Loi de Lambert
# Loi de Lambert

La loi de Lambert indique que, pour une source lumineuse orthotrope, l'exitance est proportionnelle à la luminance et le coefficient de proportionnalité est $\pi$$^,.$ Autrement dit, si $M$ désigne l'exitance et $L$ la luminance, pour une source lumineuse orthotrope, on a :

$M=\pi \cdot L$

Certains auteurs appellent loi de Lambert, ou loi en cosinus de Lambert, la relation qui exprime l'intensité lumineuse $I$ d'une source orthotrope en fonction de l'intensité lumineuse dans l'axe normal à la surface $I(0)$ et de l'angle $\theta$ par rapport à cette normale :

$I(\theta )=I(0)\,\cos \theta$

## Démonstration

On utilise les coordonnées sphériques, angles de colatitude (ou zénithal) $\theta$ et d'azimut (ou longitude) $\phi$.

L'exitance est définie comme l'intégrale de la luminance sur le demi-espace (2π stéradians) :

       $M=\int _{2\pi }L\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega$,

avec

       $d\Omega ={\frac {\mathrm {d} S}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi$.

$L$ étant identique dans toutes les directions, on peut écrire :

       $M=L\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta =2\pi L\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta$.

On effectue le changement de variable $\mu =\sin \theta$ et on obtient

       $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{1}\mu \,\mathrm {d} \mu ={\frac {1}{2}}$,

d'où l'on déduit la loi de Lambert.

