Théorie de Nevanlinna
# Théorie de Nevanlinna

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, la théorie de Nevanlinna décrit la distribution asymptotique des valeurs d'une fonction méromorphe, plus précisément, pour une fonction méromorphe f d’une variable complexe, la distribution des solutions de l’équation $f(z)=a$ quand le nombre complexe $a$ varie.

Si $f$ est une fonction entière, cette distribution est comparable pour tous les $a$, sauf peut-être un, à la croissance de la fonction, qui est décrite par $\log M(r)$, où $M(r)=max_{|z|\leq r}\mid f(z)\mid$. La notion de croissance utilisée ne convenant plus pour des fonctions méromorphes, qui peuvent avoir des pôles, le mathématicien finlandais Rolf Nevanlinna a défini en 1925 un substitut adapté, maintenant appelé la caractéristique de Nevanlinna et prouvé les premiers théorèmes correspondants. La théorie de Nevanlinna a ensuite été étendue à de nombreuses autres situations, comme les courbes holomorphes, les applications quasi-régulières ou les surfaces minimales ; plus récemment ont été mises en évidence des analogies fructueuses de cette théorie avec des questions de théorie des nombres.

## La caractéristique de Nevanlinna

Pour $r>0$ et $a\in {\overline {\mathbb {C} }}$, on indique par $n(r,a,f)$ le nombre de solutions de $f(z)=a$, dans le disque fermé de centre 0 et de rayon $r$, comptées avec leur multiplicité. Si la fonction $f$ est entière, cette fonction de comptage croit à peu près comme $\log M(r)$, où $M(r)=max_{|z|\leq r}\mid f(z)\mid$, sauf peut-être pour une valeur de $a$. Cette valeur exceptionnelle est liée au théorème de Picard, établissant qu’une fonction entière non constante doit prendre toutes les valeurs, sauf peut-être une : en effet, si $f(z)=a$ n'a pas de solutions, $n(r,a,f)=0$ pour tout r et ne croit donc pas.

Dans le cas d’une fonction méromorphe, on remplace la fonction de comptage par la fonction $\displaystyle N(r,a,f)$ :

$N(r,a,f)=\int _{0}^{r}{\frac {n(t,a,f)-n(0,a,f)}{t}}{\text{d}}t+n(0,a,f)\log r.$

Cette fonction $N(r,a,f)$ a l'avantage d'être une fonction continue ; elle est croissante (et convexe en $\log r$). Elle quantifie le nombre moyen de points où la fonction $f$ prend la valeur $a$ dans le disque de centre 0 et de rayon $r$.

On pose aussi $\displaystyle N(r,f)=N(r,\infty ,f)$ (relative aux pôles de la fonction dans le disque de centre 0 et de rayon $r$).

On introduit aussi une fonction dite osculatrice :

$m(r,f)=m(r,\infty ,f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log ^{+}|f(re^{i\theta })|d\theta ,$ où $\displaystyle \log ^{+}x=\max\{0,\log x\}$.

La caractéristique de Nevanlinna $\displaystyle T(r,f)$ est ensuite définie par :

$\displaystyle T(r,f)=N(r,f)+m(r,f).$

Cette caractéristique tend vers l’infini quand $\displaystyle r\to \infty$ (si la fonction $\displaystyle f$ n’est pas constante).

On montre que si $f$ est une fonction entière, et $\displaystyle 1<r<R$, alors $T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\leq {\dfrac {R+r}{R-r}}T(R,f).$

Ceci justifie d’utiliser $T(r,f)$ à la place de $\log M(r,f)$ comme mesure de croissance de la fonction $f$ quand celle-ci n’est plus nécessairement entière, mais méromorphe.

L’ordre $\displaystyle \rho (f)$ d’une fonction méromorphe $\displaystyle f$ est défini par

$\rho (f)=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {\log T(r,f)}{\log r}}.$

## Les théorèmes fondamentaux

Pour tout nombre complexe $a$, on définit $m(r,a,f)=m(r,{\frac {1}{f-a}})$. Elle rend compte de la proximité à $a$ des valeurs de la fonction $f$ sur le cercle de centre 0 et rayon $r$.

Le premier théorème fondamental affirme que pour tout $a\in {\overline {\mathbb {C} }}$

$T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),$

où le terme borné $O(1)$ peut dépendre de $f$ et de $a$. Pour une fonction $f$ méromorphe non constante, $T(f,r)$ tend vers l'infini avec $r$, donc le premier théorème fondamental dit que la somme $N(r,a,f)+m(r,a,f)$ tend vers l'infini à un taux indépendant de $a$.

Ce premier théorème est une conséquence de la formule de Jensen.

Le deuxième théorème fondamental « affirme qu'une fonction méromorphe sur $\mathbb {C}$ ne peut pas rester proche sur le cercle de rayon $r$ de $q>2$ valeurs distinctes de ${\overline {\mathbb {C} }}$ comparativement à la caractéristique de Nevanlinna $T(r,f)$ lorsque $r$ tend vers l'infini ».

Pour ce deuxième théorème, on introduit :

$N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right).$

Cette quantité, qui compte les valeurs atteintes avec une multiplicité strictement plus grande que 1, est positive ou nulle.

Pour $\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{q}\in {\overline {\mathbb {C} }}$, distincts, le deuxième théorème fondamental établit que :

$\sum _{j=1}^{q}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f),$

où $S(r,f)$ est un terme d'erreur, petit par rapport à la caractéristique $T(r,f)$. Plus précisément, il existe un ensemble $E\subset [1,\infty )$ de longueur finie, tel que

$\displaystyle S(r,f)=O(\log T(r,f))+O(\log r)$ quand $\displaystyle r$ tend vers l'infini, $r\notin E$. De meilleures estimations du terme d'erreur existent, mais il a été démontré qu'il n'est pas possible d'éliminer complètement l'ensemble exceptionnel $E$.

Une autre forme du deuxième théorème est :

$(q-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{q}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r,f),$

où ${\overline {N}}$ est identique à $N$, mais en ne comptant pas la multiplicité.

Le deuxième théorème donne une borne supérieure de la caractéristique en fonction de $N(r,a)$. En particulier, en prenant $q=3$ et $a_{3}=\infty$, le théorème montre qu'une fonction entière transcendante prend chaque valeur une infinité de fois, avec au plus deux exceptions, ce qui donne une des variantes du théorème de Picard.

## Déficience

La déficience d'une fonction méromorphe en $a$ est définie par la formule :

$\delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}.$

Par le premier théorème fondamental, $0\leq \delta (a,f)\leq 1$, si $T(r,f)$ tend vers l'infini (c'est vrai en particulier pour toutes les fonctions non constantes méromorphes sur le plan complexe). Les points $a$ pour lesquels la déficience $\delta (a,f)$ n'est pas nulle s'appellent les valeurs de déficience.

Selon le deuxième théorème fondamental, l'ensemble de ces valeurs de déficience est au plus dénombrable et de plus $\sum _{a}\delta (a,f)\leq 2,\,$ la somme étant prise sur toutes les valeurs de $déficience^,.$

Le problème inverse de la théorie de Nevanlinna consiste à construire des fonctions méromorphes avec des déficiences déterminées à des points donnés. Il a été résolu par David Drasin en 1976 $^,.$ Il existe de nombreux résultats concernant les valeurs de déficience. Par exemple, Allen Weitsman a montré que pour une fonction méromorphe $f$ d'ordre fini, $\sum _{a}\delta (a,f)^{1/3}<\infty$.

Un autre corollaire du deuxième théorème fondamental est l'inégalité :

$T(r,f')\leq 2T(r,f)+S(r,f),\,$

qui généralise le fait qu'une fonction rationnelle de degré $d$ a $2d-2$ (donc strictement moins que $2d$) points critiques.

