Théorème de Kronecker (approximation diophantienne)
# Théorème de Kronecker (approximation diophantienne)

Le théorème de Kronecker en théorie des nombres est un résultat d'approximation diophantienne simultanée de N réels. Il généralise (dans une certaine mesure) le théorème d'approximation de Dirichlet.

## Énoncé

Un énoncé du théorème est le suivant (il en existe d'autres, plus généraux) :

Soient a = $(a_1,$ … $a_n)$ un n-uplet de nombres réels et t son image dans le groupe quotient $ℝ^n/ℤ^n.$ Le sous-groupe de $ℝ^n/ℤ^n$ engendré par cet élément t est dense dans ce groupe topologique si et seulement si les n + 1 réels 1, $a_1,$ … $a_n$ sont ℚ-linéairement indépendants.

Le fait que cette condition est nécessaire est immédiat. Qu'elle est suffisante se traduit plus concrètement par :

   Si les n + 1 réels 1, $a_1,$ … $a_n$ sont ℚ-linéairement indépendants alors, pour tous réels $b_1,$ … , $b_n$ et tout ε > 0, il existe un entier relatif q tel que

Le théorème d'approximation de Dirichlet concerne le cas où tous les $b_k$ sont nuls et garantit alors, sans hypothèse d'indépendance, l'existence d'un tel entier q, avec de plus q minoré par 1 et majoré explicitement en fonction de ε.

## Démonstration

La démonstration originelle de Leopold Kronecker est difficile à lire. Kurt Mahler en a fourni une autre grâce à sa théorie géométrique des nombres. En voici une moins conceptuelle mais extrêmement simple.

Notons ║ ║ la norme « infini » sur $ℝ^n,$ c'est-à-dire le maximum des valeurs absolues des composantes. Il s'agit de montrer, sous les hypothèses du théorème, qu'il existe un entier q tel que la distance d(qa – b, $ℤ^n)$ pour cette norme soit inférieure à ε. On raisonne par récurrence sur n (pour n = 0, il n'y a rien à démontrer).

Le théorème de Dirichlet fournit un entier non nul s et un n-uplet p d'entiers tels que le n-uplet a' = sa – p soit de norme inférieure à ε.

D'après l'hypothèse sur a, le réel $a'_n$ est non nul et les n réels 1, $a'_1/a'_n,$ … , $a'_{n–1}/a'_n$ sont ℚ-linéairement indépendants. Par hypothèse de récurrence, il existe donc un entier m tel que le réel r = $(b_n$ + $m)/a'_n$ vérifie : $d(ra'_k$ – $b_k,$ ℤ) < ε/2 pour k = 1, … , n – 1. Comme de plus $d(ra'_n$ – $b_n,$ ℤ) = 0, on a donc d(ra' – b, $ℤ^n)$ < ε/2.

Soit t l'entier le plus proche du réel r, alors q = ts convient car d(tsa – b, $ℤ^n)$ = d(ta' – b, $ℤ^n)$ ≤ ║(t – r)a'║ + d(ra' – b, $ℤ^n)$ < ε/2 + ε/2 = ε.

