Problème des deux échelles
# Problème des deux échelles

En mathématiques récréatives, le problème des deux échelles (dans un couloir) est un problème à l'énoncé très simple, mais présentant la particularité d’aboutir à une équation du quatrième $degré^,^,.$

## Énoncé

On dispose de deux échelles, l’une de $a=2$ mètres et l'autre de $b=3$ mètres. On les pose dans un couloir l’une à côté de l’autre, leurs extrémités appuyées sur les murs opposés du couloir et les échelles se croisant. Elles se croisent à $h=1$ mètre du sol. Quelle est la largeur du couloir ?

## Historique

Martin Gardner mentionne ce problème en 1979 dans son livre "Mathematical Circus" en citant William Ransom, qui l'a publié en 1953, mais son origine première est inconnue.

## Résolution

Avec les notations de la figure, le but est de connaitre $x=AB$.

Or, on peut établir que la hauteur $h=HM$ est la moitié de la moyenne harmonique des bases $AC,BD$ du trapèze ABCD (la résolution ne demandant que le théorème de Thalès) : ce résultat serait connu du mathématicien indien Mahāvīra en 850 avant JC.

De plus, d'après le théorème de Pythagore, $AC^{2}=a^{2}-x^{2},BD^{2}=b^{2}-x^{2}$.

On obtient donc l'équation : ${\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {b^{2}-x^{2}}}}={\frac {1}{h}}$.

Pour $(a,b,h)=(2,3,1)$, un logiciel de calcul donne pour solution : $x=1,23118572...$, voir la suite A173272 de l'OEIS.

L'élimination des racines carrées conduit à l'équation algébrique $A^{2}B^{2}-2h^{2}AB(A+B)+h^{4}(A-B)^{2}=0$, où $A=a^{2}-x^{2},B=b^{2}-x^{2}$, qui est du huitième degré en $x$, mais du quatrième degré en $x^{2}$.

Avec les valeurs numériques proposées, l'équation s'écrit

    $x^{8}-22x^{6}+163x^{4}-454x^{2}+385=0.$

Cette équation polynomiale de degré 8 est résoluble par radicaux, et la solution s'écrit :

$x={\sqrt {4-y^{2}}}{\text{ où }}y={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {z-4}}+{\sqrt {2{\sqrt {4+z^{2}}}-2{\sqrt {z-4}}-z-3}}\right){\text{ et }}z=5/3+{\sqrt[{3}]{395/27+{\sqrt {5200/27}}}}+{\sqrt[{3}]{395/27-{\sqrt {5200/27}}}}$

## Problème arithmétique associé

Albert A. Bennett a recherché en 1940 des solutions où les trois longueurs $a,b,h,x$ sont entières, et a trouvé la famille :

    ${\begin{cases}ka=(su+tv)(s-t)(u+v)\\kb=(sv+tu)(s-t)(u+v)\\kh=(su-tv)(sv-tu)\\kx=2{\sqrt {stuv}}(s-t)(u+v)\end{cases}}$, où $s,t,u,v$ sont des entiers strictement positifs vérifiant les trois conditions :
* $u>v$
* $sv>tu$
* $stuv$ est un carré parfait

$k$ étant le PGCD des quatre membres de droite.

Par exemple, $(s,t,u,v)=(8,1,2,1)$ donne $a=119,b=70,h=30,x=56$, avec $k=3$.

Une solution en entiers impairs est donnée par $(s,t,u,v)=(7,1,9,7)$ : $(a,b,h,x)=(105,87,35,63)$, avec $k=64$.

Il a été démontré en 1941 que toute solution primitive est de ce type.

Il y a même une infinité de solutions où les positions supérieures des échelles ${\sqrt {a^{2}-x^{2}}},{\sqrt {b^{2}-x^{2}}}$ sont également entières.

## Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Crossed Ladders Problem », sur MathWorld

