Paraboloide
# Paraboloide

In geometria un paraboloide è una quadrica, un tipo di superficie in uno spazio a tre dimensioni, descritta da un'equazione della forma:

    $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}={\frac {z}{c}}\ \quad$ (paraboloide ellittico)

o della forma

    $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}={\frac {z}{c}}\quad$ (paraboloide iperbolico).

Dove $a$ e $b$ rappresentano il grado di curvatura nel piano $xz$ e $yz,$ mentre $c$ rappresenta la direzione di apertura del paraboloide: verso l'alto per $c>0$ (per il paraboloide ellittico) e verso il basso lungo l'asse $x$ per $c<0$ (per il paraboloide iperbolico).

## Perché "ellittico" e "iperbolico"?

Il motivo di queste denominazioni è subito chiaro osservando le sezioni orizzontali delle due superfici:

* Paraboloide ellittico:
* Paraboloide iperbolico:

È evidente che nel primo caso la sezione è un'ellisse e nel secondo è un'iperbole. Algebricamente, intersecare una superficie con un piano orizzontale equivale a risolvere il sistema tra l'equazione che descrive la superficie e l'equazione $z=z_{0},$ dove $z_{0}$ è una costante. Se poniamo ad esempio

    $z=-{\frac {1}{2}}$

otteniamo:

    $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

che non è altro che l'equazione dell'ellisse. Variando il valore di $z$, ossia variando la posizione del piano orizzontale, si ottengono ellissi di dimensioni diverse.

Nel secondo caso (paraboloide iperbolico), la sezione retta è un'iperbole; infatti, ponendo anche in questo caso

    $z=-{\frac {1}{2}}$

abbiamo

    $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

che è proprio l'equazione di un'iperbole.

## Perché "paraboloide"

Il nome della superficie deriva dal fatto che le sue sezioni verticali sono appunto delle parabole.

Quando $a=b,$ un paraboloide ellittico viene detto paraboloide di rivoluzione, cioè una superficie ottenuta dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse. Questa superficie è anche chiamata paraboloide circolare.

Hanno la forma del paraboloide di rotazione i riflettori parabolici usati come specchi, come antenne piatte e per analoghi dispositivi, come le antenne paraboliche. La ragione di ciò è dovuta al fatto che una sorgente di luce collocata nel punto focale di un paraboloide di rotazione produce un fascio di luce parallelo all'asse della superficie, e viceversa un fascio di luce parallelo che incide su un paraboloide di rotazione nella direzione del suo asse si concentra nel suo punto focale: questi effetti si hanno naturalmente anche per onde elettromagnetiche con frequenze in intervalli diversi dal visibile.

Poiché le sorgenti luminose o elettromagnetiche sono così distanti da potere immaginare che i fasci d'onda siano paralleli, se ne deduce che la forma a paraboloide di rotazione permette di "catturare" una maggior quantità di informazione e farla convergere in un unico punto.

