Spazio prehilbertiano
# Spazio prehilbertiano

In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è uno spazio vettoriale reale o complesso nel quale è definito un prodotto interno. Si tratta di una struttura algebrica che fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert, che è uno spazio prehilbertiano completo, tale cioè che la metrica indotta dal prodotto interno sia completa.

## Definizione

Uno spazio prehilbertiano è una coppia $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$, dove $H$ è uno spazio vettoriale reale o complesso e $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ è un prodotto interno.

Sia $V$ uno spazio vettoriale complesso o reale. Un prodotto interno sul campo $\mathbb {F}$ (definito come $\mathbb {C}$ o $\mathbb {R}$) è una mappa:

    $\phi :V\times V\to \mathbb {F}$

che associa ad ogni coppia di elementi $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w} \in V$ lo scalare $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in \mathbb {F}$.

Si tratta di una forma sesquilineare simmetrica definita positiva che soddisfa i seguenti assiomi per $a\in \mathbb {F}$ e $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ,\mathbf {w} \in V$:

* linearità su una componente:

    $\phi (\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+\phi (\mathbf {y} ,\mathbf {z} )$
    $\phi (a\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=a\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$
* antilinearità sull'altra:

    $\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} +\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {w} )$
    $\phi (\mathbf {x} ,a\mathbf {y} )={\bar {a}}\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$
* simmetria coniugata:

    $\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )={\overline {\phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}}$
* definita positiva:

    $\phi (\mathbf {z} ,\mathbf {z} )>0\quad \mathbf {z} \neq 0$

In altre parole, per ogni $\mathbf {z} \in V$ fissato, le applicazioni

    $\mathbf {w} \mapsto \phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )\qquad \ \mathbf {w} \mapsto \phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )$

sono rispettivamente lineare e antilineare.

In fisica è convenzione parlare di forma hermitiana in presenza di un funzionale lineare nel secondo argomento e anti-lineare nel primo, cioè all'opposto della convenzione generalmente in uso tra i matematici. Questo perché in meccanica quantistica, nella notazione bra-ket (che porta grosse somiglianze con un prodotto scalare), per vari motivi è più comodo considerare i vettori nella seconda posizione ("ket") e i loro coniugati nella prima ("bra"). Presso alcuni autori si opera la distinzione che $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ è inteso nel senso matematico e $\langle \cdot |\cdot \rangle$ nel senso fisico.

