Octadécagone
# Octadécagone

Un octadécagone ou octakaidécagone est un polygone à 18 sommets, donc 18 côtés et 135 diagonales.

La somme des angles internes d'un octadécagone non croisé vaut 2 880 degrés.

## Nom

Le nom du polygone est formé à partir des préfixes octo et déca. Octo provient du grec ancien ὀκτώ (octo, huit) et déca de δέκα (déca, dix). En grec ancien, dix-huit se dit ὀκτὼ καὶ δέκα (octo kai deka).

## L'octadécagone régulier

Un octadécagone régulier est un octadécagone dont les 18 côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a trois : deux étoilés (les octadécagrammes notés {18/5} et {18/7}) et un convexe (noté {18}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'octadécagone régulier ».

* Les deux octadécagones réguliers étoilés
* {18/5} (angle interne : 80°)
* {18/7} (angle interne : 40°)

### Caractéristiques

Dans l'octadécagone régulier, chacun des 18 angles au centre mesure ${\frac {360^{\circ }}{18}}=20^{\circ }$ et chaque angle interne mesure ${\frac {2\,880^{\circ }}{18}}=160^{\circ }$.

Si a est la longueur d'une arête :

* le périmètre vaut $P=18\,a$ ;
* l'aire vaut $A={\frac {18}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{18}}\right)$ ;
* l'apothème vaut $H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{18}}\right)$ ;
* le rayon vaut $R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{18}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{18}}\right)}}$.

### Propriétés

* L'octadécagone régulier n'est pas constructible à la règle et au compas.
* Son symbole de Schläfli est {18}.
* Son groupe de symétrie est le groupe diédral $D_{18}.$
