Gruppo di Grothendieck
# Gruppo di Grothendieck

In matematica, in particolare in algebra astratta, il gruppo di Grothendieck di un semigruppo commutativo $S$ è un gruppo, costruito in modo tale che sia "il più piccolo" gruppo che contiene $S$. Prende nome dalla costruzione più generale introdotta da Alexander Grothendieck nella teoria delle categorie con i suoi lavori fondamentali nella metà del 1950 che portarono allo sviluppo della K-teoria.

## Definizione

### Costruzione esplicita

Sia $(S,+\!\,)$ un semigruppo commutativo. Nel prodotto cartesiano $S\times S$ definiamo la relazione di equivalenza

    $(s_{1},s_{2})\sim (t_{1},t_{2})\Leftrightarrow \exists \,r\in S\;:\;s_{1}+t_{2}+r=s_{2}+t_{1}+r$;

definiamo inoltre l'operazione di somma per componenti

    $(s_{1},s_{2})+(t_{1},t_{2}):=(s_{1}+t_{1},s_{2}+t_{2})\quad \forall (s_{1},s_{2}),(t_{1},t_{2})\in S\times S$

che è compatibile con $\sim$.

Il gruppo di Grothendieck di $S$ è l'insieme quoziente $K(S):=S\times S/\!\sim$; il suo elemento neutro è la classe costituita dalle coppie $(s,s)$, mentre l'inverso della classe $[(s_{1},s_{2})]$ è la classe $[(s_{2},s_{1})]$.

### Proprietà universale

Un modo alternativo per definire il gruppo di Grothendieck è mediante l'uso di una proprietà universale: dato un semigruppo $S$, il Grothendieck è un gruppo $K$ (insieme con un monomorfismo di semigruppi $i:S\longrightarrow K$ tale che, per ogni omomorfismo $f:S\longrightarrow A$ (dove $A$ è un gruppo abeliano), esiste ed è unico un omomorfismo di gruppi $g:K\longrightarrow A$ tale che $f=g\circ i$.

La proprietà universale esprime il fatto che, se un gruppo contiene un'immagine omomorfa di $S$, allora conterrà anche un'immagine omomorfa di $K$.

Questa costruzione è equivalente a quella esplicita: se $K'$ è un altro gruppo che soddisfa questa condizione, allora esiste un isomorfismo naturale tra $K$ e $K'$.

In termini di teoria delle categorie, questa costruzione è il funtore aggiunto a sinistra del funtore tacito che associa ad ogni gruppo abeliano la sua struttura di semigruppo.

## Esempi

* Se $(T,+)$ è un sottosemigruppo del semigruppo commutativo $(S,+)$ allora $K(T,+)$ è un sottogruppo del gruppo commutativo $K(S,+)$.
* Se $(G,+)$ è un gruppo commutativo allora $K(G)$ coincide con $G$; più precisamente, le mappe $\phi (g)=[(g,0)]$ e $\psi ([(g,h)])=g-h$ sono isomorfismi tra $G$ e $K(G)$
* Se $(\mathbb {N} ,+)$ è il semigruppo commutativo dei numeri naturali allora $K(\mathbb {N} ,+)$ è isomorfo al gruppo dei numeri interi $(\mathbb {Z} ,+)$.
* Se $(\mathbb {Z} _{0},\times )$ è il semigruppo commutativo degli interi diversi da zero allora $K(\mathbb {Z} _{0},\times )\cong (\mathbb {Q} _{0},\times )$.
