Opérateur (mathématiques)
# Opérateur (mathématiques)

En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.

## Définition d'un opérateur

### Définition

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F :

* $O\ :\quad E\ \to \ F$

### Opérateur linéaire

Un opérateur $O:E\to F$ est linéaire si et seulement si :

* $\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\ \forall (x_{1},x_{2})\in E^{2},\quad O(\lambda x_{1}+\mu x_{2})\ =\ \lambda O(x_{1})+\mu O(x_{2})$

où K est le corps des scalaires de E et F.

**Remarque**

Lorsque E est un $\mathbb {K}$-espace vectoriel, et que $F=\mathbb {K}$ (c'est un corps), un opérateur est une forme linéaire sur E.

### Domaine (de définition)

On étend la définition précédente à des applications linéaires définies seulement sur un sous-espace vectoriel de E, qu'on appelle alors domaine de définition de l'opérateur.

### Continuité

Par définition de la continuité :

* Soient O un opérateur de domaine $D_{0}\subset E$ et à valeurs dans F, et $x_{0}\in D_{O}$. L'opérateur O est dit continu en $x_{0}$ si et seulement si pour tout voisinage V de $y_{0}=O(x_{0})$, il existe un voisinage $U$ de $x_{0}$ tel que :
* $\forall x\,\in \,U\cap D_{O}\ ,\quad O(x)\,\in \,V$
* L'opérateur O est dit continu si et seulement s'il est continu en tous les points $x_{0}\in D_{O}$ de son domaine.
