Fonction Q de Marcum
# Fonction Q de Marcum

En statistique, la fonction Q de Marcum $Q_{M}$ est définie comme

    $Q_{M}(a,b)=\int _{b}^{\infty }x\left({\frac {x}{a}}\right)^{M-1}\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{M-1}(ax)\,dx$

ou comme

    $Q_{M}(a,b)=\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\sum _{k=1-M}^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{k}(ab)$

où $I_{M-1}$ désigne la fonction de Bessel modifiée d'ordre M − 1. La fonction Q de Marcum est utilisée par exemple comme fonction de répartition (plus précisément, comme fonction de survie) pour les lois du χ non centré, de $χ^2$ non centré et de Rice.

Pour les valeurs non entières de M, la fonction Q de Marcum peut être définie comme

    Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle \begin{align} Q_M (a,b) & = 1 - {\rm e}^{-a^2/2} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{a^2}{2} \right)^k \frac{\gamma(M+k,\frac{b^2}{2})}{k! \Gamma(M+k)} \\[6pt] & =1 - {\rm e}^{-a^2/2} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{a^2}{2} \right)^k \frac{P(M+k,\frac{b^2}{2})}{k!} \end{align} }

où $P(s,x)$ est la fonction gamma incomplète.

La fonction Q de Marcum est monotone et log-concave .

