Voisinage tubulaire
# Voisinage tubulaire

En géométrie différentielle, un voisinage tubulaire d'une sous-variété S d'une variété différentielle M est un ouvert de M, qui contient S et « ressemble à » son fibré normal.

## Définition

Soient S ⊂ M deux variétés différentielles. Un voisinage tubulaire de S dans M est constitué d'un fibré vectoriel E → S et d'un difféomorphisme de E sur un ouvert U de M, par lequel tout point s de S est l'image du vecteur nul de $E_s.$

Par abus de langage, cet ouvert U, ipso facto voisinage de S et fibré sur S, est aussi appelé un voisinage tubulaire de S.

## Existence

Théorème du voisinage tubulaire — Pour toutes variétés différentielles sans bord S ⊂ M (paracompactes, de classe $C^k$ avec k ≥ 1), S admet un voisinage tubulaire dans M (de même classe).

Dans le cas où la variété ambiante M est un espace euclidien $R^n,$ on trouve un tel voisinage en choisissant, dans le fibré normal à S, un ouvert V autour de la section nulle, suffisamment petit pour que la restriction à V de l'application (s, v) ↦ s + v soit un plongement.

Supposons S ⊂ M = $R^n$ et notons f l'application NS → $R^n,$ (s, v) ↦ s + v. En tout point (s, 0) de la section nulle de NS, la différentielle de f est l'identité de $T_sS⊕N_sS$ = $R^n,$ donc f est un difféomorphisme au voisinage de ce point, c'est-à-dire qu'il existe un réel δ > 0 tel que f soit un difféomorphisme de

    $V_{\delta }(s):=\{(t,v)\in NS\mid \|t-s\|<\delta \quad {\rm {et}}\quad \|v\|<\delta \}$

sur son image. Notons alors $ε_s$ la borne supérieure de ces « bons rayons δ pour s », et supposons que tous les $ε_s$ sont finis (sinon, V = NS convient et la preuve est terminée).

Pour tous points s et s' de S, puisque (pour tout δ > 0)

    $V_{\delta }(s)\subset V_{\delta +\|s'-s\|}(s'),$

on a

    $\forall \delta >0\quad \left(\delta +\|s'-s\|<\varepsilon _{s'}\Rightarrow \delta \leq \varepsilon _{s}\right),$

c'est-à-dire

    $\varepsilon _{s'}\leq \varepsilon _{s}+\|s'-s\|.$

La fonction s ↦ $ε_s$ est donc continue (et même 1-lipschitienne), si bien que l'ensemble

    $V:=\{(s,v)\in NS\mid \|v\|<\varepsilon _{s}/2\}$

est un ouvert de NS (qui contient la section nulle).

La restriction de f à V est un difféomorphisme local, et il reste à vérifier qu'elle est injective. Si (s, v) et (s', v') appartiennent à V et ont même image par f alors, en supposant par exemple $ε_{s'}$ ≤ $ε_s$ puis en choisissant δ strictement compris entre ║v║ + ║v'║ et $ε_s,$ on déduit de

    $\|s'-s\|=\|v-v'\|\quad {\rm {et}}\quad \max(\|v\|,\|v'\|,\|v-v'\|)\leq \|v\|+\|v'\|<\delta$

que (s, v) et (s', v') appartiennent tous deux à $V_δ(s),$ sur lequel f est injective. Ils sont donc égaux, ce qui conclut.

Le cas d'une variété M quelconque se déduit du cas précédent, en supposant sans perte de généralité que M est connexe, puis en la plongeant dans un espace euclidien et, pour un voisinage tubulaire r : U → M de M dans cet espace, en prenant comme voisinage de S l'ensemble des r(s + v), pour tous les (s, v) de NS tels que s + v appartient à U.

## Unicité

Le voisinage tubulaire de S dans M est unique à isotopie près, c'est-à-dire que si $U_0$ et $U_1$ sont deux tels voisinages, alors il existe un plongement de $U_0×[0,$ 1] dans M×[0, 1] de la forme (x, t) ↦ $(F_t(x),$ t) tel que $F_0$ = $id_{U0},$ chaque $F_t$ fixe S, et $F_1$ soit un isomorphisme de fibrés de $U_0$ → S dans $U_1$ → S.

