Q di Yule
# Q di Yule

La variabile di test Q di Yule è un indice di associazione, ideato dallo statistico scozzese George Udny Yule, e usato in tabelle statistiche dette di contingenza $2\times 2$.

Un indicatore ideato dallo stesso autore è la Y di Yule. Rispetto quest'ultima il valore assoluto è sempre maggiore ($|Q|>|Y|$) a meno che non vi sia indipendenza o completa associazione.

## Storia

L'indice venne presentato da Yule nell'articolo On the association of attributes in statistics e fu al centro di una controversia con il matematico e statistico inglese Karl Pearson. La posizione di Pearson era che alla base di una tabella di contingenza vi fosse un fenomeno continuo e gaussiano, invece che un fenomeno discreto come sostenuto da Yule, che considerava poco scientifico fare ipotesi non desiderate e non verificabili.

Pearson, inoltre, notava che "collassando" una tabella $N\times N$, riducendola a 2x2, si ottengono risultati differenti a seconda di come vengono aggregati i valori. Questa osservazione rimane tuttora valida.

## Metodologia

    $Q=(\alpha -1)/(\alpha +1)$

ove

    $\alpha =(P_{11}/P_{21})/(P_{12}/P_{22})$ è il cosiddetto odds ratio
    $P_{ij}=P(A_{i}B_{j})$ ove sia $i$ che $j$ assumono i valori 1 e 2

Tale indice $Q$ varia tra -1 e +1, ove 0 indica l'indipendenza.

$Q$ può essere stimato da

    $q=(a-1)/(a+1)$

dove in questo caso

    $a=(f_{11}/f_{21})/(f_{12}/f_{22})$ in analogia a $\alpha$ (con il vincolo che $f_{ij}$ sia sempre maggiore di zero

mentre la varianza di $q$ viene stimata con

    $s^{2}(q)=1/4(1-q)^{2}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}1/f_{ij}$

## Esempio

    $a=(0,074/0,333)/(0,296/0,296)=0,222$
    $q=(0,222-1)/(0,222+1)=-0,636$

### Valori di q differenti

Collassando una tabella $N\times N$ a una $2\times 2$, a causa del criterio di aggregazione dei valori, si possono ottenere valori di $q$ differenti. (cf. osservazione di Karl Pearson)

Se per esempio i dati di partenza fossero stati

assegnando il "Boh!" ai "No" si ottiene la tabella e il $q=-0,636$ di cui sopra, mentre assegnandolo ai "Si" si ottiene la tabella seguente:

con l'indicatore $q$ che si attenua diventando $q=-0,448$

