Polynôme de Touchard
# Polynôme de Touchard

Les polynômes de Touchard, étudié par Jacques Touchard, aussi appelés polynômes $exponentiels^,^,$ ou polynômes de Bell, constituent une suite de polynômes de type polynomial définie par

    $T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}$,

où $S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}$est le nombre de Stirling de seconde espèce qui compte le nombre de partitions d'un ensemble de $n$ éléments en $k$ sous-ensembles non vides disjoints.

## Propriétés

* La valeur en 1 du $n$-ième polynôme de Touchard est le $n$-ième nombre de Bell, c'est-à-dire le nombre de partitions d'un ensemble de taille $n$ :

    $T_{n}(1)=B_{n}$.
* Les polynômes de Touchard vérifient

    $T_{n}(x)=\mathrm {e} ^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}$.
* La suite de polynômes est de type binomial, et satisfait les identités

    $T_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)T_{n-k}(y)$.
* Les polynômes de Touchard sont la seule suite polynomiale de type binomial dont le coefficient du terme de degré 1 est égal à 1 dans chaque polynôme.
* Les polynômes de Touchard vérifient une formule de Rodrigues :

    $T_{n}\left(\mathrm {e} ^{x}\right)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{x}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\;\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{x}}.$
* Les polynômes de Touchard vérifient les relations de récurrence :

    $T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)T_{n}(x)$ et $T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)$.
    Pour $x=1$, elle se réduit à la formule de récurrence pour les nombres de Bell.
* Avec la notation $T^{n}(x)=T_{n}(x)$ empruntée au calcul ombral, ces formules deviennent :

    $T_{n}(x+y)=\left(T(x)+T(y)\right)^{n},$ et $T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.$
* La série génératrice des polynômes de Touchard est :

    $\sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=\mathrm {e} ^{x\left(\mathrm {e} ^{t}-1\right)}$,
    ce qui correspond à la série génératrice des nombres de Stirling de seconde espèce.
* Les polynômes de Touchard admettent une représentation par intégrale de contour :

    $T_{n}(x)={\frac {n!}{2\mathrm {i} \pi }}\oint {\frac {\mathrm {e} ^{x({\mathrm {e} ^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,\mathrm {d} t$.

## Zéros

Les zéros des polynômes de Touchard sont réels négatifs. Le plus petit zéro est minoré, en valeur absolue, par :

    ${\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},$

et il est conjecturé que le plus petit zéro croît linéairement avec l'index n.

On peut encadrer la mesure de Mahler $M(T_{n})$ des polynômes de Touchard comme suit :

    ${\frac {\displaystyle {\left\{{n \atop \Omega _{n}}\right\}}}{\displaystyle {\binom {n}{\Omega _{n}}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\}$

où $\Omega _{n}$ et $K_{n}$ sont les plus petits indices k qui maximisent respectivement $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}$ et $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace$.

## Généralisations

* Les polynômes de Bell complets $B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ peuvent être vus comme une généralisation multivariée des polynômes de Touchard $T_{n}(x)$, puisque

    $T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x)$.
* Les polynômes de Touchard (et par conséquent aussi les nombres de Bell) peuvent être généralisés à des indices fractionnaires en utilisant la partie réelle de l’intégrale donnée plus haut :

    $T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{x{\bigl\mathrm {e} ^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\biglxe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,$.
