Link (teoria dei nodi)
# Link (teoria dei nodi)

In matematica, e più precisamente nella teoria dei nodi, un link è una collezione di nodi nello spazio.

## Definizione

Più formalmente, un link è un insieme finito di curve semplici chiuse disgiunte nello spazio euclideo tridimensionale. Tali curve sono supposte differenziabili.

Due link sono ritenuti equivalenti se sono collegati da una isotopia, ovvero da un movimento continuo del link che (a differenza dell'omotopia) richiede che il link "resti tale" ad ogni istante. Tramite la nozione di isotopia, il link modellizza l'idea di un certo numero di elastici flessibili, possibilmente annodati fra loro, che possono essere deformati ma non tagliati né reincollati.

Un link ha quindi un certo numero (finito) di componenti connesse, ciascuna delle quali è un nodo. I link presentano molte analogie con i nodi, poiché sono una loro naturale estensione: come i nodi, possono essere raffigurati tramite diagrammi su un piano, con incroci, e sono generalmente definiti dai matematici dentro la sfera tridimensionale $S^{3}$ piuttosto che dentro lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{3}$: la sfera è infatti ottenuta aggiungendo semplicemente un "punto all'infinito", ed è ritenuta più maneggevole perché compatta.

## Esempi

L'esempio più semplice di link (con almeno due componenti) è il link di Hopf, che consiste di due cerchi annodati come nella figura a sinistra. Può essere rappresentato con un diagramma con soli due incroci.

Gli anelli Borromei hanno una proprietà importante: i tre anelli sono legati fra loro, benché non lo siano a coppie. Più precisamente, rimuovendo uno qualsiasi dei tre anelli, i due anelli rimanenti risultano sciolti, benché i tre insieme non lo siano.

Un link torico è un link contenuto nella superficie di un toro. I link torici sono parametrizzati da una coppia $(p,q)$ di interi, ed il numero di componenti è pari al massimo comune divisore di $p$ e $q$. Ad esempio, il link di Hopf è il link torico $(2,2)$

Il link di Whitehead è invece importante nella topologia della dimensione bassa, perché il suo complementare è un esempio semplice di spazio iperbolico. Anche il complementare degli anelli Borromei è uno spazio iperbolico.

## Psicoanalisi lacaniana

Lo studio della teoria dei nodi segna un momento importante nella topologia di Jacques Lacan, il quale aveva già fatto riferimento allo studio delle superfici con la banda o nastro di Moebius, il toro, il cross-cap, ecc. La topologia è considerata un modo non metaforico di esplorare l'ordine simbolico (il Simbolico) e i suoi rapporti con il Reale e l'Immaginario. La teoria dei nodi non è considerata da Lacan un modello matematico che serve a "rappresentare" la struttura soggettiva, ma un modo di "presentare" la struttura stessa. L'interesse di Lacan a partire dal seminario ou pire[...] si è particolarmente focalizzato sul nodo borromeo, un nodo di sua invenzione che deve il suo nome al simbolo araldico dell'alleanza fra la famiglia Borromea e le famiglie dei Visconti e degli Sforza. Questo nodo ha la particolarità che i tre anelli sono uniti in un modo tale che se uno di essi qualsiasi viene sfilato anche gli altri due si liberano.

Per Lacan ogni anello rappresenta un ordine della struttura soggettiva e nella sua messa in piano gli spazi che ne sono definiti ritagliano dei campi propri di certi fenomeni soggettivi. Nel seminario XXIII Il Sinthomo, Lacan utilizzerà il nodo borromeo per mostrare cosa accade nelle strutture psicotiche dove si verifica un errore nell'annodamento dei tre anelli, dove il Reale non sta sopra il Simbolico in due punti, e si forma quindi un falso anello borromeo. Tuttavia come Lacan scopre nel caso di Joyce, ci può essere correzione dell'errore, ossia del difetto della funzione paterna, con un quarto anello che mantiene la distinzione dei tre registri Reale, Simbolico e Immaginario operando una saldatura. Questo quarto anello che fa tenere insieme è nelle strutture nevrotiche, in termini freudiani, il Complesso d'Edipo, o il Nome-del-Padre per Lacan, in quelle psicotiche è invece chiamato il sinthomo, l'anello che fa da supplenza e che fa sì che la struttura tenga e non ci sia scatenamento della psicosi.

Con la teoria dei nodi la clinica psicoanalitica lacaniana si caratterizza per l'attenzione alle supplenze soggettive dal momento che il Simbolico non ha alcun primato sul Reale e l'Immaginario e necessita quindi di un quarto anello perché la struttura trovi una sua stabilità.

