Équation du centre
# Équation du centre

En astronomie, l’équation du centre traduit, dans le cadre du mouvement elliptique, la différence entre l'anomalie vraie v et l'anomalie moyenne M.

Dans le cas du mouvement képlérien (deux astres tournant seuls, l'un autour de l'autre) cette différence est périodique, de période T égale à la période de révolution du corps orbitant autour de l'astre central. L'équation du centre s'obtient à partir de deux équations qui mettent en jeu un autre argument qui est l'anomalie excentrique E :

    $E-e\cdot \sin {(E)}=M$ (équation de Kepler)
    $\tan {\frac {v}{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}$

L'équation du centre vaut $C=v-M$ avec $M={\frac {2\cdot \pi }{T}}(t-t_{0})$

t et $t_0$ sont respectivement le temps et l'instant du passage au périastre.

Pour calculer l'équation du centre pour une date donnée, il est nécessaire de résoudre l'équation de Kepler.

Lorsque l'excentricité e de l'orbite est faible, on peut approcher l'équation du centre par un développement limité, et ainsi éviter la résolution de l'équation de Kepler. On trouve en retenant les termes jusqu'à $e^{6}$:

    $C=v-M=\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}+{\frac {5}{96}}e^{5}\right)\cdot \sin(M)+\left({\frac {5}{4}}e^{2}-{\frac {11}{24}}e^{4}+{\frac {17}{192}}e^{6}\right)\cdot \sin(2M)+\left({\frac {13}{12}}e^{3}-{\frac {43}{64}}e^{5}\right)\cdot \sin(3M)+$

$+\left({\frac {103}{96}}e^{4}-{\frac {451}{480}}e^{6}\right)\cdot \sin(4M)+{\frac {1097}{960}}e^{5}\cdot \sin(5M)+{\frac {1223}{960}}e^{6}\cdot \sin(6M)...$

Cette série converge pour e<0.6627..., il n'est donc qu'applicables qu'aux planètes et astéroïdes de faible excentricité.

Le terme général de la série de Fourier

$C=v-M=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {nM}$

peut être exprimé par les fonctions de Bessel de premier espèce.

$b_{n}={\frac {2}{n}}\left(J_{n}(ne)+\sum _{m=1}^{\infty }q^{m}[J_{n-m}(ne)+J_{n+m}(ne)]\right)$

avec $q={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

ou bien l'expression de Greatheed

$b_{n}=2\left(q^{n}\exp \left({\frac {ne(q^{-1}-q)}{2}}\right)+q^{-n}\exp \left({\frac {ne(q-q^{-1})}{2}}\right)\right)$

où l'expression doit être développée suivant les puissances de q, les puissances négatives de q doivent supprimées, et les termes en $q^0$ divisés par 2.

