Gauge di Lorenz
# Gauge di Lorenz

Nell'ambito della teoria di gauge, il gauge di Lorenz è la scelta dei potenziali del campo elettromagnetico tali da soddisfare la condizione (detta condizione di Lorenz):

    $\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$

dove $\mathbf {A}$ è il potenziale magnetico e $\varphi$ il potenziale elettrico.

Tale condizione ha la proprietà di essere Lorentz invariante e di rispettare i gradi di libertà forniti dalle trasformazioni di gauge: se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz. La condizione di Lorenz è una proprietà imposta al potenziale elettromagnetico utilizzata nel calcolo di campi elettromagnetici variabili nel tempo attraverso i potenziali ritardati.

Tale scelta appare particolarmente conveniente in elettrodinamica nella soluzione delle equazioni di Maxwell, ed in particolare nel calcolo dei potenziali ritardati e nello studio della propagazione delle onde elettromagnetiche. Tale condizione nella scelta della gauge si estende anche ad altri campi vettoriali, come il campo di Yang-Mills.

Questa scelta di gauge prende il nome dal fisico Ludvig Lorenz, da non confondere con il più noto Hendrik Lorentz.

## Descrizione

La condizione di Lorenz:

    $\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$

può essere scritta in notazione tensoriale:

    $\partial _{\mu }A^{\mu }\equiv \partial ^{\mu }A_{\mu }=0$

dove $A^{\mu }$ è il potenziale elettromagnetico.

Si può dimostrare che nell'ambito di questo gauge le equazioni del potenziale elettromagnetico possono essere espresse in forma simmetrica:

    $\Box \mathbf {A} =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}$
    $\Box \varphi =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\varphi ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho$

dove $c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$ è la velocità della luce nel vuoto e $\Box$ l'operatore d'Alembertiano. Tali relazioni valgono tuttavia anche in mezzi polarizzati se $\rho$ e $\mathbf {J}$ sono le densità sorgenti dei campi $\mathbf {E}$ e $\mathbf {B}$ calcolate a partire dai potenziali $\varphi \$ ed $\mathbf {A}$ attraverso le definizioni di campo elettrico e campo magnetico a partire dai loro potenziali:

    $\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Le soluzioni esplicite per i potenziali sono uniche se è posto che si annullino all'infinito sufficientemente rapidamente, e sono le equazioni di ritardo:

    ${\mathit {\mathrm {\varphi } }}(\mathbf {r} ,{\mathit {t}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',{\mathit {t}}_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\tau '$
    $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,{\mathit {t}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',{\mathit {t}}_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\tau '$
