Costante di Erdős-Borwein
# Costante di Erdős-Borwein

La costante di Erdős-Borwein E è la somma dei reciproci dei numeri di Mersenne. Prende il nome da Paul Erdős e da Peter Borwein.

Per definizione è:

    $E_{B}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1{,}606695152415291763...$

Si dimostra che le forme seguenti sono equivalenti alla precedente:

    $E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}$
    $E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}$
    $E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}$
    $E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}$

dove $\sigma _{0}(n)=d(n)$ è la funzione divisore di parametro 0, che ha lo scopo di contare il numero di divisori del numero $n$. Per provare l'equivalenza di queste somme si sfrutta il fatto che hanno tutte la forma di una serie di Lambert.

Erdős nel 1948 ha dimostrato che la costante E è un numero irrazionale.

