Coordinate di un vettore
# Coordinate di un vettore

In matematica, in particolare in algebra lineare, l'insieme delle coordinate di un vettore rispetto ad una base di uno spazio vettoriale è il vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso la quale si può scrivere il vettore stesso.

## Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Sia l'insieme $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ di elementi di $V$ una base ordinata di $V$. Allora ogni vettore $\mathbf {w} \in V$ si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base:

    $\mathbf {w} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}$

Si definisce l'insieme delle coordinate di $\mathbf {w}$ rispetto alla base data il vettore:

    $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$

Si tratta del vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso i quali si può scrivere $\mathbf {w}$, e dipende quindi dalla scelta della base stessa. Per specificare che $\mathbf {w}$ è scritto rispetto alla base $B$ si usa spesso la notazione $[\mathbf {w} ]_{B}$.

La mappa $\phi _{B}:V\to K^{n}$ che associa ad ogni vettore $\mathbf {v} \in V$ le sue coordinate $\phi _{B}(\mathbf {v} )=[\mathbf {v} ]_{B}$ rispetto a $B$ è un isomorfismo di spazi vettoriali, cioè un'applicazione lineare biettiva, la cui trasformazione inversa $\phi _{B}^{-1}:K^{n}\to V$ è data da:

    $\phi _{B}^{-1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$

Questa funzione viene anche chiamata rappresentazione standard di $V$ rispetto a $B$.

## Cambiamento di coordinate

Siano $B$ e $C$ due basi diverse di $V$. Siano $\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\dots ,\mathbf {b} _{n}$ i vettori che compongono la base $B$.

Si denoti con $[M]_{C}^{B}$ la matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori $\mathbf {b} _{i}$ rispetto ai vettori della base $C$:

    $[M]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}\ [\mathbf {b} _{1}]_{C}&\cdots &[\mathbf {b} _{n}]_{C}\ \end{bmatrix}}$

Tale matrice prende il nome di matrice di cambiamento di base da $B$ a $C$. Si ha allora:

    $[\mathbf {v} ]_{C}=[M]_{C}^{B}[\mathbf {v} ]_{B}\qquad [\mathbf {v} ]_{B}=([M]_{C}^{B})^{-1}[\mathbf {v} ]_{C}$

In particolare, la matrice $[M]_{C}^{B}$ è la matrice associata all'identità rispetto alle basi $B$ e $C$.

