Velocità di fuga
# Velocità di fuga

La velocità di fuga è la velocità minima che un corpo, senza alcuna successiva propulsione, deve avere in una certa posizione per potersi allontanare indefinitamente da un campo a cui è soggetto. Viene anche chiamata in astronautica la seconda velocità cosmica (insieme con la prima e la terza, forma una tripletta di grandezze notevoli). L'applicazione più semplice (proprio quella con cui è stato pensato storicamente per la prima volta da Newton il concetto di velocità di fuga, come in figura) è quello di un proiettile sparato da una montagna molto alta in direzione parallela al suolo: quanto veloce deve essere lanciato inizialmente per uscire dal campo gravitazionale terrestre e andare nello spazio?

## Descrizione

Di solito per semplicità non si considerano almeno in prima battuta le forze non conservative (di solito, l'attrito viscoso del fluido in cui è immerso l'oggetto): per esempio per stimare la velocità di fuga dalla Terra si trascura in prima battuta l'attrito dell'aria, perché dipende a sua volta dalla velocità e quindi varia molto man mano che il proiettile decelera, complicando moltissimo il calcolo. In questo modo però si sottostima molto la velocità di fuga reale dalla superficie terrestre. Notare che per esempio un razzo non ha bisogno di avere una velocità di lancio pari alla velocità di fuga, ma può allontanarsi a qualsiasi velocità, se continua ad avere un adeguato sistema di propulsione in funzione durante il volo. Questo fa capire quanto sia importante specificare nella definizione "senza alcuna successiva propulsione".

La velocità di fuga può essere calcolata anche nel caso di un campo dato non da una ma da più sorgenti (per esempio due pianeti vicini o due stelle binarie), e il campo non deve necessariamente essere gravitazionale (per esempio si può calcolare la velocità di fuga di una pallina di ferro dalla superficie di un grosso magnete, o da una sfera carica elettricamente: in questi due casi i campi sono rispettivamente elettrostatico e magnetostatico). In effetti, la definizione data sopra, che fa perno sul concetto di campo, vale solo se la carica del corpo da allontanare indefinitamente è trascurabile rispetto a quella della sorgente stessa: questi sono casi delle applicazioni più frequenti, in cui il calcolo della velocità di fuga si semplifica molto.

Altrimenti il concetto di campo è meno utile ed è necessario considerare le forze di reazione esercitate dal corpo che fugge, oppure, con un altro metodo, la perturbazione del campo indotta dal corpo che fugge. Per il caso della velocità di fuga terrestre, in pratica si può considerare il campo gravitazionale se il corpo che fugge ha una massa molto minore di quella terrestre, altrimenti, per esempio nel caso della Luna, non si può trascurare lo spostamento dato dall'attrazione esercitata dal corpo sulla Terra, che aumenta considerevolmente la velocità necessaria alla fuga.

Comunemente si definisce la velocità di fuga come la velocità necessaria per liberarsi da un campo; questa definizione è inesatta perché un campo è infinitamente esteso.Una caratteristica un po' controintuitiva della velocità di fuga è che è indipendente dalla direzione, quindi la si può trattare come una grandezza scalare. In balistica si definisce velocità limite e fa riferimento al campo gravitazionale di un pianeta. In pratica la velocità limite corrisponde alla minima velocità teorica di decollo per un veicolo spaziale destinato a navigare nello spazio profondo.

## Derivazione della formula per la velocità di fuga

Il modo più semplice di derivare la formula per la velocità di fuga è utilizzare la legge della conservazione dell'energia.

### Definizione più formale di velocità di fuga, in un campo potenziale gravitazionale

La velocità di fuga può essere definita più formalmente come la velocità iniziale necessaria per andare da un punto in un campo gravitazionale, a distanza r dal centro del campo, fino all'infinito con velocità residua nulla, relativamente al campo stesso.

Nell'uso comune il punto iniziale è posto sulla superficie di un pianeta o di un satellite. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale (impulso) di brevissima durata al cui termine la velocità dell'oggetto è la velocità di fuga. Nella realtà si utilizza quasi sempre un mezzo di propulsione per entrare nello spazio e quindi non è necessario arrivare a velocità così elevate. È di solito nello spazio che l'idea prende un più concreto significato.

Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a 11,2 km/s circa, ovvero poco più di 40000 km/h, mentre a 9000 km dalla superficie è circa 7 km/s: i razzi solitamente ottengono questa velocità con un'accelerazione continua dalla superficie fino a quell'altezza, oltre la quale il razzo si può allontanare indefinitamente dalla Terra per inerzia, cioè senza propulsione.

### Calcolo nel caso semplice di velocità di fuga da un corpo solo

Nel caso semplice di velocità di fuga da un corpo solo, o da una sola sorgente di gravità di massa $M$, si procede come segue: all'oggetto di massa $m$, a distanza $r$ dal centro di gravità, viene fornita una velocità $\mathrm {v} _{f}$ che gli conferisce un'energia meccanica iniziale pari a:

    $E_{m}(r)={\frac {1}{2}}\,m\,\mathrm {v} _{f}^{2}-G\,{\frac {M\,m}{r}}$

in cui:

    $\ G=6{,}67259\times 10^{-11}{\text{m}}^{3}{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$

rappresenta la costante di gravitazione universale.

A distanza dal centro infinita e con velocità residua nulla entrambi i termini che contribuiscono all'energia meccanica si annullano: il primo (energia cinetica) perché è proporzionale al quadrato della velocità, il secondo (energia potenziale gravitazionale) perché è inversamente proporzionale alla distanza; quindi l'energia meccanica è $E_{m}(\infty )=0$. In base alla Legge di conservazione dell'energia meccanica, si trova:

    $E_{m}(r)=E_{m}(\infty )\Rightarrow \displaystyle {\frac {1}{2}}\,m\,\mathrm {v} _{f}^{2}=G{\frac {M\,m}{r}}$

Questa relazione permette anche di definire la velocità di fuga $\mathrm {v} _{f}$ come quella velocità a cui l'energia cinetica del corpo è pari al modulo della sua energia potenziale gravitazionale.

Risolvendo rispetto a $\mathrm {v} _{f}$ si ha infine:

    $\mathrm {v} _{f}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\equiv {\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}$

dove:

* $E$ è l'energia cinetica del corpo;
* $m$ è la massa del corpo;
* $U$ è l'energia potenziale gravitazionale;
* $M$ è la massa del pianeta;
* $G$ è la costante gravitazionale;
* $r$ è il raggio del pianeta;
* $\mu =GM$ è nota, in campo aerospaziale, come costante gravitazionale planetaria.

Da notare che nella formula finale non è presente la massa del corpo in fuga, ma soltanto la massa che genera il campo gravitazionale (in questo caso il pianeta). Da questo si deduce che la velocità di fuga si applica anche ai corpi / particelle senza massa come per esempio la luce. A conferma diretta si ha che oltre l'orizzonte degli eventi di un buco nero non esce luce. Quest'ultima non è abbastanza veloce da sfuggire alla immensa forza gravitazionale ovvero la velocità della luce è inferiore alla velocità di fuga richiesta in quella zona.

## Velocità di fuga dai pianeti del sistema solare, dalla Luna e dal Sole

| Stella | Velocità di fuga alla superficie | Velocità di fuga alla superficie | Velocità di fuga alla superficie |
| - | - | - | - |
| | in m/s | in km/s | in km/h |
| Sole | 617.300 | 617,3 | 2.222.280 |
| Pianeta | Velocità di fuga alla superficie | Velocità di fuga alla superficie | Velocità di fuga alla superficie |
| | in m/s | in km/s | in km/h |
| Mercurio | 4.435 | 4,435 | 15.966 |
| Venere | 10.400 | 10,4 | 37.440 |
| Terra | 11.200 | 11,2 | 40.320 |
| Marte | 5.000 | 5,00 | 18.000 |
| Giove | 59.600 | 59,6 | 214.560 |
| Saturno | 35.500 | 35,5 | 127.800 |
| Urano | 21.300 | 21,3 | 76.680 |
| Nettuno | 23.300 | 23,3 | 83.880 |
| Satellite | Velocità di fuga alla superficie | Velocità di fuga alla superficie | Velocità di fuga alla superficie |
| | in m/s | in km/s | in km/h |
| Luna | 2.300 | 2,30 | 8.280 |

## Velocità di fuga dai pianeti nani del sistema solare

| Pianeta nano | Velocità di fuga alla superficie | Velocità di fuga alla superficie | Velocità di fuga alla superficie |
| - | - | - | - |
| | in m/s | in km/s | in km/h |
| Cerere | 510 | 0,51 | 1.836 |
| Plutone | 1.200 | 1,20 | 4.320 |
| Eris | 2.700 | 2,70 | 9.720 |
