Campo di spezzamento
# Campo di spezzamento

In algebra, un campo di spezzamento (o campo di riducibilità completa) di un polinomio $p(x)$, definito su un campo $K$, è la più piccola estensione di $K$ che contiene tutte le radici di $p(x)$.

## Definizione

Sia $K$ un campo e $p(x)$ un polinomio a coefficienti in $K$. Se $p(x)$ è costante, un suo campo di spezzamento è $K$. Sia ora $p(x)$ non costante di grado $n$. Un'estensione $L$ di $K$ è un campo di spezzamento di $p(x)$ se:

* esistono $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in L$ (non necessariamente distinti) ed $u\in K\setminus \{0\}$ tali che

    $p(x)=u(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{n})$;
* l'estensione generata da $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ su $K$ è uguale ad $L$.

La seconda condizione può anche essere espressa dicendo che, se $L_{1}$ è un'estensione intermedia tra $K$ ed $L$ (ossia se $K\subseteq L_{1}\subsetneq L$), allora esiste $i\in \{1,\ldots ,n\}$ tale che $\alpha _{i}\notin L_{1}$; in questo senso, $L$ è la più piccola estensione di $K$ contenente tutte le radici (non necessariamente distinte) $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ di $p(x)$.

## Costruzione

Se $p(x)$ è un polinomio a coefficienti in $K$, è sempre possibile costruire un campo di spezzamento di $p(x)$ su $K$, applicando ripetutamente quozienti di anelli di polinomi.

Supponiamo infatti che $p(x)$ si fattorizzi in $K[x]$ come $f_{1}(x)\cdots f_{n}(x)$. Allora, l'anello quoziente $K_{1}[x]:=K[x]/(f_{1}(x))$ è un campo (poiché $(f_{1}(x))$ è un ideale massimale) che contiene $K$ e una radice di $f_{1}(x)$. La fattorizzazione di $p(x)$ in $K_{1}[x]$ comprenderà quindi un fattore lineare (corrispondente alla radice di $f_{1}(x)$).

Il procedimento può essere ripetuto (passando poi ai fattori $f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)$) e termina dal momento che il grado di $p(x)$ è finito; il campo che si ottiene alla fine è esattamente un campo di spezzamento di $p(x)$ su $K$.

Applicando questa costruzione ad ogni polinomio (con l'aiuto del lemma di Zorn se il campo di partenza non è numerabile) si ottiene la costruzione di una chiusura algebrica di $K$.

## Unicità

Due campi di spezzamento di uno stesso polinomio, su uno stesso campo, sono isomorfi.

Se $F$ è un campo algebricamente chiuso contenente $K$ (ad esempio, se è la sua chiusura algebrica) allora esiste un unico campo di spezzamento di $p(x)$ contenuto in $F$. Gli automorfismi di questo campo di spezzamento formano un gruppo che, se $p(x)$ è separabile su $K$, è detto gruppo di Galois del polinomio; esso misura, in un certo senso, in quanti modi diversi il campo di spezzamento di $p(x)$ può essere costruito.

I sottocampi di $F$ che sono campi di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in $K$ sono esattamente le estensioni algebriche, normali e di grado finito di $K$.

Se $p(x)$ è irriducibile, tale campo è la chiusura normale del sottocampo $K(\alpha )$, dove $\alpha$ è una qualsiasi radice di $p(x)$.

## Esempi

* Sia $K=\mathbb {Q}$ il campo dei numeri razionali e $p(x)=x^{3}-2$. Il campo di spezzamento di $p(x)$ contenuto nel campo dei numeri complessi $\mathbb {C}$ (che è algebricamente chiuso) è il sottocampo generato (su $\mathbb {Q}$) dalla radice cubica di 2 e dalle radici terze dell'unità.
* Il campo di spezzamento di $x^{2}+1$ sul campo $\mathbb {R}$ dei numeri reali è tutto $\mathbb {C}$.
* Il campo di spezzamento di $x^{p^{n}}-x$ sul campo $\mathbb {Z} _{p}$ delle classi di resto modulo $p$ (dove $p$ è un numero primo) è un campo finito di ordine $p^{n}$. In particolare, l'esistenza e l'unicità dei campi di spezzamento dimostra che, se $q$ è la potenza di un numero primo, allora esiste un unico campo (a meno di isomorfismo) di cardinalità $q$.
