Fonction affine
# Fonction affine

En analyse, une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :

$f(x)=ax+b$

où les paramètres a et b ne dépendent pas de x.

Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont a est la pente et b l'ordonnée à l'origine.

Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.

Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples de fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 1.

La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.

Remarque : dans certaines branches des mathématiques comme la statistique, une telle fonction est appelée, à l'image du terme anglophone linear function et du terme allemand Lineare Funktion, une fonction linéaire en référence au fait que son graphe est une ligne droite.

## Propriété caractéristique

Une fonction affine est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. C'est-à-dire qu'il y a proportionnalité entre les accroissement de x et les accroissement de f(x). En effet, si $x_1$ et $x_2$ sont deux réels, l'accroissement $f(x_2)$ – $f(x_1)$ est proportionnel à $x_2$ – $x_1,$ comme le donne l’égalité :

    $f(x_{2})-f(x_{1})=a(x_{2}-x_{1}).$

Le coefficient de proportionnalité est a.

$f(x_{2})-f(x_{1})=ax_{2}+b-ax_{1}-b=ax_{2}-ax_{1}=a(x_{2}-x_{1}).$

Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient a :

    $a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$ si $x_1$ ≠ $x_2.$

On en déduit : $f'(x)=a$ (la dérivée d'une fonction affine est une fonction constante dont la valeur est le coefficient multiplicateur – ou coefficient de proportionnalité – de la fonction affine).

L'ordonnée à l'origine b peut se calculer de la manière suivante :

    $b={\frac {x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})}{x_{2}-x_{1}}}$ si $x_1$ ≠ $x_2.$

$x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})=x_{2}(ax_{1}+b)-x_{1}(ax_{2}+b)=ax_{2}x_{1}+bx_{2}-ax_{2}x_{1}-bx_{1}=b(x_{2}-x_{1}).$

## Résolution d'équations et d'inéquations

Supposons a, b réels et a non nul.

* L'unique solution de l'équation ax + b = 0 est le réel –b/a.
* L'ensemble des solutions de l'inéquation ax + b ≥ 0 est l'intervalle réel [–b/a, +∞[ si a > 0, ]–∞, –b/a] si a < 0.

## Exemples

### Exemple de l'abonnement téléphonique.

    Le prix de l'abonnement mensuel est A et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 €/min. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre x de minutes de communication dans le mois :$f\colon x\mapsto A+0{,}1~x.$

### Longueur d'un ressort.

    Si au repos le ressort a une longueur $L_0$ et si sa raideur est k, alors la longueur du ressort est une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).$L\colon f\mapsto L_{0}+{\frac {f}{k}}.$Dans ce cas, le coefficient directeur est 1/k et l'ordonnée à l'origine $L_0.$

## Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine définie sur l'ensemble des réels est une droite dont l'équation est

$y=ax+b.$

La droite coupe l'axe des ordonnées pour y = b (d'où le nom d'ordonnée à l'origine). Lorsque b est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien.

La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel a. Si a > 0, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si a < 0, elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement d'un carreau en abscisse induit un déplacement de a carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.

## Détermination de a et b

Si $M(x_1,$ $y_1)$ et $N(x_2,$ $y_2)$ sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation y = ax + b, alors :

    $a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}},$
    $b=y_{1}-ax_{1}=y_{2}-ax_{2}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}.$

Si a = 0 alors la fonction est constante et si b = 0 alors la fonction est linéaire.

