Partie étoilée
# Partie étoilée

En géométrie, une partie A d'un espace affine réel E est dite étoilée par rapport à un point a de A si, pour tout point x de A, le segment [a, x] est contenu dans A, c'est-à-dire que dans A, tout point peut être relié à a par un chemin rectiligne.

## Définitions

Plus formellement, puisque le segment [a, x] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs des points a et x : une partie non vide A de E est étoilée par rapport à un point a de E si

    $\forall x\in A\quad \{(1-t)a+tx\mid t\in \left[0,1\right]\}\subset A.$

(Cette condition assure que a est forcément dans A.)

Une partie de E est dite étoilée (sans plus de précisions) si elle est étoilée par rapport à un point au moins.

## Propriétés affines

* Une partie non vide est étoilée par rapport à a si et seulement si elle est stable sous l'action des homothéties de centre a et de rapport t pour $t\in \left[0,1\right]$.
* Une partie de E est convexe si et seulement si elle est étoilée par rapport à chacun de ses points.
* Dans le plan, le complémentaire d'une demi-droite est étoilé mais n'est pas convexe ; le complémentaire d'un point n'est pas étoilé.
* Une partie $A$ d'un espace vectoriel réel $E$ est étoilée par rapport à $0$ si et seulement s'il existe une fonction $p:E\to \left[0,+\infty \right]$ positivement homogène (au sens : $\forall t\in \left[0,+\infty \right[\quad \forall x\in E\quad p(tx)=tp(x)$, avec la convention $0\times \infty =0$) telle que $\{x\in E\mid p(x)<1\}\subset A\subset \{x\in E\mid p(x)\leq 1\}$. Une telle fonction est alors nécessairement égale à la fonctionnelle de Minkowski de $A$ : $\forall x\in E\quad p(x)=\inf {\{\lambda >0\mid x\in \lambda A\}}$.

## Propriétés topologiques

On suppose ici que l'espace affine réel E est topologique, c'est-à-dire associé à un espace vectoriel topologique.

* Toute partie étoilée a le type d'homotopie d'un point.
* Toute partie étoilée est connexe par arcs, et donc tout ouvert étoilé est un domaine (c'est-à-dire un ouvert connexe par arcs).
* La propriété d'être étoilé n'est pas invariante par homéomorphisme, mais les ouverts étoilés sont parmi les exemples les plus simples et les plus importants d'espaces contractiles.
* D'après le lemme de Poincaré, toute forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé est exacte.

## Référence

* ↑ (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, 1997 (lire en ligne), p. 315-316 et 313.
