Polynôme de Shapiro
# Polynôme de Shapiro

En analyse de Fourier, les polynômes de Shapiro, étudiés par Harold S. Shapiro en 1951, sont des polynômes $P_{n}(z)$ et $Q_{n}(z)$ définis par la relation de récurrence :

    $P_{0}(z)=Q_{0}(z)=1$
    $P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}}Q_{n}(z)$
    $Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}}Q_{n}(z)$

Ces polynômes vérifient la propriété :

    $|P_{n}(z)|^{2}+|Q_{n}(z)|^{2}=2^{n+1}$

pour z sur le cercle unité.

Ces polynômes ont des applications en traitement du signal.

