Opérateur trace
# Opérateur trace

Un opérateur trace est un opérateur mathématique mis en œuvre dans des études d'existence et d'unicité de solutions aux problèmes avec conditions aux limites. L'opérateur trace permet aussi au moyen d'une formulation dans un espace de Sobolev d'étendre au bord d'un domaine la notion de restriction d'une fonction.

## Origine

Soit Ω un ouvert borné de l'espace euclidien $ℝ^n$ avec une frontière de classe $C^1$ ∂Ω. Si u est une fonction $C^1$ (ou simplement continue) sur l'adhérence Ω de Ω, sa restriction est bien définie et continue sur ∂Ω. Si de plus u est la solution d'une équation aux dérivées partielles donnée, elle est en général une formulation faible, qui appartient donc à un certain espace de Sobolev. Les fonctions d'un tel espace ne sont généralement pas continues et sont définies seulement sur Ω (et même seulement à égalité près presque partout), donc leur restriction à ∂Ω n'a aucun sens. Il vient que la restriction simple d'une fonction ne peut pas être utilisée pour définir clairement une solution générale d'une équation aux dérivées partielles avec des conditions aux limites de Ω données.

On peut contourner cette difficulté en considérant que tout élément u d'un espace de Sobolev peut être mal défini en tant que fonction, mais peut toutefois être approché par une suite $(u_n)$ de fonctions de classe $C^1$ définies sur l'adhérence de Ω. Alors, la restriction $u_{|∂Ω}$ de u sur ∂Ω est définie comme la limite de la suite des restrictions $u_{n|∂Ω}.$

## Construction de l'opérateur trace

Afin de définir rigoureusement la notion de restriction d'une fonction dans un espace de Sobolev, soit un réel p ≥ 1. Considérons l'opérateur linéaire

    $T:C^{1}({\bar {\Omega }})\to {\rm {L^{p}}}(\partial \Omega )$

défini sur l'ensemble des fonctions de classe $C^1$ sur Ω à valeurs dans l'espace $L^p(∂Ω),$ vérifiant

    $Tu=u_{|\partial \Omega }.$

Le domaine de T est un sous-ensemble de l'espace de Sobolev $W^{1,p}(Ω).$

Il existe une constante C, dépendant uniquement de Ω et p, telle que

    $\forall u\in C^{1}({\bar {\Omega }})\quad \|Tu\|_{{\rm {L^{p}}}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.$

Alors, comme les fonctions $C^1$ sur Ω sont denses dans $W^{1,p}(Ω),$ l'opérateur T admet un unique prolongement continu (donc, lui aussi, linéaire)

    $T:W^{1,p}(\Omega )\to {\rm {L^{p}}}(\partial \Omega )$

défini sur l'espace entier $W^{1,p}(Ω).$ T est appelé opérateur trace. La restriction (ou trace) $u_{|∂Ω}$ d'une fonction u de $W^{1,p}(Ω)$ est alors donnée par Tu.

Puisque ce prolongement T est séquentiellement continu, pour toute suite $(u_n)$ de fonctions de classe $C^1$ sur Ω qui converge dans $W^{1,p}(Ω)$ vers u, la suite $(u_{n|∂Ω})$ converge dans $L^p(∂Ω)$ vers Tu.

## Application

Considérons la résolution de l'équation de Poisson avec des conditions aux limites de Dirichlet :

    ${\begin{cases}-\Delta u=f{\text{ sur }}\Omega \\u_{|\partial \Omega }=0.\end{cases}}$

Ici, $f$ est une fonction continue donnée sur Ω.

Grâce au concept de trace, on définit, dans l'espace de Sobolev $H^1(Ω)$ := $W^{1,2}(Ω),$ le sous-espace $H^1$ $_0(Ω)$ des fonctions de trace nulle. Alors l'équation admet la formulation faible suivante :

    Trouver $u\in H_{0}^{1}(\Omega )$ telle que
    $\int _{\Omega }\!\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx=\int _{\Omega }\!f(x)v(x)\,dx$ pour tout $v$ dans $H^1$ $_0(Ω).$

Par le théorème de Lax-Milgram, on peut démontrer que ce problème admet une unique solution, et donc que l'équation de Poisson a une solution faible unique.

Un raisonnement similaire peut être utilisé pour prouver l'existence et l'unicité de solutions dans le cas d'autres équations aux dérivées partielles avec des conditions aux limites différentes, telles les conditions de Neumann ou de Robin, la notion de trace étant importante dans ces cas.

