Méthode de Ferrari
# Méthode de Ferrari

La méthode de Ferrari imaginée et mise au point par Ludovico Ferrari (1540) permet de résoudre par radicaux les équations du quatrième degré, c'est-à-dire d'écrire les solutions comme une combinaison d'additions, soustractions, multiplications, divisions, et racines carrées, cubiques et quartiques constituée à partir des coefficients de l'équation. Elle fournit pour les quatre solutions, sous une apparence différente, la même formule que celle des méthodes ultérieures de Descartes (1637) et de Lagrange (1770).

## Principe de la méthode

On ramène d'abord l'équation (en divisant par le coefficient dominant puis en translatant la variable de façon à éliminer le terme de degré 3) à une équation de la forme

    $z^{4}+pz^{2}+qz+r=0$.

Le point central de la $méthode^,$ consiste à remplacer ensuite le monôme $z^4$ par le polynôme $(z^2$ + $λ)^2$ – $2λz^2$ – $λ^2,$ paramétré par λ, et à trouver une valeur de λ convenable, qui permette d'écrire $z^4$ + $pz^2$ + qz + r comme une différence de deux carrés donc, via une identité remarquable, comme un produit de deux polynômes du second degré.

Certains $auteurs^,$ préfèrent commencer par une complétion du carré, $z^4$ + $pz^2$ = $(z^2$ + $p/2)^2$ – $p^2/4,$ ce qui leur permet de présenter la méthode de Ferrari avec un autre paramètre (u = λ – p/2), égal à la moitié de celui de Descartes et Lagrange (y = 2λ – p).

## Mise en œuvre

${\begin{array}{rl}z^{4}+pz^{2}+qz+r&=(z^{2}+\lambda )^{2}-2\lambda z^{2}-\lambda ^{2}+pz^{2}+qz+r\\&=(z^{2}+\lambda )^{2}-\left[(2\lambda -p)z^{2}-qz+\lambda ^{2}-r\right].\end{array}}$

Le terme (2λ – $p)z^2$ – qz + $λ^2$ – r, vu comme polynôme en z, s'écrit sous forme d'un carré si et seulement si son discriminant, $q^2$ – 4(2λ – $p)(λ^2$ – r), est nul.

On résout donc l'équation correspondante, appelée cubique résolvante (en) :

    $8\lambda ^{3}-4p\lambda ^{2}-8r\lambda +4rp-q^{2}=0$,

en utilisant l'une des méthodes classiques de résolution d'une équation de degré 3.

En choisissant une solution $λ_0,$ puis $a_0,$ $b_0$ (éventuellement complexes) tels que :

    $a_{0}^{2}=2\lambda _{0}-p\quad {\text{et}}\quad b_{0}=-{\frac {q}{2a_{0}}}$,

l'équation initiale devient :

    $(z^{2}+\lambda _{0})^{2}-(a_{0}z+b_{0})^{2}=0$

ou encore :

    $(z^{2}+a_{0}z+\lambda _{0}+b_{0})(z^{2}-a_{0}z+\lambda _{0}-b_{0})=0$,

ce qui équivaut à l'annulation d'un des deux facteurs :

    $z^{2}+a_{0}z+\lambda _{0}+b_{0}=0\quad {\text{ou}}\quad z^{2}-a_{0}z+\lambda _{0}-b_{0}=0$.

Chacune de ces deux équations fournit deux valeurs pour z, soit quatre valeurs en tout.

Presque tous les auteurs excluent implicitement le cas où $2λ_0$ – p est nul (qui conduirait à une division par $a_0$ = 0 dans la définition ci-dessus de $b_0).$ Mais dans ce cas, q = 0 donc l'équation $z^4$ + $pz^2$ + qz + r = 0 est simplement une équation bicarrée.

Pour des exemples, voir la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous) et ses exercices.

## Notes références

* ↑ Cette étape préalable ne simplifiant pas la suite, certains auteurs s'en dispensent : voir Joseph-Alfred Serret, Cours d'algèbre supérieure, 1854, 2e éd. (1re éd. 1849) (lire en ligne), p. 233-237, (en) John Hymers (en), A Treatise on the Theory of Algebraical Equations, Deighton, Bell, 1858, 3e éd. (lire en ligne), p. 106-107, ou la fin du chapitre « Méthode de Ferrari » sur Wikiversité (lien ci-dessous).
* ↑ Daniel Perrin, « Une vision géométrique de la méthode de Ferrari […] », sur Département de mathématiques d'Orsay.
* ↑ (en) Jean-Pierre Tignol, Galois' Theory of Algebraic Equations, World Scientific, 2001 (lire en ligne), p. 24.
* ↑ Tignol 2001, p. 22-23.
* ↑ (en) A. G. Kurosh (trad. du russe), Higher Algebra, Mir, 1980 (1re éd. 1972) (lire en ligne), p. 231.
* ↑ Tignol 2001, p. 24.
* ↑ À l'exception, au moins, de Tignol 2001, p. 24.
* ↑ Pour plus de détails sur le cas q = 0, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
