Funzione G di Barnes
# Funzione G di Barnes

In matematica, la funzione G di Barnes è una funzione speciale intera che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione dei superfattoriali ed è collegata alla funzione Gamma e alla funzione K. Il suo nome ricorda il matematico inglese Ernest William Barnes (1874-1953) e solitamente viene denotata con $G(z)$.

## Definizione

Una possibile definizione della funzione $G$ di Barnes si serve del prodotto di Weierstrass:

    $G(z+1):=(2\pi )^{\frac {z}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}[z(z+1)+\gamma z^{2}]}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+{\frac {z^{2}}{2n}}}\right]$

dove $\gamma$ denota la costante di Eulero-Mascheroni.

## Equazione funzionale e conseguenti valori speciali

La $G(z)$ soddisfa l'equazione funzionale

    $G(z+1)=\Gamma (z)G(z)$

combinata con la condizione di normalizzazione $G(1)=1$. Questa equazione implica che la $G$ per argomenti interi assuma i seguenti valori:

    $G(n)={\begin{cases}0&{\text{se }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{k=0}^{n-2}k!&{\text{se }}n=1,2,\dots \end{cases}}$

e di conseguenza sia esprimibile come

    $G(n)={\frac {[\Gamma (n)]^{n-1}}{K(n)}},$

qui, insieme alla funzione Gamma, compare la funzione K, per la quale si ha:

    $K(n)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}.$

## Sviluppo di Taylor e altri valori particolari

Per $|z|<1$ si ha il seguente sviluppo di Taylor

    $\ln G(1+z)={\frac {1}{2}}\left(\ln(2\pi )-1\right)-(1-\gamma ){\frac {z^{2}}{2}}+\sum _{n=3}^{\infty }(-1)^{n-1}\zeta (n-1){\frac {z^{n}}{n}}$ ,

dove $\zeta (s)$ denota la funzione zeta di Riemann.

Per la $G(x)$ si trovano i seguenti valori particolari:

    $G(1/4)=A^{-9/8}\left(\Gamma (1/4)\right)^{-3/4}e^{3/32-K/(4\pi )};$
    $G(3/4)=A^{-9/8}\left(\Gamma (3/4)\right)^{-1/4}e^{3/32+K/(4\pi )};$
    $G(1/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{-1/4}e^{1/8}2^{1/24};$
    $G(3/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{1/4}e^{1/8}2^{1/24};$
    $G(5/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{3/4}e^{1/8}2^{-23/24};$

qui $K$ denota la costante di Catalan, $A$ la costante di Glaisher-Kinkelin per la quale

    $A:=e^{1/12-\zeta '(-1)}\approx 1,2824262...$
