Spazio primo-numerabile
# Spazio primo-numerabile

In topologia, uno spazio topologico si dice primo-numerabile se soddisfa il primo assioma di numerabilità, ovvero se ogni suo punto ammette un sistema fondamentale di intorni numerabile.

## Proprietà

Una delle proprietà notevoli di uno spazio topologico X primo-numerabile è che per ogni suo sottoinsieme A, un punto x appartiene alla sua chiusura se e soltanto se esiste una successione di punti di A che converge a x. Questo risultato ha delle conseguenze circa le nozioni di limite e continuità. In particolare, se f è una funzione il cui dominio è uno spazio primo-numerabile X, allora f ammette un limite L nel punto x se e soltanto se per ogni successione $x_n$ → x, dove $x_n$ ≠ x per ogni n, si ha $f(x_n)$ → L. Inoltre, f risulterà continua in x se e soltanto se per ogni successione $x_n$ convergente a x, la successione dei punti immagine $f(x_n)$ convergerà a f(x).

Negli spazi primo-numerabili, le proprietà di compattezza per successioni e compattezza numerabile sono equivalenti. Tuttavia, esistono spazi topologici compatti per successioni e compatto-numerabili che non sono compatti (tali spazi non possono essere spazi metrici). Un esempio di spazio topologico con queste caratteristiche è lo spazio ordinale $[0,ω_1)$ con la topologia ordinata. Ogni spazio topologico primo-numerabile è uno spazio compattamente generato (ovvero k-spazio).

Ogni sottospazio topologico di uno spazio topologico primo-numerabile è primo-numerabile. Il prodotto numerabile di spazi topologici primo-numerabili è uno spazio primo-numerabile.

