Spirale sinusoïdale
# Spirale sinusoïdale

En géométrie, les spirales sinusoïdales sont une famille de courbes planes, regroupant de multiples courbes usuelles.

## Définitions

Une spirale sinusoïdale peut se définir par son équation polaire :

    $r^{n}=2a^{n}\cos(n\theta )$

où a est un réel positif et n un réel.

## Propriétés

La courbe est bornée et formée d'un motif de base symétrique défini entièrement pour |θ|≤ π/2n {\textstyle |\theta |\leq {\frac {\pi }{2n}}}, fermé si n est positif, à asymptotes si n est négatif. On reconstruit la spirale entière par rotations successives du motif pour les angles 2kπ/n {\textstyle {\frac {2k\pi }{n}}}, avec k entier.

La spirale sinusoïdale est une courbe algébrique si et seulement si n est un nombre rationnel.

Si n est un entier positif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points dont la moyenne géométrique des distances aux sommets d'un polygone régulier est égale au rayon de ce polygone.

Si n est un entier négatif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points M tels que la moyenne des angles des droites joignant les sommets d'un polygone régulier à M avec une direction fixe est constante.

La longueur de la courbe vaut :

    $2a{\sqrt[{n}]{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{{\frac {1}{n}}-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =a{\sqrt[{n}]{2}}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2n}}\right)=a{\sqrt[{n}]{2}}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2n}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n+1}{2n}}\right)}},$

où B désigne la fonction bêta. L'aire contenue par la courbe vaut :

    $4a^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \,\mathrm {d} \theta =2a^{2}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)=2a^{2}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}}.$

La podaire de la spirale sinusoïdale de paramètre n par rapport à son centre est la spirale sinusoïdale de paramètre $^n⁄_{n+1}.$

## Cas particuliers

Pour certaines valeurs bien choisies de n, on reconnait des courbes planes usuelles :

* $n=^1⁄_3$ : sextique de Cayley
* $n=^1⁄_2$ : cardioïde
* n=1 : cercle
* n=2 : lemniscate de Bernoulli
* n=3 : courbe de Kiepert
* $n=-^1⁄_3$ : cubique de Tschirnhausen
* $n=-^1⁄_2$ : parabole
* n=-1 : droite
* n=-2 : hyperbole équilatère
* n=-3 : cubique de Kiepert
