Réseau réciproque
# Réseau réciproque

En cristallographie, le réseau réciproque d'un réseau de Bravais est l'ensemble des vecteurs ${\vec {K}}$ tels que :

    $e^{i{\vec {K}}\cdot {\vec {R}}}=1$

pour tous les vecteurs position ${\vec {R}}$ du réseau de Bravais. Ce réseau réciproque est lui-même un réseau de Bravais, et son réseau réciproque est le réseau de Bravais de départ.

## Maille du réseau réciproque

Un cristal peut se décrire comme un réseau aux nœuds duquel se trouvent des motifs : atome, ion, molécule.

Si l'on appelle $({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})$ les vecteurs définissant la maille élémentaire, ces vecteurs définissent une base de l'espace. On peut définir une base réciproque par $({\vec {e_{1}^{*}}},{\vec {e_{2}^{*}}},{\vec {e_{3}^{*}}})$ vérifiant

    ${\vec {e_{i}}}\cdot {\vec {e_{j}^{*}}}=\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{si }}i=j\\0&{\text{si }}i\neq j\end{cases}}$

ce qui donne :

    ${\vec {e_{1}^{*}}}={\frac {1}{V}}{\vec {e_{2}}}\wedge {\vec {e_{3}}},$
    ${\vec {e_{2}^{*}}}={\frac {1}{V}}{\vec {e_{3}}}\wedge {\vec {e_{1}}},$
    ${\vec {e_{3}^{*}}}={\frac {1}{V}}{\vec {e_{1}}}\wedge {\vec {e_{2}}},$

où $V$ est le volume de la maille du réseau direct (calculé à l'aide du produit mixte des vecteurs de la maille) :

    $V={\vec {e_{1}}}\cdot ({\vec {e_{2}}}\wedge {\vec {e_{3}}})={\vec {e_{2}}}\cdot ({\vec {e_{3}}}\wedge {\vec {e_{1}}})={\vec {e_{3}}}\cdot ({\vec {e_{1}}}\wedge {\vec {e_{2}}}).$

Les points ayant des coordonnées entières dans le repère $(O,{\vec {e_{1}^{*}}},{\vec {e_{2}^{*}}},{\vec {e_{3}^{*}}})$ forment un réseau appelé réseau réciproque.

## Application

L'étude des cristaux se fait en général par diffraction d'un rayonnement ayant une longueur d'onde de l'ordre de la distance inter-atomique. À partir de la figure de diffraction obtenue, on peut déterminer la forme du réseau, et donc la structure du cristal.

Si l'on appelle :

* ${\vec {k}}$ le vecteur d'onde du rayonnement incident ;
* ${\vec {k'}}$ le vecteur des ondes diffusées dans une direction donnée ;
* ${\vec {K}}$ le vecteur de diffusion (ou vecteur de diffraction) défini par ${\vec {K}}={\vec {k'}}-{\vec {k}}$

alors la condition de diffraction sur un monocristal est donnée par le théorème de Bloch :

    il y a diffraction si ${\vec {K}}$ est un vecteur du réseau réciproque.

## Exemples de réseaux réciproques

Pour trouver le réseau réciproque il faut considérer la maille primitive. On utilise par contre couramment des réseaux non-primitifs, comme le cubique centré (2 nœuds par maille) et le cubique à faces centrées (4 nœuds par maille).

| Réseau (paramètre) | Réseau réciproque (paramètre) | Première zone de Brillouin |
| - | - | - |
| cubique $(a)$ | cubique $(2\pi /a)$ | cube |
| cubique centré $(a)$ | cubique faces centrées $(4\pi /a)$ | octaèdre obtus |
| cubique faces centrées $(a)$ | cubique centré $(4\pi /a)$ | dodécaèdre rhombique |

Ici on a posé ${\vec {a^{*}}}\cdot {\vec {a}}=2\pi .$

