Équation xʸ=yˣ
# Équation xʸ=yˣ

En général, l'exponentiation n'est pas commutative. Cependant, l'équation $x^{y}=y^{x}$ tient dans des cas particuliers, tels que $x=2,y=4.$

## Histoire

L'équation $x^{y}=y^{x}$ est mentionné dans une lettre de Bernoulli à Goldbach (29 juin 1728). La lettre contient l'affirmation selon laquelle avec $x\neq y,$ les seules solutions d'entiers naturels sont $(2,4)$ et $(4,2),$ bien qu'il y ait une infinité de solutions en nombres rationnels. La réponse de Goldbach (31 janvier 1729) contient une solution générale de l'équation obtenue en substituant $y=vx$. Une solution similaire a été trouvée par Euler.

J. van Hengel a souligné que si $r,n$ sont des entiers positifs avec $r\geq 3$ alors $r^{r+n}>(r+n)^{r};$ il suffit donc d'envisager les possibilités $x=1$ et $x=2$ afin de trouver des solutions entières.

Le problème a été traité dans un certain nombre de publications. En 1960, l'équation était parmi les questions de la William Lowell Putnam Competition qui a incité A. Hausner à étendre les résultats aux champs de nombres algébriques.

## Solutions réelles positives

Un ensemble infini de solutions triviales en nombres réels positifs est donné par $x=y$.

Des solutions non-triviales peuvent être trouvées en supposant $x\neq y$ et en posant $y=vx$. Ainsi,

    $(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.$

En élevant les deux côtés à la puissance ${\tfrac {1}{x}}$ et en divisant par $x$,

    $v=x^{v-1}.$

Les solutions non triviales en nombres réels positifs sont

    $x=v^{\frac {1}{v-1}},$
    $y=v^{\frac {v}{v-1}}.$

Avec $v=2$ ou $v={\tfrac {1}{2}}$ cela génère les solutions non-triviales entières, $4^{2}=2^{4}$.

Les solutions triviales et non triviales se croisent lorsque $v=1$. Les équations ci-dessus ne peuvent pas être évaluées directement, mais nous pouvons prendre la limite $v\to 1$. Ceci est fait en remplaçant $v=1+1/n$ avec $n\to \infty$, ainsi

    $x=\lim _{v\to 1}v^{\frac {1}{v-1}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e.$

Ainsi, la ligne et la courbe se croisent lorsque x = y = e.

