Méthode de Halley
# Méthode de Halley

En analyse numérique, la méthode de Halley est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. $C^2).$ La méthode, présentée par l'astronome Edmond Halley, est une généralisation de la méthode de Newton, à convergence cubique.

## Énoncé

Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Halley consiste à itérer

    $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})f'(x_{n})}{2{[f'(x_{n})]}^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}}$

à partir d'une valeur $x_0$ proche de a.

Au voisinage de a, la suite vérifie :

    $|x_{n+1}-a|<K|x_{n}-a|^{3}$,

avec K > 0 ; ce qui signifie que la convergence est donc (au pire) cubique.

## Déduction

La formule se déduit par exemple de la méthode de Newton appliquée à la fonction $g=f/{\sqrt {f'}}$ :

    $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}$,

avec

    $g'(x)={\frac {2{[f'(x)]}^{2}-f(x)f''(x)}{2f'(x){\sqrt {f'(x)}}}},$

d'où le résultat. Si f′(c) = 0, cela ne s'applique que si g peut être prolongée en c.

