Ordre normal (fonction arithmétique)
# Ordre normal (fonction arithmétique)

Dans la théorie des nombres, l´ordre normal d'une fonction arithmétique est une fonction plus simple ou mieux comprise que la première qui prend "habituellement" les mêmes valeurs ou des valeurs approximatives.

Soit f une fonction définie sur les nombres naturels. On dit que g est un ordre normal de f si pour tout ε>0{\textstyle \varepsilon >0}, les inégalités

$(1-\varepsilon )g(n)\leq f(n)\leq (1+\varepsilon )g(n)$

sont vraies pour presque tout n, c'est-à-dire, que la proportion de n ≤ x, pour lesquelles ces inégalités sont fausses, tend vers 0 quand x tend vers l'infini.

Il est classique de supposer que la fonction d'approximation g est continue et monotone.

## Exemples

* Le théorème de Hardy-Ramanujan : l'ordre normal de ω(n){\textstyle \omega (n)}, le nombre de facteurs premiers distincts de n, est ln⁡(lnn){\textstyle \ln(\ln \, n)};
* L'ordre normal de Ω(n){\textstyle \Omega (n)}, le nombre de facteurs premiers de n comptés avec la multiplicité, est également ln⁡(lnn){\textstyle \ln(\ln \, n)};
* L'ordre normal de ln⁡(d(n)){\textstyle \ln(d(n))}, où d(n){\textstyle d(n)} est le nombre de diviseurs de n, est égal à $(\ln \,2)\cdot \ln(\ln \,n)$.

## Voir également

* Ordre moyen d'une fonction arithmétique
* Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs
* Ordres extrêmes d'une fonction arithmétique
