Funzionale lineare
# Funzionale lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un funzionale lineare o forma lineare è un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale nel suo campo di scalari. Può trattarsi di un funzionale inteso come funzione che ha per argomento un'altra funzione, ma non è necessariamente definito sempre così. Il termine "funzionale lineare" è usato specialmente in analisi funzionale, mentre "forma lineare" è più usato in geometria, dove una forma lineare è un particolare esempio di forma multilineare.

L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale $V$ forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo spazio duale ${\tilde {V}}$ (spesso denotato anche con $V^{*}$ o $V'$).

In $\mathbb {R} ^{n}$, se i vettori sono rappresentati come vettori colonna, i funzionali lineari sono vettori riga, che agiscono sui vettori colonna per mezzo di un prodotto scalare (in generale, una forma sesquilineare) o un prodotto matriciale (tra un vettore riga a sinistra e un vettore colonna a destra). Ad esempio, dati i vettori colonna:

    $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$

allora ogni funzionale lineare $f$ può essere scritto in tali coordinate come una somma del tipo:

    $f(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}$

Si tratta del prodotto matriciale tra il vettore riga $[a_{1}\dots a_{n}]$ e il vettore colonna $\mathbf {x}$:

    $f(\mathbf {x} )=[a_{1}\dots a_{n}]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$

I funzionali lineari sono stati inizialmente introdotti nell'ambito dell'analisi funzionale, in particolare nello studio degli spazi funzionali vettoriali. Un tipico esempio di funzionale lineare è l'operatore integrale di Riemann:

    $I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

che è definito sullo spazio vettoriale $C[a,b]$ delle funzioni continue sull'intervallo $[a,b]$ e mappa nel campo dei reali $\mathbb {R}$. La linearità si vede da note proprietà degli integrali:

    $I(f+g)=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)$
    $I(\alpha f)=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f)$

I funzionali lineari sono molto utilizzati in fisica.

## Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Un funzionale lineare $f$ è una funzione lineare da $V$ a $K$. Valgono quindi le seguenti relazioni:

    $f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )\qquad \forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$
    $f(a\mathbf {v} )=af(\mathbf {v} )\qquad \forall \mathbf {v} \in V,\forall a\in K$

Date due funzioni misurabili a valori positivi $f\in L^{p}(\mathbb {R} )$ e $g\in L^{p'}(\mathbb {R} )$, con $p^{-1}+p'^{-1}=1$, per la disuguaglianza di Hölder si ha che $fg\in L^{1}(\mathbb {R} )$. Considerando la funzione $g$, è quindi possibile definire:

    $G(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\bar {f}}gdx$

per ogni $f\in L^{p}(\mathbb {R} )$. L'operatore $G$ è allora un operatore limitato, la cui norma non è maggiore della q-norma di $g$. Ogni funzionale limitato di $L^{p}(\mathbb {R} )$ può essere scritto in tal modo per un qualche $g\in L^{p'}(\mathbb {R} )$.

L'insieme di tutti i funzionali lineari da $V$ in $K$, essendo chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalare, forma uno spazio vettoriale ${\tilde {V}}$, lo spazio duale di $V$. Se $V$ ha dimensione $n$, allora anche ${\tilde {V}}$ ha dimensione $n$. La mappa che associa ad ogni $g\in L^{p'}$ il corrispondente funzionale lineare $G$ definito su $L^{p}$ è un isomorfismo isometrico di $L^{p'}$ nel duale di $L^{p}$.

Se $V$ è uno spazio vettoriale sui numeri reali o complessi, ed è dotato di una topologia che lo rende uno spazio vettoriale topologico, risultano particolarmente interessanti i funzionali lineari continui, che formano un sottospazio dello spazio duale detto spazio duale continuo o anche duale topologico. Per distinguerlo dal duale continuo, il generico spazio duale è talvolta detto spazio duale algebrico. In dimensione finita, comunque, il duale algebrico e il duale continuo coincidono poiché ogni funzionale lineare è un operatore lineare continuo. In generale il duale continuo è un sottospazio del duale algebrico. Si usa spesso denotare con $V^{*}$ il duale algebrico e con $V'$ il duale continuo, sebbene la notazione sia varia a seconda degli autori.

Si definisce un funzionale lineare positivo un funzionale $G\$ tale che $G(f)\geq 0$ per ogni $f$ puntualmente positiva. Si dimostra che ogni funzionale lineare positivo è continuo.

## Esempi

* La funzione $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ data da:

    $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto x_{1}$
    è un funzionale lineare che associa ad ogni vettore dello spazio euclideo la sua prima coordinata.
* Il funzionale:

    $f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\,dx$
    associa ad una funzione integrabile $f$, definita sull'intervallo $[a,b]$ ed a valori nei numeri reali o complessi, l'integrale di $f$ tra i due estremi. Qui lo spazio vettoriale $V$ può essere ad esempio quello delle funzioni continue sull'intervallo, oppure quello più grande delle funzioni integrabili. In entrambi i casi $V$ ha dimensione infinita.
* Sia $P_{n}$ lo spazio vettoriale delle funzioni polinomiali a valori reali di grado inferiore a n definite su $[a,b]$. Se $c\in [a,b]$, sia $ev_{c}:P_{n}\to \mathbb {R}$ il funzionale di valutazione:

    $\operatorname {ev} _{c}f=f(c)$
    La mappa $f\to f(c)$ è lineare dal momento che:
    $(f+g)(c)=f(c)+g(c)$
    $(\alpha f)(c)=\alpha f(c)$
    Se $x_{0},\dots ,x_{n}$ sono n+1 punti distinti di $[a,b]$ allora l'insieme dei funzionali $ev_{x_{i}}$ forma una base dello spazio duale di $P_{n}$.
* Nella teoria delle distribuzioni, le distribuzioni sono definite come funzionali lineari che agiscono su spazi di funzioni di test. In tale contesto, un analogo al funzionale nell'esempio precedente è la delta di Dirac.

## Basi in dimensione finita

Sia $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}$ una base (qualsiasi) dello spazio vettoriale $V$. Lo spazio duale ${\tilde {V}}$ possiede allora una base ${\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}$, detta base duale, definita dalla proprietà:

    ${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{se }}i=j,\\0&{\text{se }}i\neq j.\end{cases}}$

In modo più compatto si può scrivere anche:

    ${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}$

dove $\delta _{j}^{i}$ è il delta di Kronecker, ed apici e pedici denotano la covarianza e controvarianza degli indici utilizzati.

Un funzionale lineare ${\tilde {u}}\in {\tilde {V}}$ può essere espresso come combinazione lineare di funzionali di base, con coefficienti $u_{i}$:

    ${\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}$

Allora, applicando il funzionale ${\tilde {u}}$ al vettore di base $\mathbf {e} _{j}$ si ottiene:

    ${\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i})\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j}))=\sum _{i}u_{i}\delta ^{i}_{j}=u_{j}$

Questa relazione mostra come si può estrarre una singola componente di un funzionale lineare applicando il funzionale al corrispondente vettore di base.

Se $V$ possiede un prodotto interno, allora si può scrivere esplicitamente una formula per la base duale di una base data. Se $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ è una base di $V$, la base duale è:

    ${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={1 \over 2}\,\left\langle {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k}) \over \mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}},\mathbf {v} \right\rangle \qquad i=1,2,3$

dove $\varepsilon ^{ijk}$ è il simbolo di Levi-Civita e $\langle ,\rangle$ il prodotto interno su $V$.

In dimensione maggiore:

    ${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {{\underset {^{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}}{\sum }}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle$

dove $\star$ è l'operatore star di Hodge.

