Semispazio di Poincaré
# Semispazio di Poincaré

Il semispazio di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il disco di Poincaré.

## Definizione

Il semispazio di Poincaré è il semispazio $n$-dimensionale

    $H^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ x_{n}>0\}$

dotato del tensore metrico

    $ds^{2}={\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{x_{n}^{2}}}.$

In altre parole, il tensore metrico nel punto $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ è

    $g_{ij}={\frac {1}{x_{n}^{2}}}\delta _{ij}$

dove $\delta$ è la delta di Kronecker. Cioè

    $g={\frac {1}{x_{n}^{2}}}I$

dove $I$ è la matrice identità $n$-dimensionale. Si tratta quindi dell'usuale tensore metrico euclideo, riscalato di un fattore positivo

    ${\frac {1}{x_{n}^{2}}}$

che dipende dal punto, e che tende a infinito se il punto si avvicina all'iperpiano $x_{n}=0$.

## Proprietà

Il tensore metrico è definito positivo in ogni punto: il semispazio di Poincaré è quindi una varietà riemanniana di dimensione $n$. Su una varietà riemanniana sono quindi definiti i concetti di distanza, geodetica e angolo. Attraverso una opportuna inversione circolare si può costruire facilmente un isomorfismo tra questo modello e il disco di Poincaré.

