Formula di Black
# Formula di Black

La formula di Black (cui spesso si fa riferimento come al modello di Black-76) è una formula per valutare il prezzo di strumenti derivati basata sul noto modello di Black e Scholes. Ampiamente utilizzata nella prassi dei mercati, in particolare per opzioni su futures e su obbligazioni, è stata introdotta da Fischer Black in un contributo del 1976.

Il principale problema della formula è la difficoltà con cui può essere adattata per prezzare strumenti il cui valore dipende dalla correlazione tra i prezzi di diverse attività finanziarie.

## Formula di Black (1976)

La formula è simile alla formula di Black e Scholes per il prezzo di opzioni europee su azioni; la principale differenza è che il prezzo del sottostante è ora il prezzo di un contratto forward o di un futures.

Il prezzo di un'opzione call $\ C$, con prezzo d'esercizio $\ K$ e scadenza $\ T$, è dato da:

$\ C(F_{t},t)=e^{-r(T-t)}\left(F_{t}N(d_{1})-KN(d_{2})\right)$

dove $\ r$ è il tasso d'interesse su base annua, supposto costante per tutta la durata del contratto, $\ N(\cdot )$ denota la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale standard, e

       $\ d_{1}={\frac {\ln {\frac {F_{t}}{K}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}};\quad d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$

dove $\ \sigma ^{2}$ è la varianza istantanea percentuale del prezzo forward o future del sottostante. Per un'opzione put, l'espressione corrispondente è:

$\ P(F_{t},t)=e^{-r(T-t)}\left(KN(-d_{2})-F_{t}N(-d_{1})\right)$

## Derivazione della formula e suoi aspetti critici

La derivazione del modello segue strettamente quella delle formule di Black e Scholes, cui si rinvia; l'ipotesi di log-normalità del processo del prezzo spot è in questo caso sostituita dall'ipotesi che sia il prezzo forward a seguire un processo lognormale.

L'approccio del cambiamento del numerario ha definitivamente mostrato la validità del risultato di Black, a lungo considerato soltanto un'approssimazione.

Il modello è utilizzato per il prezzaggio di opzioni su futures e swaption. È stato fatto osservare, d'altra parte, che il tasso swap, sottostante un swaption, è una media di tassi forward; appare dunque poco convincente utilizzare il modello di Black per prezzare opzioni su contratti futures (assumendo che il tasso forward abbia distribuzione lognormale) e swaption (assumendo che il tasso swap abbia distribuzione lognormale), dal momento che una media di variabili casuali lognormali non ha necessariamente distribuzione lognormale. In effetti ciò è verificato solamente nel caso in cui i tassi ricompresi nel tasso swap siano perfettamente correlati; fare tale ipotesi significherebbe sacrificare il realismo del modello (a beneficio, ad ogni modo, della sua trattabilità).

