Loi de Voigt
# Loi de Voigt

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Voigt est la loi de probabilité continue dépendant de paramètres σ et γ dont la densité est donnée par la fonction de Voigt. Cette densité peut s'exprimer par la formule :

    $V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}{\textrm {Re}}\left[w\left({\frac {x+\mathrm {i} \gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$

où Re[w(•)] est la partie réelle de la fonction d'erreur complexe ou fonction de Faddeeva.

Une variable aléatoire suivant la loi de Voigt sera notée : $X\sim \mathrm {Voigt} (\sigma ,\gamma )$.

## Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi de Voigt est donnée par :

    $F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\mathrm {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,\mathrm {d} z\right)$

où z est donnée par $z={\frac {x+\mathrm {i} \gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}$. Par le calcul de l'intégrale généralisée de la fonction d'erreur complexe grâce à la fonction d'erreur réelle :

    ${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,\mathrm {d} z={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \mathrm {e} ^{-z^{2}}\left[1-\mathrm {erf} (-\mathrm {i} z)\right]\,\mathrm {d} z,$

la fonction de répartition s'écrit alors sous la forme :

    $F(x;\mu ,\sigma )=\mathrm {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {erf} (z)}{2}}+{\frac {\mathrm {i} z^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right]$

où $\,_{2}F_{2}$ est la fonction hypergéométrique.

## Fonction caractéristique

La fonction lorentzienne ne possède pas de moments, ainsi la loi de Voigt non plus. Cependant elle possède une fonction caractéristique donnée par la formule :

    $\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} xt})=\mathrm {e} ^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.$

## Loi non centrée

La loi de Voigt est la convolée d'une loi normale et d'une loi de Cauchy. Si la loi gaussienne est centrée en $μ_G$ et la loi de Cauchy en $μ_L,$ la convolée sera centrée en $μ_G$ + $μ_L$ et la fonction caractéristique sera alors donnée par la formule :

    $\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.$

Le mode et la médiane valent alors $μ_G$ + $μ_L.$

## Liens avec d'autres lois

* Si $X\sim \mathrm {Voigt} (\sigma ,0)$, alors $X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma )$,
* Si $X\sim \mathrm {Voigt} (0,\gamma )$, alors $X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )$,
* Si $Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma )$ et $Z\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )$ indépendantes, alors $X=Y+Z\sim \mathrm {Voigt} (\sigma ,\gamma )$.
