Opérateur hypoelliptique
# Opérateur hypoelliptique

En mathématiques, un opérateur différentiel défini sur un ouvert $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ est appelé opérateur hypoelliptique si pour toute distribution $u$ définie sur un ouvert $V\subset U$ telle que $Pu$ soit une fonction lisse, $u$ est nécessairement une fonction lisse également.

Si on remplace la condition d'être une fonction lisse par être une fonction analytique, on parle d'opérateurs hypoelliptiques analytiques.

## Exemples et contre-exemples

* Tout opérateur elliptique à coefficients ${\mathcal {C}}^{\infty }$ est hypoelliptique. En particulier, le laplacien $\Delta$, qui est elliptique, est hypoelliptique (c'est même un opérateur hypoelliptique analytique).
* L'opérateur de la chaleur $\partial _{t}-\Delta$ (associé à l'équation de la chaleur) est hypoelliptique (mais pas elliptique).
* L'opérateur d'alembertien $\partial _{tt}^{2}-\Delta$ (associé à l'équation des ondes) n'est pas hypoelliptique.
