Liste des petits groupes
# Liste des petits groupes

La liste mathématique suivante décrit les groupes finis (abéliens ou non abéliens) d'ordre inférieur ou égal à 20, à isomorphisme près.

Nombre de groupes pour chaque ordre de 1 à 20 :

| Ordre | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Nombre de groupes abéliens | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 3 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 5 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| Nombre de groupes non abéliens | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 9 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| Nombre total de $groupes^,$ | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 5 | 2 | 2 | 1 | 5 | 1 | 2 | 1 | 14 | 1 | 5 | 1 | 5 |

## Terminologie et notations

* $Z_n$ : le groupe cyclique d'ordre n (parfois noté $C_n,$ il est isomorphe à Z/nZ).
* $D_{2n}$ : le groupe diédral d'ordre 2n.
* $S_n$ : le groupe symétrique de degré n, contenant les n! permutations de n objets.
* $A_n$ : le groupe alterné de degré n, contenant les n!/2 permutations paires de n objets.
* $Dic_n$ : le groupe dicyclique d'ordre 4n (généralisant les groupes de quaternions $Q_{4n}).$

La notation G × H désigne le produit direct des deux groupes ; $G^n$ désigne le produit direct de n copies du groupe G. G ⋊ H désigne un produit semi-direct où H agit sur G ; quand l'action exacte de H sur G est omise, toutes les actions non triviales conduisent au même groupe produit (à isomorphisme près).

Les groupes simples d'ordre n < 60 sont les groupes cycliques $Z_n,$ avec n premier. Le signe d'égalité ("=") désigne l'isomorphisme.

Dans les graphes des cycles, l'élément neutre est représenté par un cercle noir. Le plus petit groupe que ce graphe ne caractérise pas à isomorphisme près est d'ordre 16.

La liste des sous-groupes ne mentionne que ceux distincts du groupe trivial et du groupe entier. Quand il existe plusieurs sous-groupes isomorphes, leur nombre est indiqué entre parenthèses.

## Petits groupes abéliens

Les groupes abéliens finis ont une classification simple : ils sont cycliques, ou produits directs de groupes cycliques.

| Ordre | Groupe | Sous-groupes | Propriétés |
| - | - | - | - |
| 1 | groupe trivial = $Z_1$ = $S_1$ = $A_2$ | - | de nombreuses propriétés triviales |
| 2 | $Z_2$ = $S_2$ = $D_2$ | - | simple, plus petit groupe non trivial |
| 3 | $Z_3$ = $A_3$ | - | simple |
| 4 | $Z_4$ | $Z_2$ | - |
| 4 | groupe de Klein = $Z_2$ × $Z_2$ = $D_4$ | $Z_2$ (3) | plus petit groupe non cyclique |
| 5 | $Z_5$ | - | simple |
| 6 | $Z_6$ = $Z_3$ × $Z_2$ | $Z_3$ , $Z_2$ | |
| 7 | $Z_7$ | - | simple |
| 8 | $Z_8$ | $Z_4$ , $Z_2$ | - |
| 8 | $Z_4$ × $Z_2$ | $Z_2^2,$ $Z_4$ (2), $Z_2$ (3) | |
| 8 | $Z_2^3$ | $Z_2^2$ (7) , $Z_2$ (7) | les éléments autres que l'identité correspondent aux points du plan de Fano (le plus petit plan projectif fini), les $Z_2$ × $Z_2$ sous-groupes aux droites de ce plan |
| 9 | $Z_9$ | $Z_3$ | |
| 9 | $Z_3^2$ | $Z_3$ (4) | |
| 10 | $Z_{10}$ = $Z_5$ × $Z_2$ | $Z_5$ , $Z_2$ | |
| 11 | $Z_{11}$ | - | simple |
| 12 | $Z_{12}$ = $Z_4$ × $Z_3$ | $Z_6$ , $Z_4$ , $Z_3$ , $Z_2$ | |
| 12 | $Z_6$ × $Z_2$ = $Z_3$ × $Z_2^2$ | $Z_6$ (3), $Z_3,$ $Z_2$ (3), $Z_2^2$ | |
| 13 | $Z_{13}$ | - | simple |
| 14 | $Z_{14}$ = $Z_7$ × $Z_2$ | $Z_7$ , $Z_2$ | |
| 15 | $Z_{15}$ = $Z_5$ × $Z_3$ | $Z_5$ , $Z_3$ | |
| 16 | $Z_{16}$ | $Z_8$ , $Z_4$ , $Z_2$ | |
| 16 | $Z_2^4$ | $Z_2$ (15) , $Z_2^2$ (35) , $Z_2^3$ (15) | |
| 16 | $Z_4$ × $Z_2^2$ | $Z_2$ (7) , $Z_4$ (4) , $Z_2^2$ (7) , $Z_2^3,$ $Z_4$ $×Z_2$ (6) | ce groupe a le même graphe des cycles que celui engendré par les matrices de Pauli (mais ne lui est pas isomorphe) |
| 16 | $Z_8$ × $Z_2$ | $Z_2$ (3) , $Z_4$ (2) , $Z_2^2,$ $Z_8$ (2) , $Z_4$ × $Z_2$ | |
| 16 | $Z_4^2$ | $Z_2$ (3), $Z_4$ (6) , $Z_2^2,$ $Z_4$ × $Z_2$ (3) | |
| 17 | $Z_{17}$ | - | simple |

## Petits groupes non abéliens

On ne connait pas de classification complète des groupes non abéliens. Tout groupe simple non abélien est d'ordre pair (c'est le théorème de Feit-Thompson) ; le plus petit est le groupe $A_5,$ d'ordre 60. Le plus petit groupe non abélien d'ordre impair est le groupe de Frobenius $F_{21},$ d'ordre 21.

| Ordre | Groupe | Sous-groupes | Propriétés |
| - | - | - | - |
| 6 | $S_3$ = $D_6$ | $Z_3$ , $Z_2$ (3) | plus petit groupe non abélien, groupe des symétries du triangle équilatéral |
| 8 | $D_8$ | $Z_4,$ $Z_2^2$ (2) , $Z_2$ (5) | groupe des symétries du carré |
| 8 | groupe des quaternions = $Q_8$ = $Dic_2$ | $Z_4$ (3), $Z_2$ | plus petit groupe hamiltonien ; plus petit groupe admettant un groupe quotient non isomorphe à l'un de ses sous-groupes |
| 10 | $D_{10}$ | $Z_5$ , $Z_2$ (5) | groupe des symétries du pentagone régulier |
| 12 | $D_{12}$ = $D_6$ × $Z_2$ | $Z_6$ , $D_6$ (2) , $Z_2^2$ (3) , $Z_3$ , $Z_2$ (7) | groupe des symétries de l'hexagone régulier |
| 12 | $A_4$ | $Z_2^2$ , $Z_3$ (4) , $Z_2$ (3) | plus petit groupe n'admettant pas de sous-groupes de tous les ordres divisant l'ordre du groupe : pas de sous-groupe d'ordre 6 (voir le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow) |
| 12 | $Dic_3$ = $Z_3⋊Z_4$ | $Z_2,$ $Z_3,$ $Z_4$ (3), $Z_6$ | |
| 14 | $D_{14}$ | $Z_7,$ $Z_2$ (7) | groupe des symétries de l'heptagone régulier |
| 16 | $D_{16}$ | $Z_8,$ $D_8$ (2), $Z_2^2$ (4), $Z_4,$ $Z_2$ (9) | groupe des symétries de l'octogone régulier |
| 16 | $D_8$ × $Z_2$ | $D_8$ (2), $Z_4$ × $Z_2,$ $Z_2^3$ (2), $Z_2^2$ (11), $Z_4$ (2), $Z_2$ (11) | |
| 16 | groupe de quaternions généralisé $Q_{16}$ = $Dic_4$ | | |
| 16 | $Q_8$ × $Z_2$ | | groupe hamiltonien |
| 16 | Le groupe quasidiédral (en) d'ordre 16 | | |
| 16 | Le groupe modulaire (en) d'ordre 16 | | |
| 16 | $Z_4⋊Z_4$ | | |
| 16 | Le groupe engendré par les matrices de Pauli | | ce groupe a le même graphe des cycles que le groupe $Z_4$ × $Z_2^2,$ mais ne lui est pas isomorphe |
| 16 | $G_{4,4}$ = $Z_2^2⋊Z_4$ | | |
