Méthode de Householder
# Méthode de Householder

En analyse numérique, la méthode de Householder désigne un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. $C^2).$

L'algorithme est itératif et de convergence cubique ; il se généralise à des fonctions $C^n$ avec une convergence d'ordre n + 1.

Il doit son nom à son inventeur, le mathématicien Alston Scott Householder.

## Énoncé

Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Householder consiste à itérer :

    $x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}\times (1+h_{k})$

avec

    $h_{k}={\frac {f(x_{k})f''(x_{k})}{2f'(x_{k})^{2}}}$

à partir d'une estimation $x_0$ de a.

On retrouve la méthode de Halley en remplaçant (1 + $h_k)$ par 1/(1 − $h_k)$ pour $h_k$ << 1 dans la relation de récurrence ci-dessus.

## Généralisation

Les méthodes Householder généralisent la méthode de Newton (cas n = 0) et la méthode de Halley (cas n = 1) dans le cas d'une fonction $C^{n+1}$ :

    $x_{k+1}=x_{k}+(n+1){\frac {(1/f)^{(n)}(x_{k})}{(1/f)^{(n+1)}(x_{k})}}$

Leur vitesse de convergence est d'ordre n + 2.

