Méthode de Laguerre
# Méthode de Laguerre

En analyse numérique, la méthode de Laguerre est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction polynomiale. En d'autres termes, elle peut être utilisée pour trouver une valeur approchée d'un solution d'une équation de la forme p(x) = 0, où p est un polynôme donné.

## Principe

Soit p un polynôme. Soit $x_0$ un réel supposé être une valeur approchée d'une racine de p.

La méthode de Laguerre tente d'améliorer cette première approximation par une méthode itérative en utilisant la relation récurrente:

    $x_{k+1}=x_{k}-{\frac {n}{S_{1}(x_{k})\pm {\sqrt {(1-n)(nS_{2}(x_{k})+S_{1}^{2}(x_{k}))}}}},$

dans laquelle le symbole ± au dénominateur est remplacé par + ou − selon ce qui donne un dénominateur ayant le plus grand module possible.

De plus, n désigne le degré du polynôme p, $S_1$ et $S_2$ sont les premières et secondes dérivées logarithmiques de p, données par

    $S_{1}(x)={\frac {d}{dx}}\log p(x)={\frac {p'(x)}{p(x)}}$
    $S_{2}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log p(x)={\frac {p''(x)}{p(x)}}-\left({\frac {p'(x)}{p(x)}}\right)^{2}.$

## Propriétés

Si x est une racine simple du polynôme p, alors la méthode de Laguerre aura une vitesse de convergence cubique lorsque la valeur approchée initiale $x_0$ sera assez proche de la racine x. Cependant, si x est une racine multiple, alors la convergence sera seulement linéaire.

Cela signifie que la méthode de Laguerre converge encore plus rapidement que la méthode de Newton. Cependant, la méthode de Laguerre exige le calcul des dérivées premières et secondes de p, alors que la méthode de Newton ne demande qu'une dérivée.

La méthode de Laguerre fonctionne également pour des polynômes à coefficients réels qui ont des racines complexes. Même si la valeur approchée initiale est réelle, alors la méthode fournira des valeurs approchées complexes quand l'expression sous la racine deviendra négative. C'est la grande différence avec la méthode de Newton, qui donnera toujours des solutions réelles dans ce cas.

