Tabella di Cayley
# Tabella di Cayley

Una tabella di Cayley, detta anche tavola di composizione, è una tabella a doppia entrata che descrive la struttura di un gruppo finito. Deve il nome al matematico britannico Arthur Cayley.

La tabella mostra i risultati di tutti i possibili prodotti tra gli elementi del gruppo, in modo simile ad una tavola pitagorica. Permette di trovare velocemente l'inverso di un dato elemento e di dedurre proprietà del gruppo quali l'abelianità o il centro.

Dato un gruppo $G=\left\{g_{1},g_{2},g_{3},...\right\}$ con operazione binaria $\star$, la tabella di Cayley mostra, per ogni coppia di elementi $g_{i},g_{j}\in G$, il risultato dell'operazione $g_{i}\star g_{j}$. L'intersezione della riga $i$ e della colonna $j$ contiene quindi il risultato del prodotto $g_{i}\star g_{j}$.

Un semplice esempio è la tabella di Cayley per il gruppo $\{1,-1\}$ con moltiplicazione ordinaria.

| × | 1 | −1 |
| - | - | - |
| 1 | 1 | −1 |
| −1 | −1 | 1 |

## Struttura

Siccome una tabella di Cayley può essere usata per descrivere gruppi che non sono abeliani, il prodotto $a\star b$ potrebbe essere diverso da $b\star a$ per una qualche scelta di $a$ e $b$ appartenenti a $G$. Per evitare ambiguità, è in uso la convenzione che l'elemento corrispondente alla riga è a sinistra dell'operazione di moltiplicazione, e quello che corrisponde alla colonna è a destra: quindi l'intersezione della riga di $a$ e della colonna di $b$ contiene $a\star b$ e non $b\star a$, come nel seguente esempio:

| $\star$ | a | b | c |
| - | - | - | - |
| a | $a^2$ | ab | ac |
| b | ba | $b^2$ | bc |
| c | ca | cb | $c^2$ |

## Proprietà

Siccome la moltiplicazione in un gruppo abeliano è commutativa, una tabella di Cayley è simmetrica rispetto alla diagonale se e solo se il gruppo che rappresenta è abeliano. Il gruppo $\left\{1,-1\right\}$ con moltiplicazione ordinaria, mostrato sopra, è un esempio di gruppo con tabella simmetrica.

A causa della proprietà di cancellazione degli elementi di un gruppo, una qualsiasi colonna o riga non può contenere un dato elemento più di una volta. Ne consegue che le righe e le colonne sono permutazioni degli elementi del gruppo.

La tabella di Cayley di un gruppo è quindi un esempio di quadrato latino.

