Nombre double de Mersenne
# Nombre double de Mersenne

En mathématiques, un nombre double de Mersenne est un nombre de Mersenne de la forme

    $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$

où n est un entier strictement positif et $M_n$ désigne le n-ième nombre de Mersenne.

## Premières valeurs

Les plus petits nombres doubles de Mersenne sont donc :

    $M_{M1}$ = $M_1$ = 1 ;
    $M_{M2}$ = $M_3$ = 7 ;
    $M_{M3}$ = $M_7$ = 127 ;
    $M_{M4}$ = $M_{15}$ = 32 767 = 7 × 31 × 151 ;
    $M_{M5}$ = $M_{31}$ = 2 147 483 647 ;
    $M_{M6}$ = $M_{63}$ = 9 223 372 036 854 775 807 = $7^2$ × 73 × 127 × 337 × 92 737 × 649 657 ;
    $M_{M7}$ = $M_{127}$ = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727.

## Nombre double de Mersenne premier

Puisqu'un nombre de Mersenne $M_n$ ne peut être premier que si n est premier (condition nécessaire mais pas suffisante), un nombre double de Mersenne $M_{Mp}$ ne peut être premier que si $M_p$ est un nombre de Mersenne premier (ce qui nécessite avant tout que p le soit : on a vu par exemple que $M_{M4}$ et $M_{M6}$ ne sont pas premiers).

Les seuls nombres doubles de Mersenne premiers connus sont $M_{M2},$ $M_{M3},$ $M_{M5}$ et $M_{M7}.$

Après 2, 3, 5 et 7, les premières valeurs de p pour lesquelles $M_p$ est premier sont p = 13, 17, 19, 31. Pour ces quatre valeurs, $M_{Mp}$ n'est pas premier (des facteurs explicites ont été trouvés). Le candidat suivant, $M_{M61},$ est bien trop grand pour les tests actuels.

## Nombre de Catalan-Mersenne

Les nombres de Catalan-Mersenne $c_n,$ définis par récurrence par $c_0$ = 2 et $c_{n+1}$ = $M_{cn},$ sont de Mersenne pour n ≥ 1 et doubles de Mersenne pour n ≥ 2. Les cinq premiers $(c_0$ à $c_4)$ sont les nombres premiers

    2, $M_2$ = 3, $M_{M2}$ = $M_3$ = 7, $M_{M3}$ = $M_7$ = 127 et $M_{M7}$ = $M_{127}$ (suite A007013 de l'OEIS).

Le suivant, $c_5$ = $M_{M127},$ est encore plus énorme que le $M_{M61}$ du § ci-dessus.

S’il faut définir un $c_0,$ c’est parce qu’à l’époque de Mersenne, on considérait encore 1 comme un nombre premier.

