Metodo degli spostamenti
# Metodo degli spostamenti

Il metodo degli spostamenti è uno dei due possibili metodi di risoluzione del problema elastico-statico, assieme al metodo degli sforzi.

Partendo dalle equazioni di equilibrio, cinematiche e costitutive:

    $\nabla \cdot \mathbf {T} +\mathbf {f} =\mathbf {0}$
    $\mathbf {\varepsilon } ={\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {s} +\nabla \mathbf {s} ^{T}\right)$
    $\sigma _{ij}=D_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}$

che costituiscono un sistema differenziale del secondo ordine, a 9 incognite in 9 equazioni, si può arrivare a scrivere tre equazioni scalari nelle sole incognite spostamento note come equazioni di Navier. Si noti che $\mathbf {T}$ è il tensore delle tensioni, $\mathbf {f}$ il vettore delle forze esterne e $\mathbf {s}$ il vettore degli spostamenti. Il sistema è del secondo ordine per cui l'ordine di continuità della soluzione è unitario. Gli spostamenti sono quindi soluzione continua come conseguenza della forma matematica del sistema e non occorre aggiungere alcuna condizione di compatibilità o congruenza.

Per arrivare alle equazioni di Navier si parte dalla prima equazione sostituendo agli sforzi le loro espressioni in termini di deformazioni attraverso il legame costitutivo, e quindi sostituendo le deformazioni stesse con le derivate degli spostamenti attraverso il legame cinematico.

Le equazioni di Navier in forma vettoriale si scrivono come:

    $\left(\lambda +G_{m}\right)\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {s} \right)+G\nabla ^{2}\mathbf {s} +\rho \mathbf {F} =\mathbf {0}$

cioè scalarmente:

    ${\begin{cases}\left(\lambda +G_{m}\right)\left(u_{xx}+v_{xy}+w_{xz}\right)+G_{m}\nabla ^{2}{u}+F_{x}=0\\\left(\lambda +G_{m}\right)\left(u_{yx}+v_{yy}+w_{yz}\right)+G_{m}\nabla ^{2}{v}+F_{y}=0\\\left(\lambda +G_{m}\right)\left(u_{zx}+v_{zy}+w_{zz}\right)+G_{m}\nabla ^{2}{w}+F_{z}=0\end{cases}}$

Con:

* $\rho \mathbf {F} =\left(F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\right)$, dove $\mathbf {F}$ è la forza di volume del corpo per unità di massa e $\rho$ è la densità di massa;
* $\{u,\ v,\ w\}$ componenti dello spostamento;
* $\lambda$ è la costante di Lamé, ${\lambda }={\frac {E*\nu }{\left(1+\nu \right)\left(1-2\nu \right)}}$, e G è il modulo di elasticità tangenziale, $G_{m}={\frac {E}{2\left(1+\nu \right)}}$, dove $E$ è il modulo di elasticità longitudinale di Young e $\nu$ è il coefficiente di Poisson.
