Théorème de Birch
# Théorème de Birch

En mathématiques, le théorème de Birch, démontré par Bryan Birch, est un énoncé sur la représentabilité de 0 par des polynômes homogènes de degrés impairs.

## Énoncé

Soient K un corps de nombres, l un entier naturel et $r_1,$ … $,r_k$ des entiers naturels impairs. Il existe un nombre $ψ(r_1,$ … $,r_k,$ l, K) tel que pour tous polynômes homogènes en n variables $f_1,$ … , $f_k$ à coefficients dans K, de degrés respectifs $r_1,$ … $,r_k,$ si n ≥ $ψ(r_1,$ … $,r_k,$ l, K), alors il existe un sous-espace vectoriel de dimension l de $K^n$ sur lequel $f_1,$ … , $f_k$ s'annulent tous.

## Remarques

La démonstration se fait par récurrence sur $max(r_1,$ … $,r_k).$

Une étape essentielle est de prouver, en appliquant la méthode du cercle de Hardy-Littlewood, que si r est impair alors, pour n assez grand et pour tous entiers relatifs $c_1,$ … , $c_n,$ l'équation $c_1x_1^r$ + … + $c_nx_n^r$ = 0 possède une solution entière non triviale, c'est-à-dire constituée d'entiers relatifs $x_1,$ … , $x_n$ non tous nuls.

La condition « r impair » est indispensable puisqu'une forme de degré pair peut ne s'annuler qu'en 0 : par exemple une forme quadratique définie positive.

