Regola della funzione inversa
# Regola della funzione inversa

In analisi matematica, la regola della funzione inversa è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione inversa di una funzione derivabile, quando essa esiste, anche senza conoscerne l'equazione.

## Definizione

Se definita, la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione calcolata nella controimmagine del punto. Più precisamente, se $f\colon D\to \mathbb {R}$ è una funzione invertibile, se $x_{0}\in {\rm {Int}}(D)$, se $f^{-1}(y)$ è continua nel punto $y_{0}$ e se esiste $f'(x_{0})\neq 0$, allora $f^{-1}(y)$ è derivabile in $y_{0}=f(x_{0})$ e vale:

    $D[f^{-1}](y_{0})={1 \over f'(x_{0})},$

dove $D[f^{-1}]$ e $f'$ sono notazioni che indicano la derivata e ${\rm {Int}}(D)$ indica la parte interna di $D.$

Per l'esistenza della funzione inversa è sufficiente che la funzione sia strettamente monotona nel suo dominio. Per la continuità della funzione inversa è sufficiente supporre che la funzione sia strettamente monotona su un intervallo.

La richiesta $f'(x_{0})\neq 0$ è necessaria per garantire che l'espressione sia ben definita. Basti pensare, ad esempio, alla funzione $f(x)=x^{3}.$ La funzione è monotona strettamente crescente, ma la sua inversa non è derivabile in $x_{0}=0.$

Anche la richiesta che $f^{-1}(y)$ sia continua nel punto $y_{0}$ è necessaria. È infatti possibile (ma la costruzione non è semplicissima) costruire un esempio di una funzione $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ invertibile e con derivata in $0$ uguale a $1$, la cui inversa nel punto $f(0)$ non è continua (e quindi neppure derivabile).

## Dimostrazione

Poniamo $y=f(x)$ e rispettivamente $y_{0}=f(x_{0})$ per semplicità. Allora:

    $D[f^{-1}](y_{0})=\lim _{y\to y_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0}) \over y-y_{0}}$
    $D[f^{-1}](y_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{x-x_{0} \over f(x)-f(x_{0})}$
    $D[f^{-1}](y_{0})={1 \over f'(x_{0})}={1 \over f'(f^{-1}(y_{0}))}.$

## Esempio

Sia $f(x)=\tan(x)$, con $|x|<{\pi \over 2}$. Dunque $f^{-1}(y)=\arctan(y)$ e $D[\arctan(y)]={1 \over D[\tan(x)]}={1 \over 1+(\tan x)^{2}}={1 \over 1+y^{2}}$.

