Théorème de Gelfond-Schneider
# Théorème de Gelfond-Schneider

En mathématiques, le théorème de Gelfond-Schneider, démontré indépendamment et presque simultanément en 1934 par Aleksandr Gelfond et Theodor $Schneider^,,$ s'énonce de la façon suivante :

Théorème — Si α est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si β est un nombre algébrique irrationnel alors $α^β$ est transcendant.

« Le » nombre $α^β$ est à prendre ici au sens : exp(β log(α)), où log(α) est n'importe quelle détermination du logarithme complexe de α.

Le théorème de Gelfond-Schneider résout le septième problème de Hilbert et permet de construire de multiples exemples de nombres transcendants.

## Exemples d'applications

L'application directe du théorème fournit des nombres transcendants comme $2^{√2}$ (la constante de Gelfond-Schneider), $√2^{√2},$ ou encore $e^{πγ}$ pour tout nombre réel algébrique non nul γ (en posant α = $e^{iπ}$ = –1 et β = –iγ), par exemple $e^π$ = $(–1)^{–i}$ (la constante de Gelfond) ou $e^{–π/2}$ = $i^i.$

Mais par contraposée, on en déduit aussi :

   Si β est un nombre irrationnel tel qu'il existe un nombre algébrique α différent de 0 et de 1 pour lequel $α^β$ soit algébrique, alors β est transcendant.

Ainsi, l'irrationnel ln 3 / ln 2 est transcendant (en utilisant α = 2).

