Somma di Minkowski
# Somma di Minkowski

In geometria la somma di Minkowski di due insiemi di punti $A$ e $B$ in uno spazio vettoriale è l'insieme dei punti ottenuti addizionando gli elementi di $A$ con quelli di $B$. Se lo spazio vettoriale è il piano o lo spazio euclideo, la somma è un'operazione binaria tra due forme geometriche.

Questa operazione (chiamata anche dilatazione di A da parte di B) prende il nome dal matematico tedesco Hermann Minkowski, che per primo la definì, e trova applicazione nell'elaborazione e nell'analisi morfologica delle immagini (riduzione del rumore ed estrazione di forme).

## Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$ e due suoi sottoinsiemi $A$ e $B$, la somma di Minkowski è l'insieme così definito:

    $A+B:=\{\mathbf {a} +\mathbf {b} \ |\mathbf {a} \in A\,,\mathbf {b} \in B\}.$

## Esempi

### Insiemi finiti di punti

Dati due 2-simplessi (cioè due triangoli) individuati dai vertici come

    {(1, 0), (0, 1), (0, -1)}

e

    {(0, 0), (1, 1), (1, -1)} ,

la somma di Minkowski deve contenere tutti i punti ottenibili sommando coppie di vertici, cioè i punti

    {(1, 0), (2, 1), (2, -1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, -1), (1, 0), (1, -2)},

e tutti i punti ottenibili come combinazioni convesse dei precedenti, cioè tutti i punti dell'esagono convesso che ha come vertici i punti

    (0,1), (1,2), (2,1), (2,-1), (1,-2), (0,-1) .

| A | B | Insieme somma A + B |
| - | - | - |

### Insiemi continui di punti

Siano dati due quadrati di lato 1, così definiti:

    $Q_{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0\leq x\leq 1,\,0\leq y\leq 1\right\}$
    $Q_{2}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 1\leq x\leq 2,\,1\leq y\leq 2\right\}$.

Si verifica facilmente che la somma $Q_{3}=Q_{1}+Q_{2}$ è definita da:

    $Q_{3}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 1\leq x\leq 3,\,1\leq y\leq 3\right\}$.

Se invece dei quadrati pieni, si prende solo il bordo di $Q_{1}$ o $Q_{2}$ (o di entrambi), la somma di Minkowski dà sempre il quadrato pieno $Q_{3}$ (infatti ogni punto interno si può ottenere come somma di un punto su un lato orizzontale con un punto un lato verticale).

## Proprietà

Per la somma di Minkowski si possono dimostrare numerose proprietà; di seguito ne vengono riportate alcune, raggruppate per tipologia; il primo gruppo è relativo alle caratteristiche algebriche dell'operazione:

* la somma è associativa;
* la somma è commutativa;
* l'elemento neutro è l'insieme $\{\mathbf {0} \}$ costituito dalla sola origine;
* in generale non esiste l'inverso di un elemento.

Tra le proprietà geometriche possiamo invece annoverare le seguenti:

* se entrambi gli addendi sono sottospazi vettoriali dello spazio ambiente lo è anche la loro somma;
* se uno dei due addendi è traslato, lo è anche la somma;
* se l'origine viene spostata, la somma viene traslata nella direzione opposta con la stessa intensità;
* il perimetro della somma di due figure è uguale alla somma dei loro perimetri.

Infine, in alcuni casi particolari è possibile prevedere la forma della somma sulla base della forma degli addendi:

* se i due addendi sono convessi, lo è anche la loro somma;
* la somma di una figura e della sua simmetrica rispetto all'origine ha simmetria centrale;
* se $X=B(\mathbf {x} ,r)$ è la palla di centro $\mathbf {x}$ e raggio $r$, $Y=B(\mathbf {y} ,s)$ è la palla di centro $\mathbf {y}$ e raggio $s$, la somma vale $X+Y=B(\mathbf {x} +\mathbf {y} ,r+s)$.

## Altre operazioni

Partendo dalla somma di Minkowski è possibile definire numerose operazioni derivate.

### Sottrazione

Anche se la somma di Minkowski non possiede un elemento inverso, è tuttavia possibile definire un'operazione con caratteristiche simili.

Dato $y\in Y$, definiamo

    $X+y=X+\left\{y\right\}$

che è la traslazione di X in direzione y.

La somma si può allora scrivere

    $X+Y=\bigcup _{y\in Y}\left(X+y\right)$.

La sottrazione di Minkowski, o erosione, è allora definita come

    $X-Y=\bigcap _{y\in Y}\left(X-y\right)$

che può essere anche scritto come

    $X-Y=\{z:(Y+z)\subseteq X\}$.

Questa operazione è invariantiva nel senso che

    $(X+z)-(Y+z)=X-Y$.

### Chiusura e apertura

Dilatazione ed erosione non sono inverse una dell'altra; è pertanto possibile definire le due seguenti operazioni non banali:

* chiusura: $C(X,Y)=(X+Y)-Y$;
* apertura: $O(X,Y)=(X-Y)+Y$.

Se $Y$ è un cerchio, l'operazione di apertura corrisponde alla figura generata dal cerchio rotolando all'interno di $X$, quella di apertura al rotolare del cerchio all'esterno di $X$. In entrambi i casi si ottiene uno smussamento degli angoli di $X$.

## Applicazioni

L'addizione di Minkowski gioca un ruolo centrale nella morfologia matematica. Questo interviene nel paradigma di pennello e aste della computer grafica 2D (introdotto da Donald E. Knuth per il sistema di definizione di caratteri tipografici METAFONT), e si conforma all'operazione di movimento solido della computer grafica 3D.

L'addizione di Minkowski viene inoltre utilizzata in uno stadio della dimostrazione del teorema di Minkowski, nella forma particolare

    $\mathbf {C} +_{Mnk}\mathbf {C} =2\mathbf {C}$

per un insieme convesso simmetrico C che contiene 0, dove il membro sinistro denota la somma di Minkowski e il membro destro il suo ampliamento per un'omotetia di un fattore 2.

Questa operazione è qualche volta chiamata la convoluzione di due insiemi. Si tratta di una dizione piuttosto inappropriata: la effettiva convoluzione delle funzioni indicatrici degli insiemi infatti è una funzione con lo stesso supporto della somma di Minkowski.

