Funzione di Gompertz-Makeham
# Funzione di Gompertz-Makeham

La funzione di Gompertz-Makeham è una nota legge analitica di sopravvivenza impiegata nella matematica attuariale.

Essa è rappresentata dalla funzione:

    $l_{x}=k\cdot s^{x}\cdot g^{c^{x}}$

Le ipotesi che vengono assunte mediante questo modello sono che:

1) sia presente una componente di mortalità per causa accidentale. 2) sia presente una componente dovuta all'invecchiamento con forza crescente al crescere dell'età x dell'individuo

risultando in una forza complessiva di mortalità pari a:

    $\ \mu _{x}=\alpha +\beta c^{x}$

con alfa e beta maggiori di 0, e c maggiore di 1.

Sfruttando la relazione tra forza di mortalità e legge di sopravvivenza, si ottiene:

    $l_{x}=l_{a}\cdot e^{-\int _{a}^{x}{(\alpha +\beta c^{u})du}}=l_{a}\cdot e^{-[\alpha u+\beta {\frac {c^{u}}{\log c}}]_{a}^{x}}$
    $=l_{a}\cdot e^{\alpha a+\beta \cdot {\frac {c^{a}}{\log c}}}\cdot e^{-ax}\cdot e^{-\beta {\frac {c^{x}}{\log c}}}$

Ponendo infine:

    $l_{a}\cdot e^{\alpha a+\beta \cdot {\frac {c^{a}}{\log c}}}=k$
    $\ e^{-\alpha }=s$
    $\ e^{-{\frac {\beta }{\log c}}}=g$

si ottiene così l'equazione iniziale.

