Polynôme de Bessel
# Polynôme de Bessel

En mathématiques, les polynômes de Bessel sont une suite de polynômes orthogonaux. Il en existe plusieurs définitions, mais toutes liées. La définition la plus courante est celle donnée par la somme:

    $y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!\,k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}$

Une autre définition, préférée dans le traitement du signal, est parfois appelée polynômes de Bessel $inverses^,$ :

    $\theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}\left({\frac {1}{x}}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!\,k!}}\,{\frac {x^{n-k}}{2^{k}}}$

Les coefficients de la deuxième définition sont les mêmes que dans la première, mais l'ordre des monômes est inversé. On a ainsi, par exemple pour l'ordre 3 :

    $y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\quad \mathrm {et} \quad \theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15\,$

Cette deuxième famille est utilisée dans la conception des filtres de Bessel.

## Propriétés

### Définition en termes de fonctions de Bessel

Un polynôme de Bessel peut aussi être défini à partir des fonctions de Bessel, dont les polynômes tirent leur nom :

    $y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}\left({\frac {1}{x}}\right)\,$
    $y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,\mathrm {e} ^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}\left({\frac {1}{x}}\right)$
    $\theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}\mathrm {e} ^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)$

où $K_n(x)$ est une fonction de Bessel modifiée de deuxième $espèce^{:7,34}.$ Par exemple:

    $y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,\mathrm {e} ^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}\left({\frac {1}{x}}\right)$

### Définition en termes de fonctions hypergéométriques

Un polynôme de Bessel peut aussi être défini comme une fonction hypergéométrique confluente:

    $y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).$

On retrouve une expression similaire pour les polynômes de Bessel généralités (cf. $infra)^{:35}:$

    $y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\,_{2}F_{0}(-n,n+a-1;;-x/b)=\left({\frac {b}{x}}\right)^{n+a-1}U\left(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\right).$

Les polynômes de Bessel inverses peuvent s'exprimer à partir des polynômes de Laguerre généralisés :

    $\theta _{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)$

dont on tire une expression sous forme de fonction hypergéométrique :

    $\theta _{n}(x)={\frac {(-2n)_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,_{1}F_{1}(-n;-2n;2x)$

avec $(−2n)_n$ pour le symbole de Pochhammer.

L'inversion pour les monômes s'écrit

    ${\frac {(2x)^{n}}{n!}}=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {n+1}{j+1}}{j+1 \choose n-j}L_{j}^{-2j-1}(2x)={\frac {2^{n}}{n!}}\sum _{i=0}^{n}i!(2i+1){2n+1 \choose n-i}x^{i}L_{i}^{(-2i-1)}\left({\frac {1}{x}}\right).$

### Fonction génératrice

Les polynômes de Bessel, avec un décalage d'indice, ont pour fonction génératrice

    $\sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}\mathrm {e} ^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left(x(1-{\sqrt {1-2t}})\right).$

En dérivant selon t et en annulant x, on obtient la fonction génératrice pour les polynômes $\left(\theta _{n}\right)_{n\geq 0}$

    $\sum _{n=0}^{\infty }\theta _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{\sqrt {1-2t}}}\mathrm {e} ^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.$

Une fonction génératrice similaire existe pour les $\left(y_{n}\right)_{n\geq 0}$$^{:106}:$

    $\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {1-2xt}}}{x}}\right).$

En posant t = $z-xz^2/2,$ on trouve l'expression de la fonction exponentielle :

    $\mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}}{n!}}.$

### Formules de récurrence

Une définition utilisée plus couramment pour le calcul des valeurs des polynômes de Bessel est la formule de récurrence :

    $y_{0}(x)=1\,$
    $y_{1}(x)=x+1\,$
    $y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,$

et

    $\theta _{0}(x)=1\,$
    $\theta _{1}(x)=x+1\,$
    $\theta _{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta _{n-1}(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,$

### Équation différentielle

Les polynômes de Bessel sont les solutions polynomiales de l'équation différentielle :

    $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}(x)+2(x\!+\!1){\frac {\mathrm {d} y_{n}(x)}{\mathrm {d} x}}-n(n+1)y_{n}(x)=0$

et

    $x{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta _{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}(x)-2(x\!+\!n){\frac {\mathrm {d} \theta _{n}(x)}{\mathrm {d} x}}+2n\,\theta _{n}(x)=0$

### Orthogonalité

Les polynômes de Bessel sont orthogonaux pour le poids $e^{-2/x}$ sur le cercle unité du plan complexe : avec le symbole de Kronecker :

    $\forall (n,m)\in \mathbb {N} ^{2},\ n\neq m\Longrightarrow \int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)y_{m}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)\mathrm {i} \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\mathrm {d} \theta =0$

## Généralisation

### Forme explicite

Une généralisation des polynômes de Bessel ont été suggérés dans la littérature scientifique (Krall, Fink), comme suit :

    $y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),$

ce qui donne une généralisation des polynômes inverses avec :

    $\theta _{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).$

Les coefficients explicites des polynômes $y_n(x$ ; α , β) $sont^{:108}:$

    $y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n+k+\alpha -2)^{\underline {k}}\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{k}.$

Par conséquent, les polynômes $θ_n(x$ ; α , β) peuvent être explicitement écrits ainsi :

    $\theta _{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2n-k+\alpha -2)^{\underline {n-k}}{\frac {x^{k}}{\beta ^{n-k}}}.$

Avec la fonction poids

    $\rho (x;\alpha ,\beta ):=\,_{1}F_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)$

on retrouve l'orthogonalité :

    $\forall n\neq m,\oint _{c}\rho (z;\alpha ,\beta )y_{n}(z;\alpha ,\beta )y_{m}(z;\alpha ,\beta )\mathrm {d} z=0$

avec C une courbe passant autour de l'origine.

On retrouve les polynômes de Bessel pour α = β = 2, et on obtient bien la fonction poids vue au-dessus ρ(x) = exp(−2 / x).

### Formule de Rodrigues pour les polynômes de Bessel

La formule de Rodrigues pour les polynômes de Bessel comme solutions particulières des équations différentielles donnent :

    $B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(x^{\alpha +2n}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}\right)$

où a(α, β) n sont des coefficients de normalisation.

### Polynômes de Bessel généralisés

Selon cette généralisation, on trouve l'équation différentielle généralisée pour les polynômes de Bessel généralisés :

    $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {\mathrm {d} B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{\mathrm {d} x}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0$

avec $0\leq m\leq n$. Les solutions sont :

    $B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-m}}{\mathrm {d} x^{n-m}}}\left(x^{\alpha +2n}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}\right).$

## Zéros

En désignant les zéros de $y_n(x$ ; α , β) par α(n) k(α , β), et ceux de $θ_n(x$ ; α , β) par β(n) k(α , β), on a les estimations $suivantes^{:82}:$

    ${\frac {2}{n(n+\alpha -1)}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}},$

et

    ${\frac {n+\alpha -1}{2}}\leq \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {n(n+\alpha -1)}{2}},$

pour tout $\alpha \geq 2$. De plus, tous ces zéros ont des parties réelles négatives.

Des résultats plus fins peuvent être donnés en utilisant des théorèmes plus puissants sur l'estimation des zéros de polynômes (comme le théorème parabolique de Saff et Varga, ou des techniques d'équations $différentielles^{:88}^,).$ On a par exemple :

    ${\frac {2}{2n+\alpha -{\frac {2}{3}}}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}}.$

## Valeurs particulières

Les six premiers polynômes de Bessel sont :

    ${\begin{aligned}y_{0}(x)&=1\\y_{1}(x)&=x+1\\y_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1\\y_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\\y_{4}(x)&=105x^{4}+105x^{3}+45x^{2}+10x+1\\y_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+420x^{3}+105x^{2}+15x+1\end{aligned}}$

Aucun polynôme de Bessel ne peut être factorisé avec des coefficients strictement rationnels.

Les six premiers polynômes de Bessel inverses sont donc :

    ${\begin{aligned}\theta _{0}(x)&=1\\\theta _{1}(x)&=x+1\\\theta _{2}(x)&=x^{2}+3x+3\\\theta _{3}(x)&=x^{3}+6x^{2}+15x+15\\\theta _{4}(x)&=x^{4}+10x^{3}+45x^{2}+105x+105\\\theta _{5}(x)&=x^{5}+15x^{4}+105x^{3}+420x^{2}+945x+945\end{aligned}}$

## Applications

L'équation différentielle des polynômes de Bessel apparait dans l'étude de l'équation des ondes en coordonnées sphériques.

