Fonction liouvillienne
# Fonction liouvillienne

En mathématiques, et plus précisément en analyse, les fonctions liouvilliennes sont un ensemble de fonctions plus générales que les fonctions élémentaires, obtenues à partir de celles-ci en itérant l'opération d'antidérivation. Elles ont été introduites par Joseph Liouville dans une série d'articles entre 1833 et 1841.

## Définition

Partant de l'ensemble $F_{0}$ des fonctions élémentaires (fonctions à valeurs complexes d'une variable réelle) on construit successivement des ensembles $F_{n}$ (avec $n\in \mathbb {N}$) en appelant $I_{n}$ l'ensemble des primitives de $F_{n}$, puis en appliquant à $F_{n}\cup I_{n}$ les opérations définissant les fonctions élémentaires (clôture algébrique et clôture par composition), obtenant $F_{n+1}$ ; les fonctions liouvilliennes sont celles appartenant à la réunion des $F_{n}$.

Plus généralement, on peut prendre comme corps de base un corps différentiel $K$ quelconque (la définition précédente prend pour $K$ le corps $\mathbb {C} (X)$ des fractions rationnelles à coefficients complexes), et en introduisant à chaque étape de la construction de nouvelles fonctions « primitives » des précédentes ($g$ est une primitive de $f$ si $\partial g=f$, où $\partial$ est l'opérateur de dérivation) ; la théorie algébrique correspondante, appelée algèbre différentielle (en), permet en particulier de démontrer que certaines fonctions ne sont pas liouvilliennes, en généralisant le théorème analogue sur les primitives de fonctions élémentaires.

## Exemples

Par définition, toutes les fonctions élémentaires et leurs primitives sont liouvilliennes, en particulier les fonctions spéciales Si (sinus intégral) et Li (logarithme intégral) ou encore la fonction d'erreur $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$.

On voit facilement par récurrence que toutes les fonctions liouvilliennes sont solutions d'équations différentielles algébriques (en), mais la réciproque est fausse : en dehors de quelques cas particuliers, les fonctions de Bessel et les fonctions hypergéométriques ne sont pas liouvilliennes. A fortiori, les fonctions hypertranscendantes (en), comme la fonction gamma (c'est le théorème de Hölder) ou la fonction zêta, ne sont pas liouvilliennes.

