Teorema della traccia
# Teorema della traccia

Il teorema della traccia è un importante risultato di analisi funzionale che permette di definire il restringimento ad un dominio una funzione definita quasi ovunque, per la quale quindi, essendo i bordi del dominio di misura di Lebesgue nulla, non sarebbe è possibile farlo nella maniera classica.

Tale restringimento permette quindi di estendere teoremi che legano i valori di una funzione ai suoi valori sul bordo del dominio di definizione, come ad esempio il teorema di Green Gauss. Inoltre tale teorema ci permette di formulare una definizione alternativa degli spazi di Sobolev $W_{0}^{m,p}$.

Il teorema di seguito riportato chiede per il dominio $\Omega$ condizioni più stringenti di regolarità rispetto a quelle strettamente necessarie. Infatti, le condizioni minime sono quelle per l'esistenza di soluzioni delle requazioni di Dirichlet non omogenee.

## Definizione di traccia

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ un aperto e limitato e sia $u\in H^{m}(\Omega )$, dove abbiamo indicato con $H^{m}(\Omega )$ lo spazio di Sobolev $W^{m,2}(\Omega )$. Un operatore lineare continuo $\gamma =(\gamma _{0},\ldots ,\gamma _{m}):H^{m}(\Omega )\to \left(L^{2}(\partial \Omega )\right)$ si dice operatore di traccia se per ogni $u\in H^{m}(\Omega )\cap C^{\infty }({\bar {\Omega }})$ risulta $\gamma _{0}(u)=u\vert _{\partial \Omega }$, $\gamma _{i}(u)={\frac {\partial ^{i}u}{\partial \nu ^{i}}}\vert _{\partial \Omega }$, per ogni $i=1,\ldots ,m-1$, dove $\nu$ indica la normale esterna al bordo di $\Omega$.

## Teorema

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto limitato di classe $C^{m+1}$, allora esiste un operatore traccia $\gamma =(\gamma _{0},\ldots ,\gamma _{m}):H^{m}(\Omega )\to \left(L^{2}(\partial \Omega )\right)$ tale che

* se $u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})$, allora $\gamma _{0}(u)=u\vert _{\partial \Omega }$, $\gamma _{i}(u)={\frac {\partial ^{i}u}{\partial \nu ^{i}}}\vert _{\partial \Omega }$, per ogni $i=1,\ldots ,m$-1, dove $\nu$ indica la normale esterna al bordo di $\Omega$;
* l'immagine di $\gamma$ è un sottospazio di $\left(L^{2}(\partial \Omega )\right)^{m}$, più precisamente è $\prod _{j=0}^{m-1}H^{m-j-{\frac {1}{2}}}(\partial \Omega )$;
* il nucleo di $\gamma$ è lo spazio di Hilbert $H_{0}^{m}(\Omega )$.

## Conseguenze

La traccia permettere di estendere il teorema di Green-Gauss a funzioni definite su spazi di Sobolev.

### Teorema di Green

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto limitato di classe $C^{1}$. Siano $u$ e $v$ in $H^{1}(\Omega )$. Allora, per ogni $i=1,\ldots ,m$

    $\int _{\Omega }u(x){\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}(x)dx=-\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}(x)v(x)dx+\int _{\partial \Omega }\gamma _{0}(u)(x)\gamma _{0}(v)(x)\nu _{i}(x)d\sigma (x),$

dove $\nu _{i}(x)$ indica l'$i$-esima componente del versore normale uscente dal bordo di $\Omega$ in $x$.

## Definizione di $H_{0}^{m}(\Omega )$

Conseguenza immediata del teorema è che si può definire lo spazio di Hilbert $H_{0}^{m}(\Omega )$ come il nucleo dell'operatore traccia.

