Numero di Cullen
# Numero di Cullen

In matematica si chiamano numeri di Cullen e si indicano con $C_{n}$ i numeri naturali tali che

    $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1.$

## La sequenza

Furono studiati per la prima volta da James Cullen nel 1905. Gli studi di Cullen sui numeri di questo tipo furono utilizzati nel 1917 da Allan J. C. Cunningham e H. J. Woodall per la (simile) definizione dei numeri di Woodall. I primi numeri di Cullen sono:

    $C_{1}=3$
    $C_{2}=9$
    $C_{3}=25$
    $C_{4}=65$
    $C_{5}=161$
    $C_{6}=385$
    $C_{7}=897$

(sequenza A002064 dell'OEIS).

## I primi di Cullen

I numeri di Cullen che sono anche primi vengono chiamati numeri primi di Cullen. I primi valori di $n$ che rendono primi i numeri di Cullen sono $1,141,4713,5795,6611,18496,32292,32469,59656,90825,262419$ (sequenza A005849 dell'OEIS). A differenza dei numeri primi di Woodall, i primi di Cullen sono molto difficili da calcolare. I primi due sono

    $C_{1}=3$
    $C_{141}=393050634124102232869567034555427371542904833\approx 3{,}93\cdot 10^{44}$

A gennaio 2019, il numero $n$ più alto conosciuto che genera un numero primo di Cullen è $6679881$ e origina un primo composto da 2010852 cifre. Tale numero è stato scoperto da Magnus Bergman nell'ambito del progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.

## Proprietà

Un numero di Cullen è divisibile per $p=2n-1$ se $p$ è un numero primo di forma $p=8k-3$. Inoltre, grazie al piccolo teorema di Fermat, sappiamo che $p$ sarà un numero dispari, e ne segue che $p$ divide anche $C_{m(k)}$ per ogni $m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k$ per ogni $k$ positivo.

È stato inoltre dimostrato che $p$ divide il numero

    $C_{\frac {p+1}{2}},$

quando simbolo di Jacobi $\left({\frac {p}{2}}\right)$ è $-1$

e divide

    $C_{\frac {3p-1}{2}}$

se il simbolo di Jacobi $\left({\frac {p}{2}}\right)$ è $+1$

## Numero di Cullen generalizzato

Un numero di forma

    $C_{n}=n\cdot b^{n}+1,$

è chiamato numero di Cullen generalizzato.

