Invariant de Seiberg-Witten
# Invariant de Seiberg-Witten

En mathématiques, les invariants de Seiberg-Witten sont des invariants importants des 4-variétés différentielles. Parmi leur applications, il y a la preuve de la conjecture de Thom (de), l'inexistence de métriques de courbure scalaire positive, les décompositions en somme connexe, ou les structures symplectiques sur diverses 4-variétés. De plus, ils peuvent distinguer différentes structures différentielles sur les 4-variétés topologiques.

## Définition

Soit $M$ une variété compacte et différentiable avec une métrique riemannienne et une structure spin $Spin^c$ ${\mathfrak {s}}$ avec un faisceaux de spineurs associés $W^{\pm }$ et un faisceau déterminant $L$ .

Pour une 2-forme auto-duale générique $\eta$, l'espace ${\mathcal {M}}$ des solutions des équations de Seiberg-Witten perturbées est une variété compacte et orientable de dimension

    $i({\mathfrak {s}}):={\frac {1}{4}}(c_{1}(L)^{2}-2\chi (M)-3sign(M))$ .

Le groupe de jauge ${\mathcal {G}}=Map(M,S^{1})$ et son sous-groupe ${\mathcal {G}}_{0}=\left\{u\in {\mathcal {G}}\colon u(x_{0})=1\right\}$ opèrent sur ${\mathcal {M}}$. L' espace quotient ${\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}_{0}$ est un $S^{1}$ - faisceau de fibres principal sur ${\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}$ . Soit $e\in H^{2}({\mathcal {M}}/{\mathcal {G}};\mathbb {Z} )$ sa classe d'Euler.

Si $b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)$ est impair, alors la dimension de ${\mathcal {M}}$ un nombre pair $i(L)=2d$ . On définit alors

    $SW(M,{\mathfrak {s}};g,\eta ):=\int _{\mathcal {M}}e^{d}$.

Pour $b_{2}^{+}(M)\geq 2$, cet invariant ne dépend pas de $g$ et $\eta$ et est appelé l'invariant de Seiberg-Witten $SW(M,{\mathfrak {s}})$.

## Propriétés

Dans ce qui suit, $b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)$ est impair et $b_{2}^{+}(M)\geq 2$. Une classe de cohomologie $c\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ est appelée classe de base si elle a une structure $spin^c$ ${\mathfrak {s}}$ avec $c_{1}(L)=c$ et $SW(M,{\mathfrak {s}})\not =0$.

* Si $f\colon M_{1}\to M_{2}$ est un difféomorphisme préservant l'orientation, alors $SW(M_{1},f^{*}{\mathfrak {s}})=SW(M,{\mathfrak {s}})$.
* Pour chaque classe de base $c$ on a $c\cdot c\geq 2\chi (M)+3sign(M)$.
* Pour la structure duale $spin^c$ ${\mathfrak {s}}^{*}$, on a $SW(M,{\mathfrak {s}}^{*})=(-1)^{\frac {\chi (M)+sign(M)}{4}}SW(M,{\mathfrak {s}})$.
* $M$ n'a qu'un nombre fini de classes de base.
* Si $M$ a une métrique de courbure scalaire positive, alors $SW(M,{\mathfrak {s}})=0$ pour tous ${\mathfrak {s}}$.
* Si $M=X\sharp Y$ pour des 4-variétés $X,Y$ compactes, orientables et lisses avec $b_{2}^{+}>0$, alors $SW(M,{\mathfrak {s}})=0$ pour tous ${\mathfrak {s}}$.
* Si $b_{1}(X)=b_{2}^{+}(X)=0$ et si, pour une structure de $spin^c$ ${\mathfrak {s}}_{X}$ avec $c_{1}=c_{X}$, on a l'inégalité $c\cdot c-2\chi (M)-3sign(M)+c_{X}\cdot c_{X}+b_{2}(X)\geq 0$ alors $SW(M,{\mathfrak {s}})=SW(M\sharp X,{\mathfrak {s}}\sharp {\mathfrak {s}}_{X})$ .
* Pour une surface plongée, compacte et orientable $\Sigma \subset M$ du genre $g(\Sigma )$, on a $2g(\Sigma )-2\geq \Sigma \cdot \Sigma +\vert c\cdot \Sigma \vert$ pour chaque classe de base $c$.
* Si $M$ est une variété symplectique avec une structure de $spin^c$ canonique ${\mathfrak {s}}_{can}$, alors $SW(M,{\mathfrak {s}}_{can})=1$.
