Théorème de Lagrange sur les polynômes
# Théorème de Lagrange sur les polynômes

Il s'agit d'un résultat trouvé par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange concernant les polynômes. Soit P un polynôme tel que:

    $P(x)=x^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}{a_{i}x^{i}}$

où les $a_{i}$ sont réels.

Si a est une racine de P, alors a vérifie

    $|a|\leq 1+\max(|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|).$

Ce théorème reste vrai si les $a_{i}$ et $a$ sont complexes et l'inégalité est même stricte. Mieux : par le théorème de Rouché, le polynôme P admet n racines (comptées avec leurs multiplicités) dans le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $1+\max(|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|)$, ce qui fournit une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss en plus de la majoration annoncée.

Preuve :

Supposons que $a$ est une racine du polynôme de module supérieur à 1 (Dans le cas contraire, la majoration est triviale). Réécrivons $P(x)=0$ de la sorte :

$x^{n}=-a_{0}-a_{1}x-...-a_{n-1}x^{n-1}$

en écrivant $h=\max _{i=0,..,n-1}|a_{i}|$ :

$|x^{n}|\leq |a_{0}|+|a_{1}||x|+...+|a_{n-1}||x^{n-1}|$

Comme $|x|>1$ et pour tout entier $n$ on a $|x^{n}|=|x|^{n}$ , on obtient :

$|x|^{n}\leq h[1+|x|+..+|x|^{n-1}]$

l'expression entre crochet est une suite géométrique finie, on peut écrire:

$|x|^{n}\leq h{\frac {|x|^{n}-1}{|x|-1}}$

Comme $|x|>1$ :

$|x|-1\leq h{\frac {|x|^{n}-1}{|x^{n}|}}=h\left(1-{\frac {1}{|x|^{n}}}\right)$

Alors:

$|x|-1\leq h$

Donc $|x|\leq 1+h$ , ce qui achève la démonstration.

