Fonction homogène
# Fonction homogène

En mathématiques, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance.

## Définitions

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K.

Une fonction f de E dans F est dite homogène de degré α si

$\forall t\in K\quad \forall x\in E\qquad f(tx)=t^{\alpha }f(x)$

Si K est un sous-corps des réels, on dit que f est positivement homogène de degré α si

$\forall t>0$

$\quad \forall x\in E\qquad f(tx)=t^{\alpha }f(x)$

Si K est un sous-corps des complexes, on dit que f est absolument homogène de degré α si

$\forall t\in K\quad \forall x\in E\qquad f(tx)=|t|^{\alpha }f(x)$

Selon le contexte, « positivement homogène » peut signifier « positivement homogène de degré α pour un certain α » ou « positivement homogène de degré 1 ».

## Exemples

* L'application qui à un n-uplet de réels associe son maximum est positivement homogène de degré 1.
* Une application linéaire est homogène de degré 1.
* Un polynôme homogène est homogène de degré égal à celui de chacun de ses monômes.
* Une fonction sous-linéaire est positivement homogène de degré 1. En particulier, il en est ainsi de la jauge d'un ensemble convexe, de la fonction d'appui d'un ensemble non vide, d'une norme, etc.
* La dérivée directionnelle (au sens de Dini) $h\mapsto f'(x;h)$ d'une fonction f définie sur un ℝ-espace vectoriel est, lorsqu'elle existe, positivement homogène de degré 1, lorsqu'on la voit comme fonction de la direction de dérivation.
* Le déterminant d'une matrice de $M_{n}(K)$ est homogène de degré n.

## Propriété

Une fonction différentiable de $ℝ^n$ dans $ℝ^m$ est positivement homogène si, et seulement si, elle vérifie l'identité d'Euler et dans ce cas, ses dérivées partielles sont positivement homogènes (de degré 1 de moins).

