Opérateur accrétif
# Opérateur accrétif

En mathématiques, un opérateur accrétif est une multifonction définie entre espaces de Banach, qui possède une propriété de monotonie analogue à celle que possède un opérateur monotone sur un espace de Hilbert.

## Multifonction

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Une fonction multivaluée, ou multifonction $T:E\multimap F$ est une application de $E$ dans l'ensemble des parties de $F$. Son graphe est noté ${\mathcal {G}}(T)$.

## Définition

Soit $(E,\|\cdot \|)$ un espace vectoriel normé.

   On dit qu'un opérateur $T:E\multimap E$ est accrétif si pour tout $\lambda >0$, pour tout $(x_{1},y_{1})\in {\mathcal {G}}(T)$ et pour tout $(x_{2},y_{2})\in {\mathcal {G}}(T)$, on a
   $\|x_{1}-x_{2}\|\leq \|(x_{1}-x_{2})+\lambda (y_{1}-y_{2})\|.$

L'accrétivité est une manière d'exprimer la monotonicité d'un opérateur dans un espace dépourvu de produit scalaire (voir ce résultat).

On voit que si $T$ est accrétif, quel que soit $\lambda >0$ et $z\in E$, l'inclusion $x+\lambda T(x)\ni z$ a au plus une solution $x$.

