Teorema della media integrale
# Teorema della media integrale

In matematica, il teorema della media integrale è un teorema che mette in relazione le nozioni di integrale e di funzione continua per le funzioni di una variabile reale. Una funzione continua definita su un intervallo ha come immagine ancora un intervallo: il teorema della media integrale stabilisce che la media integrale della funzione sia un valore incluso nell'intervallo immagine.

## Il teorema

Il concetto di media integrale è una generalizzazione dell'idea di media aritmetica. L'idea è quella di calcolare il valore medio assunto da una funzione $f$ su un intervallo $[a,b]$ calcolando la media aritmetica dei valori che la funzione assume su un insieme finito (molto grande) di punti distribuiti uniformemente nell'intervallo, cioè si suddivide l'intervallo in $N$ sottointervalli $[x_{k},x_{k+1}]$ tutti di lunghezza $(b-a)/N$ e si calcola la media:

che può essere scritta anche come:

    ${\frac {1}{b-a}}\sum _{i=0}^{N}{\frac {b-a}{N}}f(x_{i})$

Dalla definizione di integrale di Riemann segue che considerando quantità $N$ sempre maggiori di punti questa espressione converge al valore:

    ${{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

che viene chiamato media integrale di $f$.

Il teorema afferma che se $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ è continua (quindi integrabile) allora esiste $c\in [a,b]$ tale che:

    ${{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)$

In modo equivalente:

    $\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(c)$

## Dimostrazione

Essendo $f$ continua in $[a,b]$, per il teorema di Weierstrass essa è dotata di massimo $M$ e di minimo $m$ su $[a,b]$, quindi si ha:

    $m\leq f(x)\leq M$

Dalla proprietà di monotonia dell'integrale risulta:

    $\int _{a}^{b}m\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}M\,dx$

Nei membri a destra e a sinistra della disuguaglianza si sta integrando una funzione costante, quindi si ha:

    $\int _{a}^{b}m\,dx=m\int _{a}^{b}\,dx=m(b-a)$

e analogamente:

    $\int _{a}^{b}M\,dx=M\int _{a}^{b}\,dx=M(b-a)$

Si ottiene quindi:

    $m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)$

ovvero, se $b>a$:

    $m\leq {{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M$

Per il teorema dei valori intermedi $f$ deve assumere in $[a,b]$ tutti i valori compresi tra:

    $\sup _{[a,b]}f=M{\mbox{ e }}\inf _{[a,b]}f=m$

quindi, in particolare, esiste un $c\in [a,b]$ tale che:

    $f(c)={{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx$
