Méthode de Culmann
# Méthode de Culmann

La méthode de Culmann est une méthode de statique graphique inventée par Karl Culmann et qui est utilisée dans le cas de problèmes à quatre forces dont les directions sont connues, une force étant complètement caractérisée. Il s'applique lorsque les forces ne sont pas toutes parallèles ; si les forces sont toutes parallèles, on utilise la méthode du dynamique et du funiculaire.

## Principe

La méthode consiste à regrouper les forces deux à deux, les deux forces d'un groupe n'étant pas parallèles. On travaille alors avec la résultante de chaque groupe de force : on se ramène alors à un problème à deux forces d'une part (pour les résultantes), et à un problème à trois forces d'autre part (pour chaque couple et sa résultante).

Considérons un objet soumis à quatre forces ${\vec {\mathrm {F} }}_{1}$, ${\vec {\mathrm {F} }}_{2}$, ${\vec {\mathrm {F} }}_{3}$ et ${\vec {\mathrm {F} }}_{4}$, telles que

* ${\vec {\mathrm {F} }}_{1}$ est totalement connue, et l'on connaît les directions des trois autres forces ;
* ${\vec {\mathrm {F} }}_{1}$ et ${\vec {\mathrm {F} }}_{2}$ sont sécantes en $I_{12},$ et
* ${\vec {\mathrm {F} }}_{3}$ et ${\vec {\mathrm {F} }}_{4}$ sont sécantes en $I_{34}.$

On choisit les deux couples

* $({\vec {\mathrm {F} }}_{1},{\vec {\mathrm {F} }}_{2})$, dont la résultante est ${\vec {\mathrm {R} }}_{12}$, et
* $({\vec {\mathrm {F} }}_{3},{\vec {\mathrm {F} }}_{4})$ dont la résultante est ${\vec {\mathrm {R} }}_{34}$.

On peut donc considérer que l'on a un objet soumis à deux forces. Ces forces sont donc colinéaires (voir Diagramme de forces > Système mécanique soumis à deux forces), on sait donc que ${\vec {\mathrm {R} }}_{12}$ et ${\vec {\mathrm {R} }}_{34}$ ont pour direction la droite $(I_{12}I_{34}).$ Puisque l'on connaît ${\vec {\mathrm {F} }}_{1}$ et que l'on connaît les directions de ${\vec {\mathrm {F} }}_{2}$ et de ${\vec {\mathrm {R} }}_{12}$, on peut déterminer entièrement ${\vec {\mathrm {F} }}_{2}$ et ${\vec {\mathrm {R} }}_{12}$ à l'aide d'un dynamique (on connaît un des côtés du triangle et les directions des deux autres côtés).

On sait que ${\vec {\mathrm {R} }}_{34}=-{\vec {\mathrm {R} }}_{12}$, donc on connaît ${\vec {\mathrm {R} }}_{34}$ ainsi que les directions de ${\vec {\mathrm {F} }}_{3}$ et ${\vec {\mathrm {F} }}_{4}$. On peut donc de même déterminer entièrement ${\vec {\mathrm {F} }}_{3}$ et ${\vec {\mathrm {F} }}_{4}$.

## Applications

Cette méthode est souvent utilisée pour déterminer les efforts dans les poutres d'un treillis avec la méthode de Ritter : on isole un sous-ensemble soumis à une charge en coupant trois poutres, on a donc bien quatre forces (la charge et les efforts internes des poutres) dont on connaît les directions.

Le monte-charge représenté ci-contre montre un autre exemple où l'on peut utiliser cette méthode : on connaît entièrement une force (le poids de l'objet), et l'on connaît la direction de toutes les forces (traction du câble, contacts ponctuels des roues du chariot sur le monte-charge).

