Numero di Dottie
# Numero di Dottie

In matematica, il numero di Dottie è una costante che è l'unica radice reale dell'equazione

    $\cos x=x,$

dove l'argomento del coseno è in radianti. L'espansione decimale del numero di Dottie è $0,739085\ldots$.

Essendo $\cos(x)-x$ strettamente decrescente, attraversa lo zero solo in un punto. Ciò implica che l'equazione $\cos(x)=x$ ha una sola soluzione reale. È l'unico punto fisso reale della funzione coseno ed è un esempio non banale di punto fisso di attrazione universale. È anche un numero trascendente a causa del teorema di Lindemann-Weierstrass. Il caso generalizzato $\cos z=z$ per una variabile complessa $z$ ha infinite radici, ma a differenza del numero di Dottie, non attraggono punti fissi.

Usando la serie di Taylor dell'inverso di $f(x)=\cos x-x$ in π/2 {\textstyle {\frac {\pi }{2}}} (o equivalentemente, il teorema di inversione di Lagrange), il numero di Dottie può essere espresso come la serie infinita $π/2+∑_{ndispari}a_nπ^n{\textstyle$ {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\, {\text{dispari}}}a_{n}\pi ^{n}} dove ciascun $a_{n}$ è un numero razionale definito per $n$ dispari come

    $a_{n}={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial x^{n-1}}}{\left({\frac {\cos x}{x-\pi /2}}-1\right)^{-n}},$

i cui primi valori sono:

    $a_{1}=-{\frac {1}{4}};$
    $a_{3}=-{\frac {1}{768}};$
    $a_{5}=-{\frac {1}{61440}};$
    $a_{7}=-{\frac {43}{165150720}}.$

Samuel Kaplan riferisce che il nome deriva da una professoressa di francese che aveva notato il numero ottenuto premendo ripetutamente il pulsante del coseno sulla sua calcolatrice.

