Misura prodotto
# Misura prodotto

In matematica, una misura prodotto è una misura definita sulla sigma-algebra prodotto di due spazi di misura.

## Definizione

Siano $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ e $(Y,{\mathfrak {G}},\lambda )$ due spazi di misura. Ad ogni funzione $f$ definita su $X\times Y$ e ad ogni $x\in X$ si può associare una funzione $f_{x}$ definita in $Y$ nel seguente modo:

    $f_{x}(y)=f(x,y)\$

Analogamente si definisce per ogni $y\in Y$ la funzione $f_{y}$ tale che:

    $f_{y}(x)=f(x,y)\$

Entrambe le funzioni sono rispettivamente ${\mathfrak {F}}$-misurabile e ${\mathfrak {G}}$-misurabile.

Per ogni insieme aperto $V\in {\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$ si definisce inoltre:

    $Q=\{(x,y):f(x,y)\in V\}\qquad Q_{x}=\{y:f_{x}(y)\in V\}$

Si dimostra che se:

    $\phi (x)=\lambda (Q_{x})\qquad \psi (y)=\mu (Q_{y})\qquad \forall x\in X\quad \forall y\in Y$

allora $\phi$ è ${\mathfrak {F}}$-misurabile e $\psi$ è ${\mathfrak {G}}$-misurabile, e si ha:

    $\int _{X}\phi d\mu =\int _{Y}\psi d\lambda \$

Si definisce la misura $\mu \times \lambda$ prodotto delle due misure $\mu$ e $\lambda$ l'integrale:

    $(\mu \times \lambda )(Q)=\int _{X}\lambda (Q_{x})d\mu (x)=\int _{Y}\mu (Q_{y})d\lambda (y)$

Tale misura è definita sullo spazio $(X\times Y,{\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}})$ ed è l'unica tale per cui valga la seguente proprietà:

    $(\mu \times \lambda )(B_{1}\times B_{2})=\mu (B_{1})\lambda (B_{2})\qquad \forall B_{1}\in {\mathfrak {F}},\ B_{2}\in {\mathfrak {G}}$

L'esistenza di questa misura è garantita dal teorema di Hahn-Kolmogorov, mentre l'unicità è fornita solamente nel caso in cui sia $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ che $(Y,{\mathfrak {G}},\lambda )$ sono σ-finiti.

La misura di Borel sullo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ può essere ottenuta come il prodotto di n copie della misura di Borel sulla retta reale $\mathbb {R}$.

La costruzione opposta alla quella della misura prodotto è la disintegrazione, che in alcuni casi "splitta" una data misura in una famiglia di misure che possono essere integrate per fornire la misura di partenza.

## Il Teorema di Fubini

Il teorema di Fubini stabilisce quali siano le condizioni tali per cui è possibile scambiare l'ordine di integrazione per funzioni misurabili su ${\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$. Siano $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ e $(Y,{\mathfrak {G}},\lambda )$ due spazi di misura. Ad ogni funzione $f(x,y)$ che sia ${\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$-misurabile su $X\times Y$ e ad ogni $x\in X$ si può associare una funzione $f_{x}$ definita in $Y$ nel seguente modo:

    $f_{x}(y)=f(x,y)\$

Analogamente si definisce per ogni $y\in Y$ la funzione $f_{y}$ tale che:

    $f_{y}(x)=f(x,y)\$

Se la funzione $f$ è positiva e se:

    $\phi (x)=\int _{Y}f_{x}d\lambda \qquad \psi (y)=\int _{X}f_{y}d\mu$

allora $\phi$ è ${\mathfrak {F}}$-misurabile e $\psi$ è ${\mathfrak {G}}$-misurabile, inoltre:

    $\int _{X}\phi d\mu =\int _{X\times Y}fd(\mu \times \lambda )=\int _{Y}\psi d\lambda$

In modo equivalente si può scrivere:

    $\int _{X}d\mu (x)\int _{Y}f(x,y)d\lambda (y)=\int _{Y}d\lambda (y)\int _{X}f(x,y)d\mu (x)\$
