Distribuzione T-quadrato di Hotelling
# Distribuzione T-quadrato di Hotelling

La distribuzione T-quadrato di Hotelling (chiamata così secondo Harold Hotelling) è una generalizzazione della distribuzione t di Student utilizzata nei test di ipotesi multivariati.

## Definizione

La statistica T-quadrato di Hotelling è definita come segue:

Siano

    ${\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}$

p×1 vettori colonna di numeri reali e

    ${\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n})/n$

le loro medie. Sia

    ${\mathbf {W} }=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)$

la matrice non negativa data dalla loro varianza (la trasposta di una matrice $M$ viene indicata com $M'$).

Sia μ un vettore colonna $p\times 1$ noto (in applicazione dei valori medi ipotizzati per la popolazione). La statistica T-quadrato di Hotelling è data da

    $T^{2}=({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } }).$

## Risultati teorici

Se $\mathbf {x} \sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$ è una variabile casuale con una distribuzione normale multivariata, ${\mathbf {Q} }\sim W_{p}(m,{\mathbf {V} })$ è distribuita come una variabile casuale di Wishart, e sia ${\mathbf {x} }$ che ${\mathbf {Q} }$ sono indipendenti, allora $T^{2}$ è distribuita come una variabile casuale T-quadrato di Hotelling.

Si può dimostrare che se ${\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$, sono indipendenti e sia ${\overline {\mathbf {x} }}$ che ${\mathbf {W} }$ sono definiti come sopra allora ${\mathbf {W} }$ è distribuita come una variabile casuale di Wishart con $m=n-1$ gradi di libertà ed è indipendente da ${\overline {\mathbf {x} }}$ e

    ${\overline {\mathbf {x} }}\sim N_{p}(\mu ,V/n).$

Inoltre, se entrambe le distribuzioni sono non-singolari, si può dimostrare che

    ${\frac {m-p+1}{pm}}T^{2}\sim F_{p,m-p+1}$

dove $F$ è la variabile casuale F di Snedecor.

