Funzione di Landau
# Funzione di Landau

La funzione di Landau g(n) è definita per ogni numero naturale n che è il più grande ordine di un elemento del gruppo simmetrico $S_n.$ Equivalentemente, g(n) è il più grande minimo comune multiplo di una qualunque partizione di n.

Ad esempio, 5 = 2 + 3 e mcm(2,3) = 6. Nessun'altra partizione di 5 porta ad un minimo comune multiplo più grande, dunque g(5) = 6. Un elemento di ordine 6 nel gruppo $S_5$ può essere scritto come (1 2) (3 4 5).

I valori che assume la funzione di Landau in corrispondenza dei primi numeri naturali è

    1, 1, 2, 3, 4, 6, 6, 12, 15, 20, 30, 30, 60, 60, 84, 105

La sequenza prende il suo nome da Edmund Landau, il quale dimostrò nel 1902 che

    $\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)}}}=1$

(dove ln indica il logaritmo naturale).

L'affermazione

    $\ln g(n)<{\sqrt {Li^{-1}(n)}}$

per ogni n, dove $Li^{-1}$ indica l'inverso della funzione logaritmo integrale, è equivalente all'ipotesi di Riemann.

