Similitudine nel piano complesso
# Similitudine nel piano complesso

Si definisce similitudine nel piano complesso, di rapporto $k$, con $k$ numero reale non nullo, la composizione di un'isometria (si veda trasformazione geometrica piana) del piano complesso e di una omotetia nel piano complesso di rapporto $k$.

Le similitudini nel piano complesso possono essere suddivise in similitudini dirette e similitudini inverse.

## Similitudine diretta

È la trasformazione data da

    ${\begin{aligned}\Sigma \colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=az+b,\end{aligned}}$

con $|a|=k$ e $a,b\in \mathbb {C}$.

### Proprietà

Si osserva che:

* se $a=1$ e $b=0$, la trasformazione è l'identità $z'=z$ e tutti i punti del piano complesso sono uniti (si veda trasformazione geometrica piana);
* se $a=1$ e $b\neq 0$, la trasformazione è una traslazione $z'=z+b$, quindi nessun punto è unito;
* se $a\neq 1$, la trasformazione ha un solo punto unito $W$ corrispondente del numero complesso $w$ soluzione dell'equazione $w=aw+b$, cioè

       $w={\frac {b}{1-a}}.$

### Esempio

Studio della trasformazione $z'=2(1-i)z-3i$.

Questa è una similitudine diretta relativa ai parametri:

    $a=2(1-i)$ e $b=-3i.$

Il numero complesso $w$ corrispondente al punto unito si ottiene risolvendo l'equazione $w=2(1-i)w-3i$.

Svolgendo i calcoli quindi

    $w={\frac {-3i}{1-2\left(1-i\right)}}={\frac {3i}{1-2i}}={\frac {3i\left(1+2i\right)}{5}}=-{\frac {6}{5}}+{\frac {3}{5}}i.$

## Similitudine indiretta

È la trasformazione data da

    ${\begin{aligned}\Sigma \colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=a{\overline {z}}+b,\end{aligned}}$

con $|a|=k$ e $a,b\in \mathbb {C}$.

