Germe di funzione
# Germe di funzione

In matematica, un germe di funzione (continua, differenziabile o analitica) è una classe di equivalenza di funzioni (continue. differenziabili o analitiche) da uno spazio topologico a un altro (spesso dalla retta reale a se stessa), raggruppate insieme sulla base della loro uguaglianza sull'intorno di un punto fissato sul loro dominio di definizione. Allo stesso modo, un germe di insiemi è una classe di equivalenza di sottoinsiemi di un dato spazio topologico, raggruppati insieme sulla base della loro uguaglianza sull'intorno di un punto fissato appartenente alla loro intersezione.

## Definizione formale

Due funzioni $f$ e $g$ tra lo stesso spazio topologico $X$ e un insieme $Y$ si dicono equivalenti vicino a un punto $x$ nel loro dominio, se esiste un intorno aperto $U$ di $x$ in $X$ su cui coincidono, cioè

    $f(x')=g(x')\quad \forall x'\in U\iff f|_{U}=g|_{U}\iff f\sim _{x}g.$

Questa è una relazione di equivalenza sullo spazio $Y^{X}={\mbox{Hom}}(X,Y)$ delle mappe tra $X$ e $Y$. Per la dimostrazione, è sufficiente notare che l'uguaglianza è usata nella sua definizione: allora la riflessività e la simmetria sono conseguenze immediate. Per la transitività, date le funzioni $f,g,h$ tali che $f=g$ su $U$ e $g=h$ su $V$, allora $f=g=h$ su $U$ ∩ $V$.

Le singole classi di equivalenza si dicono germi di funzioni nel punto $x$ e saranno della forma

    $[f]_{x}=\left\{g\in Y^{X}\mid f\sim _{x}g\right\}.$

Lo spazio dei germi di funzioni si dice una fibra di funzioni in $x$.

