Centralizzatore
# Centralizzatore

In algebra, e più specificamente in teoria dei gruppi, si intende per centralizzatore (o "centralizzante") di un dato elemento $g$ appartenente ad un gruppo $(G,*)$ l'insieme:

    $Z(g):=\{h\in G\mid h*g=g*h\}$

In altre parole, $Z(g)$ è l'insieme degli elementi di $G$ che commutano con $g$.

Tale insieme si denota solitamente con $Z(g)$, in sintonia con la convenzione di utilizzare la lettera $Z$ (senza parametro) per indicare il centro di un gruppo (convenzione che a sua volta deriva dal tedesco Zentrum, centro).

## Proprietà del centralizzatore

Il centralizzatore di un qualsiasi elemento di $G$ è un sottogruppo, e la verifica di questo fatto è semplice: siano $h_{1}$ e $h_{2}$ due elementi appartenenti al $Z(g)$. Allora:

    $(h_{1}*h_{2})*g=h_{1}*(h_{2}*g)=h_{1}*(g*h_{2})=(h_{1}*g)*h_{2}=g*(h_{1}*h_{2})\Rightarrow h_{1}*h_{2}\in Z(g)$

Inoltre, se per assurdo ci fosse un elemento $h$ tale che $h$ commuti con $g$ ma il suo inverso no, avremmo:

    $g*e=g*h*h^{-1}=h*g*h^{-1}\not =h*h^{-1}*g=g$, dove $e$ è l'identità del gruppo, e quindi $g*e\not =g$ è un assurdo.

Infine, l'identità commuta con ogni elemento del gruppo, quindi $\forall g\in G,e\in Z(g)$.

Il centralizzatore di un elemento si dice banale se coincide con il gruppo stesso. I centralizzatori sono evidentemente tutti banali nei gruppi abeliani, ed in generale il centralizzatore di un elemento $g$ è banale se e solo se $g$ appartiene al centro del gruppo.

## Normalizzatore

Un concetto correlato è quello di normalizzatore, indicato con $N_G(S)$ o semplicemente con N(S), la cui definizione si ottiene da quella di 'centralizzatore', sostituendo però il singolo elemento g con un sottoinsieme S di G (non necessariamente un sottogruppo di G).

### Definizione

Il normalizzatore di S in G è quindi l'insieme $N_G(S)$ = {x ∈ G : xS = Sx}. Anche in questo caso, come si può banalmente dimostrare, N(S) è un sottogruppo di G. Ancora più banale è constatare che la definizione sussume quella di 'centralizzatore' (è sufficiente sostituire g con il singoletto $\{g\}$).

Il normalizzatore deve il suo nome al fatto che se il sottoinsieme S è anche un sottogruppo di G, allora N(S) è il più grande sottogruppo di G che abbia S come sottogruppo normale. Il normalizzatore non deve essere confuso con la chiusura rispetto al coniugio.

### Sottogruppo auto-normalizzante

Un sottogruppo H di G è detto un sottogruppo auto-normalizzante di G se $N_G(H)$ = H.

