Problème du rond de serviette
# Problème du rond de serviette

En géométrie, le problème du rond de serviette fait référence au volume restant (en forme de rond de serviette) d'une boule à laquelle on a retiré une section cylindrique en son centre. Le problème implique de calculer le volume d'une « bande » d'une certaine hauteur et a pour résultat contre-intuitif que pour des hauteurs égales, les volumes des bandes sont égaux et ce, peu importe la taille de la boule initiale.

## Histoire

Une version de ce problème est posée au XVIIe siècle dans les mathématiques japonaises par Seki Kōwa. D'après Smith et Mikami 1914, Seki appelait le solide un « anneau-arc (arc-ring, kokan ou kokwan en japonais).

## Formalisme

On suppose un cylindre dont l'axe passe par le centre d'une boule de rayon $R$. $h$ représente la hauteur (distance parallèle à l'axe) de la partie du cylindre située à l'intérieur de la boule. La « bande » est la partie de la boule située en dehors du cylindre.

D'après le théorème de Pythagore, le rayon du cylindre est :

    ${\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)$

le rayon d'une coupe transversale horizontale de la boule à une hauteur $y$ au-dessus de l'« équateur » de la boule est :

    ${\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)$

La coupe transverse (en) de la bande avec le plan à la hauteur $y$ est la région située à l'intérieur du grand cercle dont le rayon est donné en (2) et à l'extérieur du petit cercle dont le rayon est donnée en (1). L'aire de la coupe est donc l'aire du plus grand cercle moins celle du petit cercle :

    ${\begin{aligned}&\quad \pi ({\text{grand rayon}})^{2}-\pi ({\text{petit rayon}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}$

On remarque que $R$ n'apparaît plus dans l'expression. L'aire de la coupe transverse à une hauteur $h$ ne dépend donc pas de $R$, tant que $y$ ≤ $h$/2 ≤ $R$.

Le volume de la bande est :

    $\int _{-h/2}^{h/2}({\text{aire de la coupe à la hauteur }}y)\,dy,$

qui lui non plus ne dépend pas de $R$.

Cela est une application de la méthode des indivisibles. Puisque l'aire de la coupe est la même que celle d'une sphère de rayon $h$/2, le volume est :

    ${\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.$
