Pseudo-inversa
# Pseudo-inversa

In matematica, e in particolare in algebra lineare, la matrice pseudo-inversa, o pseudo-inversa di Moore-Penrose, di una matrice data $A$ si indica con $A^{+}$ ed è la generalizzazione della matrice inversa al caso in cui $A$ non sia quadrata.

La matrice pseudo-inversa interviene nella soluzione del problema dei minimi quadrati.

## Definizione

Data la matrice $A$ di dimensioni $n\times m$, una matrice $m\times n$ è detta pseudo-inversa di $A$ se verifica le seguenti quattro proprietà:

* $AA^{+}A=A,$
* $A^{+}AA^{+}=A^{+},$
* $(AA^{+})^{T}=AA^{+},$
* $(A^{+}A)^{T}=A^{+}A.$

Data una matrice $A$, esiste un'unica matrice pseudo-inversa che verifica le precedenti proprietà.

Se la matrice $A$ ha rango massimo esiste una semplice espressione algebrica per determinare la pseudo-inversa. In particolare, data la matrice $A$ di dimensioni $n\times m$ con $n\geq m$ e rango $m$, la matrice pseudo-inversa di $A$ è la matrice

    $A^{+}=(A^{T}A)^{-1}A^{T},$

ed è un'inversa sinistra, cioè

    $A^{+}A=I,$

dove $I$ è la matrice identità. Invece se $A$ di dimensioni $n\times m$ con $n\leq m$ e rango $n$ la matrice pseudo-inversa è la seguente

    $A^{+}=A^{T}(AA^{T})^{-1},$

ed è un'inversa destra, cioè

    $AA^{+}=I.$

## Formula generale

Sia $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ una matrice reale di rango $r\leq \min\{n,m\}$. Utilizzando la decomposizione ai valori singolari (SVD) della matrice $A$, si ha

    $A=U\Sigma V^{T}$

dove $U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times m}$, $V\in \mathbb {R} ^{m\times m}$. Le matrici $U,V$ sono matrici unitarie; inoltre, in generale, non sono uniche. Invece, la matrice $\Sigma$ è unica, è una matrice rettangolare diagonale e contiene tutti i valori singolari della matrice $A$ sulla sua diagonale principale, ordinati in ordine decrescente: $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{r}>0$. Con tale formulazione, segue che la pseudo-inversa della matrice iniziale è data da

    $A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{T}$

dove $\Sigma ^{+}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ (pseudo-inversa di $\Sigma$) è esplicitamente calcolabile prendendo la trasposta di $\Sigma$ e sostituendo ai valori singolari non nulli, $\sigma _{1},\dots ,\sigma _{r}$, il loro reciproco. La dimostrazione della validità della formula segue per calcolo diretto.

Inoltre, utilizzando la riscrittura data dalla SVD, si può verificare che:

    $AA^{+}=U{\begin{bmatrix}I_{r\times r}&0_{r\times (n-r)}\\0_{(n-r)\times r}&0_{(n-r)\times (n-r)}\end{bmatrix}}U^{T}$

ed analogamente

    $A^{+}A=V{\begin{bmatrix}I_{r\times r}&0_{r\times (m-r)}\\0_{(m-r)\times r}&0_{(m-r)\times (m-r)}\end{bmatrix}}V^{T}$.

Tutte le formule precedenti valgono anche nel caso di matrici complesse, a patto di sostituire il trasposto con il trasposto coniugato.

## Proprietà

* La pseudo-inversa della pseudo-inversa è la matrice iniziale: $(A^{+})^{+}=A$.
* Se $A$ è quadrata con rango massimo allora la pseudo-inversa coincide con la matrice inversa standard: $A^{+}=A^{-1}$.
* La pseudo-inversa della trasposta è la trasposta della pseudo-inversa: $(A^{+})^{T}=(A^{T})^{+}$.
