Funzione definita a tratti
# Funzione definita a tratti

In matematica una funzione definita a tratti (o semplicemente funzione a tratti) è una funzione definita da varie sottofunzioni, ciascuna delle quali è definita su un certo sottodominio, cioè su un sottoinsieme del dominio della funzione definita a tratti. Questi sottodomini formano una partizione del dominio della funzione definita a tratti.

## Notazione

Una funzione definita a tratti tipica è la funzione valore assoluto. La notazione standard è la seguente:

    $|x|={\begin{cases}-x,&{\text{se }}x<0,\\x,&{\text{se }}x\geq 0.\end{cases}}$

La funzione è definita dalle sottofunzioni $-x$ e $x$, valide rispettivamente negli intervalli $(-\infty ,0)$ e $[0,\infty )$.

## Continuità

Una funzione definita a tratti è continua su un dato intervallo se rispetta le seguenti condizioni:

* la funzione è definita su tutto l'intervallo;
* le sottofunzioni sono continue nei sottodomini;
* non ci sono discontinuità nella frontiera di ciascun sottodominio.

La funzione in figura, ad esempio, è continua nei sottointervalli $(-\infty ,x_{0})$ e $[x_{0},+\infty )$ in cui è definita a tratti, ma non è continua nell'intero dominio, dato che contiene un punto di discontinuità a salto: il punto $x_{0}$.

## Esempi

Le seguenti funzioni sono definite a tratti:

* funzioni a gradino, funzioni definite da sottofunzioni costanti;
   * funzione gradino di Heaviside;
   * funzione segno;
* funzioni lineari a tratti, definite da sottofunzioni lineari;
   * valore assoluto;
* funzione spline, funzione costituita da un insieme di polinomi raccordati tra loro, il cui scopo è interpolare in un intervallo un insieme di punti, in modo tale che la funzione sia continua almeno fino ad un dato ordine di derivate in ogni punto dell'intervallo.
