Système de Johnson
# Système de Johnson

En statistique, le système de Johnson est une famille de fonctions conçues pour modéliser une loi de probabilités à partir de tirages aléatoires, définie par N. L. Johnson en $1949^,.$ Chacun des trois sous-types est caractérisé par quatre paramètres.

## Utilisation

L'idée de Johnson est de trouver le modèle le plus adapté à partir des quatre premiers moments d'un échantillon (espérance, variance, asymétrie et kurtosis), en transformant la variable aléatoire X qu'on souhaite modéliser par la transformation :

    $Z=\gamma +\delta h\left({\frac {X-\xi }{\lambda }}\right)$

où Z suit la loi normale standard. Les valeurs ξ et λ > 0 servent donc conjointement de paramètres de position et d'échelle, tandis que γ caractérise l'asymétrie et δ, la kurtosis.

Johnson propose trois transformations:

* une transformation bornée par la fonction logit, qu'il note $S_B$ (pour bounded) :

    $h(x)=\ln \left({\frac {x}{1-x}}\right)$
* une transformation par la fonction logarithme qu'il note $S_L$ (pour log-normal) :

    $h(x)=\ln(x)$
* une transformation par la fonction sinus hyperbolique non bornée qu'il note $S_U$ (pour unbounded) :

    $h(x)=\sinh(x)$

La loi normale est parfois incluse dans le système de Johnson, notée $S_N.$

## Distribution de Johnson

### Support borné : lois $S_B$

N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation:

    $z=\gamma +\delta \ln \left({\frac {\frac {x-\xi }{\lambda }}{1-{\frac {x-\xi }{\lambda }}}}\right)$

où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.

La loi $S_B$ de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

    $y=\xi +{\frac {\lambda }{1+{\rm {e}}^{-\left(z-\gamma \right)/\delta }}}.$

On reconnait la forme d'une fonction logistique.

**Version bivariée : lois $S_{BB}**$

Johnson a étendu la loi $S_B$ en une version bivariée, notée $S_{BB}.$ La densité de la loi est

    $f(z_{1},z_{2},\rho )={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {z_{1}^{2}-2z_{1}z_{2}+z_{2}^{2}}{1-\rho ^{2}}}\right).$

où $z_1$ et $z_2$ suivent chacun une loi $S_B,$ et $ρ=E(Z_1Z_2){\textstyle$ \rho =\mathbb {E} (Z_{1}Z_{2})} la mesure de dépendance entre les deux variables.

### Support semi-infini : lois $S_L$

N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation:

    $z=\gamma +\delta \ln \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)$

où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.

La loi $S_L$ de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

    $y=\lambda {\rm {e}}^{-\left(z-\gamma \right)/\delta }+\xi .$

La loi $S_B$ convient pour modéliser les lois platikurtiques.

### Support infini : lois $S_U$

Les lois $S_U$ de Johnson se basent sur la transformation de la loi normale suivante:

    $z=\gamma +\delta \operatorname {arsinh} \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)$

où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.

La loi $S_U$ de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

    $y=\lambda \sinh \left(\left(z-\gamma \right)/\delta \right)+\xi .$

### Identification du type

Afin d'identifier le type de lois de Johnson à partir du tirage, il y a plusieurs méthodes, la plus simple étant la méthode des moments qui se base surtout sur les moments d'ordre 3 et 4. Par exemple, pour une loi $S_L,$ ces moments valent:

    $\beta _{1}={\frac {\mu _{3}^{2}}{\mu _{2}^{3}}}=({\rm {e}}^{\delta ^{-2}}-1)({\rm {e}}^{\delta ^{-2}}+2)^{2},\beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\rm {e}}^{4\delta ^{-2}}+2{\rm {e}}^{3\delta ^{-2}}+3{\rm {e}}^{2\delta ^{-2}}-3.$

Ainsi, toute loi de Johnson vérifie $\beta _{2}-\beta _{1}-1\geqslant 0$.

D'autres moyens ont été développés, reposant sur la méthode d'adaptation des quantiles, la méthode des moindres carrés, ou des estimateurs $statistiques^,^,.$

## Génération de variables aléatoires

Pour générer des tirages aléatoires suivant une loi de Johnson, on peut méthode de la transformée inverse : soit U une variable aléatoire uniforme continue sur l'intervalle unité [0; 1]. Les lois de Johnson peuvent alors être simulées par :

    $X=\lambda h\left({\frac {\Phi ^{-1}(U)-\gamma }{\delta }}\right)+\xi$

où Φ est la fonction de répartition de la loi normale, et h étant la fonction liée à la famille de lois voulue (ln (x/(1-x)) pour une loi $S_B,$ ln (x) pour une loi $S_L,$ sinh (x) pour une loi $S_B).$

## Applications

Les lois $S_U$ de Johnson ont été utilisées pour modéliser des rendements des actifs pour la gestion de portefeuille, mais aussi la tarification d'options, et estimer un sourire de volatilité ; voir arbre binomial de Johnson.

Une alternative au système de Johnson est le système de lois paramétrées par les quantiles (quantile-parameterized distributions), plus souple pour l'adaptation de forme. Au lieu d'adapter les paramètres aux moments, le système de lois paramétrées par les quantiles vise à adapter la fonction de densité par moindres carrés.

