Teorema della probabilità totale
# Teorema della probabilità totale

Il teorema della probabilità totale consente di calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di due o più eventi, ovvero la probabilità dell'unione di essi. Il teorema ha due diverse formulazioni, a seconda che si considerino solo eventi a due a due incompatibili o eventi qualsiasi.

## Eventi incompatibili

Dato un insieme $A_{i}$ finito o numerabile di eventi a due a due incompatibili, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale alla somma delle probabilità degli eventi.

Questa è una prima formulazione del teorema, che si dimostra come segue.

Nel caso di due eventi $A$ e $B$ incompatibili, se cioè $A\cap B=\varnothing$, si applica il terzo assioma della probabilità:

    $A\cap B=\varnothing \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Si dimostra per induzione che ciò vale anche per un insieme finito di eventi $A_{n}$ a due a due incompatibili, ovvero che:

    $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing ,i\neq j\Rightarrow P\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})$

Essendo la probabilità una funzione di insieme continua, essendo quindi:

    $P\left(\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }P(A_{n})$

il risultato può essere esteso ad unioni numerabili di eventi:

    $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing ,i\neq j\Rightarrow P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$

Infatti:

* dalla definizione di limite per successioni di insiemi crescenti si ha:

       $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$;
* dalla continuità delle funzioni di probabilità segue:

       $P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=P\left(\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }P\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$

### Esempio

Se si lancia un dado, e si indicano con $A_{1}\ldots A_{6}$ gli eventi "ottengo $1$", ..., "ottengo $6$", gli eventi sono a due a due incompatibili ed hanno ciascuno probabilità pari a ${\frac {1}{6}}$. La probabilità dell'evento "ottengo un numero maggiore di $4$" è:

    $P(A_{5}\cup A_{6})={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$

## Eventi qualsiasi

Dato un insieme finito $A_{i}$ di eventi, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale a:

    ${\begin{aligned}P(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n})=&\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})-\sum _{i_{1}<i_{2}}P(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}})+\cdots \\&+(-1)^{r+1}\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}}P(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \cdots \cap A_{i_{r}})+\cdots \\&+(-1)^{n+1}P(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n})\end{aligned}}$

dove ciascuna somma $\ \sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}}$ è calcolata per tutti gli ${n \choose r}$ possibili sottoinsiemi di $r$ elementi dell'insieme $\{1,2,\dots ,n\}$.

È questa la formulazione più generale del teorema, che vale anche per eventi non incompatibili e si dimostra come segue.

Se gli eventi considerati non sono a due a due incompatibili, si deve tenere conto delle loro intersezioni. In particolare, la probabilità di due eventi $A$ e $B$, in generale, è pari alla somma delle singole probabilità $P(A)$ e $P(B)$ diminuita della probabilità della loro intersezione:

    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Infatti, scomponendo sia $A\cup B$ che $B$ in unioni di insiemi disgiunti ed applicando ad esse il quarto assioma, si ha:

    ${\begin{aligned}&A\cup B=A\cup ({\overline {A}}\cap B),&P(A\cup B)=P(A)+P({\overline {A}}\cap B)\\&B=(A\cap B)\cup ({\overline {A}}\cap B),&P(B)=P(A\cap B)+P({\overline {A}}\cap B)\end{aligned}}$

Sottraendo membro a membro le due equazioni si ha:

    $\ P(A\cup B)-P(B)=P(A)-P(A\cap B)$

da cui segue la formula data sopra.

Con più di due eventi, alla somma delle probabilità di ciascuno si deve sottrarre la somma delle loro intersezioni due a due, poi aggiungere la somma delle loro intersezioni tre a tre e così via. Nel caso di tre eventi $A,\,B$ e $C$, si ha:

    $\ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$

La formula per il caso di $n$ eventi si dimostra per induzione (v. anche il principio di inclusione-esclusione).

Il teorema nella sua forma generale non può essere esteso a unioni numerabili di eventi. In tali casi risulta applicabile solo la disuguaglianza di Boole.

### Esempi

Se si lanciano due dadi e si indicano con $A_{1}$ l'evento "il primo dado dà $6$", con $A_{2}$ l'evento "il secondo dado dà $6$", l'evento "almeno un dado dà $6$" è unione di due eventi non incompatibili, in quanto può verificarsi anche la loro intersezione ("entrambi i dadi danno $6$"). La probabilità di ottenere almeno un $6$ (anche più di uno quindi) è dunque:

    $P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{36}}={\frac {11}{36}}$

In un ristorante vi sono 3 sale ed entrano 10 persone, ciascuna delle quali sceglie a caso una sala. Qual è la probabilità che almeno una delle sale resti vuota? Le persone possono scegliere le sale in $3^{10}$ modi diversi (numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 10); vi sono $2^{10}$ modi di lasciar vuota una sala (le 10 persone si dispongono solo in due sale). Indicando con $A_{i}$ l'evento "rimane vuota la $i-$esima sala", le probabilità sono:

    $P(A_{1})=P(A_{2})={\frac {2^{10}}{3^{10}}}$

La probabilità dell'evento "rimane vuota una sala" è:

    $P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})={\frac {2^{10}+2^{10}-1}{3^{10}}}$

in quanto potrebbero restarne vuote due (un solo caso possibile: tutti nell'altra).

