Ciclo limite
# Ciclo limite

Nello studio dei sistemi dinamici, un ciclo limite è un'orbita periodica isolata, ovvero tale per cui non esistono altre orbite periodiche nelle vicinanze e tutte le traiettorie compiute dal sistema che sono sufficientemente vicine convergono ad essa per $t\to \pm \infty$.

Un punto periodico $x_{0}$ è un punto dello spazio delle fasi tale per cui la traiettoria $x(t,x_{0})$ del sistema dinamico ritorna al punto di partenza dopo un tempo $T$, ovvero è una funzione periodica con periodo $T$:

    $x(t+T,x_{0})=x(t,x_{0})$
    $x(t+t',x_{0})\neq x(t,x_{0})\qquad 0<t'<T$

Un'orbita periodica (anche detta orbita chiusa) è data dall'insieme di tali punti periodici:

    $\phi (t,x_{0})=\{x(t,x_{0}):0\leq t\leq T\}$

Un ciclo limite è un'orbita periodica isolata, tale per cui esiste almeno una traiettoria che converge ad essa per $t\to \pm \infty$. In due dimensioni, si dimostra che se $\phi (x_{0})$ è un'orbita periodica non costante di un sistema dinamico:

    $x_{1}'=f_{1}(x_{1},x_{2})$
    $x_{2}'=f_{2}(x_{1},x_{2})$

e non vi sono altre orbite periodiche nelle vicinanze, allora ogni traiettoria che passa o inizia per un punto sufficientemente vicino a $x_{0}$ converge a $\phi (x_{0})$ per $t\to +\infty$ o $t\to -\infty$. In tal caso $\phi (x_{0})$ viene detta ciclo limite.

