Funzione di Cantor
# Funzione di Cantor

In matematica, la funzione di Cantor (a volte chiamata funzione di Cantor-Vitali, o scala del diavolo) è un esempio di funzione continua e crescente nonostante abbia derivata zero in quasi tutti i punti essendo costante in tutti i sottointervalli di [0,1] che non contengono punti dell'insieme di Cantor. Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze progressivamente crescenti, in modo che la pendenza media risulti comunque pari a 1.

## Definizione

### Con le basi

La funzione di Cantor $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ è definita nel modo seguente:

* Scriviamo ogni numero x in [0, 1] in base tre. Con questa notazione, 1/3 si scrive come $0.1_3$ e 2/3 si scrive come $0.2_3.$ Notiamo che alcuni numeri razionali possono avere due scritture diverse, ad esempio 1/3 si scrive anche come $0.0222..._3$ (questo fatto è vero anche in base 10: infatti 0.1 si scrive anche come 0.09999...). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "1".
* Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "1" con un "2" e tutte le cifre successive con "0".
* Sostituiamo tutte le cifre "2" con "1".
* Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è f(x).

Ad esempio:

* 1/4 = $0.02020202..._3$ diventa $0.01010101..._2$ = 1/3. Quindi f(1/4)=(1/3).
* 1/5 = $0.01210121..._3,$ al passo 2 diventa 0.02000000..., quindi $0.01000000..._2$ = 1/4. Quindi f(1/5)=1/4.

### Come limite di una successione

La funzione si può anche definire come limite di una successione di funzioni definite in [0,1], costruite in questo modo:

* Sia $f_{0}(x)=x$;
* Sia $f_{n}(x)$ una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente $2^{n+1}-1$ lati: $2^n$ lati sono obliqui di coefficiente angolare $(3/2)^n$ e $2^n-1$ lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza $(1/3)^n.$ Per ogni n∈N risulta $f_n(0)=0,$ $f_n(1)=1.$ In figura sono disegnate $f_0,$ $f_1$ e $f_2.$

Si può "costruire" la n+1-esima poligonale $f_{n+1}$ come una trasformazione della $f_n:$ infatti, detti $I_k^{(n)},$ k=1, …, $2^n$ e $J_k^{(n)},$ k=1, …, $2^n-1$ le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è $f(J_k^{(n)})$ = ${k/2^n}),$ allora è $f_{n+1}$ = $f_n$ in $J_k^{(n)}$ per ogni k, mentre ogni lato obliquo di $f_n$ (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo $I_k^{(n)})$ viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli $I_{2k-1}^{(n+1)}$ e $I_{2k}^{(n+1)},$ e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo $J_{2k-1}^{(n+1)}.$

Si può provare che risulta:

    $\sup _{p\in \mathbb {N} \ }{\big \\max _{x\in [0,1]}\{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}{\big \}}\leq \ {\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}$.

Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in [0,1]. Dunque per n→∞ converge uniformemente ad una funzione limite, che è detta funzione di Cantor.

## Proprietà

La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e suriettiva dall'intervallo [0, 1] in sé. È a variazione limitata ma non assolutamente continua. Non è derivabile in nessun punto dell'insieme di Cantor, mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante in ogni sottointervallo di [0, 1] che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha misura nulla), ossia negli intervalli del tipo $(0.x_1x_2x_3...x_n022222...,$ $0.x_1x_2x_3...x_n200000...).$ Nonostante questo, è crescente (in senso lato).

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo [0, 1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è numerabile. Questa funzione è utile per definire una curva di Peano, cioè una curva che riempie totalmente un quadrato.

