Sommazione per parti
# Sommazione per parti

In matematica, la sommazione per parti, anche chiamata trasformazione (o lemma) di Abel, è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di convergenza.

## Enunciato del lemma

Siano $\{a_{n}\}$ e $\{b_{n}\}$ due successioni, e sia

    $A_{n}=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}}$

la somma parziale $n$-esima di $\{a_{n}\}$, e si ponga $A_{-1}=0$. Vale allora l'eguaglianza:

    $\sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}$.

Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore differenza in avanti $\Delta {b_{n}}:=b_{n+1}-b_{n}$:

    $\sum _{i=m}^{n}{b_{i}\Delta {A_{i-1}}}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}-\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}\Delta {b_{i}}}$,

che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di integrazione per parti:

    $\int _{a}^{b}{f(x)d(g(x))}=g(b)f(b)-g(a)f(a)-\int _{a}^{b}{g(x)d(f(x))}$.

## Dimostrazione

La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque campo. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno spazio vettoriale sul campo ${\mathcal {K}}$, e l'altra in ${\mathcal {K}}$.

Per la definizione di $\{A_{n}\}$, si ha:

    $\sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{(A_{i}-A_{i-1})b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{A_{i}b_{i}}-\sum _{i=m-1}^{n-1}{A_{i}b_{i+1}}=$
    $=\left(A_{n}b_{n}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}b_{i}}\right)-\left(\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}b_{i+1}}+A_{m-1}b_{m}\right)=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}$,

cioè la tesi, Q.E.D.

## Teoremi derivati

### Criterio di Dirichlet per le serie

Il lemma di Abel viene usato per provare il criterio di Dirichlet per la convergenza di serie.

### Criterio di Leibniz per le serie

Il criterio di Leibniz può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.

