Métrique riemannienne
# Métrique riemannienne

En géométrie différentielle, les métriques riemanniennes sont la notion de base de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Bernhard Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Hermann von Helmholtz publie des résultats analogues.

Les métriques riemanniennes sont des familles différentiables de formes quadratiques définies positives.

## Définitions

* Sur un fibré vectoriel E→M, une métrique riemannienne g est la donnée d'un produit scalaire $g_x$ sur chaque fibre $E_x$ qui dépend de manière lisse du point de base x variant dans M. Plus formellement, $x↦g_x$ est une section en tout point définie positive du fibré vectoriel $S^2E→M$ des formes bilinéaires symétriques. On dit que la donnée (E,g) est un fibré riemannien.

    Pour deux fibrés riemanniens (E,g) et (F,g' ) sur M, un morphisme de fibrés riemanniens f:(E,g)→(E,g' ) est un morphisme de fibrés vectoriels f:E→E' tel que, pour tout point x de M, l'application linéaire $f_x:E_x→F_x$ est une isométrie linéaire, c'est-à-dire :$\forall v,w\in E_{x},\quad g'_{x}(f_{x}(v),f_{x}(w))=g_{x}(v,w).$
* Si M est une variété différentielle, une métrique riemannienne sur M est simplement une métrique riemannienne sur son fibré tangent. La donnée (M,g) est une variété riemannienne.

    Étant données deux variétés riemanniennes (M,g) et (N,g' ), une isométrie F:(M,g)→(N,g' ) est une application différentiable F:M→N telle que l'application tangente dF:(TM,g)→(TN,g' ) est un morphisme de fibrés riemanniens. Cette dernière condition se réécrit : F*g'=g.

## Exemples

* Tout produit scalaire $\langle \,,\,\rangle$ sur $ℝ^n$ induit sur tout fibré vectoriel trivial $M×ℝ^n→M$ une métrique riemannienne : $g_{x}((x,v),(x,w))=\langle v,w\rangle$.
* Soient g une métrique riemannienne sur E→M et P une variété. Pour une fonction différentiable ψ:P→M, il existe sur le fibré vectoriel tiré en arrière ψ*E→P une unique métrique riemannienne ψ*g telle que le morphisme naturel ψ*E→E soit un isomorphisme de fibrés riemanniens.
* Si g est une métrique riemannienne sur E→M, alors, par restriction, g définit une métrique riemannienne sur tout sous-fibré vectoriel de E.
* La limite de la métrique de Minkowski ${\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-{\rm {d}}x^{2}-{\rm {d}}y^{2}-{\rm {d}}z^{2}$ quand c tend vers l'infini est une métrique de fibré. Le temps devient absolu et l'espace-temps se fibre dessus, on retrouve la transformation de Galilée. A deux instants différents la métrique est la différence des temps. Au même instant, dans une fibre d'espace isomorphe à $\mathbb {R} ^{3}$, la métrique est le produit scalaire usuel.

## Existence

* Sur tout fibré vectoriel de base paracompacte, il existe une métrique riemannienne.

### Preuve via une partition de l'unité.

Pour tout ouvert U suffisamment petit de M, le fibré vectoriel $π^{-1}(U)→U$ est trivialisable. Or, par ci-dessus, tout fibré vectoriel trivialisable admet une métrique riemannienne. Donc, il existe une métrique riemannienne $g^U$ sur $π^{-1}(U).$

En utilisant la paracompacité de M, il existe un recouvrement dénombrable $(U_n)_{n∈ℕ}$ de M tel que, pour tout entier n, il existe une métrique riemannienne $g_n$ sur le fibré vectoriel $π^{-1}(U_n)→U_n.$ Soit $(ϕ_n)_{n∈ℕ}$ une partition de l'unité subordonnée à $(U_n)_{n∈ℕ}.$ L'application $x↦ϕ_n(x)g_n(x)$ est une section globale de $S^2π^{-1}(U_n)→U_n$ nulle au voisinage de la frontière $∂U_n.$ Elle se prolonge par $0$ en une section globale de $S^2E→M,$ abusivement notée $x↦ϕ_n(x)g_n(x).$

$g=\sum _{n\in \mathbb {N} }\phi _{n}g_{n}:x\mapsto \sum _{n\in \mathbb {N} }\phi _{n}(x)g_{n}(x)$

$x$

$x$

$\phi _{n}$

$v$

$E_{x}$

$g(v,v)\geq \phi _{n}(x)g_{x}^{n}(v,v)>0$

### Preuve via un plongement.

Il existe un fibré vectoriel F→M tel que E⊕F→M soit trivialisable. On utilise à ce niveau la paracompacité de M. Il existe donc une métrique riemannienne sur E⊕F→M qui se restreint en une métrique riemannienne sur E→M.

Bien que plus court en apparence, ce second argument dissimule la difficulté dans l'existence de $F$. Cette existence fait aussi appel à un argument de partition de l'unité.

En particulier :

* Sur toute variété différentielle paracompacte, il existe une métrique riemannienne.
