Operatore normale
# Operatore normale

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un operatore normale in uno spazio di Hilbert (complesso), o equivalentemente in una C*-algebra, è un operatore lineare continuo che commuta con il suo aggiunto. Questi operatori sono importanti per il fatto che ad essi si applica il teorema spettrale.

Inoltre, nel caso finito-dimensionale, la matrice associata a un operatore normale rispetto a una base ortonormale dello spazio di Hilbert è una matrice normale.

## Definizione

Dato uno spazio di Hilbert $H$ definito sul campo dei numeri complessi, un endomorfismo $N:H\to H$ si dice normale se:

    $N\,N^{*}=N^{*}N$

In modo equivalente, $N$ è normale se e solo se:

    $\|N(v)\|=\|N^{*}(v)\|\quad \forall v\in H$

Si ha inoltre che:

    ${\textrm {Ker}}(N^{*})={\textrm {Ker}}(N)$
    ${\textrm {Im}}(N^{*})={\textrm {Im}}(N)$

Tra gli endomorfismi normali vi sono gli endomorfismi autoaggiunti, gli endomorfismi emisimmetrici e gli endomorfismi unitari.

## Il teorema spettrale

Gli operatori normali sono soggetti al teorema spettrale: gli autovalori, in questo caso, sono in generale numeri complessi.

Sia $T$ un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione finita $n$, dotato di un prodotto hermitiano, cioè di una forma hermitiana definita positiva. Il teorema spettrale afferma che $T$ è un operatore normale se e solo se esiste una base ortonormale di $V$ composta da autovettori di $T$. L'endomorfismo $T$ è quindi diagonalizzabile.

Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria, ovvero per ogni matrice normale $H$ esistono una matrice unitaria $U$ ed una diagonale $D$ per cui:

    $D=U^{-1}HU=\,^{t}\!{\bar {U}}HU$

I vettori colonna di $U$ sono gli autovettori di $A$ e sono reciprocamente ortogonali.

Come corollario segue che l'operatore $T$ è autoaggiunto se e solo se la base ortonormale conta solo autovalori reali, mentre se $T$ è unitario il modulo degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti reali, mentre quelli di una matrice unitaria sono di modulo 1.

## Decomposizione spettrale

Il teorema spettrale fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore rispetto ad una base ortonormale. Quando questo risulta possibile nel caso finito-dimensionale, ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli autospazi sono in somma diretta. Un operatore normale può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi ad ogni autospazio.

Nel caso infinito-dimensionale la normalità, ed in particolare l'autoaggiuntezza, non garantisce la diagonalizzabilità. In generale un operatore normale non può essere più scritto come combinazione lineare di proiettori ortogonali. Attraverso la misura a valori di proiettore è tuttavia possibile ottenere una scrittura integrale che permette di descrivere l'operatore in termini del suo spettro.

### Caso finito-dimensionale

Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di $T$ sono ortogonali e in somma diretta:

    $V=V_{\lambda _{1}}\oplus \ldots \oplus V_{\lambda _{k}}$

Equivalentemente, se $P_{\lambda }$ è la proiezione ortogonale su $V_{\lambda }$, si ha:

    $A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{k}P_{\lambda _{k}}\qquad P_{\lambda }P_{\mu }=0\quad \lambda \neq \mu$

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari.

### Caso infinito-dimensionale

Sia $A$ un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert $H$. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore $P^{A}$ tale per cui:

    $A=\int _{\sigma (A)}zdP^{A}(x,y)\qquad z:=(x,y)\to x+iy\in \mathbb {C} \quad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$

dove $\sigma (A)={\mbox{supp}}(P^{A})$ è lo spettro di $A$. Si dice che $P^{A}$ è la misura a valori di proiettore associata ad $A$.

In particolare, se $A$ è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

    $P^{A}(\Omega )=\chi _{\Omega }(A)$

definita sullo spettro $\sigma (A)$ di $A$, in cui $\chi _{\Omega }$ è la funzione indicatrice. Tale misura può essere univocamente associata ad $A$ nel seguente modo:

    $(\phi ,f(A)\psi ):=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )d(\phi ,P^{A}(\lambda )\psi )\quad \forall \phi ,\psi \in H$

per ogni funzione misurabile limitata $f$, e in tal caso si ha:

    $A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}\qquad f(A)=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )dP^{A}$

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di $A$.

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) $A$ a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare $A$ tramite una misura a valori di proiettore limitata $P^{A}$ allora $P^{A}$ è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad $A$. Ogni operatore limitato autoaggiunto $A$ può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata $P^{A}$.

