Campo di numeri
# Campo di numeri

In matematica un campo di numeri (o campo numerico) $K$ è un'estensione finita del campo $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali. Questo significa che $K$ è un campo contenente $\mathbb {Q}$ ed ha dimensione finita come spazio vettoriale su $\mathbb {Q}$.

Lo studio dei campi di numeri e, più in generale, delle estensioni del campo dei numeri razionali, è uno degli argomenti principali della teoria algebrica dei numeri.

## Definizione

Un campo algebrico di numeri o più semplicemente un campo di numeri $F$ è per definizione un sottocampo del campo dei numeri complessi $\mathbb {C}$ che sia un'estensione di grado finito $n$ del campo dei numeri razionali $\mathbb {Q}$.

## Esempi

* Un primo esempio banale è il campo dei numeri razionali $\mathbb {Q}$, che è esso stesso un campo di numeri, essendo un'estensione di grado $1$ di $\mathbb {Q}$.
* Un esempio non banale sono i campi quadratici, cioè le estensioni $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ con $d\in \mathbb {Z} \setminus \{0,1\}$ privo di fattori quadratici. Ovviamente se $d=-1$ allora $\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}}]$ è il campo dei razionali gaussiani.
* Un altro esempio è l'$n$-esimo campo ciclotomico, cioè il campo $\mathbb {Q} [\zeta ]$ con $\zeta$ radice primitiva $n$-esima dell'unità, questo campo ha grado $[\mathbb {Q} [\zeta ]:\mathbb {Q} ]=\varphi (n)$ dove $\varphi$ è la funzione di Eulero.
* Un "non" esempio è $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$, che è un'estensione di $\mathbb {Q}$ ma il suo grado è infinito, per cui non è un campo di numeri. Per vedere che $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=\infty$, basta ricordare che $\mathbb {R}$ ha cardinalità del continuo, mentre $\mathbb {Q}$ è numerabile.

## Anelli di interi algebrici

Sappiamo dalla teoria dei campi che data un'estensione $K|F$, un elemento $k\in K$ è detto algebrico su $F$ se $k$ è radice di un polinomio monico $f(x)\in F[x]$, e chiamiamo estensioni algebriche le estensioni di campi i cui elementi sono tutti algebrici; in particolare se $F=\mathbb {Q}$ chiamiamo numero algebrico un elemento $\alpha \in \mathbb {C}$ che sia algebrico su $\mathbb {Q}$, inoltre se $\alpha \in \mathbb {C}$ è radice di un polinomio monico a coefficienti in $\mathbb {Z}$ diremo che $\alpha$ è un intero algebrico.

Ora, dato un campo di numeri $K$, definiamo ${\bar {\mathbb {Z} }}=\{\alpha \in \mathbb {C} \ |\ \alpha \ {\text{radice di un polinomio monico}}\ f(x)\in \mathbb {Z} [x]\}$ (si dimostra che ${\bar {\mathbb {Z} }}$ è un anello), si definisce ${\mathcal {O}}_{K}={\bar {\mathbb {Z} }}\cap K$ anello degli interi algebrici di $K$.

In generale dato un campo di numeri $K$, il rispettivo anello degli interi ${\mathcal {O}}_{K}$ non è un UFD (vedi esempio sotto), ma è possibile dimostrare che gode di altre interessanti proprietà, in particolare, che è un dominio di Dedekind, per cui ammette una fattorizzazione unica in termini di ideali primi.

### Esempio

Dato il campo quadratico $F=\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}]$, si ha $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]\subset {\mathcal {O}}_{F}$ (in realtà si può dimostrare che ${\mathcal {O}}_{F}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$), per cui abbiamo

    $3\cdot 2=6=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}),$

dunque ${\mathcal {O}}_{F}$ non è UFD.

