Nombre automorphe
# Nombre automorphe

En mathématiques récréatives, un nombre automorphe est un entier naturel dont la suite des chiffres du carré se termine par celle du nombre lui-même. Par exemple, $5^2$ = 25, $76^2$ = 5776, et $890625^2$ = 793212890625.

Étant donné un nombre automorphe à k chiffres, un nombre automorphe à 2k chiffres peut être obtenu par

    $n'\equiv 3\cdot n^{2}-2\cdot n^{3}\ (10^{2k})$

Il existe toujours, outre 0 et 1, deux nombres automorphes de k chiffres (à condition d'autoriser parfois les premiers de ces k chiffres à être nuls). L'un d'entre eux vérifie les congruences

    $n\equiv 0\ (2^{k}),\qquad n\equiv 1\ (5^{k})$

et l'autre vérifie

    $n\equiv 1\ (2^{k}),\qquad n\equiv 0\ (5^{k}).$

La somme des deux nombres automorphes vaut $10^k$ + 1.

La suite A018247 de l'OEIS ci-dessous permet de trouver, pour tout k ≤ 1000, un nombre automorphe à k chiffres.

Il suffit de prendre les k derniers chiffres. L'autre nombre automorphe est obtenu en soustrayant le nombre de $10^k$ + 1.

## Généralisation

Soit une base b, dans le cas précédent la base dix.

Alors il s'agit de déterminer, pour un k donné, les entiers naturels $a<b^{k}$ tels que $a^{2}\equiv a\mod b^{k}.$

Les nombres automorphes correspondent donc aux points fixes de l'application carré, $x\mapsto x^{2},$ modulo les puissances de la base.

Pour une base b produit de puissances de n nombres premiers distincts, il y a (en comptant 0 et 1) $2^n$ solutions, par le théorème des restes chinois.

