Équations de Bloch
# Équations de Bloch

En physique et chimie, dans la résonance magnétique nucléaire (RMN), l'imagerie par résonance magnétique (IRM) et la résonance paramagnétique électronique (RPE), les équations de Bloch sont un ensemble d’équations macroscopiques de calcul de l'aimantation nucléaire M = $(M_x,$ $M_y,$ $M_z)$ en fonction du temps lorsque les temps de relaxation $T_1$ et $T_2$ sont présents. Les équations de Bloch sont parfois appelées équations du mouvement de l'aimantation nucléaire. Ces équations ont été introduites par Félix Bloch en 1946 et sont analogues aux équations de Maxwell-Bloch qui décrivent l'effet d'un champ électromagnétique sur un système à deux niveaux et les relaxations qu'on y peut observer.

Ces équations ne sont pas microscopiques : elles ne décrivent pas l'équation de mouvement de moments magnétiques individuels. Ceux-ci sont gouvernés et décrits par les lois de mécanique quantique. Les équations de Bloch sont macroscopiques : elles décrivent les équations de mouvement de l'aimantation nucléaire macroscopique qui peut être obtenue en additionnant tous les moments magnétiques nucléaires de l'échantillon.

## Équations de Bloch dans un référentiel fixe

Soit M(t) = $(M_x(t),$ $M_y(t),$ $M_z(t)),$ l'aimantation nucléaire. Les équations de Bloch s'écrivent alors :

    ${\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}$
    ${\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}$
    ${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}$

où γ est le rapport gyromagnétique et B(t) = $(B_x(t),$ $B_y(t),$ $B_0$ + $ΔB_z(t))$ est le champ magnétique imposé aux noyaux atomiques. La composante z du champ magnétique B est constituée de deux termes :

* le premier, $B_0,$ correspondant à un champ constant dans le temps ;
* le second, $ΔB_z(t),$ peut être dépendant du temps. Il est présent dans l'imagerie par résonance magnétique et aide au décodage spatial du signal de RMN.

M(t)×B(t) est le produit vectoriel de ces deux vecteurs. $M_0$ est l'état d'équilibre de l'aimantation nucléaire, il est orienté dans la direction z.

### Contenu physique

Lorsque $T_1$ et $T_2$ tendent vers l'infini, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a pas de relaxation, les équations se réduisent à :

    ${\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}$
    ${\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}$
    ${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}$

ou en notation vectorielle :

    ${\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt}}=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)$

C'est l'équation de la précession de Larmor de l'aimantation nucléaire M dans un champ magnétique externe B.

Les équations de Bloch sont alors les équations de Larmor auxquelles on a ajouté les termes de relaxation suivants :

    $\left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}\right)$

La relaxation transversale est décrite par le temps caractéristique $T_2$ et de même la relaxation longitudinale par le temps $T_1.$

Ces termes traduisent des interactions avec le milieu extérieur, la relaxation longitudinale $(T_1)$ ou relaxation spin-réseau est le résultat d'échanges entre les spins et le milieu environnant pour transférer l'excès d'énergie apporté par le champ magnétique et donc revenir à l'équilibre thermodynamique. La relaxation transversale $(T_2)$ ou encore relaxation spin-spin correspond au déphasage graduel de tous les spins de la matière provenant d'inhomogénéités locales du champ magnétique. Ces inhomogénéités impliquent de légères différences de fréquence de Larmor. En effet, en l'absence de relaxation, les moments sont en précession cohérente autour du champ magnétique et il existe alors une aimantation transversale. Comme l'aimantation est la somme de tous les moments magnétiques, leur progressive décohérence entraîne une valeur moyenne de la composante transversale qui tend à s'annuler.

### Formes alternatives des équations de Bloch

Le développement du produit vectoriel dans les équations de Bloch mène à :

    ${\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{y}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{y}(t)\right)-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}$
    ${\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{z}(t)B_{x}(t)-M_{x}(t)B_{z}(t)\right)-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}$
    ${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{x}(t)B_{y}(t)-M_{y}(t)B_{x}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}$

Nous verrons plus loin que cette formule se simplifie en posant :

    $M_{xy}=M_{x}+iM_{y}$
    $B_{xy}=B_{x}+iB_{y}$

où i est l'unité imaginaire.

On obtient :

    ${\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}(t)}{T_{2}}}$
    ${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)}}-{\overline {M_{xy}(t)}}B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}$

Tel que :

    ${\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}$.
    ${\overline {B_{xy}}}=B_{x}-iB_{y}$

Ces quantités sont les nombres complexes conjugués de $M_{xy}$ et de $B_{xy}$ . Les parties réelle et imaginaire de $M_{xy}$ correspondent à $M_x$ et $M_y$ respectivement. $M_{xy}$ est parfois appelée aimantation nucléaire transversale.

### Forme matricielle des équations de Bloch

Les équations de Bloch peuvent être remaniées en utilisant une définition équivalente du produit vectoriel pour s'écrire en notation matricielle :

    ${\frac {d}{dt}}\left({\begin{array}{c}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{z}&-\gamma B_{y}\\-\gamma B_{z}&-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{x}\\\gamma B_{y}&-\gamma B_{x}&-{\frac {1}{T_{1}}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{array}}\right)$

## Équations de Bloch dans le référentiel tournant

Dans un référentiel tournant, il est plus facile de comprendre le comportement de l'aimantation nucléaire M.

### Solution des équations de Bloch avec $T_1,$ $T_2$ → ∞

Supposons que :

* à t = 0, l'aimantation nucléaire transversale $M_{xy}(0)$ subit un champ magnétique constant B(t) = (0, 0, $B_0)$ ;
* $B_0$ est positif ;
* il n'y a aucune relaxation longitudinale ou transversale puisque $T_1$ et $T_2$ tendent vers l'infini.

Les équations de Bloch deviennent alors :

    ${\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}=-i\gamma M_{xy}(t)B_{0}$,
    ${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=0$.

Ce sont deux équations différentielles linéaires non couplées. Leurs solutions sont :

    $M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t}$,
    $M_{z}(t)=M_{0}={\text{const}}\,$.

Ainsi l'aimantation transversale, $M_{xy}$ tourne autour de l'axe z avec la fréquence angulaire $ω_0$ = $γB_0$ dans le sens des aiguilles d'une montre (c'est la raison du signe négatif dans l'exposant). L'aimantation longitudinale $M_z$ reste constante dans le temps. C'est aussi pourquoi l'aimantation transversale apparaît à un observateur dans le référentiel terrestre (vu par un observateur stationnaire).

$M_{xy}(t)$ peut se décomposer en les quantités observables $M_x(t)$ et $M_y(t)$ :

    $M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{z0}t}=M_{xy}(0)\left[\cos(\omega _{0}t)-i\sin(\omega _{0}t)\right]$

On a :

    $M_{x}(t)={\text{Re}}\left(M_{xy}(t)\right)=M_{xy}(0)\cos(\omega _{0}t)$,
    $M_{y}(t)={\text{Im}}\left(M_{xy}(t)\right)=-M_{xy}(0)\sin(\omega _{0}t)$,

où Re(z) et Im(z) sont des fonctions qui donnent respectivement la partie réelle et imaginaire du nombre complexe z. Dans ce calcul il a été supposé que $M_{xy}(0)$ est un nombre réel.

### Transformation en référentiel tournant

C'est la conclusion de la partie précédente : dans un champ magnétique constant $B_0$ le long de l'axe z, l'aimantation transversale $M_{xy}$ tourne autour de cet axe dans le sens des aiguilles d'une montre avec la fréquence angulaire $ω_0.$ Si l'observateur tournait autour du même axe dans le même sens et avec la fréquence angulaire Ω, $M_{xy}$ lui apparaîtrait tournant avec la fréquence angulaire $ω_0$ - Ω. Plus particulièrement, si l'observateur tournait autour du même axe dans le sens des aiguilles d'une montre avec la fréquence angulaire $ω_0,$ l'aimantation transversale $M_{xy}$ lui semblerait stationnaire.

Cela peut être exprimé mathématiquement de la manière suivante :

* (x, y, z) est le système de coordonnées cartésiennes terrestre posé comme référentiel ;
* (x′, y′, z′) = (x′, y′, z) est un système de coordonnées cartésiennes qui tourne autour de l'axe z du référentiel terrestre avec la fréquence angulaire Ω. On l'appelle le référentiel tournant. Les variables physiques dans ce référentiel sont dénotées par une apostrophe.

À l’évidence :

    $M_{z}'(t)=M_{z}(t)\,$.

Pour $M_{xy}′(t)$ la transformation s'écrit :

    $M_{xy}'(t)=M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\,$.

### Équation du mouvement de l'aimantation dans le référentiel tournant

L'équation du mouvement de $M_{xy}′(t)$ dans un champ B(t) = $(B_x(t),$ $B_y(t),$ $B_0$ + $ΔB_z(t))$ est :

    ${\begin{aligned}{\frac {dM'_{xy}(t)}{dt}}&=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\\end{aligned}}$
    ${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M'_{xy}(t){\overline {B'_{xy}(t)}}-{\overline {M'_{xy}(t)}}B'_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}$

On obtient l'équation d'évolution en dérivant simplement par rapport au temps la quantité $M'_{xy}$ :

    ${\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)}{dt}}={\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}e^{+i\Omega t}+i\Omega M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}={\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}e^{+i\Omega t}+i\Omega M_{xy}'(t)$

En injectant l'équation de Bloch :

    ${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}(t)}{T_{2}}}\right]e^{+i\Omega t}+i\Omega M_{xy}'(t)\\&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'(t)\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}'(t)-M_{z}'(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\\end{aligned}}$

L'hypothèse de la partie précédente était que : $B_z′(t)$ = $B_z(t)$ = $B_0$ + $ΔB_z(t).$ On peut donc continuer en écrivant :

    ${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\Delta B_{z}(t))-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\&=-i\gamma B_{0}M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\&=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\\end{aligned}}$

Il en va de même pour l'équation de $M_z.$

Explication des termes à droite de cette équation :

* i(Ω - $ω_0)$ $M_{xy}′(t)$ suit le terme de Larmor dans le référentiel tournant avec la fréquence angulaire Ω. Il s'annule notamment quand Ω = $ω_0$ ;
* le terme -iγ $ΔB_z(t)$ $M_{xy}′(t)$ décrit l'effet de l'inhomogénéité du champ magnétique sur l'aimantation nucléaire transversale. C'est aussi le terme qui correspond aux utilisations de la RMN lors d'une IRM : il est produit par les bobines de gradient de champ magnétique ;
* iγ $ΔB_{xy}′(t)$ $M_z(t)$ décrit l'effet du champ radiofréquence sur l'aimantation nucléaire (le facteur $ΔB_{xy}′(t)$ plus particulièrement) ;
* $–M_{xy}′(t)$ / $T_2$ décrit la perte en cohérence de l'aimantation transversale.

### Équations indépendantes du temps dans le référentiel tournant

Si le champ externe a la forme :

    $B_{x}(t)=B_{1}\cos \omega t$
    $B_{y}(t)=-B_{1}\sin \omega t$
    $B_{z}(t)=B_{0}$,

On peut alors définir :

    $\epsilon =\gamma B_{1}$ et $\Delta =\omega -\omega _{0}$,

Les équations s'écrivent alors simplement en notation matricielle :

    ${\frac {d}{dt}}\left({\begin{array}{c}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {1}{T_{2}}}&\Delta &0\\-\Delta &-{\frac {1}{T_{2}}}&\epsilon \\0&-\epsilon &-{\frac {1}{T_{1}}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{array}}\right)$
    ${\begin{aligned}B_{xy}'(t)&=B_{1}(\cos \omega t-i\sin \omega t)e^{i\Omega t}=B_{1}e^{i(\Omega -\omega )t}\\{\frac {dM'_{z}}{dt}}&=i{\frac {\gamma }{2}}B_{1}(M_{xy}'e^{i(\omega -\Omega )t}-{\overline {M_{xy}'}}e^{-i(\omega -\Omega )t})-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}\\&=-\gamma B_{1}M'_{y}e^{-i(\omega -\Omega )t}-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}\\{\frac {dM'_{xy}}{dt}}&=i(\Omega -\omega _{0})M'_{xy}+i\gamma B_{1}e^{-i(\omega -\Omega )t}M_{z}-{\frac {M'_{xy}}{T_{2}}}\\\end{aligned}}$

Comme $M'_{x}={\text{Re}}(M'_{xy})$ et $M'_{y}={\text{Im}}(M'_{xy})$ on peut séparer l'équation du mouvement de $M'_{xy}$ en deux équations, une pour la partie réelle une pour la partie imaginaire que l'on identifie de part et d'autre de l'égalité. Cela donne :

    ${\begin{aligned}{\frac {dM'_{x}}{dt}}&=(\Omega -\omega _{0})M'_{y}+\gamma B_{1}\sin((\omega -\Omega )t)M_{z}-{\frac {M'_{x}}{T_{2}}}\\{\frac {dM'_{y}}{dt}}&=-(\Omega -\omega _{0})M'_{x}+\gamma B_{1}\cos((\omega -\Omega )t)M_{z}-{\frac {M'_{y}}{T_{2}}}\\\end{aligned}}$

Avec la condition $\Omega =\omega$, on retrouve bien la formulation annoncée telle qu'il n'y a plus de dépendance explicite par rapport au temps.

## Solutions simples des équations de Bloch

### Relaxation de l'aimantation nucléaire transversale $M_{xy}$

En supposant que :

* l'aimantation nucléaire est exposée à un champ magnétique externe constant dans la direction z : $B_z′(t)$ = $B_z(t)$ = $B_0.$ Ainsi $ω_0$ = $γB_0$ et $ΔB_z(t)$ = 0' ;
* il n'y a aucun champ radiofréquence, ainsi on a $B_{xy}'$ = 0 ;
* la rotation du référentiel tournant est à la fréquence angulaire Ω = $ω_0.$

Dans le référentiel tournant, l'équation de mouvement pour l'aimantation nucléaire transversale, $M_{xy}'(t)$ est réduite à :

    ${\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}$

C'est une équation différentielle ordinaire linéaire et sa solution est :

    $M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2}}$.

où $M_{xy}'(0)$ est l'aimantation nucléaire transversale dans le référentiel tournant à l'instant t = 0. Elle constitue la condition initiale de l'équation différentielle.

Il est à noter que lorsque la rotation du référentiel tournant est exactement à la fréquence de Larmor $ω_0,$ le vecteur aimantation nucléaire transversale $M_{xy}(t)$ est stationnaire.

### Relaxation de l'aimantation nucléaire longitudinale $M_z$

En admettant que :

* l'aimantation nucléaire est exposée à un champ magnétique externe constant dans la direction z : $B_z′(t)$ = $B_z(t)$ = $B_0.$ Ainsi $ω_0$ = $γB_0$ et $ΔB_z(t)$ = 0' ;
* il n'y a aucun champ radiofréquence, ainsi on a $B_{xy}'$ = 0 ;
* la rotation du système tournant est à la fréquence angulaire Ω = $ω_0.$

Dans le référentiel tournant, l'équation de mouvement pour l'aimantation nucléaire longitudinale $M_z(t)$ se simplifie en :

    ${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}$

C'est une équation différentielle ordinaire linéaire et sa solution est :

    $M_{z}(t)=M_{0}-[M_{0}-M_{z}(0)]e^{-t/T_{1}}$

où $M_z(0)$ est l'aimantation nucléaire longitudinale dans le cadre tournant au temps t = 0. C'est la condition initiale pour l'équation différentielle.

### Pulses à 90° et 180° en champ radiofréquence

Communément, on utilise en RMN des pulses à 90° et 180° en champ radiofréquences. L'effet de ces pulses sur l'aimantation sont présentés sur l'image suivante :

On modifie les hypothèses précédentes en ajoutant un champ radiofréquence $B_1$ tel que :

* à t = 0, un pulse en radiofréquence d'amplitude constante et de fréquence $ω_0$ est appliqué. On a $B'_{xy}(t)$ = $B'_{xy}$ constant et τ la durée de ce pulse ;
* $T_1$ et $T_2$ → ∞. En pratique, cela signifie que τ est petit devant $T_1$ et $T_2.$

Alors pour 0 ≤ t ≤ τ :

    ${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=i\gamma B_{xy}'M_{z}(t)\end{aligned}}$
    ${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M'_{xy}(t){\overline {B'_{xy}}}-{\overline {M'_{xy}}}(t)B'_{xy}\right)$
    Avec le temps, l'aimantation tend a revenir à un état d'équilibre. Les différentes composantes se comportent de la manière suivante :
