Modello autoregressivo
# Modello autoregressivo

In statistica e in teoria dei segnali un modello autoregressivo indicato con $AR,$ o $AR(p)$ dove $p$ è l'ordine del modello, è la rappresentazione di un tipo di processo stocastico; come tale descrive alcuni processi che variano nel tempo come l'economia, ecc. Il modello autoregressivo è un modello lineare che specifica che la variabile in uscita dipende linearmente dai valori delle uscite precedenti. Si tratta di un caso particolare del modello ARMA più generale delle serie storiche.

## Descrizione

Matematicamente si presenta così:

    $z_{t}=\phi _{1}z_{t-1}+\phi _{2}z_{t-2}+\dots +\phi _{p}z_{t-p}+\varepsilon _{t}=\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}z_{t-i}+\varepsilon _{t},$

dove i parametri ${\phi _{1}}$, ${\phi _{2}},\ldots ,{\phi _{p}}$ costituiscono i coefficienti della regressione lineare della variabile casuale $z_{t}$ rispetto ai suoi stessi valori passati, $\varepsilon _{t}$ è il processo di rumore bianco per cui il termine di errore.

In generale, lavorando con processi $AR(p),$ risulta conveniente utilizzare l'operatore backshift $B,$ denominato anche lag operator, che semplifica notevolmente determinate relazioni. Tale operatore si definisce come:

    $Bz_{t}=z_{t-1}$

e più in generale:

    $B^{m}z_{t}=z_{t-m}.$

Quindi:

    $\varepsilon _{t}=z_{t}-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}z_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}B^{i}\right)z_{t}.$

Se si considera una costante, ad esempio, la media $\mu$ si può dimostrare che:

    $B^{m}\mu =\mu .$

Per processo autoregressivo $AR(1)$, di ordine 1, si ha:

    $\varepsilon _{t}=(1-{\phi }B)z_{t}$

che, invertendo ed espandendo in serie, può essere scritto come:

    $z_{t}=(1-{\phi }B)^{-1}\varepsilon _{t}=(1+{\phi }B+{\phi }^{2}B^{2}+\cdots )\varepsilon _{t}=\varepsilon _{t}+\phi \varepsilon _{t-1}+\phi ^{2}\varepsilon _{t-2}+\cdots .$

Si dimostra facilmente che questa serie converge per ${\phi }<1$, che costituisce la condizione di stazionarietà.

Il processo $AR(1)$ ha quindi funzione di autocorrelazione $\rho _{k}=\phi ^{k}$ la quale tende a zero in modo monotono per $\phi >0$ e varia tra $-1$ e $1$ per $\phi <0.$

## Esempio

Modello $AR(1),$ dati relativi alla concentrazione di una soluzione chimica, George Box e Gwilym Jenkins (1976):

