Théorème de Chevalley-Warning
# Théorème de Chevalley-Warning

Le théorème de Chevalley-Warning est un théorème d'algèbre qui assure que sur un corps fini, certaines équations polynomiales en un nombre suffisant de variables ont des solutions. Une version plus faible légèrement antérieure, le théorème de Chevalley, a permis de démontrer la conjecture d'Artin et Dickson selon laquelle tout corps fini est quasi-algébriquement clos.

## Énoncés

On considère des polynômes non nuls $P_j(x_1,$ … , $x_n)$ de degrés respectifs $d_j,$ à coefficients dans un corps fini F de caractéristique p. Si

$n>\sum d_{j}$

alors :

* (théorème de Chevalley-Warning) le nombre de racines communes des $P_j$ dans $F^n$ est divisible par p,
* (théorème de Chevalley) en particulier si (0, … , 0) est une racine commune, il en existe au moins une autre.

L'hypothèse est optimale au sens où sur tout corps fini F et pour tout n, il existe des polynômes en n variables dont la somme des degrés vaut n et dont (0, … , 0) est la seule racine commune, par exemple les n polynômes $x_1,$ … , $x_n,$ ou encore le polynôme de degré n donné par la norme de $x_1a_1$ + + $x_na_n,$ où les $a_k$ forment une base de l'extension de degré n de F.

Le théorème de Chevalley se reformule en disant que le rang de Tsen (en) de tout corps fini est égal à 1.

## Démonstration

En notant q le cardinal de F on a (si q ≠ 2), pour tout entier naturel i < q – 1 :

$\sum _{x\in F}x^{i}=0$

(même pour i = 0, avec la convention $0^0$ = 1 adaptée à ce contexte) si bien que pour tout polynôme $P(x_1,$ … , $x_n)$ de degré < n(q – 1),

$\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in F^{n}}P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$

(en effet, par linéarité, il suffit de le vérifier sur la base des monômes).

Cela s'applique au polynôme

$P=\prod (1-P_{j}^{q-1})$

puisque son degré est

$\sum d_{j}(q-1)<n(q-1).$

Or ce polynôme vaut 1 en chaque racine commune des $P_j$ et 0 ailleurs. Le nombre de racines communes est donc nul modulo p.

## Conjecture d'Artin

Dans le théorème de Chevalley, le cas d'une famille de polynômes réduite à un polynôme homogène se traduit par : tout corps fini est quasi-algébriquement clos, fait qu'Artin avait conjecturé en 1935. La motivation de cette conjecture était la remarque que le groupe de Brauer d'un corps quasi-algébriquement clos est trivial, jointe au fait que celui d'un corps fini aussi, d'après le théorème de Wedderburn.

## Théorème d'Ax-Katz

Le théorème d'Ax-Katz, démontré par James Ax dans le cas d'un seul polynôme puis par Nicholas Katz dans le cas général, assure plus précisément que le nombre de racines communes des $P_j$ est divisible par $q^b$ (q désignant encore le cardinal du corps F), où b est la partie entière par excès de

${\frac {n-\sum d_{j}}{\max d_{j}}}.$

Ce résultat est optimal au sens où pour tous F, n et $d_j,$ il existe des $P_j$ de degrés $d_j$ pour lesquels le nombre de racines communes est $q^b.$

Il a une interprétation en cohomologie étale, comme résultat de divisibilité sur les inverses des zéros et pôles de la fonction zêta locale : la même puissance de q divise chacun de ces entiers algébriques.

