Spirale de Fermat
# Spirale de Fermat

Une spirale de Fermat est une courbe plane d'équation polaire: $\rho ^{2}=a^{2}\theta .$ Son nom est une référence au mathématicien Pierre de Fermat qui la décrit dans une lettre à Marin Mersenne en 1636 et présente sa propriété d'aire balayée par un rayon. Cette courbe a aussi été étudiée par Pierre Varignon en 1704 dans le cadre de son étude générale des spirales d'équation polaire $c\rho ^{m}=\theta ba^{m-1}$.

## Propriétés géométriques

La spirale de Fermat est une courbe transcendante qui possède deux branches (pour ρ positif et pour ρ négatif) symétriques par rapport à O. Elle partage le plan en deux composantes connexes.

Pour tout point M de la courbe, on appelle T et N les points d'intersection de la tangente et la normale à la courbe en M avec la droite passant par O et perpendiculaire à (OM). Les longueurs OT et ON (sous-tangente et sous-normale) valent alors: $OT={\frac {2\rho ^{3}}{a^{2}}}$ et $ON={\frac {a^{2}}{2\rho }}$ L'aire du triangle OMN est donc constante égale au quart du carré de côté a.

L'aire balayée par le rayon OM de $M_d$ à $M_f$ est donnée par la formule: $A={\frac {1}{4}}\left(\theta _{f}\rho _{f}^{2}-\theta _{d}\rho _{d}^{2}\right).$

En particulier, si l'on prend pour $θ_k$ la valeur 2kπ, la surface balayée par le rayon de $M_0$ à $M_1$ correspond à la moitié de l'aire du disque de rayon $OM_1,$ les autres spires ont des aires identiques égales à l'aire du disque de rayon $OM_1.$ C'est la propriété énoncée par Fermat en 1636.

Le rayon de courbure s'exprime par: $R={\frac {(4\rho ^{4}+a^{4})^{\frac {3}{2}}}{2\rho (4\rho ^{4}+3a^{4})}}$ La courbe possède donc un seul point d'inflexion à l'origine.

Son abscisse curviligne est donnée $par^,:$ $\mathrm {d} s={\sqrt {1+\left({\frac {\rho }{a}}\right)^{4}}}\mathrm {d} \rho ={\frac {a}{2}}{\frac {4\theta ^{2}+1}{\sqrt {\theta (4\theta ^{2}+1)}}}\mathrm {d} \theta$ et la rectification de la courbe fait intervenir une intégrale elliptique de première espèce.

## Relation avec d'autres courbes

La spirale de Fermat est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon a, du lituus d'équation polaire $ρ^2θ$ = $a^2.$

Si on fait rouler la spirale de Fermat d'équation $ρ^2$ = $a^2θ$ sur la courbe d'équation $x=-{\frac {2}{3a^{2}}}y^{3}$, son centre se déplace sur l'axe des abscisses. Cette propriété avait déjà été remarquée par Pierre Varignon en 1704.

## Modélisation

La spirale de Fermat peut servir à modéliser l’implantation des fleurs du tournesol : Helmut Vogel en 1979 a remarqué que les points de coordonnées polaires $\rho =c{\sqrt {n}}$ et $\theta =2\pi {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}n$ simulait assez fidèlement la fleur de tournesol. Or ces points sont situés sur la spirale de Fermat d'équation $c^{2}\varphi ^{2}\theta =2\pi \rho ^{2}$ où φ est le nombre d'or et l'angle $2\pi {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$ est l'angle d'or. Cette modélisation reste cependant une simplification d'une phyllotaxie plus complexe.

$D'autres^,$ l'ont utilisée pour modéliser le taijitu du Yin et Yang en limitant la courbe d'équation $ρ^2$ = θ au cercle de rayon 1.

