Foncteur essentiellement surjectif
# Foncteur essentiellement surjectif

En théorie des catégories, un foncteur est dit essentiellement surjectif si chaque objet de la catégorie d'arrivée est isomorphe à un objet image du foncteur.

## Définition formelle

Soient C et D deux catégories. Un foncteur F : C → D est dit essentiellement surjectif si pour tout objet Y de D, il existe un objet X de C tel que $F(X)\cong Y$, c'est-à-dire qu'il existe dans $\mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),Y)$ un isomorphisme.

## Propriétés

L'une des seules utilités pour un foncteur d'être essentiellement surjectif, est que s'il est aussi pleinement fidèle, il définit alors une équivalence de catégories.

## Exemples

* Le foncteur d'abélianisation Ab : Grp → Ab, de la catégorie des groupes vers celle des groupes abéliens, est essentiellement surjectif, car tout groupe abélien est isomorphe à l'abélianisé de son groupe sous-jacent.
* Lorsque la classe fonctionnelle d'objets associée est surjective, le foncteur est trivialement essentiellement surjectif.
* Lorsque tous les objets de la catégorie d'arrivée sont isomorphes entre eux, le foncteur est aussi trivialement essentiellement surjectif.
