Funzione base-13 di Conway
# Funzione base-13 di Conway

La funzione base-13 di Conway è una funzione costruita dal matematico britannico John H. Conway. La funzione soddisfa la tesi del teorema dei valori intermedi senza essere continua.

## Obiettivo

Il teorema dei valori intermedi asserisce che ogni funzione continua $f$ definita su un intervallo reale soddisfa la proprietà seguente: se $a,b$ sono due punti dell'intervallo tali che $f(a)<f(b)$ e $x$ è un numero reale tale che $f(a)<x<f(b)$ allora esiste un $c$ compreso fra $a$ e $b$ tale che $f(c)=x$.

La funzione base-13 di Conway è una funzione discontinua in ogni punto che soddisfa comunque la tesi del teorema. Gli unici esempi noti precedentemente avevano discontinuità solo in alcuni punti isolati: un esempio è la funzione

    $f(x)=\sin {\frac {1}{x}}.$

definita su tutta la retta reale imponendo in zero il valore $f(0)=0$. Anche questa funzione soddisfa la tesi del teorema, ed è discontinua nell'origine.

## Definizione

La funzione base-13 di Conway è una funzione $f:(0,1)\to \mathbb {R}$ definita come segue.

Si indichino con $\{0,1,2,\ldots ,9,A,B,C\}$ le cifre in base $13$ e si consideri la rappresentazione

    $a_{\dots }a_{m},a_{m+1}\dots a_{n}\dots$

di $x\in (0,1)$ in tale base (rappresentazione che è unica se si esclude il caso di sequenze infinite di $C$). Allora $f(x)=0$ a meno che esista un indice $j$ tale che:

* $a_{j}\in \{B,C\};$
* $a_{i}\in \{0,1,2,\ldots ,9,A\}$ per $i>j;$
* esiste un unico $k>j$ tale che $a_{k}=A.$

In questo caso si definisce $f(x)$ ponendo

    $f(x):=\pm a_{j+1}\ldots a_{k-1},a_{k+1}a_{k+2}\ldots$

in base 10, ove il segno è $+$ se $a_{j}=C$ e $-$ se $a_{j}=B$.

## Proprietà

La cosa importante da notare è che la funzione $f$ definita in tal modo soddisfa l'inverso del teorema dei valori intermedi, ma non è continua in nessun punto. Infatti, in ogni intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ contenuto in $(0,1)$, $f$ assume ogni valore reale e quindi in particolare ogni valore compreso tra $f(a)$ e $f(b)$. Per vedere ciò, si noti che ogni $c\in \mathbb {R}$ si può scrivere in base $10$ come

    $c=\pm b_{1}\dots b_{l},b_{l+1}\ldots$

per opportuni $b_{r}\in \{0,\dots ,9\}$. Inoltre, è facile vedere che i numeri la cui espansione in base $13$ è

    $c=b_{0}b_{1}\dots b_{l}Ab_{l+1}\dots$ (ove $b_{0}=C,$ se $c>0,$ e $b_{0}=B$ altrimenti)

sono densi in $\mathbb {R}$ ed in particolare ve n'è almeno uno di essi, $d$, che è compreso in $[a,b]$. Si può concludere quindi osservando che dalla definizione di $f$ si ha $f(d)=c.$

