Moltiplicazione complessa
# Moltiplicazione complessa

In matematica la moltiplicazione complessa (spesso abbreviato con CM, cioè Complex Multiplication) è la teoria delle curve ellittiche che hanno anello degli endomorfismi strettamente più grande di $\mathbb {Z}$ ed è anche la teoria delle varietà abeliane che hanno abbastanza endomorfismi in un senso più specifico (informalmente se l'azione dello spazio tangente sull'elemento identità della varietà abeliana è una somma diretta di moduli di dimensione uno).

La moltiplicazione complessa è un tema centrale in teoria algebrica dei numeri poiché permette ad alcune caratteristiche della teoria dei campi ciclotomici di essere riportate a una più ampia area di applicazione.

David Hilbert ha detto di aver osservato che la teoria della moltiplicazione complessa delle curve ellittiche non è solo una delle parti più belle della matematica, ma di tutta la scienza.

## CM per curve ellittiche

L'anello degli endomorfismi di una curva ellittica può essere isomorfo solamente a una delle seguenti tre strutture algebriche: l'anello degli interi $\mathbb {Z}$, un ordine di un campo quadratico immaginario, un ordine in un'algebra di quaternioni su $\mathbb {Q}$. Gli endomorfismi corrispondenti agli elementi di $\mathbb {Z}$ sono spesso detti in questo contesto endomorfismi banali, in quanto li hanno tutte le curve ellittiche.

Se il campo su cui è definita la curva ellittica è un campo finito il primo caso non può accadere, quindi tale curva ha sempre moltiplicazione complessa, quindi tale nozione diventa poco significativa e spesso non si usa tale terminologia in questo contesto. I morfismi non banali provengono dall'endomorfismo di Frobenius.

Se il campo su cui è definita la curva ellittica ha caratteristica zero (per esempio $\mathbb {C}$ o $\mathbb {Q}$ o un generico campo di numeri) allora l'ultimo caso non può accadere e quindi il fatto che una curva ellittica abbia CM è atipico e risulta spesso interessante. Poiché in caratteristica zero l'anello degli endomorfismi di una curva ellittica può essere solo $\mathbb {Z}$ o un ordine di un campo quadratico immaginario, se una curva ellittica ha CM vuol dire che ha endomorfismi corrispondenti ad alcuni numeri complessi, precisamente a quelli compresi in tale ordine, e da qui viene l'uso del termine moltiplicazione complessa.

## Esempio

Sia $E$ la curva ellittica definita su $\mathbb {C}$

    $E:y^{2}=x^{3}-x$

allora l'anello degli endomorfismi di $E$ è isomorfo a l'anello degli interi di Gauss $\mathbb {Z} [i]$ dove l'endomorfismo $[n]$, con $n$ in $\mathbb {Z}$, è la somma di un punto con se stesso $n$ volte secondo la legge di gruppo della curva se $n$ è positivo e dell'opposto del punto se $n$ è negativo, e l'endomorfismo $[i]$ è definito da

    $[i]:(x,y)\mapsto (-x,iy)$

Quindi $E$ ha CM e ogni suo endomorfismo è della forma $[m]+[n]\circ [i]$, con $m$ e $n$ interi.

Il precedente esempio funziona se $E$ è definita su un qualunque campo $K$ con caratteristica diversa da $2$, ma il morfismo $[i]$ è definito se e solo se $i\in K$, in caso contrario $E$ non ha CM.

