Opérations sur les équivalents
# Opérations sur les équivalents

Cet article synthétise les opérations valides sur les équivalents de fonctions, en analyse mathématique. Pour plus de détails, voir le cours correspondant sur Wikiversité.

## Règles simples

### Produit

    Si $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}$ et $f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ alors $f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}g_{2}$.

On en déduit, si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ :

* pour tout $\lambda \in \mathbb {C} ^{*}$, $\lambda f\,{\underset {a}{\sim }}\,\lambda g$ ;
* pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, $f^{n}\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{n}$.

### Quotient

En supposant, pour que les quotients soient définis, que $f_{2}$ et $g_{2}$ ne s'annulent pas au voisinage de a, sauf peut-être en a :

    si $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}$ et $f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ alors ${\frac {f_{1}}{f_{2}}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {g_{1}}{g_{2}}}$.

En particulier :

    si $f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ alors ${\frac {1}{f_{2}}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {1}{g_{2}}}$.

### Puissances

En supposant, pour que leurs puissances d'exposant quelconque soient définies, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :

    si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ alors, pour tout $\alpha \in \mathbb {C}$, $f^{\alpha }\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{\alpha }$.

## Composition

### Composition à droite par une même fonction

Si $\lim _{a}h=b$ et si $f\,{\underset {b}{\sim }}\,g$ alors $f\circ h\,{\underset {a}{\sim }}\,g\circ h$.

### Quelques cas de composition à gauche

Pour la composition à gauche, il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers.

**Somme, différence**

Si $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}{\text{ et }}f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}$ et si (au voisinage de a) $g_{1}$ et $g_{2}$ sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément, alors $f_{1}+f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}+g_{2}$.

**Composition à gauche par le logarithme**

En supposant, pour que leurs logarithmes soient définis, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :

    si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ et si $\lim _{a}g=+\infty$ ou $\lim _{a}g=0$ (ou plus généralement : si $g$ « ne s'approche pas » de 1), alors $\ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g$.

**Composition à gauche par l'exponentielle**

${\rm {e}}^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\rm {e}}^{g}\Leftrightarrow \lim _{a}(f-g)=0$.

## Primitives

Si deux fonctions de signe constant sont équivalentes au point a, alors leurs primitives qui s'annulent en a sont équivalentes au point a.

Supposons $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ avec (par exemple) f et g positives, et soit $\varepsilon >0$. Il existe un intervalle voisinage de a sur lequel on a $|f-g|\leq \varepsilon g$. Alors, pour $x$ dans cet intervalle, on a

$\left|\int _{a}^{x}f(t){\rm {d}}t-\int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t\right|\leq \varepsilon \int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t,$

ce qui prouve que

$\int _{a}^{x}f(t){\rm {d}}t\,{\underset {a}{\sim }}\,\int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t.$

## Contre-exemples

### Somme, différence

Sans hypothèses supplémentaires (voir supra), on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes.

Par exemple, $1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1$ mais $(1+x)+(-1)\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,1+(-1)$.

### Composition à gauche par l'exponentielle

De $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$, on ne peut pas déduire ${\rm {e}}^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\rm {e}}^{g}$.

En effet, $f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\not \Rightarrow \lim _{a}(f-g)=0$ (voir supra).

Par exemple, $1\,{\underset {x\to \infty }{=}}\,o(x)$ mais $\lim _{+\infty }1\neq 0$.

### Composition à gauche par le logarithme

De $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$, on ne peut pas déduire $\ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g$.

En effet, si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,1$ alors (voir supra) $\ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,f-1$, or en général $f-1\,{\underset {a}{\nsim }}\,0$.

Par exemple $1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1$ mais $x\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,0$.

L'hypothèse que $g$ « ne s'approche pas » de 1 (voir supra) est indispensable.

### Dérivation

Si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ et si f et g sont dérivables, on ne peut pas conclure que $f'\,{\underset {a}{\sim }}\,g'$.

Par exemple quand x tend vers 0, $f(x)=1+x$ et $g(x)=1$ sont équivalentes, mais $f'(x)=1$ et $g'(x)=0$, donc $f'\,{\underset {0}{\nsim }}\,g'$.

