Octacontagone
# Octacontagone

Un octacontagone est un polygone à 80 sommets, donc 80 côtés et 3 080 diagonales.

La somme des angles internes d'un octacontagone non croisé vaut 14 040 degrés.

L'octacontagone régulier est constructible.

## Octacontagones réguliers

Un octacontagone régulier est un octacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a seize : quinze étoilés (notés {80/k} pour k impair de 3 à 39 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {80}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'octacontagone régulier ».

Les seize octacontagones réguliers :

| Représentation | {80} | {80/3} | {80/7} | {80/9} | {80/11} | {80/13} | {80/17} | {80/19} |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Angle interne | 175,5° | 166,5° | 148,5° | 139,5° | 130,5° | 121,5° | 103,5° | 94,5° |
| Représentation | {80/21} | {80/23} | {80/27} | {80/29} | {80/31} | {80/33} | {80/37} | {80/39} |
| Angle interne | 85,5° | 76,5° | 58,5° | 49,5° | 40,5° | 31,5° | 13,5° | 4,5° |

## Caractéristiques de l'octacontagone régulier

Chacun des 80 angles au centre mesure ${\frac {360^{\circ }}{80}}=4{,}5^{\circ }$ et chaque angle interne mesure ${\frac {14\,040^{\circ }}{80}}=175{,}5^{\circ }$.

Si a est la longueur d'une arête :

* le périmètre vaut $P=80\,a$ ;
* l'aire vaut $A=20\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{80}}\right)$ ;
* l'apothème vaut $H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{80}}\right)$ ;
* le rayon vaut $R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)}}$.

### Constructibilité

L'octacontagone régulier est constructible à la règle et au compas, par exemple par bissection du tétracontagone. On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 80 est le produit de 16 (puissance de 2) par 5 (nombre premier de Fermat).

