Cotangente
# Cotangente

La cotangente, de symbole usuel cot ou cotan (autrefois cotg), est une fonction trigonométrique.

## Définition

Géométriquement, dans un triangle rectangle ABC d'hypoténuse AB :

    $\cot {\hat {A}}=\mathrm {\frac {AC}{BC}}$

En trigonométrie :

    $\cot \theta ={\cos \theta \over \sin \theta }={1 \over \tan \theta }$

## Propriétés

La fonction cotangente vérifie l'égalité :

    $1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x$

### Dérivée

La dérivée de la cotangente est :

    $\cot 'x=-\csc ^{2}x$

### Primitive

La primitive de la cotangente est :

    $\int \cot x\mathrm {d} x=\ln(\sin x)+C$

### Développement en série

On a le développement en série de Laurent, où $B_k$ désigne le ke nombre de Bernoulli

    $\cot x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{n}$

mais aussi

    $\pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n}}$

dont on déduit

    $\cot(x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n\pi }}$
