Paire de Wieferich
# Paire de Wieferich

En arithmétique, une paire de Wieferich est une paire de nombres premiers q < p telle que $q^{p–1}$ ≡ 1 (mod $p^2).$ Elle est dite doublement de Wieferich si de plus $p^{q–1}$ ≡ 1 (mod $q^2).$ Cette notion est liée à la conjecture de Catalan, démontrée en 2002 par Preda Mihăilescu.

## Paires de Wieferich connues

La plupart des sources, même récentes, affirment qu'on ne connait actuellement que six paires doublement de Wieferich : (2, 1 093), (3, 1 006 003), (5, 1 645 333 507), (83, 4 871), (911, 318 917) et (2 903, 18 787), oubliant une septième : (5, 188 748 146 801) (suites  A124121,  A124122 et  A126432 de l'OEIS).

## Triplet de Wieferich

Un triplet de Wieferich est un triplet de nombres premiers p, q et r qui satisfont

    $p^{q–1}$ ≡ 1 (mod $q^2),$ $q^{r–1}$ ≡ 1 (mod $r^2),$ et $r^{p–1}$ ≡ 1 (mod $p^2).$

Il y a 13 triplets de Wieferich connus :

    (2, 1093, 5), (2, 3511, 73), (3, 11, 71), (5, 20771, 18043), (5, 53471161, 193), (5, 6692367337, 1601), (5, 6692367337, 1699), (5, 188748146801, 8807), (13, 863, 23), (17, 478225523351, 2311), (41, 138200401, 2953), (83, 13691, 821) et (1657, 2281, 1667) (suites  A253683,  A253684 et  A253685 de l'OEIS).

## n-uplet de Wieferich

Un n-uplet de Wieferich est une généralisation des paires et triplets de Wieferich. C'est un n-uplet $(p_1,$ $p_2,$ $p_3,$ ..., $p_n)$ de nombres premiers tel que

    $p_1^{p2–1}$ ≡ 1 (mod $p_2^2),$ $p_2^{p3–1}$ ≡ 1 (mod $p_3^2),$ $p_3^{p4–1}$ ≡ 1 (mod $p_4^2),$ ..., $p_{n−1}^{pn–1}$ ≡ 1 (mod $p_n^2),$ $p_n^{p1–1}$ ≡ 1 (mod $p_1^2).$

Par exemple, (5, 188748146801, 453029, 53, 97, 76704103313, 4794006457, 12197, 3049, 41) est un 10-uplet de Wieferich.

Pour le plus petit n-uplet de Wieferich (en fonction de n), voir  A271100.

Les n-uplets de Wieferich sont aussi appelés suites de Barker.

## Suite de Wieferich

La suite de Wieferich $(a_n)_{n≥1}$ associée à un entier k > 1 est définie par $a_1$ = k et $a_{n+1}$ = le plus petit nombre premier p tel que $a_n^{p–1}$ = 1 (mod p) mais $a_n≠$ ±1 (mod p). On conjecture que la suite de Wieferich de tout entier k > 1 est périodique. Par exemple, la suite de Wieferich pour 2 :

    2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., on obtient un cycle : {5, 20771, 18043} (un triplet de Wieferich).

La suite de Wieferich pour 83 :

    83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., on obtient un cycle : {83, 4871} (une paire de Wieferich).
