Nilpotent
# Nilpotent

En mathématiques, un élément x d'un anneau unitaire (ou même d'un pseudo-anneau) est dit nilpotent s'il existe un entier naturel n non nul tel que $x^n$ = 0.

## Exemples

Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

est nilpotente parce que $A^3$ = 0. On parle alors de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent.

Dans l'anneau ℤ/9ℤ, la classe de 3 est nilpotente parce que $3^2$ est congru à 0 modulo 9.

L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.

## Propriétés

Aucun élément nilpotent n'est inversible (sauf dans l'anneau nul). Tous les éléments nilpotents non nuls sont des diviseurs de zéro.

Une matrice carrée A d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique est $X^n,$ ce qui est le cas si et seulement si $A^n$ = 0.

Les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un idéal, qui est le nilradical de l'anneau.

Si x est nilpotent, alors 1 – x est inversible ; en effet, $x^n$ = 0 entraîne :

(1 – x)(1 + x + $x^2$ + … + $x^{n–1})$ = 1 – $x^n$ = 1, et de même (1 + x + $x^2$ + … + $x^{n–1})(1$ – x) = 1 – $x^n$ = 1.

Ainsi 1 – x est inversible, d'inverse 1 + x + $x^2$ + … + $x^{n–1}.$

## Anneau réduit

Un anneau sans élément nilpotent autre que 0 est dit réduit ; cette notion est importante en géométrie algébrique. L'anneau quotient d'un anneau commutatif par son nilradical est un anneau réduit.

## En physique

Un opérateur Q qui satisfait à $Q^2$ = 0 est nilpotent. La charge BRST (en) est un exemple important en physique.

