Fonction Schur-convexe
# Fonction Schur-convexe

En mathématique, une fonction Schur-convexe (ou convexe au sens de Schur), aussi appelée S-convexe, fonction isotone ou fonction préservant l'ordre est une fonction $f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ telle qu'elle conserve les relations d'ordre : pour tout $x,y\in \mathbb {R} ^{d}$ tels que x est majorée par y, f satisfait f(x) ≤ f(y).

Nommée d'après Issai Schur, les fonctions Schur-convexes sont utilisées dans l'étude de la majorisation. Toute fonction qui est convexe et symétrique est aussi Schur-convexe, mais l'implication inverse n'est pas toujours vraie. Par contre, toute fonction Schur-convexe est symétrique (par rapport aux permutations de ses arguments).

## Fonction Schur-concave

Une fonction f est dite Schur-concave si son opposée, -f, est Schur-convexe.

## Critère de Schur-Ostrowski

Si f est symétrique et possède des dérivées partielles, alors f est Schur-convexe si et seulement si pour tout 1 ≤ i ≠ j ≤ d et en tout point de $\mathbb {R} ^{d}$ :

    $(x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0$.

## Exemples

* $f(x)=\min(x)$ est Schur-concave et $f(x)=\max(x)$ est Schur-convexe (ceci se déduit rapidement de la définition des fonctions).
* La fonction entropie de Shannon $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ est Schur-concave.
* La fonction entropie de Rényi est aussi Schur-concave.
* Assez naturellement, les fonctions $\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}}$ sont toutes Schur-convexes pour k ≥ 1.
* La fonction $f(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}$ est Schur-concave, sur le domaine $(\mathbb {R} _{+})^{d}$. De même, les fonctions symétriques élémentaires sont Schur-concaves$(\mathbb {R} _{+})^{d}$.
* Une interprétation naturelle de la majorisation est que si $x\succ y$ alors x est plus étalé que y. Il est dès lors naturel de se demander si les mesures statistiques de variabilité sont Schur-convexes. La variance et déviation standard sont toutes les deux des fonctions Schur-convexes mais la valeur absolue des écarts ne l'est pas.
* Si g est une fonction convexe définie sur un intervalle réel, alors $\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})$ est Schur-convexe.
* Un exemple en probabilité : si $X_{1},\dots ,X_{n}$ sont des variables aléatoires échangeables, alors la fonction espérance $\mathbb {E} \left(\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}\right)$ est Schur-convexe comme une fonction du multi-indice $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$, sous réserve que l'espérance existe.
* Le coefficient de Gini est strictement Schur-concave.
