Teorema di Fréchet-Kuratowski
# Teorema di Fréchet-Kuratowski

In matematica, il teorema di Kuratowski-Wojdysławski o teorema di Fréchet-Kuratowski, che prende il nome da Kazimierz Kuratowski e Maurice René Fréchet, stabilisce che ogni spazio metrico può essere incluso in un particolare spazio di Banach. Questa inclusione permette di vedere ogni spazio metrico come sottoinsieme di uno spazio di Banach, consentendo così di sfruttare le proprietà degli spazi di Banach che non sono condivise da tutti gli spazi metrici (come la completezza).

Introdotta da Kuratowski, una variante molto simile si ritrovava già in una pubblicazione di Fréchet dove viene introdotta per la prima volta l'idea di spazio metrico.

## Il teorema

Se $(X,d)$ è uno spazio metrico, $x_{0}$ è un punto in $X$ e $C_{b}(X)$ denota lo spazio di Banach delle funzioni limitate e continue a valori reali su $X$ munito della norma uniforme, allora la mappa $\Phi :X\rightarrow C_{b}(X)$ definita da:

    $\Phi (x)(y)=d(x,y)-d(x_{0},y)\qquad \forall x,y\in X$

è una isometria. Si noti che questa inclusione, talvolta nota come inclusione di Kuratowski, dipende dalla scelta del punto $x_{0}$, e non è quindi del tutto canonica.

Il teorema di Fréchet-Kuratowski afferma che ogni spazio metrico limitato $X$ è isometrico ad un sottoinsieme chiuso di un sottoinsieme convesso di un qualche spazio di Banach. Si nota che l'immagine di questa inclusione è chiusa in un sottoinsieme convesso, non necessariamente in uno spazio di Banach. Qui si usa l'isometria $\Psi :X\rightarrow C_{b}(X)$ definita da:

    $\Psi (x)(y)=d(x,y)\qquad \forall x,y\in X$

Il convesso menzionato sopra è l'inviluppo convesso di $\Psi (X)$.

