Loi de Nakagami
# Loi de Nakagami

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Nakagami ou loi de m-Nakagami est une loi de probabilité continue à deux paramètres et de support $[0,\infty [$. Le paramètre $m>0$ est un paramètre de forme, le second paramètre $\omega >0$ permet de contrôler la propagation. Cette loi est liée à la loi gamma, son nom est issu du statisticien Minoru Nakagami.

## Caractérisations

La densité de probabilité de la loi de Nakagami est donnée par :

    $f(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

où $\Gamma$ est la fonction Gamma.

Sa fonction de répartition est :

    $F(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle P\left(m,{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

où P est la fonction gamma incomplète (régularisée).

## Estimation des paramètres

Les paramètres $m$ et $\omega$ sont :

    $m={\frac {\mathbb {E} ^{2}\left[X^{2}\right]}{Var\left[X^{2}\right]}},$

et

    $\omega =\mathbb {E} \left[X^{2}\right].$

## Simulation

La loi Nakagami est liée à la loi Gamma. En particulier, pour une variable aléatoire Y de loi Gamma, $Y\,\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )$, il est possible d'obtenir une variable aléatoire X de loi de Nakagami, $X\,\sim {\textrm {Nakagami}}(\mu ,\omega )$, en posant $k=m$, $\theta =\omega /m$, et en considérant la racine carrée de Y :

    $X={\sqrt {Y}}\,$.

## Historique et applications

L'utilisation de la loi de Nakagami remonte à 1960, c'est-à-dire que c'est une loi relativement nouvelle. Elle est utilisée pour modéliser l’atténuation des réseaux sans fils au travers de plusieurs chemins.

