Équation de Sackur-Tetrode
# Équation de Sackur-Tetrode

L'équation de Sackur-Tetrode, établie en 1912 par les physiciens Otto Sackur et Hugo Tetrode, donne l'entropie d'un gaz parfait monoatomique, non-dégénéré, non-relativiste.

Soit $\Lambda$ la longueur d'onde thermique de de Broglie : $\Lambda ={\frac {h}{\sqrt {2\pi mkT}}}$, et $\Lambda ^{3}=V_{0}$ le volume correspondant. Alors, l'entropie S = S(U,V,N) du gaz vaut :

    ${\frac {S}{kN}}=\ln \left[{\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right]+{\frac {5}{2}}$

soit en développant :

    $S=kN\ln \left[\left({\frac {V}{N}}\right)\left({\frac {U}{N}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]+{\frac {3}{2}}kN\left({\frac {5}{3}}+\ln {\frac {4\pi m}{3h^{2}}}\right)$.

On préfère parfois retenir plutôt l'enthalpie libre G = U+NkT -TS = -NkT. Ln P/P(T) avec P(T) = kT/ Vo en chimie :

G =-RT.LnP +cste(T) est le leitmotiv de la loi d'action des masses :

on obtient ainsi les ordres de grandeur des Kp(T) de réactions.

## Gaz rares

En chimie, on donne l'entropie dans les conditions standard ( 25 °C, P= 1 × $10^5$ Pa). Le calcul pour m = 40 u donne 154,8 J/K/mol

Quelques données CODATA sont :

* Hélium : M = 4.002602 S° = 126.153(2) ;
* Néon : M = 20.1797 S° = 146.328(3) ;
* Argon : M = 39.948 S° = 154.846(3) ;
* Krypton : M = 83.80 S° = 164.085(3) ;
* Xenon : M = 131.29 S° = 169.685(3) ;
* Radon : M = 222 S° = 176.23.

On pourra vérifier que les données s'accordent pour donner

S° = S°(M=1) +3/2 R.Ln M avec une assez bonne corrélation à condition de modifier légèrement pour l'hélium la correction de de Boer ; S°(M=1) est même négative, ce qui laisse parfois perplexes certains, inattentifs à la condition de non-dégénerescence.

En comptant en bit/molécule, on retient que pour l'Argon, S° =~ 27 bits/molécule pour M=40 : évidemment il faut S° assez grand, sinon la dégénérescence quantique doit être évaluée.

