Spazio funzionale
# Spazio funzionale

In matematica, uno spazio funzionale o spazio di funzioni è un insieme di funzioni che può essere uno spazio topologico o uno spazio vettoriale o entrambi.

## Descrizione

Gli spazi funzionali sono presenti in varie aree della matematica:

* nella teoria degli insiemi, l'insieme delle parti di un insieme $X$ può essere identificato con l'insieme di tutte le funzioni da $X$ a $\{0,1\}$. Più generalmente, l'insieme delle funzioni $X\to Y$ è indicato con $Y^{X}$.
* in algebra lineare l'insieme di tutte le trasformazioni lineari da uno spazio vettoriale $V$ ad un altro $W$, sullo stesso campo, è anch'esso uno spazio vettoriale.
* in analisi funzionale si vede la stessa cosa per trasformazioni lineari continue. Gli esempi più importanti sono gli spazi di Hilbert e gli spazi di Banach.
* in analisi funzionale l'insieme di tutte le funzioni dai numeri naturali a un altro insieme $X$ è chiamato spazio delle successioni. Esso consiste in tutte le possibili successioni di elementi di $X$.
* in topologia, si può definire la topologia dello spazio delle funzioni continue definite su uno spazio topologico a valori in un altro spazio topologico, detta topologia operatoriale.
* nella topologia algebrica, la teoria dell'omotopia.
* nella teoria dei processi stocastici, uno dei principali problemi è come costruire una misura di probabilità su uno spazio di funzioni.
* nella teoria delle categorie uno spazio di funzioni è un oggetto esponenziale.
* nel lambda calcolo.
* nella teoria dei domini.

### Analisi funzionale

L'analisi funzionale è uno degli ambiti in cui gli spazi di funzioni sono maggiormente studiati. In questo settore vi sono diversi metodi per trattare questi spazi come spazi vettoriali topologici. Tra i principali vi sono:

* lo spazio di Schwartz e il suo duale, quello delle distribuzioni temperate.
* lo spazio $L^p$
* Spazio $\kappa (\mathbb {R} )$ delle funzioni continue a supporto compatto con la topologia uniforme.
* lo spazio $B(\mathbb {R} )$ degli operatori limitati.
* lo spazio $C_{0}(\mathbb {R} )$ delle funzioni continue che si annullano all'infinito.
* lo spazio $C^{r}(\mathbb {R} )$ delle funzioni continue che hanno le prime r derivate continue.
* lo spazio $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ delle funzioni lisce
* lo spazio $C_{c}^{\infty }$ delle funzioni lisce a supporto compatto.
* lo spazio di Sobolev $W^{k,p}$
* lo spazio $O_{U}$ delle funzioni olomorfe
* lo spazio di Hardy
* lo spazio di Hölder
* lo spazio di Càdlàg
