Variété (algèbre)
# Variété (algèbre)

En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe).

## Exemple

Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi interne * associative et d'un élément neutre. Ainsi, pour tous éléments x, y, z d'un monoïde, les équations suivantes sont vérifiées :

    (x * y) * z = x * (y * z)
    x * e = x
    e * x = x

De plus, ces trois équations caractérisent la notion de monoïde. Ainsi, la classe des monoïdes est une variété, puisqu'elle est définie par ces trois équations.

## Théorème HSP

D'après la définition, toute variété K vérifie :

* (H) toute image par homomorphisme d'un élément de K est dans K ;
* (S) toute sous-structure d'un élément de K est dans K ;
* (P) tout produit direct d'éléments de K est aussi dans K.

Le théorème HSP de Garrett Birkhoff $(1935)^,$ énonce que la réciproque est vraie : toute classe stable par homomorphismes, sous-structures et produits est équationnelle.

## Article connexe

Théorème des variétés d'Eilenberg

