Funzione di Huber
# Funzione di Huber

La funzione di Huber è una funzione usata in analisi della regressione, che ha la proprietà di essere meno sensibile agli outlier rispetto alla somma dei quadrati residui. Introdotta da Peter Jost Huber nel 1964, è comunemente usata in metodi di regressione quali ricerca di stimatori M e modelli additivi.

## Definizione

La funzione di Huber è quadratica per piccoli valori di $x$, e lineare per valori più grandi. È definita a tratti come

    $L_{\delta }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}{x^{2}}&{\text{per }}|x|\leq \delta ,\\\delta (|x|-{\frac {1}{2}}\delta ),&{\text{altrimenti.}}\end{cases}}$

ed è continua e differenziabile nei punti di congiunzione dove $|x|=\delta$.

Esistono diverse approssimazioni lisce della funzione di Huber. Una variante comune, nota come pseudo-funzione di Huber, è definita come

    $L_{\delta }(x)=\delta ^{2}\left({\sqrt {1+(x/\delta )^{2}}}-1\right).$

e approssima ${\frac {x^{2}}{2}}$ per valori piccoli di $x$, e una retta con coefficiente angolare $\delta$ per valori grandi di $x$.

In problemi di classificazione statistica è usata una variante nota come funzione di Huber modificata, definita come

    $L(y,f(x))={\begin{cases}\max(0,1-y\,f(x))^{2}&{\textrm {per}}\,\,y\,f(x)\geq -1,\\-4y\,f(x)&{\textrm {altrimenti.}}\end{cases}}$

dove $f(x)$ è la predizione del classificatore (a valori reali) e $y\in \{+1,-1\}$ è il valore binario della categoria di $x$.

