Partizione dell'unità
# Partizione dell'unità

In topologia, una partizione dell'unità relativa ad uno spazio topologico $X$ è una famiglia di funzioni continue $\lambda _{i}:X\to \mathbb {R}$ che soddisfino le seguenti proprietà:

* $0\leq \lambda _{i}(x)\leq 1$ per ogni $i$
* in ogni punto, solo un numero finito di funzioni ha valore non nullo
* la somma di tutte queste funzioni è identicamente uno:

    $\sum _{i\in I}\lambda _{i}(x)=1$

Questa somma è finita in ogni punto (e quindi la definizione è indipendente dal concetto di somma infinita) per la condizione precedente.

L'esistenza di una partizione dell'unità è spesso data in relazione ad un particolare ricoprimento: si dice che la partizione è subordinata al ricoprimento $U_{i}$ di $X$ se il supporto di $\lambda _{i}$ è contenuto in $U_{i}$ per ogni indice $i$.

Nel contesto della geometria differenziale si aggiunge la richiesta della liscezza delle funzioni $\lambda _{i}$: in questo caso per distinguere si parla di partizione differenziabile dell'unità.

La paracompattezza dello spazio è una condizione necessaria all'esistenza di una partizione dell'unità. A seconda del contesto, può anche essere sufficiente.

