Spirale aurea
# Spirale aurea

In geometria, la spirale aurea è un tipo particolare di spirale logaritmica con fattore di accrescimenti b di crescita pari a φ, la sezione aurea.

## Formula

L'equazione polare di una spirale aurea è la stessa delle altre spirali logaritmiche, ma con un particolare valore di b:

    $r=ae^{b\theta }$

oppure

    $\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$

dove e è la base dei logaritmi naturali, a è una costante reale arbitraria, ma positiva, e b è tale che quando θ è un angolo retto, la quantità:

    $e^{b\theta _{\mathrm {right} }}\,=\phi$

La quantità $\phi$ è il fattore che descrive di quanto aumenta il raggio della spirale dopo aver compiuto un angolo retto, ovvero un quarto di giro. Se per esempio imponiamo $\phi =2$, ciò significa che in questo caso la spirale raddoppia il proprio raggio ad ogni quarto di giro e quindi ad ogni giro completo le sue dimensioni aumentano di un fattore $16=\phi ^{4}=2^{4}$.

Perciò, b è dato da

    $b={\ln {\phi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.$

Utilizzando questa definizione l'equazione della spirale logaritmica diventa:

$r(θ)=ae^{ln⁡ϕ/θrightθ}=aϕ^{θ/θright}=aϕ^{2θ/π},$ {\textstyle r(\theta )=ae^{{\frac {\ln {\phi }}{\theta _{right}}}\theta }=a\phi ^{\frac {\theta }{\theta _{right}}}=a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}, }

in quanto $\theta _{right}={\frac {\pi }{2}}$.

Calcolando il rapporto tra $r(\theta +{\dfrac {\pi }{2}})$e $r(\theta )$infatti si ottiene:

${\dfrac {r(\theta +{\dfrac {\pi }{2}})}{r(\theta )}}={\dfrac {a\phi ^{\frac {2(\theta +{\frac {\pi }{2}})}{\pi }}}{a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}}}={\dfrac {a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}\phi }{a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}}}=\phi$

Il che dimostra come nella forma $r(θ)=aϕ^{2θ/π},$ {\textstyle r(\theta )=a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}, }la quantità ϕ{\textstyle \phi } sia il fattore che descrive di quanto aumenta il raggio ogni quarto di giro.

La spirale aurea è quindi un caso particolare della spirale logaritmica, ovvero il caso in cui $\phi$, al posto di essere un numero reale positivo generico, assume il valore della sezione aurea:

$\phi ={\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Il valore numerico del modulo di b per la spirale aurea vale:

    $|b|={\ln {\phi } \over 90}=0.0053468$ per θ espresso in gradi;
    $|b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0.306349$ per θ espresso in radianti.
