Operatore unitario
# Operatore unitario

In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.

Gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali costituiscono l'insieme delle matrici unitarie. Nel caso possiedono tutti gli elementi reali, le matrici unitarie sono dette matrici ortogonali e sono corrispondenti agli operatori unitari su $\mathbb {R} ^{n}$.

## Definizione

Si definisce operatore unitario un isomorfismo $U:{\mathcal {H}}_{1}\rightarrow {\mathcal {H}}_{2}$ tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare:

    $(\phi ,\psi )=(U\phi ,U\psi )\qquad \forall \phi ,\psi \in {\mathcal {H}}_{1}$

In modo equivalente, un operatore unitario è un operatore tale che:

    $U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=1$

dove si indica con $U^{\dagger }$ l'aggiunto dell'operatore $U$.

In particolare, la norma di un operatore unitario è unitaria:

    $\|U\|=1$

In spazi vettoriali a dimensione finita la surgettività è garantita dal fatto che un operatore unitario è un isomorfismo, e da essa discende l'invertibilità.

## Spettro

Lo spettro di un operatore unitario $U$ giace sulla circonferenza unitaria, ovvero per ogni numero $\lambda \in \mathbb {C}$ nello spettro si ha $|\lambda |=1$. Questo fatto può essere visto come una conseguenza del teorema spettrale per operatori normali, che stabilisce che $U$ è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione $f\in L^{2}(\mu )$ misurabile rispetto alla sigma-algebra di uno spazio di misura finito $(X,\mu )$ con misura di Borel $\mu$. Allora, dal momento che $UU^{\dagger }=I$ implica $|f(x)|^{2}=1$ quasi ovunque rispetto a $\mu$, lo spettro essenziale di $f$, e dunque lo spettro di $U$, è contenuto nella circonferenza unitaria.

## Linearità

La linearità di un operatore unitario può essere derivata a partire dalla linearità del prodotto interno definito positivo:

    $\langle \lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x)\rangle$
    $=\|\lambda \cdot Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-\langle U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux\rangle -\langle \lambda \cdot Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle$
    $=|\lambda |^{2}\cdot \|Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle U(\lambda \cdot x),Ux\rangle -\lambda \cdot \langle Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle$
    $=|\lambda |^{2}\cdot \|x\|^{2}+\|\lambda \cdot x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle \lambda \cdot x,x\rangle -\lambda \cdot \langle x,\lambda \cdot x\rangle$
    $=0$

In modo analogo si ottiene:

    $\langle U(x+y)-(Ux+Uy),U(x+y)-(Ux+Uy)\rangle =0$
