Distribuzione di Bernoulli
# Distribuzione di Bernoulli

In teoria delle probabilità la distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana) è una distribuzione di probabilità su due soli valori: $0$ e $1$, detti anche fallimento e successo. Prende il nome dallo scienziato svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705).

## Definizione

Una variabile aleatoria discreta $X$ ha distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ di parametro $p\in [0,1]$ se e solo se

    $P(X=1)=p,$
    $P(X=0)=q=1-p,$

ossia

    $P(X=i)=p^{i}(1-p)^{1-i}$ per $i=0,1.$

Il valore atteso è

    $\mathrm {E} (X)=0\cdot p^{0}(1-p)^{1-0}+1\cdot p^{1}(1-p)^{1-1}=p,$

e la varianza è

    $\mathrm {Var} (X)=pq=p(1-p).$

## Altre leggi

Un processo di Bernoulli è una successione di variabili aleatorie indipendenti $X_{i}$ di uguale distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$, dette prove di Bernoulli. Da tale processo si possono definire le seguenti ulteriori leggi. La distribuzione binomiale descrive la probabilità del numero di successi in $n$ prove di Bernoulli, ovvero della variabile aleatoria

    $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}.$

La distribuzione geometrica e più in generale la distribuzione di Pascal descrivono il tempo del primo e del $k$-esimo successo rispettivamente, ovvero le variabili aleatorie $T=T_{1}$ e $T_{k}$ definite come

    $T_{k}=\min\{t\colon S_{t}=k\}.$
