Forme di Chern-Simons
# Forme di Chern-Simons

In matematica, le forme di Chern-Simons sono certe classi caratteristiche secondarie. Sono sembrate utili nella teoria di gauge, e (soprattutto la terza forma) costituiscono il fondamento della teoria di Chern-Simons che deve il suo nome ai due autori Shiing-Shen Chern e James Harris Simons.

## Definizione

Data una varietà di 1-forma A a valori in un'algebra di Lie, si può definire una famiglia di p-forme:

In una dimensione, la 1-forma di Chern-Simons viene data da:

    $Tr[\mathbf {A} ]$.

In tre dimensioni, la 3-forma di Chern-Simons viene data da:

    $Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} ]$.

In cinque dimensioni, la 5-forma di Chern-Simons viene data da:

    $Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} ]$

dove si definisce la curvatura come:

    $\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$.

La forma generale di Chern-Simons $ω_{2k-1}$ si definisce in maniera tale che $dω_{2k-1}$ = Tr $(F^k)$ dove si utilizza per definire $F^k$ il prodotto wedge.

Vedere la teoria di gauge per maggiori dettagli.

In generale, la p-forma di Chern-Simons si definisce per ogni p dispari. Vedere la teoria di gauge per le definizioni. Il suo integrale su una varietà p-dimensionale è un invariante di omotopia. Questo valore si chiama numero di Chern.

