Théorème de Koecher-Vinberg
# Théorème de Koecher-Vinberg

En algèbre d'opérateurs, le théorème de Koecher-Vinberg est un théorème de reconstruction pour les algèbres de Jordan réelles. Il a été prouvé indépendamment par Max Koecher en 1957 et Ernest Vinberg en 1961. Il permet d'établir une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et des objets appelés « domaines de positivité ».

## Énoncé

Un cône convexe $C$ est dit :

* régulier si $a=0$ quand $a$ et $-a$ sont dans l'adhérence ${\overline {C}}$ ;
* autodual (dans un espace euclidien) s'il est égal à son cône dual $C^{*}$ ;
* homogène si pour tout couple de points $a,b\in C$ il existe une application linéaire $T\colon A\to A$ dont la restriction à $C$ est une bijection $C\to C$ et qui vérifie $T(a)=b$.

Le théorème de Koecher-Vinberg énonce que ces précédentes propriétés caractérisent précisément les cônes positifs d'algèbres de Jordan.

Théorème — Il existe une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et les cônes convexes ayant les propriétés suivantes :

* ouvert ;
* régulier ;
* homogène ;
* autodual.

Les cônes convexes vérifiant ces quatre propriétés sont appelés « domaines de positivité » ou « cônes symétriques (en) ». Le domaine positivité d'une algèbre de Jordan formellement réelle $A$ est l'intérieur de son cône « positif » $A_{+}:=\{a^{2}\mid a\in A\}$.

## Preuve

Voir Koecher 1999 ou Faraut et Korányi 1994.

