Constante de Gauss
# Constante de Gauss

En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de $2^,^,$ :

    $G={\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}\approx 0{,}8346268$.

L'éponyme de cette constante est le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) car il a découvert le 30 mai $1799^,^,^,$ à Brunswick que :

    $G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}$.

## Relation avec d'autres constantes

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) :

    $G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {\mathrm {B} } \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)$

soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

    $G=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/(2\pi )^{3/2}$

et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

### Constantes de la lemniscate

La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate.

* La première est

       $L_{1}=\pi G={\frac {L}{2}}$
    où $L={\frac {\left(\operatorname {\Gamma } (1/4)\right)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}$ est la longueur de la lemniscate de Bernoulli de paramètre a = 1
* La seconde est

       $L_{2}={\frac {1}{2G}}$.

## Autres formules

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

    $G=\vartheta _{01}^{2}({\rm {e}}^{-\pi })$.

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

    $G={\sqrt[{4}]{32}}~{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}$.

La constante est aussi donnée par un produit infini :

    $G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right)$.

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …].

