Variété cotangente
# Variété cotangente

En topologie différentielle, une variété cotangente est l'espace total du fibré cotangent d'une variété différentielle M. Le fibré cotangent $T^{*}M\rightarrow M$ est le fibré dual du fibré tangent de M. Ses sections sont les 1-formes différentielles de M.

## Variétés cotangentes et géométrie riemannienne

Une métrique riemannienne g sur la variété différentielle M définit un isomorphisme de fibrés vectoriels $g:TM\rightarrow T^{*}M$. Il existe une unique métrique riemannienne, abusivement notée g, sur le fibré cotangent $T^{*}M\rightarrow M$ telle que :

    $g(gv,gw)=g(v,w)$

De même, l'isomorphisme g permet de transporter la connexion de Levi-Civita en une connexion de Koszul sur $T^{*}M\rightarrow M$.

Le fibré vertical est le sous-fibré vectoriel ${\mathcal {V}}$ de $TT^{*}M$ défini par :

    ${\mathcal {V}}=kerd\pi$

Le fibré horizontal est le sous-fibré vectoriel ${\mathcal {H}}$ correspondant à l'espace des variations premières du transport parallèle.

    ${\mathcal {H}}_{v}={{\dot {y}}(0),y:(-\epsilon ,\epsilon )\rightarrow T^{*}M,y(0)=v,\nabla _{t}y=0}$

Dans les notations ci-dessus, l'application $y:(-\epsilon ,\epsilon )\rightarrow T^{*}M$ est regardée comme un champ de covecteurs le long de l'arc $x=\pi \circ y$. Les fibrés horizontal et vertical permettent une description agréable du fibré tangent de la variété cotangente $T^{*}M$ :

    $TT^{*}M={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {V}}\simeq \pi ^{*}TM\oplus \pi ^{*}T^{*}M$

Les fibrés vectoriels $\pi ^{*}TM$ et $\pi ^{*}T^{*}M$ sont naturellement munis de métriques riemanniennes, abusivement notées g. Leur somme orthogonale définit une métrique riemannienne sur la variété cotangente $T^{*}M$, appelée métrique de Sasaki :

    $g(v\oplus v^{*},w\oplus w^{*})=g(v,v^{*})+g(w,w^{*})$

## Variétés cotangentes et géométrie symplectique

Elle porte une structure symplectique naturelle, la forme de Liouville.

## Variétés cotangentes et physique

Elle constitue l'espace des phases d'un grand nombre de systèmes dynamiques physiques comme la toupie.

