Albero delle terne pitagoriche primitive
# Albero delle terne pitagoriche primitive

In matematica un albero di terne pitagoriche primitive è una struttura ad albero in cui ogni nodo rappresenta una terna pitagorica primitiva; da ogni nodo si ramificano tre nodi. L'albero contiene l'insieme infinito di tutte e sole le terne pitagoriche primitive esistenti.

## Terne pitagoriche primitive

Una terna di numeri interi $a,b,c\in \mathbb {N}$ è una terna pitagorica se $a^{2}+b^{2}=c^{2}$; è una terna pitagorica primitiva se $a,b,c$ non hanno fattori in comune, cioè se $MCD(a,b,c)=1$.

Ogni terna pitagorica può essere parametrizzata tramite una coppia di numeri interi $m,n\in \mathbb {N}$ con $m>n\geq 1$ che abbiano parità diversa (cioè uno sia pari e l'altro dispari):

    $a=m^{2}-n^{2}$ (cateto dispari)
    $b=2mn$ (cateto pari)
    $c=m^{2}+n^{2}$ (ipotenusa)

La relazione inversa permette di calcolare $m,n$ per ogni terna:

    $m={\sqrt {\frac {c+a}{2}}}$
    $n={\sqrt {\frac {c-a}{2}}}$

Considerando $a,b$ e $m,n$ come coordinate del piano complesso ($z_{1}=a\,i+b$ e $z_{2}=m\,i+n$), si hanno le rispettive coordinate polari $c,\theta$ e $r,\alpha$. Si ottiene la relazione:

    $z_{2}^{2}=(m+n\,i)^{2}=(m^{2}-n^{2})+(2mn)i=a+b\,i=z_{1}$

da cui $c=r^{2}$ e $\theta =2\alpha$.

La relazione tra gli angoli può anche essere ottenuta da:

    $\tan {\theta }={\frac {b}{a}}={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}={\frac {2(n/m)}{1-(n/m)^{2}}}={\frac {2\tan {\alpha }}{1-\tan ^{2}{\alpha }}}=\tan {2\alpha }$

## Alberi di terne pitagoriche primitive

Gli alberi di terne pitagoriche primitive sono ottenuti a partire da un valore iniziale, tipicamente la terna (3,4,5) o la coppia (2,1), a cui sono applicate tre diverse trasformazioni lineari. È stato dimostrato che esistono solo tre possibili alberi.

Le tre matrici associate a ogni albero possono essere riferite alla tripla $a,b,c$ oppure alla coppia $m,n$

    ${\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}}\iff {\begin{pmatrix}j_{11}&j_{12}\\j_{21}&j_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}m'\\n'\end{pmatrix}}$

### Albero UAD

Il primo albero utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

    $U={\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}},\,A={\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}},\,D={\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}}$

con le corrispondenti per le coppie:

    $U'={\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,A'={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}},\,D'={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}$

### Albero FB

Il secondo albero, introdotto da Firstov e Price, utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

    $M_{1}={\begin{pmatrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{pmatrix}},\,M_{2}={\begin{pmatrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{pmatrix}},\,M_{3}={\begin{pmatrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\end{pmatrix}}$

con le corrispondenti per le coppie:

    $M_{1}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}},\,M_{2}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}},\,M_{3}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}}$

### Albero UMT

Il terzo albero, determinato da Firstov, ha le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

    $U={\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}},\,M=M_{2}={\begin{pmatrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{pmatrix}},\,T=M_{1}\cdot D={\begin{pmatrix}-2&3&3\\-6&2&6\\-6&3&7\end{pmatrix}}$

con le corrispondenti per le coppie:

    $U'={\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,M'=M_{2}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}},\,T'=M_{1}'\cdot D'={\begin{pmatrix}1&3\\0&2\end{pmatrix}}$
