Loi de probabilité marginale
# Loi de probabilité marginale

En théorie des probabilités et en statistique, la loi marginale d'un vecteur aléatoire, c'est-à-dire d'une variable aléatoire à plusieurs dimensions, est la loi de probabilité d'une de ses composantes. Autrement dit, la loi marginale est une variable aléatoire obtenue par « projection » d'un vecteur contenant cette variable.

Par exemple, pour un vecteur aléatoire $(X_{1},X_{2},X_{3})$, la loi de la variable aléatoire $X_{2}$ est la deuxième loi marginale du vecteur.

## Définition

Pour obtenir la loi marginale d'un vecteur, on projette la loi sur l'espace unidimensionnel de la coordonnée recherchée. La loi de probabilité de la i-ème coordonnée d'un vecteur aléatoire est appelée la i-ème loi marginale. La loi marginale $\mathbb {P} _{i}$ de $\mathbb {P}$ s'obtient par la formule :

    $\mathbb {P} _{i}(A)=\mathbb {P} _{X_{i}}(A)=\iint {1}_{\omega _{i}\in A}\,\mathbb {P} (\mathrm {d} (\omega _{1},\dots ,\omega _{n}))$ pour tout $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires de l'espace probabilisé $(\Omega ,{\mathcal {E}},p)$ vers l'espace mesurable $(F,{\mathcal {F}})$ et $B\in {\mathcal {F}}$.

Les lois de probabilité marginales du vecteur aléatoire $Z=(X,Y)$ sont les lois de probabilité de $X$ et de $Y$. On traite ici celle de $X$ (la méthode est la même pour celle de $Y$). D'après le théorème des probabilités totales, elle est liée à la loi de probabilité conditionnelle :

    $\mathbb {P} _{X}(B)=\int _{\Omega }\mathbb {P} (X^{-1}\langle B\rangle \cap \mathrm {d} \omega _{Y})=\int _{F}\mathbb {P} _{(X,Y)}(B,\mathrm {d} y).$

## Exemples

### Loi discrète

Si $Y$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable $S\subset F$, alors :

    $\mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{y\in S}\mathbb {P} _{(X,Y)}(B,\{y\}).$

C'est notamment le cas quand $S$ est fini. En notant $y_{1},\dots ,y_{n}$ ses valeurs et $\mathbb {P} _{X,1}(B),\dots ,\mathbb {P} _{X,n}(B)$ les probabilités $\mathbb {P} _{X,Y}(B,\{y_{1}\}),\dots ,\mathbb {P} _{X,Y}(B,\{y_{n}\})$, la loi de probabilité devient :

    $\mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} _{X,i}(B).$

Le tableau suivant donne un exemple. On a marqué les probabilités que X = $x_i$ et Y = $y_j.$ La loi marginale pour X donne les probabilités que X = $x_i.$ Elle est donnée sur la dernière ligne. Par exemple, la probabilité que X = $x_1$ est obtenue en sommant les probabilités d'avoir X = $x_1$ et Y = $y_1,$ X = $x_1$ et Y = $y_2,$ et X = $x_1$ et Y = $y_3.$ Ainsi, on a 16/32 = 4/32+3/32+9/32. De même, la loi marginale pour Y est donné dans la dernière colonne.

| | $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $x_4$ | $p_Y(y)$ ↓ |
| - | - | - | - | - | - |
| $y_1$ | 4/32 | 2/32 | 1/32 | 1/32 | 8/32 |
| $y_2$ | 3/32 | 6/32 | 3/32 | 3/32 | 15/32 |
| $y_3$ | 9/32 | 0 | 0 | 0 | 9/32 |
| $p_X(x)$ → | 16/32 | 8/32 | 4/32 | 4/32 | 32/32 |

### Loi absolument continue

Les lois marginales d'une loi absolument continue s'expriment à l'aide de leurs densités marginales par les formules :

    ${\begin{aligned}f_{X}(x)&=\int _{\mathbb {R} }\ f_{Z}(x,y)\,\mathrm {d} y,\\f_{Y}(y)&=\int _{\mathbb {R} }\ f_{Z}(x,y)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}$

où $f_{Z}$ est la densité de probabilité du vecteur $Z$.

De manière plus générale, si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires absolument continues, de densité de probabilité conjointe $f_{(X,Y)}$ par rapport à une mesure $\sigma$-finie $\mu$ sur $(F,{\mathcal {F}})$, alors :

    $\mathbb {P} _{X}(B)=\int _{F}\left(\int _{B}f_{(X,Y)}(x,y)\mu (\mathrm {d} x)\right)\mu (\mathrm {d} y).$
