Proiettività
# Proiettività

In geometria proiettiva, una proiettività è una corrispondenza biunivoca tra punti di uno spazio proiettivo.

In geometria descrittiva è definita come una corrispondenza tra punti dello spazio euclideo, ottenuta per composizione di prospettività, ovvero tramite una successione finita di proiezioni rispetto ad un centro e sezioni con un piano. Un esempio di proiettività è l'omologia, ottenuta come composizione di due prospettività tra gli stessi due piani.

## Geometria proiettiva

In geometria proiettiva, una proiettività non è altro che una trasformazione di punti dello spazio proiettivo. Ad esempio, sulla retta proiettiva $\mathbb {P} ^{1}$, la trasformazione assume la forma:

    $\left\{{\begin{matrix}\rho x'_{0}=a_{00}x_{0}+a_{01}x_{1}\\\rho x'_{1}=a_{10}x_{0}+a_{11}x_{1}\end{matrix}}\right.$

dove $(x_{0}:x_{1})$ e $(x\prime _{0}:x\prime _{1})$ sono due punti della retta proiettiva, ρ è un parametro reale diverso da 0, e $a_{00},$ $a_{01},$ $a_{10},$ $a_{11}$ sono quattro parametri reali tali che $a_{00}a_{11}$ – $a_{10}a_{01}$ è non nullo (altrimenti la trasformazione non sarebbe biunivoca). La presenza del fattore ρ è dovuta al fatto che le coordinate proiettive $(x_0$ : $x_1)$ sono date a meno di un fattore moltiplicativo reale non nullo (ovvero $(x_0$ : $x_1)$ = $(ρx_0$ : $ρx_1).$

In coordinate affini, l'equazione della proiettività diventa:

    $x^{\prime }={\frac {a_{00}+a_{01}x}{a_{10}+a_{11}x}}$

(con x = $x_1/x_0$ e x' = $x'_1/x'_0)$

Sulla retta proiettiva, viene inoltre mantenuto il birapporto tra punti corrispondenti. In altre parole, chiamati A, B, C e D quattro punti sulla retta proiettiva e A', B', C', D' i loro trasformati, si ha che:

    $(ABCD)=(A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }D^{\prime })$

ovvero

    ${\frac {AC \over BC}{AD \over BD}}={\frac {A^{\prime }C^{\prime } \over B^{\prime }C^{\prime }}{A^{\prime }D^{\prime } \over B^{\prime }D^{\prime }}}$
