Invariante dinamico
# Invariante dinamico

In meccanica razionale l'invariante dinamico è una grandezza scalare caratteristica dell'atto di moto di un corpo rigido, e vale:

$I_{D(t)}=\mathbf {R} _{(t)}\cdot \mathbf {M} _{(t)}$

La sua invarianza deriva dalla relazione tra momento meccanico M e forza F risultanti su un corpo rigido, e dalle proprietà del prodotto misto:

    $\mathbf {R} \cdot \mathbf {M} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {M'} +\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \times \mathbf {r} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {M'}$,

Da questa dimostrazione si evince infatti come $I_D$ sia unico per tutti i punti del corpo rigido, mentre non si mantiene generalmente costante durante il moto.

Quando l'invariante scalare è nullo il sistema dinamico è equivalente ad una forza pura, nel caso in cui il momento risultante sia nullo o i due vettori siano perpendicolari, o ad una pura coppia, nel caso in cui la forza risultante sia nulla.

## Definizione

Dati

    $\mathbf {M} _{P}=\sum _{i=1}^{N}\left(A_{i}-P\right)\times \mathbf {u} _{i}$

dove $A_{i}$ sono i punti di applicazione dei vettori $\mathbf {u} _{i}$, e

    $\mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {u} _{i}$

l'invariante scalare è definito come

    $I=\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =M_{P}R\cos \theta$

con $M_{P}$ modulo di $\mathbf {M} _{P}$, $R$ modulo di $\mathbf {R}$ e θ valore dell'angolo compreso tra $\mathbf {M} _{P}$ e $\mathbf {R}$.

## Equivalenza tra momenti di poli diversi

Il termine invariante è dovuto al fatto che esso non dipende dal polo scelto, cioè

    $I=\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R}$

con P e Q poli distinti.

### Dimostrazione

Per la teoria di equivalenza il momento di un polo Q, dato $\mathbf {M} _{P}$, vale

    $\mathbf {M} _{Q}=\mathbf {M} _{P}+\left(P-Q\right)\times \mathbf {R}$

moltiplicando scalarmente per $\mathbf {R}$ entrambi i membri si ottiene

    $\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} +\left(P-Q\right)\times \mathbf {R} \cdot \mathbf {R}$

sfruttando la proprietà ciclica del prodotto misto la relazione diventa

    $\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} +\left(P-Q\right)\cdot \mathbf {R} \times \mathbf {R}$

ma

    $\mathbf {R} \times \mathbf {R} =\mathbf {0}$

perché $\mathbf {R}$ è parallelo a se stesso, e quindi

    $\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =I$

## Uso dell'invariante scalare

### Ricerca dell'asse centrale

Dal valore che l'invariante scalare assume è possibile ricavare l'asse centrale (luogo dei poli di momento minimo) del sistema di vettori o, in mancanza di esso, almeno un polo di momento minimo o nullo. Supponendo un sistema di vettori a risultante $\mathbf {R}$ non nullo, tale che R > 0, si possono ottenere i seguenti casi:

* $I=0$
   * $\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ : allora P appartiene all'asse centrale, che è la retta passante per P parallela a $\mathbf {R}$
   * $\mathbf {M} _{P}\perp \mathbf {R}$ : allora esiste un polo Q di momento nullo. Infatti:

       $\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{Q}=\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}+\mathbf {R} \times \left[\left(P-Q\right)\times \mathbf {R} \right]=\mathbf {0}$
       $\Rightarrow \mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}+\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\left(P-Q\right)-\left[\mathbf {R} \cdot \left(P-Q\right)\right]\mathbf {R} =\mathbf {0}$
       ma $\left[\mathbf {R} \cdot \left(P-Q\right)\right]\mathbf {R} =\mathbf {0}$, e quindi
       $\Leftrightarrow \left(Q-P\right)={\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}}{R^{2}}}$
* $I\neq 0$
   * $I=M_{P}R\cos \theta$ : allora il momento $\mathbf {M} _{P}$ è minimo quando la risultante è parallela al momento stesso. Infatti:

       $\Rightarrow M_{P}={\frac {I}{R\cos \theta }}={\frac {1}{R}}{\frac {\left|I\right|}{\left|\cos \theta \right|}}$
       $M_{P}$ è minimo $\Leftrightarrow \cos \theta =1\Leftrightarrow \theta _{1}=0,\theta _{2}=\pi \Leftrightarrow \mathbf {M} _{P}//\mathbf {R}$

### Massima riducibilità di un sistema di vettori applicati

L'invariante scalare è indice della possibilità di ridurre il numero dei componenti di un dato sistema di vettori in una quantità minima di un sistema ad esso equivalente. Si presentano i seguenti casi:

* $I=0$
   * $\mathbf {R} =\mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ : il sistema è equilibrato, ossia equivalente ad un vettore nullo applicato in un punto qualunque
   * $\mathbf {R} =\mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0}$ : il sistema è equivalente ad una coppia di momento $\mathbf {M} _{P}$
   * $\mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ : il sistema è equivalente al vettore $\mathbf {R}$ applicato nel polo P appartenente all'asse centrale
   * $\mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0} \Rightarrow \mathbf {R} \perp \mathbf {M} _{P}$ : allora esiste un polo $Q:\left(Q-P\right)={\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}}{R^{2}}},\mathbf {M} _{Q}=\mathbf {0}$ . Il sistema è equivalente al vettore $\mathbf {R}$ applicato in Q appartenente all'asse centrale
* $I\neq 0$

       $\mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0} \ \forall \ P$ : il sistema è equivalente al vettore $\mathbf {R}$ applicato nel polo P con una coppia di momento $\mathbf {M} _{P}$
