Equivalenza logica
# Equivalenza logica

Nella logica e nella matematica, due proposizioni $p$ e $q$ si dicono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello. L'equivalenza logica di $p$ e $q$ è a volte espressa come $p\equiv q$, $p::q$, ${\textsf {E}}pq$, o anche $p\iff q$, a seconda della notazione adottata. Tuttavia, questi simboli sono usati anche per l'equivalenza materiale, motivo per cui la corretta interpretazione dipende dal contesto: l'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale, sebbene i due concetti siano intrinsecamente correlati.

## Equivalenze logiche

Nela logica esistono molteplici equivalenze enunciate come leggi o proprietà. Di seguito se ne riportano alcune.

### Equivalenze logiche generali

| Equivalenza | Nome |
| - | - |
| $p\wedge \top \equiv p$ $p\vee \bot \equiv p$ | Leggi di identità |
| $p\vee \top \equiv \top$ $p\wedge \bot \equiv \bot$ | Leggi di dominazione |
| $p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$ | Leggi di idempotenza o tautologia |
| $\neg (\neg p)\equiv p$ | Legge della doppia negazione |
| $p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$ | Leggi commutative |
| $(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$ | Leggi associative |
| $p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$ | Leggi distributive |
| $\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$ | Leggi di De Morgan |
| $p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$ | Leggi di assorbimento |
| $p\vee \neg p\equiv \top$ $p\wedge \neg p\equiv \bot$ | Leggi di negazione |

### Equivalenze logiche che coinvolgono affermazioni condizionali

   * $p\implies q\equiv \neg p\vee q$

   * $p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p$

   * $p\vee q\equiv \neg p\implies q$

   * $p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)$

   * $\neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q$

   * $(p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)$

   * $(p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)$

   * $(p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r$

   * $(p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r$

### Equivalenze logiche che coinvolgono bicondizionali

   * $p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)$

   * $p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q$

   * $p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$

   * $\neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q$

## Esempi

### Nella logica

Le seguenti affermazioni sono logicamente equivalenti:

* Se Lisa è in Danimarca, allora è in Europa (una dichiarazione del tipo $d\implies e$),
* Se Lisa non è in Europa, allora non è in Danimarca (una dichiarazione del tipo $\neg e\implies \neg d$).

Sintatticamente, la (1) e la (2) sono derivabili l'una dall'altra tramite le regole della contrapposizione e della doppia negazione. Semanticamente, la (1) e la (2) sono vere esattamente negli stessi modelli matematici (interpretazioni, valutazioni); vale a dire, quelli in cui o "Lisa è in Danimarca" è falsa o "Lisa è in Europa" è vera.

Si noti che in questo esempio si presuppone la logica classica. Alcune logiche non classiche non considerano la (1) e la (2) logicamente equivalenti.

## Relazione con l'equivalenza materiale

L'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale. Le formule $p$ e $q$ sono logicamente equivalenti se e solo se l'affermazione della loro equivalenza materiale ($p\iff q$) è una tautologia.

L'equivalenza materiale di $p$ e $q$ (spesso scritta come $p\leftrightarrow q$) è esso stesso un'altra istruzione nello stesso linguaggio oggetto di $p$ e $q$.

Questa affermazione esprime l'idea che $p$ e se e solo se $q$. In particolare, il valore di verità di $p\leftrightarrow q$ può cambiare da un modello all'altro.

D'altra parte, l'affermazione che due formule sono logicamente equivalenti è un'affermazione nel metalinguaggio, che esprime una relazione tra le due affermazioni $p$ e $q$ Le affermazioni sono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello.

