Foncteur dérivé
# Foncteur dérivé

En mathématiques, certains foncteurs peuvent être dérivés pour obtenir de nouveaux foncteurs liés de manière naturelle par des morphismes à ceux de départs. Cette notion abstraite permet d'unifier des constructions concrètes intervenant dans de nombreux domaines des mathématiques. Elle n'est pas liée à la notion de dérivation en analyse.

## Motivation

La notion de foncteur dérivé est conçue pour donner un cadre général aux situations où une suite exacte courte donne naissance à une suite exacte longue.

Soit donné un foncteur F : A → B entre deux catégories abéliennes A et B. On suppose que F est exact à gauche, c'est-à-dire que pour une suite exacte courte d'objets de la catégorie A :

    $0\to A\to B\to C\to 0$

alors la suite suivante est exacte :

    $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$

Il est alors naturel de se demander si on peut prolonger cette suite en une suite exacte, et si on peut le faire de façon canonique. Les foncteurs dérivés du foncteur F seront alors, pour tout i ≥ 1, les foncteurs $R^iF$ : A → B, tels que la suite suivante soit exacte :

    $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to \cdots$

F est donc exact à droite si et seulement si le foncteur $R^1F$ est trivial. Les foncteurs dérivés mesurent donc dans un certain sens le défaut d'exactitude de F.

## Construction et premières propriétés

On suppose que la catégorie A possède suffisamment d'objets injectifs (en) — une abstraction de la notion de module injectif — c'est-à-dire que pour tout objet A dans A il existe un monomorphisme A → I où I est un objet injectif dans A.

Soit un foncteur covariant exact à gauche F : A → B et un objet X dans A. Par l'hypothèse sur A, on peut construire une résolution (en) injective de X (i.e. une suite exacte longue où les $I^i$ pour i ≥ 0 sont des objets injectifs) :

$0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots$

En appliquant le foncteur F, on obtient le complexe de cochaînes

$0\to F(X)\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots$

La cohomologie au i-ème rang est alors définie comme étant $R^iF(X).$ En particulier : $R^0F(X)$ = F(X). Pour obtenir une démonstration complète, il faudrait vérifier les points suivants : le résultat ne dépend pas, à isomorphisme près, du choix de la résolution injective de X, et pour chaque flèche X → Y il existe une flèche $R^iF(X)$ → $R^iF(Y)$ qui fasse que $R^iF$ vérifie les propriétés des foncteurs.

Le choix de la résolution triviale, 0 → X → X → 0, si X est lui-même injectif, montre que $R^iF(X)$ = 0 pour tout i ≥ 1 (i.e. X est acyclique).

## Variantes

Une théorie duale existe pour un foncteur G exact à droite, en supposant cette fois que la catégorie A possède suffisamment d'objets projectifs — une abstraction de la notion de module projectif. Pour un objet X de A, on considère une résolution projective :

    $\cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0$

Les objets $P_i$ sont projectifs. Les foncteurs dérivés à gauche $L_iG$ sont alors définis en posant pour $L_iG(X)$ l'homologie au ième rang du complexe obtenu en appliquant le foncteur G à cette résolution. À nouveau, $L_0G(X)$ = G(X). La suite exacte longue obtenue à partir d'une suite exacte courte :

    $0\to A\to B\to C\to 0$

s'écrit ici :

    $\cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0$.

La propriété d'annulation analogue s'obtient cette fois-ci sur les objets projectifs.

On peut aussi partir d'un foncteur F contravariant, et les foncteurs dérivés à droite sont alors eux-mêmes contravariants, et sont définis à partir de résolutions projectives. La suite exacte courte

    $0\to A\to B\to C\to 0$

est dans ce cas transformée en :

    $0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots$

## Applications

* Cohomologie des faisceaux. Soit X un espace topologique, alors, la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur X est une catégorie abélienne contenant suffisamment d'objets injectifs (ce résultat est dû à Alexandre Grothendieck). En associant à chaque tel faisceau L le groupe L(X) de ses sections globales, on obtient un foncteur exact à gauche, dont les foncteurs dérivés droits sont exactement les foncteurs de cohomologie des faisceaux, habituellement notés $H^i(X,L).$ Plus généralement, si (X, $O_X)$ est un espace annelé, alors la catégorie des faisceaux de $O_X-modules$ est une catégorie contenant suffisamment d'objets injectifs, et la cohomologie des faisceaux est à nouveau construite comme la suite des foncteurs dérivés du foncteur des sections globales.
* La cohomologie étale est une autre théorie de cohomologie, pour les faisceaux de modules sur un schéma.
* Foncteur Ext. Soit R un anneau, alors la catégorie de tous les R-modules à gauche est une catégorie abélienne contenant suffisamment d'objets injectifs. Si A est un R-module à gauche invariant, alors le foncteur Hom(A,-) est exact à gauche, et ses foncteurs dérivés à droites sont les foncteurs $Ext_R^i(A,B).$
* Foncteur Tor. La catégorie des R-modules à gauche contient aussi suffisamment d'objets projectifs. Si A est un R-module à gauche invariant, alors le produit tensoriel par A est un foncteur covariant exact à droite sur la catégorie des R-modules à gauche ; ses foncteurs dérivés à gauche sont les foncteurs $Tor^R_i(A,B).$
* Cohomologie des groupes. Soit G un groupe. Un G-module M est un groupe abélien M muni d'une action de groupe de G sur M par automorphismes. De manière équivalente M est muni d'une structure de module sur l'anneau de groupe Z[G]. Les G-modules constituent une catégorie abélienne contenant suffisamment d'objets injectifs. Soit $M^G$ le sous-groupe des éléments de M fixés par G. On définit ainsi un foncteur exact à gauche, dont les foncteurs dérivés à droite sont les foncteurs de cohomologie des groupes, notés $H^i(G,M).$

## Généralisation

Une approche plus moderne et plus générale utilise le langage des catégories dérivées.

