Problème des moments
# Problème des moments

En analyse mathématique, le problème des moments est un problème inverse consistant à reconstruire une mesure réelle sur un intervalle donné à partir de ses moments. Plus concrètement, étant donnés un intervalle réel I et une suite $(m_n)$ de réels, on peut se demander s'il existe sur I une mesure de Borel (donc positive) μ telle que pour tout entier naturel n,

    $m_{n}=\int x^{n}~\mathrm {d} \mu (x)$

et, le cas échéant, si une telle mesure est unique. Si cette mesure existe, elle représente alors la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle dont les moments sont les nombres $m_n.$

On peut noter plusieurs variantes du « problème des moments » selon la forme de l’intervalle :

* de Hamburger si l'intervalle I est $\mathbb {R}$ tout entier ;
* de Stieltjes s'il est égal à $[0,+\infty [$ ;
* de Hausdorff si I est un segment [a,b].

## Existence

L'existence d'une mesure de Borel μ sur $\mathbb {R}$ répondant au problème équivaut à la condition de positivité suivante sur la suite $(m_n)$ : les matrices de Hankel $H_n$ associées à cette suite, définies par

    $(H_{n})_{i,j}=m_{i+j}$,

doivent être toutes positives.

Pour l'existence d'une mesure de Borel à support dans un segment donné [a,b], il existe une condition nécessaire et suffisante de forme similaire.

* Considérons la forme linéaire φ définie sur les polynômes par :

    $\varphi \left(\sum _{k}a_{k}x^{k}\right)=\sum _{k}a_{k}m_{k}.$
* Si les $m_n$ sont les moments d'une mesure de Borel μ sur [a,b] alors

    $(1)\qquad \varphi (P)\geq 0$ pour tout polynôme P positif sur [a,b].

Réciproquement, si cette condition est vérifiée alors, d'après le théorème de prolongement de M. Riesz, φ s'étend en une forme linéaire positive sur l'espace de fonctions continues C([a,b]).

* D'après le théorème de représentation de Riesz, l'existence d'un tel prolongement positif pour φ équivaut à l'existence d'une mesure μ telle que pour tout polynôme P,

    $\varphi (P)=\int P~\mathrm {d} \mu .$
* Ainsi, la condition (1) est nécessaire et suffisante pour qu'il existe une mesure sur [a,b] de moments $m_n.$ En utilisant un théorème de représentation des polynômes positifs sur [a,b], la condition (1) peut se reformuler en une condition sur les matrices de Hankel.

Pour plus de détails, voir Shohat et Tamarkin 1943, Akhiezer 1965 et Krein et Nudelman 1977.

## Unicité

* L'unicité de μ pour le problème des moments de Hausdorff se déduit du théorème d'approximation de Weierstrass.
* Le problème de l'unicité quand l'intervalle est non borné est une question plus délicate ; voir les articles « Condition de Carleman (en) », « Condition de Krein (en) » et la référence Akhiezer 1965.
* La réponse est négative dans le cas général. Voici un contre-exemple probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction $f:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} ^{+}$ définie par $f(x)={\frac {1}{x\,{\sqrt {2\pi }}}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\,(\ln x)^{2}}$ (densité de la loi log-normale de paramètres 0 et 1), dont tous les moments existent. On démontre que cette loi n'est pas déterminée par ses moments.

On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel n, $\int _{0}^{+\infty }x^{n}f(x)\sin(2\pi \ln x)\,\mathrm {d} x=0$.

Pour tout $\alpha \in \mathbb {R}$, on définit $g_{\alpha }:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R}$ par $g_{\alpha }(x)=f(x)\,\left[1+\alpha \sin(2\pi \ln x)\right]$.

Alors : quels que soient $\alpha \in \mathbb {R}$ et $n\in \mathbb {N}$, $m_{n}(g_{\alpha })=m_{n}(f)$, bien que $g_{\alpha }\neq f$ dès que $\alpha \neq 0$.

Or si l'on prend $\alpha \in \left[-1,1\right]$, $g_{\alpha }$ est à valeurs positives donc (puisque $m_{0}(g_{\alpha })=m_{0}(f)=1$) c'est une densité de probabilité.

