Crochet de Rankin-Cohen
# Crochet de Rankin-Cohen

Le crochet de Rankin-Cohen est une opération mathématique qui associe, à de deux formes modulaires, une autre forme modulaire ; cette opération généralise le produit de deux formes modulaires. Robert A. Rankin a donné en 1956 et $1957^,$ des conditions générales pour que des polynômes en des dérivées de formes modulaires soient eux-mêmes des formes modulaires, et Henri Cohen (1975) a donné des exemples explicites de tels polynômes qui produisent des crochets de Rankin-Cohen. Ces crochets ont été nommés ainsi par Zagier (1994), qui a introduit les algèbres de Rankin–Cohen comme cadre abstrait pour les crochets de Rankin–Cohen.

## Définition

Soient $f(\tau )$ et $g(\tau )$ des formes modulaires respectivement de poids $k$ et $h$; leur $n$$^{ième}$ crochet de Rankin–Cohen $[f,g]_{n}$ est donné par :

    $[f,g]_{n}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{r+s=n}(-1)^{r}{\binom {k+n-1}{s}}{\binom {h+n-1}{r}}{\frac {\mathrm {d} ^{r}f}{\mathrm {d} \tau ^{r}}}{\frac {\mathrm {d} ^{s}g}{\mathrm {d} \tau ^{s}}}\ .$

C'est une forme modulaire de poids $k+h+2n$ . Le facteur $(2\pi i)^{n}$ en tête de l'expression fait que les coefficients de $q$-développements de $[f,g]_{n}$ sont rationnels si ceux de $f$ et $g$ le sont. Les dérivées $d^{r}f/d\tau ^{r}$ et $d^{s}g/d\tau ^{s}$ sont des dérivées usuelles, par opposition à la dérivée par rapport au carré du nome qui est parfois aussi utilisée.

## Théorie des représentations

La forme du crochet de Rankin-Cohen peut être expliquée en termes de théorie des représentations. Les formes modulaires peuvent être considérées comme les vecteurs de plus faible poids pour les représentations en série discrète de $SL_{2}(\mathbb {R} )$ dans un espace de fonctions sur $SL_{2}(\mathbb {R} )/SL_{2}(\mathbb {Z} )/$. Le produit tensoriel de deux représentations de poids les plus faibles correspondant aux formes modulaires $f$ et $g$ se divise en une somme directe des représentations de poids les plus faibles indexées par des entiers non négatifs $n$, et un calcul montre que les vecteurs de poids les plus faibles correspondants sont les crochets de Rankin-Cohen $[f,g]_{n}$.

## Anneaux de formes modulaires

Le $0$$^{ième}$ crochet de Rankin-Cohen est le crochet de Lie lorsque l'on considère un anneau de formes modulaires comme une algèbre de Lie.

