Équation hypsométrique
# Équation hypsométrique

L’équation hypsométrique est une équation en météorologie et océanographie qui repose sur l'équation hydrostatique pour : déterminer la différence de géopotentiel entre deux niveaux de pression $p_{1}$ et $p_{2}$, réduire la pression observée à celle d'une autre altitude et étalonner un baromètre anéroïde.

## Équation

L'équation hypsométrique est définie $comme^,:$

    $h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\bar {T}}}{g}}\cdot \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$

où :

    $h$ = épaisseur de la couche (m) ;
    $z$ = hauteurs des pressions $p_1$ et $p_2$ (m) ;
    $R$ = constante universelle des gaz parfaits pour l'air sec ;
    ${\bar {T}}$ = température moyenne de la couche (K) ;
    $g$ = accélération normale de la pesanteur terrestre $(m/s^2)$ ;
    $p$ = pression atmosphérique (Pa).

L'équation hydrostatique relie la variation de pression atmosphérique ou hydrologique avec celle de la hauteur. La dérivée de p versus z $est^,$ :

    $\mathrm {d} p=-\rho \cdot g\cdot \delta z$

où $\ \rho$ est la masse volumique $(kg/m^3)$ du fluide pour obtenir l'équilibre hydrostatique.

En utilisant l'équation des gaz $parfaits^,$ :

    $p=\rho \cdot R\cdot T$.

Il est possible d'éliminer $\rho$ :

    ${\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$.

Ensuite en intégrant de $\ z_{1}$ à $\ z_{2}$$^,$ :

    $\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$.

R et g sont considérés comme presque constants avec z dans la faible couche atmosphérique, il est donc possible de les mettre sous $l'intégrale^,.$ Si la température varie de façon linéaire avec z (comme dans l'atmosphère standard internationale), elle peut être sortie de l'intégrale et remplacée par ${\bar {T}}$, une température moyenne de la couche de $z_{1}$ à $z_{2}$$^,.$

    $\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z$

L'intégrale donne donc :

    $\ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$.

Après simplification :

    $\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$.

Et réarrangement des termes :

    $(z_{2}-z_{1})={\frac {R\cdot {\bar {T}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$

ou en éliminant le logarithme naturel (ln) :

    ${\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{g \over R\cdot {\bar {T}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}$.
