Cofinalità
# Cofinalità

In teoria degli insiemi, si dice cofinalità di un dato insieme totalmente ordinato $I$ il più piccolo ordinale tale che esista una funzione cofinale dall'ordinale ad $I$ (ricordiamo che una funzione si dice cofinale se la sua immagine è un sottoinsieme cofinaledel codominio).

In formule,

    $cof(I)=\min\{\alpha {\text{ ordinale }}|\exists f:\alpha \rightarrow I\;\;f(\alpha ){\text{ è cofinale in }}I\}$

Spesso si usa come sinonimo "illimitato" per il termine "cofinale", ma bisogna ben distinguere questa definizione di illimitato con quella generica d'ordine tra sottoinsiemi di insiemi qualunque. Infatti, in questo contesto, per illimitato si intende che nessun taglio iniziale di $I$ contiene tutto $f(\alpha )$, o equivalentemente che dato un qualsiasi elemento $x\in I$ esiste un elemento $y\geq x$ con $y\in f(\alpha )$.

Si dimostra che $cof(I)$ è un cardinale e si arriva alla seguente definizione equivalente:

$cof(I)=\min\{k{\text{ cardinale }}|\quad |X|=k\quad \land \quad X\subseteq I{\text{ è cofinale in }}I\}$

Da notare che questa seconda definizione ha bisogno dell'assioma di scelta, mentre la prima non ne ha bisogno.

## Esempi

In tutti i seguenti esempi si suppone che gli ordinamenti siano quelli "standard".

* $Cof(\mathbb {N} )=\aleph _{0}$
* $Cof(\aleph _{17})=\aleph _{17}$
* $Cof(\aleph _{n})=\aleph _{n}$ per ogni $n\in \mathbb {N}$.
* $Cof(\mathbb {R} )=\aleph _{0}$ in quanto $\mathbb {N}$ è cofinale in $\mathbb {R}$.

Questo non genera una contraddizione perché l'ordine standard dei numeri reali non è isomorfo a quello del cardinale che rappresenta la cardinalità del continuo (altrimenti dovrebbe essere $Cof(\mathbb {R} )>\aleph _{0}$).

* $Cof(\omega _{1})=\aleph _{1}$
* $Cof(\omega _{1}+\omega ^{2})=\aleph _{0}$
* $Cof(\aleph _{\omega })=\aleph _{0}$

## Cofinalità sugli ordinali

Sia α un ordinale, allora valgono le seguenti proprietà

* $cof(\alpha )\leqslant |\alpha |\leqslant \alpha \qquad \forall \alpha \ ordinale$
* $cof(\alpha +\beta )=cof(\beta )\qquad \forall \beta \not =0\quad ordinale$
* $cof(cof(\alpha ))=cof(\alpha )\qquad \forall \alpha \ ordinale$
* $cof(0)=0$
* $cof(\alpha )=1\iff \exists \beta {\text{ ordinale t.c. }}\alpha =\beta +1{\text{}\alpha {\text{ è ordinale successore)}}\$
* $cof(\aleph _{\lambda })=cof(\lambda )\qquad \forall \lambda \quad {\text{ordinale limite}}$

## Ordinali regolari e singolari

Un ordinale α si dice regolare se $cof(\alpha )=\alpha$, mentre si dice singolare se $cof(\alpha )<\alpha$.

Valgono i seguenti fatti:

* 1,0 sono ordinali regolari;
* per le proprietà viste sopra ogni ordinale successore (a parte 1) è singolare; tuttavia, non ogni ordinale limite è regolare: ad esempio $\omega \cdot 2$ ha cofinalità $\aleph _{0}=\omega$;
* un ordinale regolare è anche un cardinale, ma esistono anche cardinali che sono singolari: ad esempio $\aleph _{\omega }=\omega _{\omega }$ ha cofinalità $\aleph _{0}=\omega$.
* per ogni $\alpha$ ordinale $cof(\alpha )$ è un ordinale regolare.
