Fonction K
# Fonction K

En mathématiques, la fonction K est une généralisation de l'hyperfactorielle aux nombres complexes, similaire à la généralisation de la factorielle à la fonction gamma.

## Définitions et propriétés

Formellement, la fonction K est définie comme

    $K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\,\mathrm {d} t\right].$

Ou encore

    $K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]$

où $\zeta '(z)$ est la fonction dérivée de la fonction zêta de Riemann, $\zeta (a,z)$ représente la fonction zêta de Hurwitz définie par

    $\zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right]_{s=a}.$

Une autre expression utilisant la fonction polygamma est

    $K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)$

Ou la fonction polygamma équilibrée (en):

    $K(z)=A\mathrm {e} ^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}$
    où A est la constante de Glaisher-Kinkelin.

On peut montrer que pour tout $\alpha >0$:

    $\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln(\alpha )-{\frac {1}{2}}\right)$

Preuve : Pour cela, on pose $f$ définie par : $f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x$. Après dérivation par rapport à $\alpha$:

    $f'(\alpha )=\ln \left({\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}\right)$.

Soit, par définition de la fonction K : $f'(\alpha )=\alpha \ln(\alpha )$. Donc $f(\alpha )={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln(\alpha )-{\frac {1}{2}}\right)+C$.

En spécialisant en $\alpha =0$, on obtient $\int _{0}^{1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x=C$, d'où l'identité annoncée.

## Lien à la fonction gamma

La fonction K est étroitement liée à la fonction gamma et à la fonction G ; pour tout entier naturel n, on a

    $K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.$

Car K prolonge l'hyperfactorielle sur les naturels :

    $K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}.$

Les premières valeurs sont

    1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000... (suite A002109 de l'OEIS).
