Formula di Cauchy-Binet
# Formula di Cauchy-Binet

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la formula di Cauchy-Binet è un risultato che generalizza il teorema di Binet, consentendo di calcolare il determinante del prodotto di due matrici tali per cui il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda e il numero di colonne della seconda è uguale al numero di righe della prima.

La formula è valida per matrici con valori in un qualsiasi anello commutativo.

## Enunciato

Siano $A$ e $B$ due matrici rispettivamente di tipo $m\times n$ e $n\times m$. Il loro prodotto $AB$ è quindi una matrice quadrata $m\times m$.

La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di $AB$ come:

    $\det(AB)=\sum _{S}\det(A_{S})\det(B_{S}),$

dove $S$ varia fra i sottoinsiemi con $m$ elementi dell'insieme $\{1,\ldots ,n\}$. Per ogni $S$, la matrice $A_{S}$ è la sottomatrice quadrata di ordine $m\times m$ ottenuta da $A$ prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a $S$. Analogamente, $B_{S}$ è la sottomatrice quadrata di ordine $m\times m$ ottenuta da $B$ prendendo solo le righe i cui indici appartengono a $S$.

## Proprietà

* Nel caso in cui $m=n$, la somma si effettua su un solo termine e la formula coincide con l'enunciato del teorema di Binet.
* Se $m>n$, l'insieme $S$ è vuoto ed il determinante è quindi nullo.
* Se $m<n$, l'insieme $S$ consta di ${\binom {n}{m}}$ elementi (il numero è descritto usando un coefficiente binomiale).

## Interpretazione nello spazio euclideo

Se $A$ è una matrice reale $m\times n$, il determinante di $A^{t}A$ è uguale al quadrato del volume $m$-dimensionale del parallelotopo in $\mathbb {R} ^{n}$ generato dalle colonne di $A$.

La formula di Binet-Cauchy descrive quindi questa quantità come la somma dei quadrati dei volumi delle proiezioni ortogonali sui vari sottospazi coordinati di dimensione $m$. Nel caso $m=1$, queste proiezioni ortogonali sono segmenti, e si ritrova una formulazione del teorema di Pitagora.

## Relazione con il delta di Kronecker generalizzato

La formula di Cauchy–Binet è equivalente alla relazione:

    $\det(L_{f}R_{g})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}),$

dove:

    $L_{f}={\bigl(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )},\qquad R_{g}={\bigl(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}.$

Si ha inoltre:

    $\delta _{g(1)\dots g(m)}^{f(1)\dots f(m)}=\sum _{k:[m]\to [n] \atop k(1)<\dots <k(m)}\delta _{k(1)\dots k(m)}^{f(1)\dots f(m)}\delta _{g(1)\dots g(m)}^{k(1)\dots k(m)}.$
