Divisione dei polinomi
# Divisione dei polinomi

In matematica, la divisione dei polinomi detta anche divisione lunga è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.

Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi $A(x)$ e $B(x)$ esistono unici altri due polinomi $Q(x)$ e $R(x)$ tali che:

    $A(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x)$

posto che il grado di $R(x)$ sia minore di quello di $B(x)$. Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.

Il grado di $Q(x)$ sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di $A(x)$ e quello di $B(x)$.

Nel caso in cui $R(x)=0$, $A(x)$ sarebbe divisibile per $B(x)$.

## L'algoritmo

L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi:

* Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di $A(x)$ (ad esempio, $x^{2}-1$ andrà scritto come $x^{2}+0x-1$).

    $A(x)$$B(x)$
* Si divide il termine di grado massimo di $A(x)$ per il termine di grado massimo di $B(x)$ e si scrive il risultato sotto $B(x)$.

    $a_{n}x^{n}$$+\dots$$+a_{0}$$b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}$ ${\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}$
* Si moltiplica questo termine $q_{k}x^{k}$ per il polinomio $B(x)$ e si scrive il risultato sotto $A(x)$, incolonnando ogni termine sotto il termine di $A(x)$ di grado uguale.

    $a_{n}x^{n}$$+\dots$$+a_{0}$$b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}$ $b_{m}q_{k}x^{m+k}$$+\dots$$+b_{0}q_{k}x^{k}$ ${\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}$
* Si esegue la sottrazione tra $A(x)$ e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in $x^{n}$ si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore ($n-1$ o anche meno).

    $a_{n}x^{n}$$+\dots$$+a_{0}$$b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}$ $b_{m}q_{k}x^{m+k}$$+\dots$$+b_{0}q_{k}x^{k}$ ${\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}$ $//+r_{n-1}x^{n-1}$$+\dots$ $+r_{0}$
* Se il grado di questo polinomio differenza $R_{1}(x)$ è maggiore o uguale a quello di $B(x)$ si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso $R_{1}$ come dividendo e aggiungendo il termine a destra del termine $q_{k}x^{k}$, come addendo successivo.

    ${\frac {r_{n-1}x^{n-1}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k-1}x^{k-1}$
* Quando si sarà raggiunto un polinomio $R_{i}(x)$ di grado inferiore a $B(x)$, allora tale polinomio $R_{i}(x)$ sarà il resto $R(x)$ della divisione; il polinomio formatosi mano a mano sotto $B(x)$, sarà invece il polinomio quoziente.

    $Q(x)=q_{k}x^{k}+q_{k-1}x^{k-1}+...+q_{0},$

## Esempio

Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.

Dividiamo il polinomio

    $A(x)=3x^{4}-x^{3}$

per il polinomio

    $B(x)=x^{2}-2$

### Passo 1

Scriviamo i due polinomi $A(x)$ e $B(x)$ come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.

    $3x^{4}$$-x^{3}$$+0x^{2}$$+0x$$+0$ $x^{2}-2$

### Passo 2

Dividiamo il termine di grado massimo di $A(x)$, che risulta essere $3x^{4}$, per il termine di grado massimo di $B(x)$, che è $x^{2}$ e scriviamo il risultato sotto $B(x)$.

    $3x^{4}$$-x^{3}$$+0x^{2}$$+0x$$+0$ $x^{2}-2$ $3x^{2}$

### Passo 3

Ora scriviamo, sotto $A(x)$, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio $B(x)$. Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.

    $3x^{4}$$-x^{3}$$+0x^{2}$$+0x$$+0$ $x^{2}-2$ $3x^{4}$$+0x^{3}$$-6x^{2}$$+0x$$+0$ $3x^{2}$

Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di $A(x)$ e del polinomio scritto sotto $A(x)$, sono uguali.

### Passo 4

Ora sottraiamo $A(x)$ con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio $R_{1}(x)$.

    $3x^{4}$$-x^{3}$$+0x^{2}$$+0x$$+0$ $x^{2}-2$ $3x^{4}$$+0x^{3}$$-6x^{2}$$+0x$$+0$ $3x^{2}$ $//$ $-x^{3}$ $+6x^{2}$ $+0x$ $+0$

Il grado di $R_{1}(x)=-x^{3}+6x^{2}$ è maggiore di quello di $B(x)$, dunque iteriamo il procedimento.

### Passo 2b

Dividiamo il termine di grado massimo di $R_{1}$ che risulta essere $-x^{3}$ per il termine di grado massimo di $B(x)$ e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.

    $3x^{4}$$-x^{3}$$+0x^{2}$$+0x$$+0$ $x^{2}-2$ $3x^{4}$$+0x^{3}$$-6x^{2}$$+0x$$+0$ $3x^{2}-x$ $//$ $-x^{3}$ $+6x^{2}$ $+0x$ $+0$

### Passo 3b

Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere $-x$, per il polinomio $B(x)$ e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto $R_{1}(x)$.

    $3x^{4}$$-x^{3}$$+0x^{2}$$+0x$$+0$ $x^{2}-2$ $3x^{4}$$+0x^{3}$$-6x^{2}$$+0x$$+0$ $3x^{2}-x$ $//$ $-x^{3}$ $+6x^{2}$ $+0x$ $+0$ $-x^{3}$$+0x^{2}$$+2x$$+0$

### Passo 4b

Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio $R_{1}(x)$ e il polinomio scritto sotto per ottenere $R_{2}(x)$.

    $3x^{4}$$-x^{3}$$+0x^{2}$$+0x$$+0$ $x^{2}-2$ $3x^{4}$$+0x^{3}$$-6x^{2}$$+0x$$+0$ $3x^{2}-x$ $//$ $-x^{3}$ $+6x^{2}$ $+0x$ $+0$ $-x^{3}$$+0x^{2}$$+2x$$+0$ $//$ $6x^{2}$ $-2x$ $+0$

Dato che il grado di $R_{2}(x)$ non è inferiore a quello di $B(x)$ dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.

### Passo 2c

Dividiamo il termine di grado superiore di $R_{2}(x)$ per il termine di grado superiore di $B(x)$.

    $3x^{4}$$-x^{3}$$+0x^{2}$$+0x$$+0$ $x^{2}-2$ $3x^{4}$$+0x^{3}$$-6x^{2}$$+0x$$+0$ $3x^{2}-x+6$ $//$ $-x^{3}$ $+6x^{2}$ $+0x$ $+0$ $-x^{3}$$+0x^{2}$$+2x$$+0$ $//$ $6x^{2}$ $-2x$ $+0$

### Passo 3c

Moltiplichiamo $B(x)$ per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto $R_{2}(x)$.

    $3x^{4}$$-x^{3}$$+0x^{2}$$+0x$$+0$ $x^{2}-2$ $3x^{4}$$+0x^{3}$$-6x^{2}$$+0x$$+0$ $3x^{2}-x+6$ $//$ $-x^{3}$ $+6x^{2}$ $+0x$ $+0$ $-x^{3}$$+0x^{2}$$+2x$$+0$ $//$ $6x^{2}$ $-2x$ $+0$ $6x^{2}$$+0x$$-12$

### Passo 4c

Eseguiamo la sottrazione tra $R_{2}(x)$ e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio $R_{3}(x)$.

    $3x^{4}$$-x^{3}$$+0x^{2}$$+0x$$+0$ $x^{2}-2$ $3x^{4}$$+0x^{3}$$-6x^{2}$$+0x$$+0$ $3x^{2}-x+6$ $//$ $-x^{3}$ $+6x^{2}$ $+0x$ $+0$ $-x^{3}$$+0x^{2}$$+2x$$+0$ $//$ $6x^{2}$ $-2x$ $+0$ $6x^{2}$$+0x$$-12$ $//$ $-2x$ $+12$

Siamo giunti a $R_{3}(x)=-2x+12$, che ha grado strettamente minore di $B(x)=x^{2}-2$, dunque il resto è

    $R(x)=R_{3}(x)$

e il quoziente della nostra divisione è

    $Q(x)=3x^{2}-x+6$

possiamo quindi scrivere

    ${\begin{aligned}A(x)=B(x)&\cdot Q(x)+R(x)\\&\Downarrow \\3x^{4}-x^{3}=(x^{2}-2)&\cdot (3x^{2}-x+6)+(-2x+12)\end{aligned}}$

## Regola di Ruffini

Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma $B(x)=x-r$ o $B(x)=ax-k$, un binomio di primo grado. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.

