e}}$

dove:

* $M(A,Z)$ e $M(A,Z-1)$ sono le masse rispettivamente del nucleo padre e del nucleo figlio
* $T_{A}$ e $T_{e}$ sono le energie cinetiche del nucleo e dell'elettrone
* $E_{{\nu }_{e}}$ è l'energia del neutrino emesso.

Analogamente al caso $\beta ^{-}$, spostando a sinistra le masse e tenendo a destra le energie è possibile scrivere la condizione energetica a cui avviene il decadimento $\beta ^{+}$:

    $Q_{\beta ^{+}}=M(A,Z)-M(A,Z-1)-m_{e}=T_{A}+T_{e}+E_{{\nu }_{e}}>0,$

in cui $Q_{\beta ^{+}}$ è l'energia liberata. Anche in questo caso il decadimento è possibile quando l'energia liberata ha un bilancio positivo.

Il protone libero è una particella stabile e non può decadere secondo:

    $p\;\to \;n+e^{+}+{\nu }_{e}$

poiché : $Q_{\beta ^{+}}=m_{p}-m_{n}-m_{e}=-1,81MeV<0.$

Tuttavia secondo alcune teorie, in attesa di verifica sperimentale, il protone dovrebbe decadere, anche se in un arco di tempo pari a $10^{33}$ anni, ben più dell'età attuale dell'universo. Un esempio di decadimento $\beta ^{+}$ è il decadimento del radionuclide fluoro-18 nel nuclide stabile ossigeno-18, che segue questo schema:

    $_{9}^{18}{\hbox{F}}\rightarrow_{8}^{18}{\hbox{O}}+e^{+}+{\nu }_{e}.$

### Cattura elettronica

È caratterizzata dalla cattura di un elettrone da parte del nucleo, con conseguente emissione di un neutrino monoenergetico secondo lo schema

    $A(Z,N)+e^{-}\;\to \;A(Z-1,N+1)+{\nu }_{e}.$

Nonostante non sia un processo di decadimento, esso è un processo di stabilizzazione degli atomi più comune rispetto al decadimento $\beta ^{+}$.

**Condizioni energetiche**

Applicando il principio di conservazione dell'energia alle masse ed energie in gioco nel decadimento, è possibile scrivere che

    $M(A,Z)+m_{e}=M(A,Z-1)+T_{A}+E_{{\nu }_{e}}$

dove:

* $M(A,Z)$ e $M(A,Z-1)$ sono le masse rispettivamente del nucleo padre e del nucleo figlio
* $T_{A}$ è l'energia cinetica del nucleo
* $E_{{\nu }_{e}}$ è l'energia del neutrino emesso.

Spostando, come nei casi precedenti, le masse a sinistra e le energie a destra, si ottiene la relazione: $Q_{CE}=M(A,Z)-M(A,Z-1)+m_{e}=Q_{\beta ^{+}}+2m_{e}=T_{A}+E_{{\nu }_{e}}>0.$

Questo vuol dire che la cattura elettronica è favorita, rispetto al decadimento $β^+,$ dell'equivalente energetico di 2 masse elettroniche, cioè di 1022 keV.

Nel seguito, si parlerà solo del decadimento $\beta ^{-}$, il più frequente, al punto che spesso ci riferisce ad esso con il solo nome di decadimento $\beta$. Tuttavia, gli stessi ragionamenti, con le dovute modifiche, valgono anche nel caso del decadimento $\beta ^{+}$ e, in alcuni casi, anche per la cattura elettronica. Dato che i neutrini interagiscono debolmente con la materia, quando Marie Curie osservò per la prima volta questo tipo di decadimento, lo associò alla sola emissione di un elettrone; fu Enrico Fermi che, seguendo un'idea di Wolfgang Pauli, che tentava di risolvere un'apparente contraddizione fra i risultati sperimentali ed il principio di conservazione dell'energia, inglobò nella teoria il neutrino.

## La legge di conservazione dell'energia

Il problema è abbastanza complesso e si cercherà di trattarlo in maniera qualitativa. Il decadimento che si osserva è quello del neutrone, che apparentemente dovrebbe decadere in un protone ed in un elettrone:

    $n\;\to \;p+e^{-}$

In questo caso, lo spettro dell'elettrone uscente dovrebbe essere una riga, poiché:

    $m_ec^2$ (0,5 MeV) « $m_pc^2$ (938,3 MeV) ≈ $m_nc^2$ (939,6 MeV)

Supponendo che il neutrone sia fermo, si può ragionevolmente ritenere che anche il protone creato sia immobile; perciò, l'unica particella a muoversi è l'elettrone. Quindi, per la conservazione dell'energia, si ha:

    $m_{n}c^{2}=E_{p}+E_{e}$

con

    $E_{p}={\sqrt {m_{p}^{2}c^{4}+p_{p}^{2}c^{2}}}$
    $E_{e}={\sqrt {m_{e}^{2}c^{4}+p_{e}^{2}c^{2}}}$

Trascurando il rinculo del protone, si ha:

    $m_{n}c^{2}\sim m_{p}c^{2}+{\sqrt {m_{e}^{2}c^{4}+p_{e}^{2}c^{2}}}$

dove l'unica incognita è l'impulso dell'elettrone e quindi lo spettro risulta una riga (in pratica si sarebbe dovuto osservare un picco).

Sperimentalmente, però, si osserva qualcosa di diverso: uno spettro completo che parte da 0 per salire fino a raggiungere un massimo che dipende dall'energia liberata dal decadimento (e che può andare dai $2,6keV$ del $_{75}^{187}{\hbox{Re}}$ ai $20MeV$) e quindi ritornare ad annullarsi in corrispondenza di un valore massimo che è circa 5 volte e mezza la massa dell'elettrone.

Questo risultato portò enorme scompiglio nella comunità scientifica. Il primo a dare una motivazione fu Bohr, che suggerì la presenza di una violazione nella conservazione dell'energia. In realtà sia Fermi sia Pauli ritenevano che il decadimento non fosse a due corpi, come osservato, ma a tre; supponevano infatti che tra i prodotti della reazione ci fosse una terza particella, piccolissima, di carica neutra e non rilevabile con le strumentazioni usuali: il neutrino.

La reazione, allora, deve essere corretta nel modo seguente:

    $n\rightarrow p+e^{-}+{\bar {\nu }}$

mentre la conservazione dell'energia diventa:

    $m_{n}c^{2}\sim m_{p}c^{2}+{\sqrt {m_{e}^{2}c^{4}+p_{e}^{2}c^{2}}}+p_{\nu }c$

dove si trascura la massa del neutrino.

Appare evidente come, in questo caso, le variabili siano due e viene pertanto ovviamente spiegato lo spettro osservato come di un processo a tre e non a due corpi. Tra l'altro, ponendo nullo l'impulso del neutrino, si riesce a calcolare l'impulso massimo dell'elettrone, che risulta coerente con il valore sperimentalmente trovato.

Il decadimento $\beta$ è esotermico: avviene, cioè, spontaneamente, senza necessità di energia esterna per attivarsi. La vita media del neutrone è ${\tau }_{n}=887s$, e, ovviamente, si riferisce al neutrone libero: esso, infatti, all'interno del nucleo atomico, è assolutamente stabile.

## Stima della rapidità di decadimento e della costante d'accoppiamento debole

Il numero di elettroni che si misurano nel decadimento $\beta$ può essere teoricamente stimato calcolando la rapidità del decadimento stesso. Si parte dalla regola d'oro di Fermi:

    $w_{i\rightarrow f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle i|V|f\rangle \right|^{2}\delta \left(E_{f}-E_{i}\right)$

dove $E_f$ è l'energia finale ed $E_i$ quella iniziale, mentre h è la costante di Planck.

L'elemento di matrice per l'interazione debole, posto $g_{\beta }$ il potenziale, è:

    ${\begin{aligned}\langle i|V|f\rangle &\cong g_{\beta }\int _{V}\operatorname {d} ^{3}r{\bar {u}}_{n}(r)u_{p}(r){\frac {\operatorname {e} ^{i{\frac {p_{e}\cdot r}{\hbar }}}}{L^{\frac {3}{2}}}}{\frac {\operatorname {e} ^{i{\frac {p_{\nu }\cdot r}{\hbar }}}}{L^{\frac {3}{2}}}}\\&\cong {\frac {g_{\beta }}{L^{3}}}\int _{V}\operatorname {d} ^{3}r{\bar {u}}_{n}u_{p}\\&\cong {\frac {g_{\beta }}{L^{3}}}\end{aligned}}$

e questo perché, poiché protoni e neutroni sono praticamente immobili e lo spazio a loro disposizione è dell'ordine del fermi, è necessario che r sia inferiore alla lunghezza d'onda Compton del protone:

    $r<{\frac {\hbar }{m_{p}c}}$

e poiché l'impulso dell'elettrone è di molto inferiore alla massa del protone in energia $(m_pc^2)$ è facile vedere che

    ${\frac {p_{e}r}{\hbar }}\ll 1$

Ora, il modo migliore per stimare la costante d'accoppiamento debole, è confrontarla con quella elettromagnetica, e quindi si scriverà:

    $g_{\beta }=f_{\beta }^{2}\left({\frac {\hbar }{m_{p}c}}\right)^{2}$

Poiché il numero di stati finali è

    ${\frac {V}{(2\pi \hbar )^{3}}}\operatorname {d} ^{3}p_{e}{\frac {V}{(2\pi \hbar )^{3}}}\operatorname {d} ^{3}p_{\nu }={\frac {V^{2}}{c(2\pi \hbar )^{6}}}p_{e}^{2}\operatorname {d} p_{e}\operatorname {d} \Omega _{e}p_{\nu }^{2}\operatorname {d} E_{f}\operatorname {\Omega } _{\nu }$

dove c è la velocità della luce e $Ω_e$ e $Ω_ν$ sono gli angoli solidi rispettivamente di elettrone e neutrino uscenti.

Poiché la rapidità è definita dall'integrale della $w_{fi}$ sugli stati finali

    $\Gamma =\int w_{fi}{\frac {V}{(2\pi \hbar )^{3}}}\operatorname {d} ^{3}p_{e}{\frac {V}{(2\pi \hbar )^{3}}}\operatorname {d} ^{3}p_{\nu }$

il numero di elettroni rilevati sarà

    ${\frac {\operatorname {d} \Gamma }{\operatorname {d} p_{e}}}={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\left({\frac {f_{\beta }}{\hbar c}}\right)^{2}\left({\frac {m_{p}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}{\frac {p_{e}^{2}p_{\nu }^{2}}{\left(m_{p}c\right)^{5}}}\sim p_{e}^{2}\left({\sqrt {p_{emax}^{2}+m_{e}^{2}c^{2}}}-{\sqrt {p_{e}^{2}+m_{e}^{2}c^{2}}}\right)$

dove

    $p_{\nu }=p_{e}^{2}\left({\sqrt {p_{emax}^{2}+m_{e}^{2}c^{2}}}-{\sqrt {p_{e}^{2}+m_{e}^{2}c^{2}}}\right)$

e la funzione trovata è compatibile con lo spettro sperimentale rilevato (il calcolo, però, non è perfetto in quanto si sarebbe dovuto integrare anche sull'angolo solido, ma per questo studio qualitativo si è interessati solo a stime di ordine di grandezza).

Alla fine, comunque, la rapidità di transizione sarà una costante moltiplicata per l'integrale del prodotto degli impulsi al quadrato di elettrone e protone, valutabile come una potenza 5 della massa dell'elettrone:

    $\int \operatorname {d} p_{e}p_{e}^{2}p_{\nu }^{2}=\left(m_{e}c\right)^{5}$

ottenendo

    $\Gamma ={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\left({\frac {f_{\beta }}{\hbar c}}\right)^{2}\left({\frac {m_{p}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\left({\frac {m_{e}}{m_{p}}}\right)^{5}$

In questa equazione si conosce tutto, a parte $f_{\beta }$, la costante d'accoppiamento debole (la rapidità, infatti, è l'inverso della vita media) e sostituendo i valori di tutte le costanti si ottiene:

    ${\frac {f_{\beta }}{\hbar c}}=10^{-7}$

che è cinque ordini di grandezza inferiore rispetto a quella elettromagnetica:

    ${\frac {e^{2}}{\hbar c}}\cong 10^{-2}$.
