Théorème de Frisch-Waugh
# Théorème de Frisch-Waugh

Le théorème de Frisch-Waugh ou théorème de Frisch-Waugh-Lovell est un théorème en économétrie nommé en référence à Ragnar Frisch, Frederick V. Waugh et Michael C. Lovell.

## Formalisation

Soit le modèle de régression linéaire suivant :

$Y=X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+u\!$

avec $X_{1}$ et $X_{2}$ deux matrices de taille $n\times k_{1}$ et $n\times k_{2}$.

D'après le théorème de Frisch-Waugh, l'estimation du vecteur de coefficients $\beta _{2}$ sera la même que dans le modèle linéaire suivant :

$M_{X_{1}}Y=M_{X_{1}}X_{2}\beta _{2}+M_{X_{1}}u\!,$

avec $M_{X_{1}}$ la matrice de projection orthogonale sur le complément orthogonal de l'espace vectoriel engendré par les colonnes de $X_{1}$ :

$M_{X_{1}}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'.\!$

