Gruppo di Mathieu
# Gruppo di Mathieu

In matematica, i gruppi di Mathieu sono 5 gruppi finiti semplici scoperti nel 1860 e nel 1873 dal matematico francese Émile Mathieu. Questi gruppi vengono denotati con $M_n,$ dove n può assumere i valori 11, 12, 22, 23 e 24. In genere essi vengono considerati come gruppi di permutazioni di n punti. Essi sono stati i primi gruppi sporadici ad essere individuati.

## Gruppi molteplicemente transitivi

I gruppi di Mathieu costituiscono esempi di gruppi molteplicemente transitivi. Per un numero intero positivo k, un gruppo di permutazioni G agente su n punti si dice k-transitivo se per ogni coppia di insiemi di k punti ${a_1,$ ... $a_k}$ e ${b_1,$ ... $b_k}$ (con tutti gli $a_i$ mutuamente distinti e tutti i $b_i$ mutuamente distinti), nel gruppo G si trova un elemento g che per ogni i = 1 , ..., k porta $a_i$ in $b_i.$

I gruppi $M_{24}$ ed $M_{12}$ sono 5-transitivi, i gruppi $M_{23}$ e $M_{11}$ sono 4-transitivi ed $M_{22}$ è 3-transitivo.

Dalla classificazione dei gruppi finiti semplici segue che gli unici gruppi k-transitivi per k maggiore o uguale a 4 sono i gruppi simmetrici e i gruppi alternanti (aventi gradi k e k-2 rispettivamente) e i gruppi di Mathieu $M_{24},$ $M_{23},$ $M_{12}$ ed $M_{11}.$

## Ordini

| Gruppo | Ordine | Fattorizzazione dell'ordine |
| - | - | - |
| $M_{11}$ | 7 920 | $2^4.3^2.5.11$ |
| $M_{12}$ | 95 040 | $2^6.3^3.5.11$ |
| $M_{22}$ | 443 520 | $2^7.3^2.5.7.11$ |
| $M_{23}$ | 10 200 960 | $2^7.3^2.5.7.11.23$ |
| $M_{24}$ | 244 823 040 | $2^{10}.3^3.5.7.11.23$ |

## Due realizzazioni dei gruppi di Mathieu

### Gruppo degli automorfismi dei sistemi di Steiner

A meno di una relazione di equivalenza, esiste un unico sistema di Steiner S(5,8,24). Il gruppo $M_{24}$ è il gruppo degli automorfismi di tale sistema; in altre parole esso è l'insieme delle permutazioni che portano ogni blocco in qualche altro blocco. $M_{23}$ ed $M_{22}$ sono definiti come i sottogruppi di $M_{24}$ che sono rispettivamente stabilizzatore di un singolo punto e stabilizzatore di due punti.

Similmente esiste, a meno di un'equivalenza, un solo sistema di Steiner S(5,6,12) e il gruppo $M_{12}$ è il suo gruppo degli automorfismi; $M_{11}$ è il suo sottogruppo stabilizzatore di un punto.

### Gruppo degli automorfismi del codice binario di Golay

Il gruppo $M_{24}$ si può anche realizzare come gruppo degli automorfismi del codice binario di Golay W. Ricordiamo che questo codice è un insieme di 1024 sequenze binarie (parole-codice) collocate nello spazio $V=F_2^{24}$ delle sequenze di 24 bits. $M_{24}$ può vedersi come il gruppo delle permutazioni delle coordinate di V che trasforma W in sé stesso. Possiamo anche riguardare $M_{24}$ come l'intersezione di $S_{24}$ con lo stabilizzatore Stab(W) nel gruppo degli automorfismi Aut(V).

I sottogruppi semplici $M_{23},$ $M_{22},$ $M_{12}$ ed $M_{11}$ si possono definire rispettivamente come gli stabilizzatori in $S_{24}$ rispettivamente di una singola coordinata, di una coppia ordinata di coordinate, di un sottoinsieme di 12 elementi dell'insieme delle coordinate corrispondente ad una parola-codice, di una parola codice di 12 elementi insieme ad una singola coordinata.

