Tavola dei gruppi piccoli
# Tavola dei gruppi piccoli

Viene qui presentata una tavola dedicata ai gruppi finiti di ordine piccolo, cioè di cardinalità contenuta. Vengono elencati tutti i gruppi con al più 19 elementi.

Tavole di questo tipo, oltre a fornire numerosi esempi, sono anche utili per capire "che tipo di gruppo è" un gruppo dato (cioè, più formalmente, a quale di questi è isomorfo). Infatti in molti casi alcune semplici informazioni facilmente calcolabili, come la cardinalità e il fatto che sia abeliano o meno, sono sufficienti a determinare il gruppo dato.

## Notazioni usate

* $C_n:$ gruppo ciclico di ordine n, si assume come convenzione che $C_n=$ { e, a, $a^2,$ $a^3,$ $a^4,$ $a^5,...,$ $a^{n-1}$ }.
* $D_n:$ gruppo diedrale di ordine 2n: $D_n=$$\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle$
* $S_n:$ gruppo simmetrico di grado n, costituito dalle n! permutazioni di n oggetti.
* $A_n:$ gruppo alternante di grado n, costituito dalle n!/2 permutazioni pari degli n oggetti. Tale gruppo può essere visto come sottogruppo di indice 2 del gruppo $S_n.$
* $Dic_n:$ gruppo diciclico di ordine 4n.
* e: elemento neutro del gruppo.
* <a>: sottogruppo ciclico generato dall'elemento a.

La notazione G × H denota il prodotto diretto di due gruppi G e H. I gruppi abeliani e i gruppi semplici vengono segnalati. Per i gruppi di ordine n < 60, i gruppi semplici sono precisamente i gruppi ciclici $C_n,$ per n numero primo. Per denotare la relazione di isomorfismo tra gruppi usiamo il segno di uguaglianza "=".

Nei grafi dei cicli dei gruppi l'elemento identità è raffigurato da un cerchietto nero.

## Tavola

| Ordine | Gruppo | Proprietà | Sottogruppi normali | Sottogruppi massimali |
| - | - | - | - | - |
| 1 | Gruppo banale = $C_1$ = $S_1$ = $A_2$ | abeliano | $C_1$ = $S_1$ = $A_2$ | |
| 2 | $C_2$ = $S_2$ | abeliano, semplice, il più piccolo gruppo non banale | {e}, $C_2$ = $S_2$ | {e} |
| 3 | $C_3$ = $A_3$ | abeliano, semplice | {e}, $C_3$ = $A_3$ | {e} |
| 4 | $C_4$ | abeliano | {e}, $<a^2>,$ $C_4$ | $<a^2>$ |
| 4 | Gruppo di Klein = $C_2$ × $C_2$ = $D_2$ | abeliano, il più piccolo gruppo non ciclico | {e}, <r>, <s>, <rs>, $Dic_1$ | <r>, <s>, <rs> |
| 5 | $C_5$ | abeliano, semplice | {e}, $C_5$ | {e} |
| 6 | $C_6$ = $C_2$ × $C_3$ | abeliano | {e}, $<a^2>,$ $<a^3>,$ $C_6$ | $<a^2>,$ $<a^3>$ |
| 6 | $S_3$ = $D_3$ | il più piccolo gruppo non abeliano | {e}, $A_3=<(1,2,3)>,$ $S_3$ | <(1,2)>, <(2,3)>, <(1,3)>, $A_3$ |
| 7 | $C_7$ | abeliano, semplice | {e}, $C_7$ | {e} |
| 8 | $C_8$ | abeliano | {e}, $<a^4>,$ $<a^2>,$ $C_8$ | $<a^2>$ |
| 8 | $C_2$ $×C_4$ | abeliano | | |
| 8 | $C_2$ × $C_2$ × $C_2$ = $D_2$ × $C_2$ | abeliano | | |
| 8 | $D_4$ | non abeliano | | |
| 8 | Gruppo dei quaternioni, $Q_8$ = $Dic_2$ | non abeliano; il più piccolo gruppo hamiltoniano | | |
| 9 | $C_9$ | abeliano | | |
| 9 | $C_3$ × $C_3$ | abeliano | | |
| 10 | $C_{10}$ = $C_2$ × $C_5$ | abeliano | | |
| 10 | $D_5$ | non abeliano | | |
| 11 | $C_{11}$ | abeliano, semplice | | |
| 12 | $C_{12}$ = $C_4$ × $C_3$ | abeliano | | |
| 12 | $C_2$ × $C_6$ = $C_2$ × $C_2$ × $C_3$ = $D_2$ × $C_3$ | abeliano | | |
| 12 | $D_6$ = $D_3$ × $C_2$ | non abeliano | | |
| 12 | $A_4$ | non abeliano | | |
| 12 | $Dic_3$ = prodotto semidiretto di $C_3$ e $C_4,$ dove $C_4$ agisce su $C_3$ per inversione | non abeliano | | |
| 13 | $C_{13}$ | abeliano, semplice | | |
| 14 | $C_{14}$ = $C_2$ × $C_7$ | abeliano | | |
| 14 | $D_7$ | non abeliano | | |
| 15 | $C_{15}$ = $C_3$ × $C_5$ | abeliano | | |
| 16 | $C_{16}$ | abeliano | | |
| 16 | $C_2$ × $C_2$ × $C_2$ × $C_2$ | abeliano | | |
| 16 | $C_2$ × $C_2$ × $C_4$ | abeliano | | |
| 16 | $C_2$ × $C_8$ | abeliano | | |
| 16 | $C_4$ × $C_4$ | abeliano | | |
| 16 | $D_8$ | non abeliano | | |
| 16 | Gruppo generalizzato dei quaternioni, $Q_{16}$ = $Dic_4$ | non abeliano | | |
| 16 | $C_2$ × $D_4$ | non abeliano | | |
| 16 | $C_2$ × $Q_8$ | non abeliano | | |
| 16 | Gruppo quasidiedrale di ordine 16 | non abeliano | | |
| 16 | Gruppo modulare di ordine 16 | non abeliano | | |
| 16 | Prodotto semidiretto di $C_4$ e $C_4$ dove un fattore agisce sull'altro per inversione | non abeliano | | |
| 16 | Gruppo generato dalle matrici di Pauli | non abeliano | | |
| 16 | $G_{4,4}$ | non abeliano | | |
| 17 | $C_{17}$ | abeliano, semplice | | |
| 18 | $C_{18}$ | abeliano | | |
| 18 | $D_9$ | non abeliano | | |
| 18 | $C_3$ × $S_3$ | non abeliano | | |
| 18 | $C_6$ × $C_3$ | abeliano | | |
| 18 | Prodotto semidiretto di $C_3$ × $C_3$ e $C_2$ | non abeliano | | |
| 19 | $C_{19}$ | abeliano, semplice | | |

## Biblioteca dei gruppi piccoli

Il sistema di algebra computazionale GAP contiene la "Small Groups library" che consente di accedere alla descrizione dei gruppi di ordine "piccolo". Anche in questa biblioteca i gruppi sono presentati a meno di isomorfismo, cioè attraverso rappresentanti delle classi di isomorfismo.

Attualmente la biblioteca contiene i seguenti gruppi:

* quelli di ordine non superiore a 2000, eccettuati quelli di ordine 1024 (si tratta di ben 423 164 062 gruppi);
* i gruppi di ordine $5^5$ e $7^4$ (92 gruppi);
* i gruppi di ordine $q^n·p$ dove $q^n$ è multiplo di $2^8,$ $3^6,$ $5^5$ o $7^4$ e dove p è un primo arbitrario diverso da q;
* quelli il cui ordine si fattorizza in al più 3 fattori primi.

Essa contiene descrizioni esplicite dei gruppi presentati in un formato leggibile da computer.

Questa biblioteca è stata costruita e organizzata da Hans Ulrich Besche, Bettina Eick ed Eamonn O'Brien.

