Constantes de Stieltjes
# Constantes de Stieltjes

En mathématiques, les constantes de Stieltjes (nommées d'après le mathématicien néerlandais Thomas Joannes Stieltjes) sont les nombres qui interviennent dans le développement en série de Laurent de la fonction zêta de Riemann :

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}$

On démontre que chaque $γ_n$ est donné par une limite :

$\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}$

$\gamma _{0}=\gamma \ =0{,}577...$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

## Propriétés

En utilisant la formule intégrale de Cauchy on trouve :

$\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{-n\mathrm {i} x}\zeta \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+1\right)\mathrm {d} x.$

Et une comparaison série-intégrale montre que :

$|\gamma _{n}|\leq \left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}$

Cela dit, c'est un majorant d'une précision assez médiocre.

Matsuoka, en 1985, a montré que pour n > 4,

$|\gamma _{n}|\leq 10^{-4}\mathrm {e} ^{n\ln \ln n}=10^{-4}(\ln n)^{n}.$

On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.

## Valeurs jusqu'à 15

Voici les quelques premières valeurs :

Valeurs approchées des coefficients de Stieltjes :

| | Valeur |
| - | - |
| $\gamma =\gamma _{0}$ | 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 |
| $\gamma _{1}$ | −0,0728158454836767300000000000000 |
| $\gamma _{2}$ | −0,00969036319287232000000000000000 |
| $\gamma _{3}$ | 0,00205383442030334600000000000000 |
| $\gamma _{4}$ | 0,00232537006546730000000000000000 |
| $\gamma _{5}$ | 0,000793323817301062700000000000000 |
| $\gamma _{6}$ | −0,000238769345430199600000000000000 |
| $\gamma _{7}$ | −0,000527289567057751000000000000000 |
| $\gamma _{8}$ | −0,000352123353803039500000000000000 |
| $\gamma _{9}$ | −0,0000343947744180880500000000000000 |
| $\gamma _{10}$ | 0,000205332814909064800000000000000 |
| $\gamma _{11}$ | 0,000270184439543903500000000000000 |
| $\gamma _{12}$ | 0,000167272912105140200000000000000 |
| $\gamma _{13}$ | −0,0000274638066037601580000000000000 |
| $\gamma _{14}$ | −0,000209209262059299960000000000000 |
| $\gamma _{15}$ | −0,000283468655320241400000000000000 |

## Constantes de Stieltjes généralisées

Plus généralement, on définit les constantes $γ_n(a)$ comme coefficients du développement en série de Laurent de la fonction zêta de Hurwitz :

    $\zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n}.$

Une formule dite de réflexion, souvent attribuée à Almkvist et Meurman (qui l'ont découverte dans les années 1990), avait en fait été obtenue par Carl Johan Malmsten dès 1846 : $\gamma _{1}{\biggl{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl1-{\frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}$ (m et n entiers positifs avec m<n).

