Assorbimento (ottica)
# Assorbimento (ottica)

In fisica, l'assorbimento è la capacità di un materiale di assorbire l'energia associata alla radiazione elettromagnetica che si propaga all'interno di esso. Si tratta dell'energia dei fotoni che viene ceduta agli elettroni, atomi e molecole del materiale. L'energia del campo elettromagnetico si trasforma in questo modo in energia interna del materiale, come ad esempio la sua energia termica. Solitamente l'intensità dell'onda elettromagnetica non influisce sull'assorbimento (in caso contrario si parla di assorbimento non lineare), e la sua riduzione è anche detta attenuazione.

## Descrizione

L'assorbimento dipende sia dalla natura del materiale, sia dalla frequenza della radiazione. Pertanto, l'assorbimento di un materiale è spesso utilizzato per conoscere la natura del materiale stesso: il suo spettro di assorbimento indica le frequenze che vengono assorbite e consente, in linea di massima, l'identificazione degli atomi e delle molecole che lo compongono. Un caso importante nell'assorbimento di radiazione è il corpo nero, in cui la radiazione incidente è completamente assorbita (e non vi è riflessione).

Esistono diverse grandezze utilizzate per quantificare l'assorbimento della radiazione:

* Il coefficiente di assorbimento e altre grandezze strettamente legate ad esso, come la assorbività molare, il coefficiente di attenuazione di massa, l'estinzione (in astronomia) e la sezione d'urto di assorbimento.
* L'effetto pelle e la profondità di penetrazione della radiazione nel materiale.
* La costante di propagazione ed il numero d'onda complesso.
* L'indice di rifrazione.
* La permittività elettrica.
* La resistività elettrica e la conduttività elettrica.
* L'assorbanza.

## Descrizione microscopica

Secondo la meccanica quantistica, l'energia delle particelle costituenti la materia è quantizzata, cioè può assumere solo certi valori discreti. La variazione dell'energia di elettroni, atomi e molecole produce fenomeni caratteristici per ogni sostanza, poiché ad ogni sistema molecolare è associata una distribuzione caratteristica dei livelli energetici. L'assorbimento di una determinata radiazione è quindi specifico per ogni sostanza e dà luogo ad un caratteristico spettro di assorbimento.

In condizioni normali una particella si trova nello stato di minima energia. Quando una radiazione colpisce una particella, se l'energia dei fotoni è uguale alla differenza fra l'energia dello stato eccitato della particella e quella di uno stato fondamentale, la radiazione viene assorbita e la particella passa dallo stato fondamentale a quello eccitato. Se si considera per semplicità un elettrone, e si suppone che possa trovarsi in diversi livelli energetici possibili, per passare da un livello $E_{1}$ ad uno ad energia superiore $E_{2}$ esso ha bisogno di assorbire una quantità di energia esattamente pari a:

    $E_{a}=E_{2}-E_{1}$

Dal momento che l'energia associata alla radiazione elettromagnetica è definita dalla relazione di Planck:

    $E=h\nu$

dove $\nu$ è la frequenza della radiazione elettromagnetica, se la lunghezza d'onda della radiazione è tale che $E=E_{a}$ allora la radiazione viene assorbita e l'elettrone passa allo stato eccitato.

La quantità di luce che viene assorbita è funzione di numerose variabili. Per le sostanze assorbenti in soluzione a bassa concentrazione è stata ricavata la cosiddetta legge di Lambert-Beer, che mette in relazione l'assorbanza $A$ con la concentrazione della sostanza assorbente:

    $A=\epsilon bc$

dove $b$ è il cammino ottico, cioè la lunghezza del percorso eseguito dalla luce nella soluzione contenente la sostanza assorbente, $c$ la concentrazione di tale sostanza, ed $\epsilon$ un parametro caratteristico della sostanza per la lunghezza d'onda esaminata.

Dal punto di vista fenomenologico le capacità della materia di assorbire o emettere radiazione vengono descritte attraverso coefficienti di assorbimento o di emissione. Sia l'assorbimento che l'emissione dipendono oltre che dalla natura anche dalla quantità della materia attraversata, cioè dalla quantità di materia per unità di superficie.

## Indice di rifrazione e numero d'onda

La radiazione luminosa viaggia alla massima velocità, detta velocità della luce, quando si trova nel vuoto: l'indice di rifrazione è il rapporto tra la velocità nel vuoto e la velocità nel mezzo. Solitamente è indicato con $n$, e denotando con $v$ la velocità di propagazione nel materiale:

    $n={\frac {c}{v}}$

dove $c$ è la velocità della luce. L'indice di rifrazione dipende in generale dalla frequenza della radiazione, e si tratta di un numero complesso strettamente legato alla permittività elettrica. In tutti i sistemi reali l'indice di rifrazione varia con la frequenza dell'onda incidente, e per la legge di Snell a frequenze diverse corrispondono angoli di rifrazione diversi. Un esempio ben noto di questo fenomeno è il fatto che la luce bianca (contenente tutte le componenti spettrali) viene scomposta da un prisma.

Si consideri un'onda elettromagnetica piana monocromatica, che scritta in funzione del campo elettrico $\mathbf {E}$ ha la forma:

    $\mathbf {E} (z,t)=\mathrm {Re} (\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)})$

dove $\mathbf {E} _{0}$ è l'ampiezza e $\omega$ è la frequenza angolare dell'onda.

Il vettore d'onda è $\mathbf {k} =k{\hat {\mathbf {z} }}$, con ${\hat {\mathbf {z} }}$ la direzione di propagazione e $k$ il numero d'onda:

    $k={\frac {2\pi n}{\lambda _{0}}}$

in cui il numero:

    $\lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }}$

è la lunghezza d'onda della radiazione quando si propaga nel vuoto. La lunghezza d'onda nel materiale e l'indice di rifrazione in assenza di assorbimento sono dati da:

    $\lambda ={\frac {2\pi }{k}}\qquad n={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}={\frac {ck}{\omega }}={\frac {c}{v_{p}}}$

dove $v_{p}$ è la velocità di fase, cioè la velocità alla quale si propagano le creste dell'onda.

Quando un materiale presenta assorbimento non è più possibile descrivere l'indice di rifrazione tramite un numero reale, ed è necessario definire un indice di rifrazione complesso:

    ${\tilde {n}}=n-i\kappa$

dove $\kappa$ quantifica l'assorbimento del materiale, mentre la parte reale è $n=c/v_{p}$. Le quantità $n$ e $\kappa$ sono legate dalla relazione di Kramers-Kronig. Anche il numero d'onda è in tal caso un numero complesso ${\tilde {k}}$:

    $\mathrm {Re} ({\tilde {k}})=k={\tfrac {2\pi n}{\lambda _{0}}}\qquad {\tilde {n}}={\frac {c{\tilde {k}}}{\omega }}$

Per mostrare che $\kappa$ quantifica l'assorbimento dell'energia del campo è sufficiente inserire ${\tilde {n}}$ oppure ${\tilde {k}}$ nell'espressione $\mathbf {E} (z,t)$ dell'onda:

    $\mathbf {E} (z,t)=\mathrm {Re} (\mathbf {E} _{0}e^{i({\tilde {k}}z-\omega t)})=\mathrm {Re} (\mathbf {E} _{0}e^{i(2\pi (n+i\kappa )z/\lambda _{0}-\omega t)})=e^{-2\pi \kappa z/\lambda _{0}}\mathrm {Re} (\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)})=e^{-\alpha _{abs}z/2}\mathrm {Re} (\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)})$

dove $\alpha _{abs}$ è il coefficiente di assorbimento, e si nota che $\kappa$ fornisce un decadimento esponenziale, come previsto dalla Legge di Lambert-Beer. L'intensità dell'onda è proporzionale al quadrato dell'ampiezza del campo, e considerando il secondo e l'ultimo termine della precedente relazione:

    $I(z)\propto |e^{-\alpha _{abs}z/2}\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-\alpha _{abs}z}\qquad I(z)\propto |\mathbf {E} _{0}e^{i({\tilde {k}}z-\omega t)}|^{2}$

ovvero:

    $I(z)=I_{0}e^{-\alpha _{abs}z}\qquad I(z)=I_{0}e^{-2z\mathrm {Im} ({\tilde {k}})}$

da cui:

    $\mathrm {Im} ({\tilde {k}})=\alpha _{abs}/2\qquad \mathrm {Re} ({\tilde {k}})=k$

Inoltre, poiché ${\tilde {n}}=c{\tilde {k}}/\omega$, l'onda si può scrivere anche come:

    $\mathbf {E} (z,t)=\mathrm {Re} (\mathbf {E} _{0}e^{i\omega (({\tilde {n}}z/c)-t)})$

e per quanto detto si ha:

    $\mathrm {Re} ({\tilde {n}})={\frac {ck}{\omega }}\qquad \mathrm {Im} ({\tilde {n}})={\frac {c\alpha _{abs}}{2\omega }}={\frac {\lambda _{0}\alpha _{abs}}{4\pi }}$

dove la parte immaginaria è detta talvolta coefficiente di estinzione.

### Costante di propagazione

Talvolta si utilizza la costante di propagazione $\gamma$:

    $\mathbf {E} (z,t)=\mathrm {Re} (\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t})\qquad I(z)=I_{0}e^{-2z\mathrm {Re} (\gamma )}$

Confrontando le due relazioni si evince che:

    $\gamma ^{*}=-i{\tilde {k}}$

o, più precisamente:

    $\mathrm {Re} (\gamma )=\mathrm {Im} ({\tilde {k}})=\alpha _{abs}/2\qquad \mathrm {Im} (\gamma )=\mathrm {Re} ({\tilde {k}})=k$

La parte reale è detta costante di attenuazione, mentre la parte immaginaria è detta costante di fase.

In alcune condizioni particolari (ad esempio vicino a delle risonanze dell'assorbimento) è possibile che ${\tilde {n}}$ sia minore di 1. In questi casi la velocità di fase può essere superiore alla velocità della luce. Questo però non viola la relatività ristretta perché la velocità del segnale è la velocità di gruppo la quale rimane sempre inferiore a c.

## Permittività elettrica

La permittività elettrica quantifica la tendenza del materiale a contrastare l'intensità del campo elettrico presente al suo interno. Normalmente è indicata col simbolo $\varepsilon$, e il suo valore viene solitamente scritto come prodotto $\varepsilon =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}$ della permittività relativa $\varepsilon _{r}$ e della permettività del vuoto $\varepsilon _{0}$, detta anche costante dielettrica del vuoto. Per descrivere la sua dipendenza della frequenza del campo elettrico si utilizza una funzione complessa, attraverso la quale è possibile trattare la propagazione del campo elettromagnetico in mezzi dissipativi (cioè a conducibilità finita) o dispersivi. Quando si analizza la permittività dal punto di vista della frequenza del campo si nota che essa può presentare un comportamento anomalo in corrispondenza di certe lunghezze d'onda. Infatti, la parte immaginaria della permittività elettrica segue un andamento risonante in corrispondenza dei suoi poli, dove presenta uno o più picchi. In corrispondenza di questi picchi l'assorbimento da parte del materiale dell'energia posseduta dal campo è massimo.

Si consideri un dielettrico non ideale ed un campo elettrico oscillante con frequenza $\omega$, cioè dipendente dal tempo per mezzo di un fattore $e^{i\omega t}$, e si supponga vi siano $N$ molecole per unità di volume con $Z$ elettroni $e$ di massa $m$ ciascuna. Se per molecola vi sono $f_{j}$ elettroni legati da una forza armonica con frequenza $\omega _{j}$ e costante di smorzamento $\gamma _{j}$, l'espressione della permittività elettrica è la seguente:

    ${\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}=1+\chi =1+{\frac {Ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\sum _{j}{\frac {f_{j}}{\omega _{j}^{2}-\omega ^{2}-i\omega _{j}\gamma }}$

dove $\chi$ è la suscettività elettrica e:

    $\sum _{j}f_{j}=Z$

Si nota che nei materiali conduttori la frequenza $\omega =0$ è risonante. Il valore di $\varepsilon (\omega )$ è solitamente reale, eccetto nel range prossimo alle frequenze di risonanza, in cui la parte reale del denominatore si avvicina a zero.

Tale modello permette di distinguere due tipologie di dispersione: si definisce dispersione normale la dispersione in una regione dello spettro lontana dalle frequenze di risonanza, in cui la parte reale di $\varepsilon (\omega )$ aumenta al crescere di $\omega$, mentre si definisce dispersione anomala la dispersione in prossimità dalle frequenze di risonanza, in cui la parte reale di $\varepsilon (\omega )$ decresce al crescere di $\omega$. In tal caso la parte immaginaria $\Im (\varepsilon )$ di $\varepsilon (\omega )$ è significativa: tale fenomeno è detto assorbimento risonante.

Si verifica talvolta che $\Im (\varepsilon )<0$: in tal caso il materiale cede energia al campo, e tale fenomeno è sfruttato ad esempio nella realizzazione del laser.

La dipendenza della permittività elettrica dalla frequenza del campo è rilevante quando la relativa lunghezza d'onda ha lo stesso ordine di grandezza dell'ampiezza dell'oscillazione delle cariche. Una relazione generale che mette in relazione l'indice di rifrazione con la lunghezza d'onda della radiazione è l'equazione di Sellmeier, mentre la permittività elettrica e l'indice di rifrazione sono legati dalla relazione:

    ${\tilde {n}}=c{\sqrt {\mu \varepsilon }}$

dove $\mu$ è la permeabilità magnetica. Valgono inoltre le relazioni:

    $\mathrm {Re} (\varepsilon (\omega )/\varepsilon _{0})={\frac {c^{2}}{\omega ^{2}(\mu /\mu _{0})}}\left(k^{2}-{\frac {\alpha _{abs}^{2}}{4}}\right)$
    $\mathrm {Im} (\varepsilon (\omega )/\varepsilon _{0})={\frac {c^{2}}{\omega ^{2}(\mu /\mu _{0})}}(k\alpha _{abs})$

## Conduttività

Una delle equazioni che caratterizzano la propagazione di un'onda elettromagnetica è la Legge di Ampère:

    $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {d\mathbf {D} }{dt}}$

con $\mathbf {H}$ il campo magnetico, $\mathbf {D}$ l'induzione elettrica e $\mathbf {J}$ la densità di corrente. Utilizzando la legge di Ohm e la definizione di permittività:

    $\mathbf {D} =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E}$

si ha:

    $\nabla \times \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\varepsilon {\frac {d\mathbf {E} }{dt}}$

dove $\sigma$ è la conduttività, una grandezza reale ma dipendente dalla frequenza. Considerando la dipendenza sinusoidale dal tempo dei campi:

    $\mathbf {H} =\mathrm {Re} (\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t})\qquad \mathbf {E} =\mathrm {Re} (\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t})$

si ha:

    $\nabla \times \mathbf {H} _{0}=-i\omega \mathbf {E} _{0}\left(\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\right)$

Se $\mathbf {J}$ non è inclusa esplicitamente (attraverso la legge di Ohm) ma solo implicitamente (attraverso la permittività complessa), la quantità tra parentesi è la permittività, e dunque:

    $\varepsilon (\omega )=\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}$

Dai risultati mostrati in precedenza si mostra inoltre che:

    $\sigma ={\frac {k\alpha _{abs}c^{2}}{\omega (\mu /\mu _{0})}}$

## Applicazioni

### Ottica

In ottica, una porzione di materiale che assorbe la luce visibile è detta pigmento. Se esso assorbe tutta l'onda luminosa incidente apparirà nero, mentre se assorbe solo determinate lunghezze d'onda apparirà dello stesso colore della radiazione che riflette. Per esempio, il vetro lascia passare tutto lo spettro del visibile (dai 7800 Å ai 3200 Å) mentre assorbe i raggi UV e gli infrarossi lontani del visibile, mentre uno smeraldo rilascia la porzione di visibile intorno al verde.

In letteratura è noto un sistema di specchi e lenti che è in grado di veicolare i raggi di luce emessi da qualsiasi materiale, fino al loro completo assorbimento.

### Astrofisica

In astrofisica lo studio dell'assorbimento della radiazione è importante, in quanto a causa di esso si hanno grandi limiti nelle osservazioni del cielo dovuto all'assorbimento dell'atmosfera terrestre. Inoltre, la radiazione emessa dalle stelle e da altri oggetti stellari, spesso viene assorbita da nubi di materia interstellare. In questo caso può esserci un assorbimento totale (e la materia interstellare che genera ciò è detta polvere) e allora si vedono delle zone scure nelle immagini prese (famoso è l'esempio della galassia M104 detta anche Galassia Sombrero), oppure a sua volta la materia interstellare può riemettere radiazione. Caso importante del secondo tipo è l'emissione generata dalla transizione iperfina dell'idrogeno neutro delle nubi, che genera una riga di emissione a 21 cm. L'assorbimento interstellare inoltre genera un alteramento nel diagramma colore-colore, creando uno spostamento verso il rosso delle stelle. Questi spostamenti vengono attribuiti all'assorbimento differenziale della luce, più rilevante nel blu che nel rosso.

