Polynôme de Legendre
# Polynôme de Legendre

En mathématiques et en physique théorique, les polynômes de Legendre constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux. Ce sont des solutions polynomiales $P_n(x),$ sur l'intervalle x ∈ [–1, 1], de l'équation différentielle de Legendre :

    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}P_{n}(x)\right]+n(n+1)\,P_{n}(x)=0$,

dans le cas particulier où le paramètre n est un entier naturel.

De façon équivalente, les polynômes de Legendre sont les fonctions propres de l'endomorphisme de ℝ[X] défini par :

    $P\mapsto u(P)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}\right]$,

pour les valeurs propres $-n(n+1),\ n\in \mathbb {N}$.

Ces polynômes orthogonaux ont de nombreuses applications tant en mathématiques, par exemple pour la décomposition d'une fonction en série de polynômes de Legendre, qu'en physique, où l'équation de Legendre apparaît naturellement lors de la résolution des équations de Laplace ou de Helmholtz en coordonnées sphériques.

## Définitions et propriétés générales

### Définition en tant que solution de l'équation de Legendre

On appelle équation de Legendre l'équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 :

    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+\alpha (\alpha +1)\,y=0$,

avec en général $\alpha \in \mathbb {R}$. On trouve les solutions non nulles de cette équation sous forme de séries entières en utilisant la méthode de Frobenius. D'après le théorème de Fuchs, puisque les seuls points singuliers de cette équation sont 1 et –1, le rayon de convergence d'une telle série vaut au moins 1. Si α n'est pas entier, ce rayon est exactement égal à 1 car la série ne peut pas converger à la fois en 1 et en –1.

En revanche, si α est un entier naturel, une (et une seule) de ces séries entières converge sur [–1, 1] et vaut 1 au point 1 (cette solution est alors polynomiale, de degré α et de même parité que cet entier).

On peut donc définir le polynôme de Legendre $P_n$ (pour tout entier naturel n) comme l'unique solution définie en 1 et –1 du problème de Cauchy :

    ${\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}P_{n}(x)}{{\textrm {d}}x}}\right]+n(n+1)\,P_{n}(x)=0,\qquad P_{n}(1)=1.$

### Définition en tant que fonctions propres d'un endomorphisme

De façon plus abstraite, il est possible de définir les polynômes de Legendre $P_n$ comme les fonctions propres pour les valeurs propres –n(n+ 1), avec n entier, de l'endomorphisme défini sur $\mathbb {R} [X]$:

    $P\in \mathbb {R} [X]\mapsto u(P)={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}P}{{\textrm {d}}x}}\right]$.

Cette définition plus abstraite est intéressante notamment pour démontrer les propriétés d'orthogonalité des polynômes de Legendre (voir infra).

### Fonction génératrice

On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa série génératrice :

    ${\frac {1}{\sqrt {1-2xz+z^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)\,z^{n}$.

Cette expression intervient notamment en physique, par exemple dans le développement à grande distance du potentiel électrostatique ou gravitationnel (développement multipolaire).

Si l'on considère qu'en général z est complexe, le calcul des coefficients de la série de Laurent donne alors :

    $P_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint (1-2xz+z^{2})^{-1/2}\,z^{-n-1}\,\mathrm {d} z$

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.

Il est possible de définir les polynômes de Legendre par cette fonction génératrice, comme les coefficients de l'expansion.

## Autres définitions

### Formule de récurrence de Bonnet

Cette formule permet rapidement d'obtenir l'expression du polynôme de Legendre d'ordre (n + 1) à partir de ceux d'ordres n et (n – 1).

Pour tout entier n ≥ 1 :

    $(n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)\,x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)$

avec $P_0(x)$ = 1 et $P_1(x)$ = x. Elle se démontre facilement à partir de la fonction génératrice.

En dérivant par rapport à la variable t la définition des polynômes de Legendre à partir de la fonction génératrice, il vient après réarrangement :

    ${\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=(1-2xt+t^{2})\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}.$.

En utilisant à nouveau ${\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}$, il vient

    $\sum _{n=0}^{\infty }xP_{n}(x)t^{n}-\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)P_{n+1}(x)t^{n}-2\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)xP_{n+1}(x)t^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)P_{n+1}(x)t^{n+2}.$

En identifiant alors les coefficients des termes de même puissance de t, il vient alors :

* pour n = 0, $xP_{0}(x)=P_{1}(x)$, soit en prenant pour condition de normalisation $P_{0}(x)=1,\forall x\in [-1,1]$, il vient $P_1(x)$ = x ;
* pour n = 1, $3xP_{1}(x)-P_{0}(x)=2P_{2}(x)$, soit avec la même condition de normalisation que précédemment $P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}$;
* de façon générale pour n ≥ 1, $(2n+1)xP_{n}(x)=(n+1)P_{n+1}(x)+nP_{n-1}(x)$, ce qui redonne bien la formule de récurrence précédente.

### Orthogonalité

Les polynômes de Legendre sont aussi caractérisés — à normalisation près par la condition $P_n(1)$ = 1 — par le fait que $P_n$ est de degré n et pour tous entiers distincts m, n,

    $\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x=0$.

Autrement dit, les polynômes de Legendre sont deux à deux orthogonaux par rapport au produit scalaire $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ défini sur $\mathbb {R} [X]$ par la relation :

    $\langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x$.

La définition même de $P_n$ montre qu'il s'agit d'un vecteur propre pour la valeur propre –n(n + 1) de l'endomorphisme :

    $P\in \mathbb {R} [X]\mapsto u(P)={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}P}{{\textrm {d}}x}}\right]$,

Or cet endomorphisme est symétrique pour le produit scalaire précédent, puisqu'une intégration par parties montre que

    $\forall P,Q\in \mathbb {R} [X]\quad \langle u(P),Q\rangle =\int _{-1}^{+1}u(P)(x)Q(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{-1}^{+1}(1-x^{2})P'(x)Q'(x)\,\mathrm {d} x$ et donc $\langle u(P),Q\rangle =\langle P,u(Q)\rangle$.

Comme il s'agit de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, la famille des polynômes de Legendre est orthogonale.

### Formule de Rodrigues

Le polynôme $P_n(x)$ peut également être défini par la formule de Rodrigues :

    $P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\!\left[(x^{2}-1)^{n}\right]$.

On déduit cette égalité de la caractérisation précédente, en vérifiant d'une part (par intégrations par parties répétées) que ${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\!\left[(x^{2}-1)^{n}\right]$ est orthogonal à $\mathbb {R} _{n-1}[X]$, et d'autre part (par la règle de Leibniz) que la valeur en 1 de ${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\!\left[(x-1)^{n}(x+1)^{n}\right]$ est $n!\,2^{n}$.

### Définitions sous forme de somme

On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :

    $P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}$

(on en déduit $P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}\,$)

    $P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}$

où on a utilisé :

    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}$

## Quelques polynômes

Les onze premiers polynômes sont :

* $P_{0}(x)=1\,$
* $P_{1}(x)=x\,$
* $P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)\,$
* $P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\,$
* $P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,$
* $P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,$
* $P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,$
* $P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,$
* $P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,$
* $P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,$
* $P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,$

## Propriétés

### Degré

Le polynôme $P_n$ est de degré n.

### Coefficient dominant

Le coefficient dominant de $P_n$ est ${\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}$.

### Base

Pour tout entier naturel N, la famille $(P_{n})_{0\leq n\leq N}$ étant une famille de polynômes à degrés étagés, elle est une base de l'espace vectoriel $\mathbb {R} _{N}[X]$.

### Parité

Le polynôme $P_n$ a même parité que l'entier n. On peut exprimer cette propriété par :

    $P_{n}(-X)=(-1)^{n}P_{n}(X)$

(en particulier, $P_{n}(-1)=(-1)^{n}$ et $P_{2n+1}(0)=0$).

### Norme

Le carré de la norme, dans $L^2([–1,$ 1]), est

    $\|P_{n}\|^{2}={\frac {2}{2n+1}}$.

Pour tout n > 1, on peut établir la relation

    $P'_{n+1}-P'_{n-1}=(2n+1)P_{n},$

dont on déduit (en utilisant que pour tout k, $P_{k–1}'$ est de degré k – 2 < k donc est orthogonal à $P_k,$ et en effectuant une intégration par parties) :

    $\langle P_{n},(2n+1)P_{n}\rangle =\langle P_{n},P'_{n+1}-P'_{n-1}\rangle =\langle P_{n},P'_{n+1}\rangle =[P_{n}P_{n+1}]_{-1}^{\ 1}-\langle P'_{n},P_{n+1}\rangle =[P_{n}P_{n+1}]_{-1}^{\ 1}.$

Comme $P_nP_{n+1}$ est impair et pour tout k, $P_k(1)$ = 1, on aboutit ainsi à (2n + $1)||P_n||^2$ = 2.

### Scindé à racines simples

Pour tout entier n ≥ 1, le polynôme $P_n$ est scindé à racines simples, toutes ses racines appartenant à l'intervalle ]–1, 1[ (c'est une propriété générale des suites de polynômes orthogonaux, qui se déduit classiquement de la définition ci-dessus par orthogonalité et degré).

### Théorème d'addition

Si 0 ≤ $ψ_1$ < π, 0 ≤ $ψ_2$ < π, $ψ_1$ + $ψ_1$ < π et ϕ un réel quelconque, alors

    $P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \phi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\phi ,$

ce qui est équivalent à

    $P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \phi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k-m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\phi .$

On a aussi

    $Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \phi )=P_{k}(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\phi$

sous l'hypothèse que 0 ≤ $ψ_1$ < $ψ_2.$

### Lien avec l'équation de Laplace

L'équation différentielle qui définit les polynômes de Legendre est naturellement liée à l'équation de Laplace Δf = 0, écrite en coordonnées sphériques, qui intervient notamment en électrostatique. En effet, lors de la recherche d'une solution ne dépendant pas de l'angle d’azimut φ sous la forme d'un produit f(r,θ) = A(r)B(θ) de deux fonctions d'une seule variable, l'équation vérifiée par B ainsi obtenue est de la forme :

    $\left({\frac {1}{\sin \theta }}\right){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} \theta }}\right)+n(n+1)\,B=0$,

où n(n + 1) est la constante de séparation. Le changement de variable x = cos θ permet de vérifier que B suit l'équation de Legendre. Les seules solutions physiquement acceptables, c'est-à-dire qui ne divergent pas pour x → ±1 sont alors celles pour lesquelles n est entier, donc les polynômes de Legendre.

En effet, en coordonnées sphériques (r, θ, φ) l'équation de Laplace s'écrit:

    ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0$.

Dans le cas où le problème est tel que la solution ne dépend pas de l'angle d'azimut φ, et en recherchant donc une solution par la méthode de séparation des variables, soit de la forme f(r, θ) = A(r)B(θ) il vient par substitution :

    ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dA}{dr}}\right)B(\theta )+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {dB}{d\theta }}\right)A(r)=0$,

soit en divisant membre à membre par le produit A(r)B(θ) :

    ${\frac {1}{A(r)r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dA}{dr}}\right)=-{\frac {1}{B(\theta )r^{2}\sin \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {dB}{d\theta }}\right)$.

Comme on doit avoir égalité entre chacun des deux membres, dépendant de deux variables différentes, pour toutes les valeurs possible de ces dernières, chacun d'eux doit être égal à une constante, dite de séparation, qu'il est possible d'écrire sans perte de généralité sous la forme α(α + 1) avec α réel. Le changement de variable x = cos θ permet de mettre l'équation issue du second membre sous la forme d'une équation de Legendre. Toutefois en physique on cherche des solutions définies pour toutes les valeurs possibles de l'angle θ, soit en fait régulières en x = ±1, donc avec α = n, n entier, la partie angulaire de l'équation de Laplace se met donc bien sous la forme indiquée.

## Décomposition en série de polynômes de Legendre

### Décomposition d'une fonction holomorphe

Toute fonction f, holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui converge uniformément sur tout compact à l'intérieur de l'ellipse :

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(z)$

avec $\forall n\in \mathbb {N} ,\lambda _{n}\in \mathbb {C} .$

### Décomposition d'une fonction lipschitzienne

On note ${\tilde {P_{n}}}$ le quotient du polynôme $P_n$ par sa norme.

Soit f une application continue sur [–1, 1]. Pour tout entier naturel n, on pose

    $c_{n}(f)=\int _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,\mathrm {d} x,$

Alors la suite $(c_n(f))$ est de carré sommable, et permet d'expliciter le projeté orthogonal de f sur $\mathbb {R} _{n}[X]$ :

    $S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}.$

On a de plus :

* $\forall x\in [-1,1],\;S_{n}f(x)=\int _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\,\mathrm {d} y$, avec le noyau $K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {{\tilde {P}}_{n+1}(x){\tilde {P}}_{n}(y)-{\tilde {P}}_{n+1}(y){\tilde {P}}_{n}(x)}{x-y}}\ ;$
* $S_{n}f(x)-f(x)=\int _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)(f(y)-f(x))\,\mathrm {d} y.$

Supposons de plus que f est une fonction lipschitzienne. On a alors la propriété supplémentaire :

    $\forall x\in ]-1,1[,\;\lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).$

Autrement dit, l'égalité

$f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}$

est vraie non seulement au sens $L^2$ mais au sens de la convergence simple sur ]–1, 1[.

### Intégration numérique d'une fonction

Afin de calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur l'intervalle [–1, 1], l'une des méthodes les plus populaires est la méthode de quadrature de Gauss-Legendre fondée sur les propriétés des polynômes de Legendre. Elle prend la forme :

    $\int _{-1}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})$

avec :

* $(x_{i})_{i\leq n}$ l'ensemble des zéros du polynôme de Legendre $P_n$ ;
* $(w_{i})_{i\leq n}$ les poids respectifs : $w_{i}={\frac {-2}{(n+1)P'_{n}(x_{i})P_{n+1}(x_{i})}}$.

En particulier, la formule à l'ordre n est exacte pour toute fonction polynomiale de degré 2n – 1.

## Applications en physique

Les polynômes de Legendre, tout comme ceux d'Hermite ou de Laguerre, apparaissent dans diverses branches de la physique ou du calcul numérique car ils permettent le calcul d'intégrales définies sans qu'il soit nécessaire de les évaluer analytiquement, à condition toutefois que par un changement de variable adéquat, on se place dans l'intervalle d'intégration [−1, 1].

Les polynômes de Legendre permettent de développer en série les fonctions du type (cette formule se déduit directement de la fonction génératrice) :

    ${\frac {1}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),{\text{ avec }}r>r'$

où r et r' sont les normes des vecteurs $\mathbf {\vec {r}}$ et $\mathbf {\vec {r}} ^{\prime }$, respectivement, et $\gamma$ est l'angle entre ceux-ci. Un tel développement est utilisé par exemple dans l'étude du dipôle électrique ou de façon plus générale dans l'expression du champ électrique ou gravitationnel à grande distance d'une distribution continue de charge ou de masse (développement multipolaire).

Les polynômes de Legendre apparaissent également dans la résolution de l'équation de Laplace $\nabla ^{2}V(\mathbf {\vec {r}} )=0$ pour le potentiel électrique V dans une région vide de charges, en coordonnées sphériques, dans le cas d'un problème présentant une symétrie axiale (V est alors indépendant de ϕ), procédant par la méthode de séparation des variables. La solution de l'équation de Laplace se met alors sous la forme :

    $\Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).$
