Théorème de Fubini
# Théorème de Fubini

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Fubini fournit des informations sur le calcul d'intégrales définies sur des ensembles produits et permet le calcul de telles intégrales. Ce résultat a été introduit par Guido Fubini en 1907. Il indique que sous certaines conditions, pour intégrer une fonction à plusieurs variables, on peut intégrer les variables les unes à la suite des autres. On peut changer l'ordre d'intégration si l'intégrable double de la valeur absolue de la fonction est finie :

$\,\iint \limits _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right){\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right){\text{d}}y\qquad {\text{ si }}\qquad \iint \limits _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)<+\infty .$

## Énoncés

Théorème de Fubini-Tonelli — Soient $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ et $(Y,{\mathcal {B}},\nu )$ deux espaces mesurés tels que les deux mesures soient σ-finies et soit $(X\times Y,{\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}},\mu \times \nu )$ l'espace mesurable produit muni de la mesure produit. Si

$f:X\times Y\rightarrow [0,+\infty ]$

${\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}$

$x\mapsto \int _{Y}f(x,y)~\mathrm {d} \nu (y)\quad {\text{et}}\quad y\mapsto \int _{X}f(x,y)~\mathrm {d} \mu (x)$

sont respectivement ${\mathcal {A}}$- et ${\mathcal {B}}$-mesurables et

$\int _{X\times Y}f(x,y)~\mathrm {d} (\mu \times \nu )(x,y)=\int _{X}\left[\int _{Y}f(x,y)~\mathrm {d} \nu (y)\right]~\mathrm {d} \mu (x)=\int _{Y}\left[\int _{X}f(x,y)~\mathrm {d} \mu (x)\right]~\mathrm {d} \nu (y).$

Théorème de Fubini-Lebesgue — Soient $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ et $(Y,{\mathcal {B}},\nu )$ deux espaces mesurés complets (non nécessairement σ-finis) et $(X\times Y,{\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}},\zeta )$ l'espace mesurable produit muni d'une mesure produit ζ. Si

$f:X\times Y\rightarrow \mathbb {R}$

est ζ-intégrable, alors les fonctions

$x\mapsto \int _{Y}f(x,y)~\mathrm {d} \nu (y)\quad {\text{et}}\quad y\mapsto \int _{X}f(x,y)~\mathrm {d} \mu (x)$

(définies presque partout) sont respectivement μ- et ν-intégrables et

$\int _{X\times Y}f(x,y)~\mathrm {d} \zeta (x,y)=\int _{X}\left[\int _{Y}f(x,y)~\mathrm {d} \nu (y)\right]~\mathrm {d} \mu (x)=\int _{Y}\left[\int _{X}f(x,y)~\mathrm {d} \mu (x)\right]~\mathrm {d} \nu (y).$

Le premier théorème est faux si l'on ne suppose pas les mesures σ-finies.

Dans le cas particulier où l'un des deux espaces est ℕ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve respectivement le théorème de convergence monotone et le corollaire du théorème de convergence dominée pour les séries de fonctions.

## Mise en œuvre

Lorsque les deux mesures sont σ-finies, l'utilisation du théorème de Fubini-Tonelli permet souvent de démontrer qu'une fonction mesurable est intégrable. En effet, pour $f:X\times Y\rightarrow \mathbb {R}$ ${\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}$-mesurable, on peut appliquer le théorème de Fubini-Tonelli à $|f|$, ce qui donne

$\int _{X\times Y}|f(x,y)|~\mathrm {d} (\mu \times \nu )(x,y)=\int _{X}\left[\int _{Y}|f(x,y)|~\mathrm {d} \nu (y)\right]~\mathrm {d} \mu (x)=\int _{Y}\left[\int _{X}|f(x,y)|~\mathrm {d} \mu (x)\right]~\mathrm {d} \nu (y).$

donc si l'une des intégrales est finie, alors toutes trois le sont et $f$ est intégrable.

On a alors d'après le théorème de Fubini-Lebesgue

$\int _{X\times Y}f(x,y)~\mathrm {d} (\mu \times \nu )(x,y)=\int _{X}\left[\int _{Y}f(x,y)~\mathrm {d} \nu (y)\right]~\mathrm {d} \mu (x)=\int _{Y}\left[\int _{X}f(x,y)~\mathrm {d} \mu (x)\right]~\mathrm {d} \nu (y),$

ce qui facilite le calcul de l'intégrale.

## Applications

* Le produit de convolution de deux fonctions intégrables est lui-même intégrable.
* Calcul de l'intégrale de Gauss, $\int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-x^{2})~\mathrm {d} x$.

## Contre-exemples

### Si f n'est pas intégrable

Considérons

$\int _{[0,1]^{2}}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} (x,y)$

On a

$\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}$

En intégrant tout d'abord par rapport à $y$ :

    $\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} y=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{y=0}^{1}={\frac {1}{1+x^{2}}}$,

puis

    $\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x=\left[\arctan x\right]_{0}^{1}={\frac {\pi }{4}}$.

En échangeant les rôles de $x$ et $y$, on a donc

$\int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} x\right]\mathrm {d} y=-{\frac {\pi }{4}}$

ce qui — puisque le théorème de Fubini ne s'applique pas ici — prouve que

$\int _{[0,1]^{2}}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|~\mathrm {d} (x,y)=+\infty$

### Cas d'une mesure non sigma-finie

Considérons l'ensemble $I=[0,1]$. Munissons-le d'une part de la tribu borélienne ${\mathcal {B}}(I)$ et de la mesure de Lebesgue $\lambda$ et d'autre part de la tribu discrète ${\mathcal {P}}(I)$ et de la mesure de comptage $m$.

La diagonale $\Delta =\{(x,x)\mid x\in [0,1]\}$ est un fermé de $I^{2}$, donc

$\Delta \in {\mathcal {B}}(I^{2})={\mathcal {B}}(I)\times {\mathcal {B}}(I)\subset {\mathcal {B}}(I)\times {\mathcal {P}}(I).$

La fonction indicatrice $1_Δ$ est donc mesurable sur l'espace produit considéré.

Mais on a d'une part :

$\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} m(y)\right]~\mathrm {d} \lambda (x)=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{x\}}(y)~\mathrm {d} m(y)\right]~\mathrm {d} \lambda (x)=\int _{I}m(\{x\})~\mathrm {d} \lambda (x)=\lambda (I)=1$

et d'autre part :

$\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} \lambda (x)\right]~\mathrm {d} m(y)=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{y\}}(x)~\mathrm {d} \lambda (x)\right]~\mathrm {d} m(y)=\int _{I}\lambda (\{y\})~\mathrm {d} m(y)=\int _{I}0~\mathrm {d} m(y)=0.$

Ces deux intégrales sont distinctes, donc :

* le théorème de Fubini-Tonelli ne s'applique pas ici. Ceci s'explique car la mesure de comptage $m$ sur $I=[0,1]$ n'est pas σ-finie, car toute réunion dénombrable d'ensembles de mesures $m$-finies, c'est-à-dire d'ensembles finis, est au plus dénombrable donc différente de $[0,1]$.
* le théorème de Fubini-Lebesgue ne s'applique pas non plus, ce qui prouve que Δ est de mesure infinie pour toute mesure produit de $\lambda$ par $m$.
