Fonction additive (arithmétique)
# Fonction additive (arithmétique)

En théorie des nombres, une fonction additive f est une fonction arithmétique (donc définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb {C}$) telle que :

(en particulier, f(1) = 0).

On dit que f est (une fonction additive) réelle si elle est uniquement à valeurs dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$.

Une fonction arithmétique f est dite complètement additive lorsque :

même si a et b ne sont pas premiers entre eux.

En dehors de la théorie des nombres, le terme additive est habituellement utilisé pour toutes les fonctions vérifiant :

Cet article ne concerne que les fonctions additives de la théorie des nombres.

Toute fonction complètement additive est additive, mais la réciproque est fausse.

## Exemples de fonctions complètement additives

### Deux exemples élémentaires

* la restriction de la fonction logarithme à $ℕ^*.$
* la valuation p-adique, pour tout nombre premier p.

### La fonction Ω

La fonction Ω associe à un entier naturel non nul n, le nombre avec répétition (i.e. en comptant de multiples fois les facteurs multiples) des facteurs premiers de n :

${\text{si }}n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}},{\text{ alors }}\Omega (n)=\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}.$

Par exemple (suite A001222 de l'OEIS) :

       Ω(4) = 2 ;
       Ω(24) = $Ω(2^3$ ⋅ $3^1)$ = 3 + 1 = 4 ;
       Ω(27) = 3 ;
       Ω(144) = $Ω(2^4$ ⋅ $3^2)$ = $Ω(2^4)$ + $Ω(3^2)$ = 4 + 2 = 6 ;
       Ω(2 000) = $Ω(2^4$ ⋅ $5^3)$ = $Ω(2^4)$ + $Ω(5^3)$ = 4 + 3 = 7 ;
       Ω(2 001) = 3 ;
       Ω(2 002) = 4 ;
       Ω(2 003) = 1 ;
       Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ $1993^2$ ⋅ 1236661) = 4 ;
       Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ $7^2$ ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6 ;
       Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ $11^2$ ⋅ $1993^2$ ⋅ 1236661) = 7.

### La fonction $a_0$

La fonction $a_0$ (parfois appelée par les anglo-saxons sopfr) associe à un entier naturel non nul n la somme avec répétition des facteurs premiers de n :

${\text{si }}n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}},{\text{ alors }}a_{0}(n)=\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}p_{i}.$

Par exemple (suite A001414 de l'OEIS) :

       $a_0(4)$ = 4 ;
       $a_0(20)$ = $a_0(2^2$ ⋅ 5) = 2 + 2+ 5 = 9 ;
       $a_0(27)$ = 9 ;
       $a_0(144)$ = $a_0(2^4$ ⋅ $3^2)$ = $a_0(2^4)$ + $a_0(3^2)$ = 8 + 6 = 14 ;
       $a_0(2000)$ = $a_0(2^4$ ⋅ $5^3)$ = $a_0(2^4)$ + $a_0(5^3)$ = 8 + 15 = 23 ;
       $a_0(2001)$ = 55 ;
       $a_0(2002)$ = 33 ;
       $a_0(2003)$ = 2003 ;
       $a_0(54$ 032 858 972 279) = 1240658 ;
       $a_0(54$ 032 858 972 302) = 1780417 ;
       $a_0(20$ 802 650 704 327 415) = 1240681.

## Exemples de fonctions qui sont seulement additives

   * la fonction ω, qui associe à un entier naturel n le nombre total de nombres premiers distincts qui divisent n (elle est donc majorée par Ω). Par exemple (suite A001221 de l'OEIS) :

       ω(4) = 1 ;
       ω(27) = 1 ;
       ω(144) = $ω(2^4$ ⋅ $3^2)$ = $ω(2^4)$ + $ω(3^2)$ = 1 + 1 = 2 ;
       ω(2000) = $ω(2^4$ ⋅ $5^3)$ = $ω(2^4)$ + $ω(5^3)$ = 1 + 1 = 2 ;
       ω(2001) = 3 ;
       ω(2002) = 4 ;
       ω(2003) = 1 ;
       ω(54 032 858 972 279) = 3 ;
       ω(54 032 858 972 302) = 5 ;
       ω(20 802 650 704 327 415) = 5.
   * la fonction $a_1$ (parfois appelée par les anglo-saxons sopf) qui à un entier n associe la somme de ses diviseurs premiers distincts (elle est de même majorée par $a_0).$ Par exemple (suite A008472 de l'OEIS) :

       $a_1(4)$ = 2 ;
       $a_1(20)$ = 2 + 5 = 7 ;
       $a_1(27)$ = 3 ;
       $a_1(144)$ = $a_1(2^4$ ⋅ $3^2)$ = $a_1(2^4)$ + $a_1(3^2)$ = 2 + 3 = 5 ;
       $a_1(2$ 000) = $a_1(2^4$ ⋅ $5^3)$ = $a_1(2^4)$ + $a_1(5^3)$ = 2 + 5 = 7 ;
       $a_1(2$ 001) = 55 ;
       $a_1(2$ 002) = 33 ;
       $a_1(2$ 003) = 2003 ;
       $a_1(54$ 032 858 972 279) = 1238665 ;
       $a_1(54$ 032 858 972 302) = 1780410 ;
       $a_1(20$ 802 650 704 327 415) = 1238677.

## Fonctions multiplicatives

À partir de n'importe quelle fonction additive f, il est facile de créer une fonction multiplicative g en définissant par exemple g par :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad g(n)=2^{f(n)}.$

