Funzione di Mittag-Leffler
# Funzione di Mittag-Leffler

La funzione di Mittag-Leffler $E_{\alpha ,\beta }(z)$ è una funzione speciale introdotta dal matematico svedese Gösta Mittag-Leffler nel 1903. È definita con la serie di potenze:

    $E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}$

dove $\Gamma$ è la funzione Gamma.

Le funzioni di Mittag-Leffler sono importanti nella teoria delle equazioni alle derivate parziali di ordine frazionale.

## Casi speciali

Funzione esponenziale:

    $E_{1,1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).$

Funzione degli errori:

    $E_{1/2,1}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).$

Somma di una progressione geometrica:

    $E_{0,1}(z)={\frac {1}{1-z}}.$

Funzione iperbolica:

    $E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}}).$

## Rappresentazione integrale di Mittag-Leffler

    $E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {t^{\alpha -\beta }e^{t}}{t^{\alpha }-z}}\,dt$

dove C passa per $-\infty$ e contiene le singolarità e i punti ramificati dell'integrando.

