Superficie di Veronese
# Superficie di Veronese

In matematica, la superficie di Veronese è una superficie algebrica in uno spazio proiettivo a $5$ dimensioni. Fu scoperta da Giuseppe Veronese (1854-1917), dal quale prende nome.

La superficie di Veronese ammette una immersione in uno spazio proiettivo a quattro dimensioni, costruito dalla proiezione di un punto generico dello spazio $5$-dimensionale. La sua proiezione in uno spazio proiettivo tridimensionale è nota come superficie di Steiner.

A sua volta, la superficie di Veronese è l'unico caso di una varietà di Scorza-Severi di dimensione $n=2$.

## Definizione

La mappa di Veronese è una funzione fra spazi proiettivi di dimensione $2$ e $5$, definita nel modo seguente:

    $\nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}$
    $[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]$

dove $[x:\ldots ]$ denota le coordinate omogenee.

La superficie di Veronese è l'immagine della mappa di Veronese.

## Sottovarietà

L'immagine di una varietà posta sotto una mappatura di Veronese è di nuovo una varietà; di più, ci si trova davanti ad un isomorfismo poiché esiste anche la mappatura inversa, ed è regolare. Più precisamente, le immagini di insiemi aperti in una topologia di Zariski sono ancora degli insiemi aperti. Questo serve a dimostrare che una varietà algebrica è l'intersezione di una varietà di Veronese e di uno spazio lineare, e che perciò ogni varietà algebrica è isomorfa ad un'intersezione di quadriche.

## Regolarità

L'immagine dell'immersione di una superficie di Veronese, è una varietà proiettiva. L'immersione di una superficie di Veronese è un morfismo, cioè una varietà con proprietà determinate di regolarità nella geometria algebrica.

Se $Y\subset P^{n}$ è una varietà proiettiva, allora lo è anche $\nu _{d}(Y)\subset P^{N}$.

## Mappa di Veronese di grado d

La mappa di Veronese di grado $d$ o varietà di Veronese generalizza l'idea di una mappatura di grado $d$ in $n+1$ variabili. In altre parole, la mappa di Veronese di grado $d$ è la mappa

    $\nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m},$

dove $m$ è definito come:

    $m={n+d \choose d}-1={\frac {1}{n!}}(d+1)^{(n)}-1,$

dove ${n+d \choose d}$ indica il coefficiente binomiale, e $(d+1)^{(n)}$ indica il fattoriale crescente.

### Esempi

Se $n=1$ si ha:

    $\nu _{d}(\left[x_{0}:x_{1}\right])=\left[x_{0}^{d}:x_{0}^{d-1}x_{1}:x_{0}^{d-2}x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}^{d}\right].$

Se $d=2$ si ha:

    $\nu _{2}(\left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right])=\left[x_{0}^{2}:x_{0}x_{1}:\ldots :x_{0}x_{n}:x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}x_{n}:\ldots :x_{n}^{2}\right].$

### Curva razionale normale

Per $n=1,$, la varietà di Veronese è nota come curva razionale normale, della quale sono famigliari gli esempi di grado minore:

* per $n=1,d=1$, la mappa di Veronese è semplicemente l'identità lungo la retta proiettiva;
* per $n=1,d=2,$ la varietà di Veronese è la comune parabola $[x^{2}:xy:y^{2}],$ nelle coordinate affini $(x,x^{2}).$
* per $n=1,d=3,$ la varietà di Veronese è una twisted cubic (funzione cubica e curva algebrica liscia $C$ di grado $3$ nello spazio proiettivo tridimensionale $\mathbb {P} ^{3}$) $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ nelle coordinate affini $(x,x^{2},x^{3}).$
