Matrice delle covarianze
# Matrice delle covarianze

In statistica multivariata e in probabilità, la matrice delle covarianze (o matrice di varianza e covarianza) si indica di solito con $\Sigma$ ed è una generalizzazione della covarianza al caso di dimensione maggiore di due. Essa è una matrice che rappresenta la variazione di ogni variabile rispetto alle altre (inclusa se stessa). È una matrice simmetrica.

## Statistica

Sia data una popolazione di $n$ elementi su cui sono rilevati $k$ caratteri quantitativi $X_{i}$. Cioè ogni $X_{i}$ con $i=1,\dots ,k$ è un vettore di $n$ elementi, indicati con $x_{hi}$ con $h=1,\dots ,n$. L'elemento $x_{hi}$ rappresenta quindi la modalità dell'$h$-esima unità statistica rispetto al carattere $X_{i}$. La matrice delle covarianze ha dimensione $k\times k$ e ogni elemento è definito come

    $\sigma _{ij}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{h=1}^{n}(x_{hi}-\mu _{i})(x_{hj}-\mu _{j}),$

dove $\mu _{i}$ indica la media del carattere $X_{i}$.

### Significato dei valori

Ogni elemento sulla diagonale $\sigma _{ii}^{2}$ è la varianza del carattere $X_{i}$ ed è quindi sempre un valore non negativo. Ogni elemento $\sigma _{ij}^{2}$ (con $i\neq j$) è la covarianza tra i caratteri $X_{i}$ e $X_{j}$. Nel caso in cui questo valore sia positivo, significa che al crescere di un carattere, cresce anche l'altro. Nel caso in cui questo valore sia negativo, accade il contrario. Se i caratteri sono statisticamente indipendenti, questo valore è $0$ (l'implicazione inversa non è necessariamente verificata).

### Applicazioni

Oltre al significato statistico che possiamo dedurre dai termini, la matrice delle covarianze è un parametro della funzione gaussiana, nella statistica multivariata.

Può inoltre essere d'ausilio alla riduzione delle features, tramite l'analisi delle componenti principali (PCA).

