Tabella di contingenza
# Tabella di contingenza

Le tabelle di contingenza sono un particolare tipo di tabelle a doppia entrata (cioè tabelle con etichette di riga e di colonna), utilizzate in statistica per rappresentare e analizzare le relazioni tra due o più variabili. In esse si riportano le frequenze congiunte delle variabili.

## Esempi

Il caso più semplice è quello delle tabelle tetracoriche, in cui ciascuna delle due variabili assume solo due possibili valori, per esempio:

| CapelliOcchi | biondi | non biondi | Totale |
| - | - | - | - |
| chiari | 21 | 19 | 40 |
| non chiari | 9 | 51 | 60 |
| Totale | 30 | 70 | 100 |

in cui, tra le 100 persone esaminate, 30 hanno capelli biondi, 40 hanno occhi chiari, e 21 hanno capelli biondi e occhi chiari. Da questi dati è possibile ricavare i dati restanti della tabella.

Utilizzando le tabelle di contingenza e operando specifici calcoli su di esse, si può arrivare a determinare la dipendenza o indipendenza tra le due variabili considerate, ad esempio in base al valore assunto dall'indice di contingenza quadratico $\chi ^{2}$ (di Pearson).

Le due variabili considerate sono di tipo quantitativo discreto o qualitativo. Indicando tali variabili con $X$ e $Y$, e rispettivamente con $x_{i}\;(i=1,2,\dots ,h)$ e $y_{j}\;(j=1,2,\dots ,k)$ le modalità rilevate per le due variabili, a ogni coppia $(x_{i},y_{j})$ si fa corrispondere nella tabella la sua frequenza associata $n_{i,j}$, cioè il numero di elementi, tra gli $n$ della popolazione, che possiedono contemporaneamente la modalità $x_{i}$ di $X$ e $y_{j}$ di $Y$.

| YX | $y_{1}$ | $y_{2}$ | $\dots$ | $y_{j}$ | $\dots$ | $y_{k}$ | Totale |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| $x_{1}$ | $n_{1,1}$ | $n_{1,2}$ | $\dots$ | $n_{1,j}$ | $\dots$ | $n_{1,k}$ | $n_{1,\cdot }$ |
| $x_{2}$ | $n_{2,1}$ | $n_{2,2}$ | $\dots$ | $n_{2,j}$ | $\dots$ | $n_{2,k}$ | $n_{2,\cdot }$ |
| $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\ddots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $x_{i}$ | $n_{i,1}$ | $n_{i,2}$ | $\dots$ | $n_{i,j}$ | $\dots$ | $n_{i,k}$ | $n_{i,\cdot }$ |
| $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\ddots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $x_{h}$ | $n_{h,1}$ | $n_{h,2}$ | $\dots$ | $n_{h,j}$ | $\dots$ | $n_{h,k}$ | $n_{h,\cdot }$ |
| Totale | $n_{\cdot ,1}$ | $n_{\cdot ,2}$ | $\dots$ | $n_{\cdot ,j}$ | $\dots$ | $n_{\cdot ,k}$ | $n$ |

dove

* $n_{i,\cdot }=\sum _{j=1}^{k}n_{i,j}\;(i=1,2,\dots ,h)$ rappresenta le frequenze marginali assolute di $X$,
* $n_{\cdot ,j}=\sum _{i=1}^{h}n_{i,j}\;(j=1,2,\dots ,k)$ rappresenta le frequenze marginali assolute di $Y$.

Sommando tutte le frequenze assolute presenti nella tabella, troveremo la numerosità $n$ della popolazione:

$\sum _{i=1}^{h}\sum _{j=1}^{k}n_{i,j}=\sum _{i=1}^{h}n_{i,\cdot }=\sum _{j=1}^{k}n_{\cdot ,j}=n$

Dalle frequenze assolute $n_{i,j}$ si ottengono le frequenze relative $f_{i,j}$ calcolando

$f_{i,j}=\left({\frac {n_{i,j}}{n}}\right)$

| YX | $y_{1}$ | $y_{2}$ | $\dots$ | $y_{j}$ | $\dots$ | $y_{k}$ | Totale |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| $x_{1}$ | $f_{1,1}$ | $f_{1,2}$ | $\dots$ | $f_{1,j}$ | $\dots$ | $f_{1,k}$ | $f_{1,\cdot }$ |
| $x_{2}$ | $f_{2,1}$ | $f_{2,2}$ | $\dots$ | $f_{2,j}$ | $\dots$ | $f_{2,k}$ | $f_{2,\cdot }$ |
| $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\ddots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $x_{i}$ | $f_{i,1}$ | $f_{i,2}$ | $\dots$ | $f_{i,j}$ | $\dots$ | $f_{i,k}$ | $f_{i,\cdot }$ |
| $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\ddots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $x_{h}$ | $f_{h,1}$ | $f_{h,2}$ | $\dots$ | $f_{h,j}$ | $\dots$ | $f_{h,k}$ | $f_{h,\cdot }$ |
| Totale | $f_{\cdot ,1}$ | $f_{\cdot ,2}$ | $\dots$ | $f_{\cdot ,j}$ | $\dots$ | $f_{\cdot ,k}$ | $1$ |
