Misura vettoriale
# Misura vettoriale

In matematica, una misura vettoriale è una generalizzazione del concetto di misura.

## Definizione

Data un'algebra di insiemi $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ ed uno spazio di Banach $X$, una misura vettoriale finitamente additiva (talvolta detta semplicemente misura) è una funzione $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ tale che per ogni coppia di insiemi disgiunti $A$ e $B$ in ${\mathcal {F}}$ si verifica:

    $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$

Una misura vettoriale $\mu$ è detta numerabilmente additiva se per ogni successione $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ di insiemi disgiunti in ${\mathcal {F}}$ tale che la loro unione sia in ${\mathcal {F}}$ si ha:

    $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$

dove la serie al membro di destra converge nella norma di $X$.

Si può mostrare che una misura vettoriale additiva $\mu$ è numerabilmente additiva se e solo se per ogni successione $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ definita come sopra si verifica:

    $\lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\displaystyle \bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0$

dove $\|\cdot \|$ è la norma su $X$.

Le misure vettoriali numerabilmente additive definite su sigma-algebre sono più generali delle nozioni di misura, misura con segno e misura complessa, che sono funzioni numerabilmente additive che mappano rispettivamente sulla retta reale estesa $[0,\infty ]$, $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$.

## Variazione di una misura vettoriale

Da una misura vettoriale $\mu :{\mathcal {F}}\to X$, la variazione $|\mu |$ di $\mu$ è definita come:

    $|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|$

dove l'estremo superiore è preso considerando tutte le partizioni:

    $A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$

di $A$ in un numero finito di insiemi disgiunti, per ogni $A$ in ${\mathcal {F}}$, e la norma $\|\cdot \|$ è la norma su $X.$

La variazione di $\mu$ è una funzione finitamente additiva che mappa su $[0,\infty ]$. Si ha inoltre:

    $||\mu (A)||\leq |\mu |(A)$

per ogni $A$ in ${\mathcal {F}}$. Se $|\mu |(\Omega )$ è finita, la misura $\mu$ è detta essere a variazione limitata. Si può mostrare che se $\mu$ è una misura vettoriale a variazione limitata allora $\mu$ è numerabilmente additiva se e solo se $|\mu |$ è numerabilmente additiva.

