Quantification semi-classique
# Quantification semi-classique

En physique, la quantification semi-classique est une procédure simplifiée permettant de quantifier — dans le cadre de la théorie des quanta — un système physique à partir de ses ingrédients classiques, notamment ses trajectoires. Michael Berry utilise à ce propos la formulation imagée : « mettre de la chair quantique sur un squelette classique ». Cette procédure simplifiée, qui n'utilise pas l'appareil mathématique complet de la mécanique quantique, est supposée valide dans le régime semi-classique.

La plus ancienne de ces procédures, concernant la quantification de l'atome d'hydrogène, est due à Bohr (1913), donnant lieu au célèbre « modèle de Bohr » à orbites circulaires. Cette procédure fut étendue par Sommerfeld afin d'inclure les orbites elliptiques.

## Quantification EBK d'un système intégrable

En 1917, Einstein généralisa à tout système intégrable conservatif la procédure de Bohr-Sommerfeld. La méthode générale d'Einstein fut précisée par Brillouin, puis Keller, donnant lieu à la quantification EBK (en).

Pour un système intégrable conservatif à N degrés de liberté, il existe en effet N variables d'action qui sont toutes des constantes du mouvement. Ainsi, la dynamique classique d'un système intégrable est elle restreinte à un tore invariant à N dimensions dans l'espace des phases, caractérisé par la valeurs des N actions.

La quantification EBK consiste à n'autoriser que des actions multiples entier (à une constante près) du quantum d'action ; si $C_{i}$ est un contour fermé sur le tore invariant, on pose :

$\int _{C_{i}}{\vec {p}}\cdot {\vec {dq}}\ =\ \left(n\ +\ {\frac {\alpha _{i}}{4}}\right)\ 2\pi \hbar \ ,\quad n\ =\ 1,2,\dots$

Les entiers positifs $\alpha _{i}$ sont des indices de Maslov.

## Quantification d'un système non intégrable

La méthode EBK ne s'applique que pour de systèmes intégrables. Lorsque le système n'est pas intégrable, a fortiori lorsque le système est chaotique, une procédure de quantification semi-classique de l'énergie du système est fournie par la formule des traces de Gutzwiller.

