Costante di Landau-Ramanujan
# Costante di Landau-Ramanujan

In matematica, la costante Landau-Ramanujan K è una costante che si presenta nella teoria dei numeri. K rappresenta la costante di proporzionalità tra il numero di interi positivi minori di x che sono la somma di due quadrati perfetti e

    ${\frac {x}{\sqrt {\ln(x)}}}$

per x che tende a infinito; in altre parole, se N(x) è il numero di interi positivi minori di x somma di due quadrati perfetti, allora

    $K=\lim _{x\to \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}=0,76422365358922066299069873125...$

Prende il nome di Edmund Landau che ne dimostrò l'enunciato nel 1908, mentre prende il nome di Srinivasa Ramanujan perché fu quello che la enunciò nel 1906, non riuscendo però a dimostrarla. La convergenza del limite alla costante K è tuttavia molto lenta:

| x | $N(x)$ | $N(x){\frac {\sqrt {\ln(x)}}{x}}$ |
| - | - | - |
| 10 | 7 | 1,0622 |
| $10^2$ | 43 | 0,922765 |
| $10^3$ | 330 | 0,867326 |
| $10^4$ | 2749 | 0,834281 |
| $10^5$ | 24028 | 0,815287 |
| $10^6$ | 216341 | 0,804123 |

Una formula, trovata da Flajolet and Vardi nel 1996, che converge più velocemente a K è

    $K={\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1-{\frac {1}{2^{2^{n}}}}\right){\frac {\zeta (2^{n})}{\beta (2^{n})}}\right]^{\frac {1}{2^{n+1}}}$

dove $\zeta (n)$ è la funzione zeta di Riemann e $\beta (n)$ è la funzione beta di Dirichlet.

Una formula esatta per K è

    $K={\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$

dove la produttoria è presa tra tutti i numeri primi p congrui a 3 modulo 4.

