Funzione antiolomorfa
# Funzione antiolomorfa

In matematica, le funzioni antiolomorfe (chiamate anche funzioni antianalitiche) sono una famiglia di funzioni strettamente collegate alle funzioni olomorfe ma distinte da quest'ultime.

Una funzione $f$ definita in un insieme aperto $A$ nel piano complesso è detta antiolomorfa se è derivabile in senso reale (vale a dire, se $\Re (f)$ e $\Im (f)$ sono funzioni reali derivabili) e la sua derivata rispetto a $z$ è identicamente nulla in $A$. Questa definizione si contrappone ad una delle definizioni equivalenti di funzione olomorfa, dove viene richiesto che $f$ sia derivabile in senso reale e la sua derivata rispetto a ${\bar {z}}$ sia nulla.

Dalla relazione ${\frac {\overline {\partial f}}{\partial z}}={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}}}$ segue che $f$ è antiolomorfa se e solo se ${\bar {f}}$ è olomorfa.

Osserviamo che se $g(z)$ è una funzione olomorfa in un insieme aperto $D$, allora $f(z):=g({\bar {z}})$ è una funzione antiolomorfa in ${\bar {D}}$, dove ${\bar {D}}$ è la riflessione rispetto all'asse x dell'insieme $D$; in altre parole, ${\bar {D}}$ è l'insieme dei complessi coniugati degli elementi di $D$. Quindi ogni funzione antiolomorfa può essere ottenuta in questo modo partendo da una funzione olomorfa. Ciò implica che una funzione è antiolomorfa se e solo se può essere espansa in serie di potenze nella variabile ${\bar {z}}$ in un intorno di ogni punto del suo dominio.

Se una funzione è sia olomorfa che antiolomorfa allora è costante in ogni componente connessa del suo dominio. Per definizione, una funzione che dipenda sia da $z$ che da ${\bar {z}}$ non può essere olomorfa né antiolomorfa.

