Fonction localement intégrable
# Fonction localement intégrable

En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration au sens de Lebesgue, une fonction à valeurs complexes définie sur un ouvert Ω de $ℝ^n$ est dite localement intégrable si sa restriction à tout compact de Ω est intégrable pour la mesure de Lebesgue $λ_n.$ L'espace vectoriel de ces fonctions est noté $ℒ^1_{loc}(Ω)$ et son quotient par le sous-espace des fonctions nulles presque partout est noté $L^1_{loc}(Ω).$

## Définitions équivalentes

Pour toute fonction f : Ω → ℂ, les propriétés suivantes sont équivalentes :

* f est localement intégrable (au sens ci-dessus) ;
* f est Lebesgue-mesurable et pour tout compact K de Ω,$\int _{K}|f|~{\rm {d}}\lambda _{n}<+\infty$ ;
* pour toute fonction test φ sur Ω (c'est-à-dire toute fonction $C^∞$ à support compact de Ω dans ℂ), fφ est Lebesgue-intégrable ;
* f est Lebesgue-mesurable et pour toute fonction test φ sur Ω,$\int _{\Omega }|f\varphi |~{\rm {d}}\lambda _{n}<+\infty$.

## Exemples

* Toute fonction intégrable est localement intégrable.
* Plus généralement, $L^1_{loc}(Ω)$ contient $L^p(Ω)$ pour tout p ∈ [1, +∞].
* Toute fonction mesurable localement bornée (en particulier toute fonction continue) est localement intégrable.
* La fonction f définie (presque partout) par f(x) = 1/x — qui appartient donc à $L^1_{loc}(ℝ*)$ — n'appartient pas à $L^1_{loc}(ℝ).$

## Propriété

$L^1_{loc}(Ω)$ est un espace de Fréchet, pour sa structure d'espace localement convexe associée à la famille, indexée par les compacts K de Ω, des semi-normes ║ $║_K$ définies par :

$\|f\|_{K}=\int _{K}|f|~{\rm {d}}\lambda _{n}$

Pour cette topologie, l'espace des fonctions complexes continues sur Ω, à supports compacts contenus dans Ω , est dense dans $L^1_{loc}(Ω).$

## Référence

* ↑ (en) Elliott H. Lieb et Michael Loss (en), Analysis, AMS, 2001, 2e éd. (1re éd. 1997) (lire en ligne), p. 139.
