Niveau d'un corps
# Niveau d'un corps

En algèbre, le niveau d'un corps (commutatif) F est le nombre minimum de termes dans une décomposition de –1 en somme de carrés si de telles décompositions existent, et l'infini sinon (c'est-à-dire si F est formellement réel). On le note s(F), la lettre s étant l'initiale du mot allemand Stufe. Albrecht Pfister a démontré que lorsque le niveau est fini, c'est une puissance de 2 et que réciproquement, toute puissance de 2 est le niveau d'un corps.

## Puissances de 2

Si s(F) ≠ ∞, il $existe^,$ un entier naturel k tel que s(F) = $2^k.$

Soient s l'entier s(F), k l'entier tel que $2^k$ ≤ s < $2^{k+1}$ et n l'entier $2^k.$ Il existe des éléments non nuls $e_1,$ … , $e_s$ de F tels que

$0=\underbrace {1+e_{1}^{2}+\ldots +e_{n-1}^{2}} _{=:a}+\underbrace {e_{n}^{2}+\ldots +e_{s}^{2}} _{=:b}.$

Les éléments a et b sont tous deux des sommes de n carrés donc — d'après la théorie des formes de Pfister (en) — leur produit ab aussi, c'est-à-dire qu'il existe des éléments $c_1,$ … , $c_n$ de F tels que

$ab=c_{1}^{2}+\ldots +c_{n}^{2}.$

Comme a est non nul par définition de k, on en déduit

$-1={\frac {ab}{a^{2}}}=\left({\frac {c_{1}}{a}}\right)^{2}+\ldots +\left({\frac {c_{n}}{a}}\right)^{2},$

si bien que s(F) = n = $2^k.$

## Caractéristique non nulle

Si F est de caractéristique p > 0 alors s(F) ≤ 2.

Si p = 2 alors –1 = 1 = $1^2$ donc s(F) = 1.

Si p > 2, le sous-corps premier de F est le corps fini $F_p.$ L'ensemble S des carrés d'éléments de $F_p$ est de cardinal (p + 1)/2 donc l'ensemble –1 – S aussi, si bien que leur intersection est un singleton donc est non vide : il existe deux éléments x et y de $F_p$ tels que $x^2$ = –1 – $y^2$ donc –1 = $x^2$ + $y^2.$

## Propriétés

Le niveau s(F) d'un corps F est relié à son nombre de Pythagore p(F) par p(F) ≤ s(F) + 1 et même, si F n'est pas formellement $réel^,,$ s(F) ≤ p(F) ≤ s(F) + 1.

L'ordre additif de la forme (1) — donc l'exposant du groupe de Witt de F — est égal $à^,$ 2s(F).

## Exemples

* Le niveau d'un corps quadratiquement clos est 1.
* Le niveau d'un corps de nombres est ∞, 1, 2 ou 4 (« théorème de Siegel »). Des exemples sont respectivement ℚ et les corps quadratiques ℚ(√–1), ℚ(√–2) et ℚ(√–7).
* Le niveau du corps fini $F_q$ $est^,^,$ 1 si q ≡ 1 mod 4 et 2 si q ≡ 3 mod 4.
* Si F est un corps local dont le corps résiduel k est de caractéristique impaire alors s(F) = s(k). Le niveau du corps $ℚ_2$ des nombres 2-adiques est 4.
