Théorème de Balian-Low
# Théorème de Balian-Low

En mathématiques, le théorème de Balian-Low est un résultat d'analyse de Fourier dû aux physiciens Roger Balian et Francis Low, respectivement français et américain.

## Théorème de Balian-Low

Soit g une fonction de carré sommable sur la droite réelle. Posons pour tout couple d'entiers m et n :

    $g_{m,n}\left(x\right)\ =\ e^{2\pi imx}\ g\left(x-n\right),$

Si l'ensemble des $\{g_{m,n}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ forme une base orthonormée de l'espace de Hilbert $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$, alors on a :

    $\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\ |g\left(x\right)|^{2}\ dx\ =\ \infty$

ou bien :

    $\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}\ |{\hat {g}}\left(\xi \right)|^{2}\ d\xi \ =\ \infty$

avec ${\hat {g}}$ la transformée de Fourier de la fonction g.

## Énoncé équivalent

### Famille de Gabor

On appelle famille de Gabor tout ensemble de la forme :

    $f_{m,n}\left(t\right)\ =\ e^{2\pi imF_{0}t}\ f\left(t-nT_{0}\right),$

avec f une fonction de carré sommable sur la droite réelle, appelée fonction prototype ; $F_{0}$ et $T_{0}$ deux constantes réelle, et (m, n) un couple d'entiers.

On appelle densité de la famille le nombre réel :

    $d\ =\ {\frac {1}{F_{0}\,T_{0}}}$

### Théorème de Balian-Low

Dans ce contexte, le théorème de Balian-Low s'énonce sous la forme d'un principe d'incertitude :

    « Il n'existe pas de famille de Gabor formant une base orthonormée de densité 1 ayant une fonction prototype f à la fois bien localisée en temps et en fréquence. »
