Fonction exponentielle p-adique
# Fonction exponentielle p-adique

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse p-adique, la fonction exponentielle p-adique est un analogue p-adique de la fonction exponentielle usuelle sur les nombres complexes. Comme dans le cas complexe, elle admet une réciproque, appelée logarithme p-adique.

## Définition

La fonction exponentielle usuelle sur $\mathbb {C}$ est définie par la série entière

    $\exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

De manière tout à fait analogue, on définit la fonction exponentielle sur $\mathbb {C} _{p}$, la complétion de la clôture algébrique de $\mathbb {Q} _{p}$, par

    $\exp _{p}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Cependant, contrairement à $\exp$ qui converge sur tout $\mathbb {C}$, $\exp _{p}$ ne converge que sur le disque $|z|_{p}<p^{-1/(p-1)}.$

En effet, une série p-adique converge si et seulement si le terme général tend vers 0, et puisque $n!$ tend à rendre la norme p-adique grande (voir la formule de Legendre), il est nécessaire de contrôler la valuation de z.

## Fonction logarithme p-adique

La série entière

    $\log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},$

converge pour x dans $\mathbb {C} _{p}$ satisfaisant $|x|_{p}<1$, et définit ainsi la fonction logarithmique p-adique $\log _{p}(z)$ pour $|z-1|_{p}<1$, vérifiant $\log _{p}(zz')=\log _{p}(z)+\log _{p}(z')$. La fonction $\log _{p}$ peut être étendue à l'ensemble des éléments non nuls de $\mathbb {C} _{p}$ en imposant $\log _{p}(p)=0$. Plus précisément, chaque élément $w$ de $\mathbb {C} _{p}^{*}$ peut s'écrire $w=p^{r}\cdot \zeta \cdot z$ avec r un nombre rationnel, ζ une racine de l'unité, et |z − 1| p < 1, auquel cas $\log _{p}(w)=\log _{p}(z)$. Ce prolongement est parfois appelé logarithme d'Iwasawa pour souligner le choix du $\log _{p}(p)=0$. En fait, il existe un prolongement du logarithme de $|z-1|_{p}<1$ à tout $\mathbb {C} _{p}^{*}$ pour chaque choix de $\log _{p}(p)$ dans $\mathbb {C} _{p}$.

## Propriétés

Si les exponentielles p-adique de z et w sont définies, alors celle de leur somme l'est aussi et on a : $\exp _{p}(z+z')=\exp _{p}(z)\cdot \exp _{p}(z')$.

Pour z dans le domaine de définition de $\exp _{p}$, on $\exp _{p}(\log _{p}(1+z))=1+z$ et $\log _{p}(\exp _{p}(z))=z$.

Les racines du logarithme d'Iwasawa $\log _{p}(z)$ sont exactement les éléments de $\mathbb {C} _{p}$ de la forme $p^r·ζ$ où r est un nombre rationnel et ζ une racine de l'unité.

Notons qu'il n'existe pas d'analogue p-adique de l'identité d'Euler $e^{2\pi i}=1$. C'est un corollaire du théorème de Strassmann (en).

Une dernière différence fondamentale avec le cas complexe est que le domaine de convergence de $\exp _{p}$ est bien plus petit que celui de $\log _{p}$. Une fonction exponentielle modifiée — la fonction exponentielle d'Artin–Hasse (en) — converge sur $|z|_{p}<1$.

