Numero di Wilson
# Numero di Wilson

Un primo di Wilson, che prende il nome dal matematico inglese John Wilson, è un numero primo p tale che $p^2$ divide (p − 1)! + 1, dove il simbolo ! indica la funzione fattoriale; si confronti questo risultato con le asserzioni del teorema di Wilson, il quale afferma che ogni numero primo p divide (p − 1)! + 1.

Gli unici numeri primi di Wilson conosciuti sono 5, 13 e 563; se ne esistono altri devono essere maggiori di $2\cdot 10^{13}$. È stato congetturato che esistano infiniti primi di Wilson, e che il loro numero in un dato intervallo [x, y] sia circa uguale a $\log \left({\frac {\log x}{\log y}}\right)$.

Nella speranza di trovare nuovi primi di Wilson sono state svolte diverse ricerche attraverso computer. Il progetto di calcolo distribuito Ibercivis include una ricerca dei primi di Wilson. Un'altra ricerca è svolta al mersenneforum.

## Generalizzazioni

### Primi di Wilson di ordine n

Il teorema di Wilson può essere espresso in generale come ${\displaystyle (n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}}$ per ogni intero $n\geq 1$ e primo $p\geq n$. I primi di Wilson generalizzati di ordine $n$ sono i primi $p$ tali che $p^{2}$ divida $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$.

È stato congetturato che per ogni numero naturale $n$ esistano infiniti primi di Wilson di ordine $n$.

| $n$ | primi $p$ tali che $p^{2}$ divida $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ (fino a 10000) |
| - | - |
| 1 | 5, 13, 563, ... |
| 2 | 2, 3, 11, 107, 4931, ... |
| 3 | 7, ... |
| 4 | 10429, ... |
| 5 | 5, 7, 47, ... |
| 6 | 11, ... |
| 7 | 17, ... |
| 8 | ... |
| 9 | 541, ... |
| 10 | 11, 1109, ... |
| 11 | 17, 2713, ... |
| 12 | ... |
| 13 | 13, ... |
| 14 | ... |
| 15 | 349, ... |
| 16 | 31, ... |
| 17 | 61, 251, 479, ... |
| 18 | 13151527, ... |
| 19 | 71, ... |
| 20 | 59, 499, ... |
| 21 | 217369, ... |
| 22 | ... |
| 23 | ... |
| 24 | 47, 3163, ... |
| 25 | ... |
| 26 | 97579, ... |
| 27 | 53, ... |
| 28 | 347, ... |
| 29 | ... |
| 30 | 137, 1109, 5179, ... |

### Numeri di Wilson

Un numero di Wilson è un numero naturale $n$ tale che $W(n)\equiv 0{\bmod {n}}^{2}$ dove ${\displaystyle W(n)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k}+e}$ , e dove $e=1$ se $n$ ha una radice primitiva, altrimenti $e=-1$. Per ogni numero naturale $n$, $W(n)$è divisibile per $n$. I numeri di Wilson sono

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ...

Se un numero di Wilson $n$ è primo, allora è considerato un primo di Wilson. Ci sono 13 numeri di Wilson fino a $5\cdot 10^{8}$.

