Frontiera (topologia)
# Frontiera (topologia)

In topologia, la frontiera o contorno o bordo di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell'insieme meno il suo interno. Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S. Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono b(S) , bd(S), fr(S), e $\partial S$.

Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.

* Si definisce frontiera di S l'intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complementare.
* Si definisce frontiera di S l'insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di S e almeno un punto non appartenente a S.

## Proprietà

* La frontiera di un insieme è chiusa.
* La frontiera di un insieme è uguale all'intersezione fra la chiusura dell'insieme e la chiusura del suo complemento.
* Un insieme è chiuso se e solo se la frontiera dell'insieme è contenuta nell'insieme, e aperto se e solo se è disgiunto dalla sua frontiera.
* La frontiera di un insieme è uguale alla frontiera del suo complemento.
* La chiusura di un insieme è uguale all'unione dell'insieme con la sua frontiera.
* La frontiera di un insieme è vuota se e solo se l'insieme è contemporaneamente chiuso e aperto (cioè se è un insieme chiuso-aperto).

## Esempi

* Consideriamo la usuale topologia dell'asse reale; se $X=[0,5)$, allora secondo $\partial X=\{0,5\}$ .
* $\partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)$
* $\partial D^{n}\simeq S^{n-1}$
* $\partial \varnothing =\varnothing$
* Se Ω denota il disco caratterizzato dalla disuguaglianza $x^2+y^2$ ≤ 1, in $R^3$ si ha ∂Ω = Ω, mentre in $R^2,$ ∂Ω = {(x, y) | $x^2+y^2$ = 1}. Quindi, la frontiera di un insieme può dipendere dall'insieme in cui è immerso.
