Lexique de la géométrie riemannienne
# Lexique de la géométrie riemannienne

La géométrie riemannienne est un domaine des mathématiques étudiant les propriétés des variétés riemanniennes. Cette page rappelle brièvement les définitions des termes récurrents rencontrés.

## A

* Application conforme : Entre deux variétés riemanniennes, application qui préserve les angles ; de manière équivalente application qui transporte une métrique en une métrique conforme ;
* Application exponentielle : Application différentiable $TM\rightarrow M$ définie naturellement pour toute variété riemannienne complète. Si $v_{m}\in T_{m}M$ est un vecteur tangent à la variété en m, la géodésique d'origine m et de vitesse initiale $v_{m}$ est donnée par $t\mapsto exp(tv_{m})$ .

## C

* Centre de masse
* Cercle osculateur
* Champ de Jacobi
* Champ de Killing
* Classe de Chern
* Convexité
* Courbure bisectionnelle
* Courbure de Gauss
* Courbure négative
* Courbure de Ricci
* Courbure sectionnelle
* Croissance d'un groupe
* Cut-locus d'un point m d'une variété riemannienne : Ensemble (négligeable) de points n pour lesquels il n'y a pas unicité de la géodésique minimisante ;

## E

* Espace homogène : Variété sur laquelle agit transitivement un groupe de Lie.
* Espace symétrique : Variété riemannienne pour laquelle la symétrie géodésique par rapport à n'importe quel point

est une isométrie globale.

## F

* Feuilletage riemannien : Feuilletage muni d'une métrique riemannienne transverse;
* Fibré normal : pour une sous-variété N d'une variété riemannienne M, fibré vectoriel sur N dont la fibre en x est l'orthogonal à $T_xN$ ;
* Fibré riemannien : Fibré vectoriel muni d'une métrique riemannienne ;
* Flot géodésique : Flot différentiable sur l'espace tangent ou cotangent d'une variété riemannienne, ou sur le fibré en sphères correspondant, défini par la dynamique des géodésiques ;
* Fonction de Busemann : Fonction continue définie sur un espace (variété riemannienne ou espace métrique) à courbure négative bornée intervenant dans la compactification ; les fonctions de Buseman forment la sphère à l'infini ;
* Forme harmonique : Forme différentielle dont le laplacien est nul ;
* Forme de Kähler :
* Formule des traces de Selberg :

## G

* Géodésique : Courbe minimisant localement la distance sur une variété riemannienne ;
* Géodésique fermée : Géodésique périodique ;
* Géométrie euclidienne : géométrie d'un espace euclidien ;
* Géométrie riemannienne : Géométrie d'une variété riemannienne ;
* Groupe hyperbolique

## H

* Holonomie
* Horosphère

## I

* Identités de Bianchi : Identité remarquable portant sur la courbure de la connexion de Levi-Civita ;
* Inégalité de Bishop-Gromov : Estimation sur le volume des boules d'une variété riemannienne suivant des estimations sur la courbure de Ricci ;
* Inégalité isopérimétrique : Toute inégalité donnant une majoration du volume riemannien enfermé par une hypsersurface en fonction du volume de cette dernière ;
* Involution : Isométrie sur une variété riemannienne fixant un point et dont la différentielle en ce point est -Id ;
* Isométrie : Entre deux variétés riemanniennes, application différentiable et bijective envoyant métrique riemannienne sur métrique riemannienne ; ou de manière équivalente, application bijective préservant les distances associées;

## L

* Laplacien : Opérateur différentiel défini sur toute variété riemannienne ;

## M

* Métrique de Carnot-Carathéodory
* métrique riemannienne : Collection de formes bilinéaires symétriques définies positives définies sur les espaces tangents d'une variété, avec une certaine régularité dépendant du contexte ;
* Mouvement brownien ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule ;
* Métrique d'Einstein : métrique riemannienne pour laquelle la courbure de Ricci est proportionnelle à la métrique.

## N

* Nombre de Betti : Dimensions des espaces de cohomologie de De Rham ;

## P

* Plongement riemannien : Plongement préservant la métrique riemannienne.
* Problème de Dirichlet

## Q

* Quasi-isométrie : Applications (pas nécessairement continue) entre variétés riemanniennes ou entre espaces métriques qui ne dilatent pas excessivement les distances.

## R

* Rayon de convexité
* Rayon d'injectivité : plus grand rayon tel que l'application exponentielle restreinte aux boules tangentes correspondantes

soit un difféomorphisme sur son image ;

* Revêtement riemannien : Revêtement d'une variété riemannienne muni de la métrique tirée en arrière ;
* Rigidité de Mostow : sous sa version la plus simple, le théorème de rigidité de Mostow assure qu'à partir de la dimension

3, deux variétés riemanniennes compactes à courbure constante négative qui sont difféomorphes sont aussi isométrique.

## S

* Spectre du laplacien
* Spineur
* Symbole de Christoffel : Symboles permettant d'exprimer dans des cartes locales la connexion de Levi-Civita ;
* Systole (mathématiques)

## T

* Théorème d'Abresch-Meyer
* Théorème de Bishop
* Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers
* Théorème de Brunn-Minkowski
* Théorème de Cartan-Hadamard : théorème affirmant que le revêtement universel d'une variété riemannienne complète de courbure non positive est difféomorphe à une boule
* Théorème de comparaison de Toponogov
* Théorème de Gauss-Bonnet
* Théorème de Hopf-Rinow
* Théorème KAM
* Théorème de Myers : estimation sur le diamètre d'une variété riemannienne complète en courbure de Ricci strictement positive
* Totalement géodésique : se dit d'une sous-variété N d'une variété riemannienne qui contient toute géodésique issue d'un des points de N et dirigée par un vecteur tangent à N
* Transport parallèle

## V

* Variété de Hadamard : Variété riemannienne complète simplement connexe de courbure strictement négative.
* Variété hyperbolique
* Variété kählérienne
* Variété lorentzienne
* Variété pseudo-riemannienne
* Variété riemannienne
* Volume riemannien : forme volume définie sur toute variété riemannannienne orientée valant 1 sur toute base tangente orthonormée orientée ; ou mesure positive associée ;

## Autres lexiques mathématiques

* Glossaire de topologie
* Lexique de la géométrie symplectique
* Lexique des surfaces
