Variété de Whitehead
# Variété de Whitehead

En mathématiques, la variété de Whitehead est une 3-variété ouverte contractile, mais non homéomorphe à $\mathbb {R} ^{3}$ . J. H. C. Whitehead (1935) a découvert cet objet déroutant alors qu'il tentait de prouver la conjecture de Poincaré, corrigeant une erreur dans un de ses précédents articles (Whitehead (1934)) dans lequel il affirmait à tort qu'il n'en existait pas.

Une variété contractile est une variété qui peut être réduite en un point situé à l'intérieur de la variété elle-même. Par exemple, une boule ouverte est une variété contractible. Toutes les variétés homéomorphes de la balle sont également contractiles. On peut se demander si toutes les variétés contractiles sont homéomorphes à une balle. Pour les dimensions 1 et 2, la réponse est classique et c'est "oui". En dimension 2, il découle, par exemple, du théorème de mappage de Riemann. La dimension 3 présente le premier contre-exemple : la variété Whitehead.

## Construction

Prenez une copie de $S^{3}$. Prenez un tore solide (plein) compact sans nœud $T_{1}$ dans la sphère. Le complément fermé de $T_{1}$est un autre tore.

Prenez maintenant un second tore solide $T_{2}$ dans $T_{1}$ tel que $T_{2}$ et un voisinage tubulaire de la courbe méridienne de $T_{1}$est un lien Whitehead épaissi.

Maintenant, construisez $T_{3}$ dans $T_{2}$ de la même manière que $T_{2}$ a été construit dans $T_{1}$, et ainsi de suite indéfiniment. définissez W, le continuum de Whitehead , comme étant $W=T_{\infty }$, ou plus précisément l'intersection de tous les $T_{k}$ pour $k=1,2,3,\dots$.

La variété de Withehead est définie comme $X=S^{3}\setminus W$, ce qui est une variété non compacte dans frontières.

Remarque : analyse impliquant les résultats de Morton Brown montre que $X\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4}$. Cependant, X n'est pas homéomorphique à $\mathbb {R} ^{3}$. Cela vient du fait qu'elle ne soit pas simplement liée à l'infini.

La compactification en un point de X est l'espace $S^{3}/W$ (avec W contracté en un point). Ce n'est pas une variété. Cependant, $(\mathbb {R} ^{3}/W)\times \mathbb {R}$ est homéomorphe à $\mathbb {R} ^{4}$ .

David Gabai a montré que X est l’union de deux copies de $\mathbb {R} ^{3}$ dont l'intersection est aussi homéomorphe à $\mathbb {R} ^{3}$ .

## Espaces connexes

D'autres exemples de 3-variétés ouvertes et contractiles peuvent être construites en procédant de manière similaire et en choisissant différentes inclusions de $T_{i+1}$ dans $T_{i}$ durant le processus itératif. Chaque inclusion doit être un tore solide sans nœud dans la 3-sphère. La propriété essentielle est que la méridienne de $T_{i}$ doit être nulle-homotopique dans le complément de $T_{i+1}$, et en supplément, la longitude de $T_{i+1}$ ne doit pa être nulle-homotopique dans $T_{i}\setminus T_{i+1}$. Une autre variation est de choisir plusieurs sous-tores ià chaque étape au lieu d'en choisir un seul.

