Quintuplet premier
# Quintuplet premier

Un quintuplet premier est une suite de cinq nombres premiers consécutifs de la forme (p, p+2, p+6, p+8, p+12) ou (p, p+4, p+6, p+10, p+12). Toute suite de cinq nombres premiers consécutifs d'écarts entre eux minimaux est de l'une de ces deux formes, en dehors de (2,3,5,7,11) et (3,5,7,11,13).

## Quintuplet de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants

Un quintuplet premier contient toujours un quadruplet premier (p, p+2, p+6, p+8). Le cinquième terme est ajouté :

* soit à droite p + 12 (première forme),
* soit à gauche p – 4 (seconde forme).

### Propriétés des quintuplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants

Un quintuplet premier contient :

* deux paires de nombres premiers jumeaux proches : « (p, p + 2) » et « (p + 6, p + 8) », formant un quadruplet premier
* trois triplets premiers se chevauchant partiellement : « (p, p + 2, p + 6) », « (p + 2, p + 6, p + 8) », « (p + 6, p + 8, p + 12) » dans le cas de la première forme ou « (p - 4, p, p + 2) », « (p, p + 2, p + 6) », « (p + 2, p + 6, p + 8) » dans le cas de la seconde forme.

### Liste de quintuplets premiers

Les dix plus petits quintuplets premiers de la première forme (ajout d'un terme p + 12 à droite d'un quadruplet) sont :

* (5, 7, 11, 13, 17) ;
* (11, 13, 17, 19, 23) ;
* (101, 103, 107, 109, 113) ;
* (1 481, 1 483, 1 487, 1 489, 1 493) ;
* (16 061, 16 063, 16 067, 16 069, 16 073) ;
* (19 421, 19 423, 19 427, 19 429, 19 433) ;
* (21 011, 21 013, 21 017, 21 019, 21 023) ;
* (22 271, 22 273, 22 277, 22 279, 22 283) ;
* (43 781, 43 783, 43 787, 43 789, 43 793) ;
* (55 331, 55 333, 55 337, 55 339, 55 343).

Les onze plus petits quintuplets de nombres premiers de la seconde forme (ajout d'un terme p – 4 à gauche d'un quadruplet) sont :

* (7, 11, 13, 17, 19) ;
* (97, 101, 103, 107, 109) ;
* (1 867, 1 871, 1 873, 1 877, 1 879) ;
* (3 457, 3 461, 3 463, 3 467, 3 469) ;
* (5 647, 5 651, 5 653, 5 657, 5 659) ;
* (15 727, 15 731, 15 733, 15 737, 15 739) ;
* (16 057, 16 061, 16 063, 16 067, 16 069) ;
* (19 417, 19 421, 19 423, 19 427, 19 429) ;
* (43 777, 43 781, 43 783, 43 787, 43 789) ;
* (79 687, 79 691, 79 693, 79 697, 79 699) ;
* (88 807, 88 811, 88 813, 88 817, 88 819).

On ignore s'il existe un nombre infini de tels quintuplets.

