{"partition": "head_middle", "source_domain": "images.math.cnrs.fr", "digest": "sha1:R2LE5X5QYCDWJ462XXCQZZO36PBFZXTC", "path": "/lustre/fsn1/projects/rech/qgz/uzq54wg/processed_redpajama/base_processing/output/fr/2014-15/000_00041.parquet"}
Défis du Calendrier Mathématique 2014
Archives et divers
Billets des habitués
Café des maths
Echos de la recherche
En sortant de l’école
Histoire des Mathématiques
Images et visualisation
L’IHP, maison d’histoires
L’IHP, une maison de science pour tous
Le débat du 18...
Le podcast de la semaine
Les conjectures du trimestre
Mathématiques ailleurs
Mathématiques de la Planète Terre
Mathématiques, portraits
Monde de la recherche
Objet du mois
Ressources pédagogiques : « pour aller moins loin »
Trimestres IHP
Images des maths 2006
Autour de Galois
Benoît Mandelbrot et les objets fractals
Bibliothèques et périodiques mathématiques
Faut-il avoir peur des maths financières ?
Henri Poincaré
Jacques Hadamard
Joseph-Louis Lagrange
Le monde est mathématique
Mathématiques et arts plastiques
Mathématiques et Industrie
Mathématiques et littérature
Mikhaïl Gromov, géomètre
Recensions
Transport optimal 13 décembre 2012
2 commentaires — commenter cet article
Piste rouge
Article en partenariat avec
L’anneau d’Henri Poincaré
Marie-Claude Arnaud
et Patrick Massot
En mars 1912, l’année de sa mort, Henri Poincaré écrit : « je n’ai jamais présenté au public un travail aussi inachevé », parlant de son article « sur un théorème de géométrie ». Dans cet article, il énonce un résultat de géométrie qu’il avoue ne pas savoir démontrer. Il a toutefois réussi à le prouver dans de nombreux cas particuliers. Et ce théorème lui semble très important à cause de ses possibles applications en astronomie. Se sentant trop âgé pour avoir le temps de réfléchir à une démonstration complète, Poincaré décide donc de publier son travail dans l’espoir que quelqu’un arrive à prouver son théorème.
Les objets du théorème
Le théorème de Poincaré-Birkhoff concerne les transformations continues de l’anneau. Expliquons intuitivement de qu’est une telle transformation. On trace sur une table un anneau, c’est-à-dire une surface délimitée par deux cercles concentriques. On pose alors sur cet anneau dessiné un anneau en caoutchouc, (bleu sur les dessins) qui recouvre exactement l’anneau de la table.
Déformer l’anneau en caoutchouc, c’est le tirer, le tendre, le distendre, en s’imposant les contraintes suivantes :
l’anneau de caoutchouc reste toujours à plat sur la table, en contact
avec la table en tous ses points ; l’anneau de caoutchouc recouvre toujours le même domaine de la table,
l’anneau dessiné sur la table.
Voici un exemple de déformation. Nous dessinons l’état initial, un état intermédiaire et l’état final de courbes tracées sur l’anneau.
Une rotation est une déformation rigide : l’anneau de caoutchouc tourne sans vraie déformation
La transformation continue de l’anneau qui correspond à une telle déformation est, par définition, la fonction qui associe, à tout point fixé $x$ de