Approssimazione diofantea
# Approssimazione diofantea

L'approssimazione diofantea è il campo della matematica che tratta dell'approssimazione dei numeri reali mediante numeri razionali. Prende il nome dal matematico greco Diofanto di Alessandria.

## Descrizione

La piccolezza della distanza (in valore assoluto) del numero reale da approssimare al numero razionale che lo approssima è una semplice misura della bontà dell'approssimazione. Una misura più fine considera bontà dell'approssimazione confrontando la differenza tra i due numeri con la grandezza del denominatore.

Attraverso l'uso di frazioni continue è possibile dimostrare che ogni convergente $p/q$ di ogni numero irrazionale $\alpha$ è tale che

    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$

Questa disuguaglianza può essere migliorata fino a dimostrare che, per ogni irrazionale $\alpha$, esistono infiniti razionali $p/q$ tali che

    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}$

Disuguaglianze più precise (ovvero dove ${\sqrt {5}}$ è sostituito da un numero maggiore) possono avere un numero solo finito di soluzioni; questo è il caso se il numero irrazionale in questione è il numero aureo $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

Joseph Liouville, nel 1844, dimostrò che se il numero $\alpha$ è algebrico di grado n (cioè esiste un polinomio di grado n che lo ammette come radice, ma non esistono polinomi di grado inferiore con questa proprietà), allora per ogni numero razionale $p/q$ vale

    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}$

per qualche costante A > 0. Liouville riuscì anche a costruire dei numeri che non verificano questa proprietà (i numeri di Liouville), che furono i primi esempi di numeri non algebrici, cioè trascendenti.

Anche questa disuguaglianza può essere migliorata. Axel Thue, Carl Ludwig Siegel e Klaus Roth migliorarono successivamente questo teorema: nel 1955, Roth enunciò quello che oggi è noto come teorema di Thue-Siegel-Roth, che afferma che per ogni $\varepsilon >0$ esistono solamente un numero finito di razionali $p/q$ tali che

    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}$
