Condizione di Hölder
# Condizione di Hölder

In matematica, la condizione di Holder è una generalizzazione della condizione di Lipschitz.

Si verificano le seguenti relazioni di inclusione per funzioni definite su un sottoinsieme compatto della retta reale: differenziabilità con continuità ⊆ continuità di Lipschitz ⊆ α-Hölderianità ⊆ continuità uniforme ⊆ continuità; con 0 < α ≤1.

## La condizione

Una funzione di variabile reale $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ soddisfa la condizione di Hölder di ordine $\alpha$, con $0<\alpha \leq 1$, se esiste una costante $C>0$ tale che: per ogni $x,y\in (a,b)$

    $|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }$

Il numero $\alpha$ si dice esponente di Hölder, mentre $f$ si dice Hölder-continua o hölderiana.

La condizione, che può essere definita anche per funzioni tra spazi metrici, generalizza la lipschitzianità, che si realizza quando $\alpha =1$. Se $\alpha =0$, tale condizione si riduce alla limitatezza della funzione. Le uniche funzioni che soddisferebbero la condizione di Hölder per $\alpha >1$ sono quelle costanti, dunque tale caso è di poco interesse.

Se $0<\alpha \leq \beta \leq 1$ ogni funzione hölderiana con esponente $\beta$ e definita su un sottoinsieme limitato di $\mathbb {R}$ è anche hölderiana con esponente $\alpha$. Dunque tutte le funzioni lipschitziane sono $\alpha$-hölderiane.

## Spazio delle funzioni holderiane

Lo spazio di Hölder $C^{n,\alpha }(\Omega )$ delle funzioni definite nel sottoinsieme aperto $\Omega$ dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{N}$, che insieme con le loro derivate fino all'ordine $n$-esimo soddisfano la condizione di Hölder con esponente $\alpha$, è uno spazio vettoriale topologico e possiede seminorma data da:

    $\|f\|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}$

se $n=0$ e:

    $\|f\|_{C^{n,\alpha }}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|+\max _{|\beta |=n}\|D^{\beta }f\|_{C^{0,\alpha }}$

se $n>0$, dove $\beta$ varia tra i multiindici.

## Compattezza in spazi di Hölder

Sia $\Omega$ un sottoinsieme limitato di qualche spazio metrico totalmente limitato e siano $0<\alpha <\beta \leq 1$ due esponenti di Hölder. Allora, si verifica l'inclusione dei corrispondenti spazi di Hölder:

    $C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega )$

che è continua dal momento che la disuguaglianza:

    $|f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }$

vale per tutte le $f\in C^{0,\beta }(\Omega )$. Inoltre, tale inclusione è compatta, ovvero gli insiemi limitati nella norma $|f|_{0,\beta }$ sono relativamente compatti nella norma $|f|_{0,\alpha }$. Si tratta di una conseguenza del teorema di Ascoli-Arzelà: infatti, sia $(u_{n})$ una successione in $f\in C^{0,\beta }(\Omega )$. Grazie al risultato di Ascoli-Arzelà si può assumere senza perdita di generalità che $u_{n}\to u$ uniformemente e anche che $u=0$. Allora:

    $|u_{n}-u|_{0,\alpha }=|u_{n}|_{0,\alpha }\to 0$

poiché

    ${\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}|u_{n}(x)-u_{n}(y)|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}$

e quindi si ha:

    $|u_{n}(x)-u_{n}(y)|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq \left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1)$

## Esempi

* La funzione ${\sqrt {x}}$ definita in $[0,3]$ è hölderiana per ogni $\alpha \leq {1 \over 2}$.
