Gruppo di Galois assoluto
# Gruppo di Galois assoluto

Il gruppo di Galois assoluto di un campo Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): K è per definizione il gruppo di Galois di $K_{s}$ su $K$, dove $K_{s}$ denota la chiusura separabile di $K$. In alternativa può essere definito come il gruppo di tutti gli automorfismi di $K_{s}$ che fissano $K$. Si noti che se $K$ è un campo perfetto (come nel caso in cui $K$ ha caratteristica zero o è un campo finito), allora $K_{s}$ coincide con la chiusura algebrica ${\bar {K}}$ di $K$.

## Esempi

* Il gruppo di Galois assoluto di un campo algebricamente chiuso è banale.
* Il gruppo di Galois assoluto del campo dei numeri reali è un gruppo ciclico di due elementi (il coniugio complesso e l'identità), poiché $\mathbb {C}$ è la chiusura separabile di $\mathbb {R}$ e $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2.$
* Il gruppo di Galois assoluto di un campo finito $K$ è isomorfo al gruppo

       ${\hat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} .$
    (Per la notazione vedere limite inverso.)
    L'automorfismo di Frobenius $\mathrm {Fr}$ è un generatore (topologico) canonico di $G_{K}$ (si ricordi che $\mathrm {Fr} (x)=x^{q}$ per ogni $x\in K^{alg}$, dove $q$ è il numero di elementi di $K$).
* Il gruppo di Galois assoluto del campo delle funziono razionali con coefficienti complessi è libero (come un gruppo profinito). Questo risultato è dovuto a Adrien Douady e ha le sue origini nel teorema di esistenza di Riemann.
* Più in generale, sia $C$ un campo algebricamente chiuso e $x$ una variabile. Il gruppo di Galois assoluto di $K=C(x)$ è libero di rango uguale alla cardinalità di $C.$ Questo risultato è dovuto a David Harbater e Florian Pop, e fu dimostrato nuovamente in seguito da Dan Haran e Moshe Jarden usando metodi algebrici.
* Sia $K$ un'estensione finita del campo dei numeri p-adici $\mathbb {Q} _{p}.$ Per $p\neq 2,$ il suo gruppo di Galois assoluto è generato da $[K:\mathbb {Q} _{p}]+3$ elementi e ha una descrizione esplicita in termni di generatori e relazioni. Questo è un risultato di Uwe Jannsen e Kay Wingberg. Alcuni risultati sono noti per il caso $p=2,$ ma la struttura per $\mathbb {Q} _{2}$ non è nota.
* Un altro caso in cui il gruppo di Galois assoluto è stato determinato è per il massimo sottocampo totalmente reale del campo dei numeri algebrici.
