Principio di fase stazionaria
# Principio di fase stazionaria

In matematica, il principio di fase stazionaria è un principio di base dell'analisi asintotica, applicata agli integrali oscillatori:

    $I(k)=\int _{a}^{b}g(x)e^{ikf(x)}\,dx$

in cui $i={\sqrt {-1}}$ e $k\rightarrow +\infty$. Fu introdotto da Lord Kelvin nel 1877.

## Ipotesi

* $x\in R$;
* $k$ è un numero intero, reale e tendente ad infinito;
* $f$ e $g$ sono due funzioni reali, continue e lisce (cioè $C^{\infty }$) $\forall x\in R$;

## Risultati

* Se $f(x)$ non possiede punti stazionari su $a\leq x_{0}\leq b$, integrando per parti si ottiene:

    $I(k)\cong {\frac {g(b)}{ikf'(b)}}e^{ikf(b)}-{\frac {g(a)}{ikf'(a)}}e^{ikf(a)}$
* Se $f(x)$ è stazionario in un unico punto $a<x_{0}<b$

    $I(k)\cong g(x_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{k\left|{f''(x_{0})}\right|}}}e^{i\left[kf(x_{0})\pm {\frac {\pi }{4}}f''(x_{0})\right]}$
* Se $f(x)$ possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite inferiore dell'integrale Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): x_{0}=a

    $I(k)\cong {\frac {g(b)}{ikf'(b)}}e^{ikf(b)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{i\pm {\frac {\pi }{4}}}$
* Se $f(x)$ possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite superiore dell'integrale $x_{0}=b$

    $I(k)\cong -{\frac {g(a)}{ikf'(a)}}e^{ikf(a)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{i\pm {\frac {\pi }{4}}}$
