Spazio paracompatto
# Spazio paracompatto

In topologia, una branca della matematica, uno spazio paracompatto è una leggera generalizzazione del concetto di spazio compatto, cioè di uno spazio i cui punti sono "vicini" tra loro.

## Definizione

Uno spazio topologico $X$ è paracompatto se ogni ricoprimento aperto ${\mathcal {F}}$ di $X$ ammette un raffinamento localmente finito, cioè se esiste un ricoprimento aperto ${\mathcal {G}}$ di $X$ tale che:

* ogni $G\in {\mathcal {G}}$ è contenuto in un elemento di ${\mathcal {F}}$;
* ogni $x\in X$ ammette un intorno $U_{x}$ che interseca solo un numero finito di elementi di ${\mathcal {G}}$.

In alcuni casi viene aggiunta anche la richiesta che $X$ sia uno spazio di Hausdorff.

## Esempi

* Ogni spazio compatto è paracompatto: infatti un sottoricoprimento è anche un raffinamento, e ogni sottoricoprimento finito è anche localmente finito.
* Gli aperti e i chiusi di $\mathbb {R} ^{n}$ sono paracompatti.
* Ogni varietà topologica è paracompatta.
* Più in generale, ogni spazio metrizzabile è paracompatto (teorema di Stone).
* L'insieme dei numeri reali con la topologia del limite inferiore (la retta di Sorgenfrey) è paracompatto.
* Ogni spazio di Lindelöf regolare è paracompatto.

## Proprietà

* Ogni spazio paracompatto di Hausdorff è normale (teorema di Dieudonné).
* Ogni sottospazio chiuso di un paracompatto è paracompatto.
* Il prodotto topologico di uno spazio paracompatto e di uno spazio compatto è paracompatto, ma non lo è necessariamente il prodotto di due paracompatti: un famoso controesempio è dato dal prodotto della retta di Sorgenfrey con sé stessa (il piano di Sorgenfrey).
* L'essere uno spazio paracompatto è una condizione necessaria per l'esistenza delle partizioni dell'unità.
