Spazio lenticolare
# Spazio lenticolare

In matematica, uno spazio lenticolare è una particolare varietà ellittica. Si tratta di una 3-varietà avente una struttura di varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque pari a +1. Uno spazio lenticolare è indicato con

    $L(p,q)$

e dipende da una coppia di interi coprimi $(p,q)$. Gli spazi lenticolari sono 3-varietà particolarmente semplici, il cui gruppo fondamentale è un gruppo ciclico finito.

## Definizione

Sia $S^{3}$ l'ipersfera in $\mathbb {R} ^{4}$. Identificando $\mathbb {R} ^{4}$ con $\mathbb {C} ^{2}$, questa può essere definita come

    $S^{3}={\big \(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}\ {\big |}\ |z|^{2}+|w|^{2}=1{\big \}}.$

Sia $(p,q)$ una coppia di interi coprimi, con $p>0$. Sia $\omega$ la radice dell'unità

    $\omega =e^{2\pi i/p}.\,\!$

Anche l'elemento $\omega ^{q}$ è una radice primitiva $p$-esima dell'unità. Si consideri l'applicazione lineare

    $f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$
    $f(z,w)=(\omega z,\omega ^{q}w).$

La mappa $f$ è un isomorfismo lineare su $\mathbb {C}$. Poiché $|\omega |=|\omega ^{q}|=1$, la $f$ preserva la norma dei vettori e quindi manda $S^{3}$ in sé. Letta su $\mathbb {R} ^{4}$, è rappresentata da una matrice ortogonale $4\times 4$. Si tratta quindi di una isometria di $\mathbb {R} ^{4}$: in particolare, preserva $S^{3}$ e si restringe ad una isometria di $S^{3}$

    $f:S^{3}\to S^{3}.$

L'isometria $f$ genera un gruppo di isometrie

    $\{f,f^{2},\ldots ,f^{p}={\rm {id}}\}\,\!$

isomorfo al gruppo ciclico di ordine $p$. Lo spazio lenticolare è lo spazio quoziente rispetto a questo gruppo di isometrie.

## Proprietà

### Varietà ellittica

Il gruppo di isometrie generato da $f$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il quoziente è quindi una varietà topologica compatta e la proiezione

    $p:S^{3}\to L(p,q)\,\!$

è un rivestimento. Si tratta del rivestimento universale, poiché $S^{3}$ è semplicemente connessa.

Poiché la $f$ è una isometria, il quoziente $L(p,q)$ eredita una struttura di varietà riemanniana. Come $S^{3}$, questa ha curvatura sezionale ovunque pari a +1 ed è quindi un esempio di varietà ellittica.

### Gruppo fondamentale

Il gruppo fondamentale di $L(p,q)$ è isomorfo al gruppo ciclico $\mathbb {Z} /_{p\mathbb {Z} }$.

## Dipendenza dai parametri

Gli spazi $L(p,q)$ e $L(p',q')$:

* hanno lo stesso gruppo fondamentale se e solo se $p=p'$;
* sono isometrici se e solo se sono omeomorfi, e questo accade se e solo se $p=p'$ e

    $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}};$
* sono omotopicamente equivalenti se e solo se $p=p'$ e

    $q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}.$

Per quanto scritto, solitamente si suppone $p>q>0$.

Tra gli spazi lenticolari vi sono quindi esempi di 3-varietà con lo stesso gruppo fondamentale ma non omotopicamente equivalenti, ad esempio

    $L(5,1),\quad L(5,2)$

e varietà omotopicamente equivalenti ma non omeomorfe, ad esempio

    $L(7,1),\quad L(7,2).$

Per $p=2$ si ottiene soltanto la varietà $L(2,1)$; in questo caso la funzione $f$ è la mappa antipodale e quindi il quoziente $L(2,1)$ è lo spazio proiettivo reale

    $L(2,1)=\mathbb {R} \mathbb {P} ^{3}.$

## Geometrizzazione

Uno spazio lenticolare è sempre una 3-varietà irriducibile e prima.

Per la congettura di geometrizzazione di Thurston, dimostrata da Grigori Perelman, una 3-varietà compatta avente gruppo fondamentale ciclico finito è necessariamente uno spazio lenticolare.

