Sistema numerico ternario bilanciato
# Sistema numerico ternario bilanciato

«Perhaps the prettiest number system of all is the balanced ternary notation»

«Forse il sistema numerico più grazioso di tutti è la notazione ternaria bilanciata»

(Donald E. Knuth)

Il ternario bilanciato è un sistema numerico posizionale non standard. È un sistema in base 3, che, a differenza del sistema ternario standard, usa come cifre -1, 0 e 1 anziché 0, 1 e 2. Le potenze di 3 usate per rappresentare il numero possono avere quindi coefficiente positivo, nullo o negativo.

La seguente tabella elenca i primi 12 numeri scritti nel sistema decimale, ternario e ternario bilanciato (viene usato il simbolo 1 per rappresentare la cifra -1).

| Decimale | Ternario | Ternario bilanciato |
| - | - | - |
| $1$ | $1$ | $1$ |
| $2$ | $2$ | $1{\bar {1}}$ |
| $3$ | $10$ | $10$ |
| $4$ | $11$ | $11$ |
| $5$ | $12$ | $1{\bar {1}}{\bar {1}}$ |
| $6$ | $20$ | $1{\bar {1}}0$ |
| $7$ | $21$ | $1{\bar {1}}1$ |
| $8$ | $22$ | $10{\bar {1}}$ |
| $9$ | $100$ | $100$ |
| $10$ | $101$ | $101$ |
| $11$ | $102$ | $11{\bar {1}}$ |
| $12$ | $110$ | $110$ |
| $13$ | $111$ | $111$ |
| $14$ | $112$ | $1{\bar {1}}{\bar {1}}{\bar {1}}$ |

## Aritmetica

### Addizione

La tavola di addizione è molto semplice, tenendo solo conto che si può avere un riporto negativo

    ${\begin{array}{cc}1&+\\0&=\\\hline 1&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}1&+\\1&=\\\hline 1{\bar {1}}&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}1&+\\{\bar {1}}&=\\\hline 0&\\\end{array}}\ {\begin{array}{cc}{\bar {1}}&+\\{\bar {1}}&=\\\hline {\bar {1}}1&\\\end{array}}$

### Sottrazione

La sottrazione si effettua invertendo le cifre del numero da sottrarre e sommando.

### Moltiplicazione

Anche la moltiplicazione si effettua in modo piuttosto semplice, riducendosi a una serie di cambi di segno e addizioni, come nel seguente esempio, nel quale viene eseguita l'operazione 23 × 17 = 391:

    ${\begin{aligned}&10{\bar {1}}{\bar {1}}\ \times \\&1{\bar {1}}0{\bar {1}}\ =\\\hline &{\bar {1}}011\\0&000\\{\bar {1}}0&11\\10{\bar {1}}&{\bar {1}}\\\hline 1{\bar {1}}{\bar {1}}&{\bar {1}}111\end{aligned}}$

### Numeri negativi

Il sistema ternario bilanciato non ha bisogno di un segno meno per rappresentare i numeri negativi. Per cambiare il segno di un numero basta cambiare il segno delle sue cifre.

    $1{\bar {1}}1{\bar {1}}=20$
    ${\bar {1}}1{\bar {1}}1=-20$

La possibilità di rappresentare anche i numeri negativi ha un costo sulle cifre da usare rispetto al sistema ternario standard, infatti, per rappresentare un generico numero n nel sistema ternario bilanciato occorrono $int[log_{3}({2\left\vert n\right\vert })]$ cifre, superiori o tutt'al più uguali alle $int[log_{3}({\left\vert n\right\vert })]+1$ cifre nel sistema ternario standard.

