Théorème de Freiman
# Théorème de Freiman

En mathématiques, le théorème de Freiman est un résultat combinatoire de théorie additive des nombres dû à Gregory Freiman $(en)^,^,^,$ selon lequel, pour un ensemble fini A d'entiers, si la somme de A avec lui-même n'est « pas trop grosse » par rapport à A, alors A est inclus dans une progression arithmétique généralisée elle-même « pas trop grosse ».

## Énoncé

Pour toute constante c > 0, il existe un entier naturel n et une constante c' tels que :

pour tout ensemble fini A d'entiers tel que card(A + A) ≤ c card(A), il existe des entiers a, $q_1,$ … , $q_n,$ $l_1,$ … , $l_n$ tels que

$A\subset Q=\{a+x_{1}q_{1}+\ldots +x_{n}q_{n}~|~\forall i=1,\ldots ,n,~0\leq x_{i}<l_{i}\}\quad {\text{et}}\quad {\text{card}}(Q)\leq c'{\text{card}}(A).$

Un cas simple instructif est le suivant : on a toujours card(A + A) ≥ 2 card(A) – 1, avec égalité si et seulement si A est une progression arithmétique.

L'intérêt pour ce théorème et ses généralisations et applications a été ravivé par une nouvelle preuve due à Imre Z. Ruzsa $(en)^,.$ En 2002, Mei-Chu Chang a donné de nouvelles estimations polynomiales de la taille des progressions arithmétiques qui apparaissent dans le théorème.

Green et Ruzsa ont généralisé le théorème pour un groupe abélien arbitraire : ici, A peut être contenu dans la somme d'une progression arithmétique généralisée et d'un sous-groupe.

