Loi géométrique
# Loi géométrique

En théorie des probabilités et en statistique, la loi géométrique désigne, selon la convention choisie, l'une des deux lois de probabilité suivantes :

* la loi du nombre X d'épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès p ∈ ]0,1[ (ou q = 1 – p d'échec) nécessaire pour obtenir le premier succès. X est la variable aléatoire donnant le rang du premier succès. Le support de la loi est alors {1, 2, 3, ...}.
* La loi du nombre Y = X – 1 d'échecs avant le premier succès. Le support de la loi est alors {0, 1, 2, 3, ...}.

On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.

Ces deux lois sont différentes. C'est pourquoi il faut préciser la convention choisie en indiquant le support. Dans la suite, sauf mention contraire, on suppose que les valeurs de X sont les entiers naturels non nuls 1, 2, 3, ...

## Définition

### Support {1, 2, 3, ...}

En notant $q=1-p$, la probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ... :

    $\mathbb {P} (X=k)=q^{k-1}p.$

La probabilité $\mathbb {P} (X=k)$ correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k – 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de $q^{k–1}p.$ Dans la suite, nous prenons cette définition.

### Support {0, 1, 2, ...}

Pour l'autre définition, nous avons :

$\mathbb {P} (Y=k)=q^{k}p.$

Il s'agit lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, d'obtenir k échecs consécutifs suivi d'un succès. Elle modélise la durée de vie d'une entité qui aurait, à tout instant la probabilité p de mourir.

On remarque qu'il ne s'agit que d'un décalage de la précédente loi géométrique, au sens suivant. Son espérance n'est plus alors de 1/p mais de 1/p – 1, c'est-à-dire q/p. La variance est identique pour les deux définitions.

## Date de mort, durée de vie

Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante :

    $p(k)=\mathbb {P} (\mathrm {V} =k)=q^{k-1}\ \mathrm {pour} \ k\in \mathbb {N} ^{*}$
    $\mathbb {P} (\mathrm {V} >k)=q^{k}=\mathrm {e} ^{k\ln(q)}$

Pour p petit, ln(1 – p) est voisin de – p donc

    $\mathbb {P} (\mathrm {V} >k)\approx \mathrm {e} ^{-pk}$

où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle.

## Espérance, variance, écart type

L'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi géométrique de paramètre p est $^1⁄_p,$ et sa variance est $q/p^2$ où q = 1 – p est la probabilité d'échec :

$\mathbb {E} [X]={\frac {1}{p}},\qquad \mathbb {V} [X]={\frac {1-p}{p^{2}}}={\frac {q}{p^{2}}}.$

L'écart type est donc √q/p.

Calculs préliminaires : pour tout x de [0, 1[,

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{+\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\\f^{\prime }(x)&=\sum _{k=1}^{+\infty }kx^{k-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}\\f^{\prime \prime }(x)&=\sum _{k=2}^{+\infty }k(k-1)x^{k-2}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}.\end{aligned}}$

En particulier :

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{+\infty }k^{2}x^{k-1}&=x\sum _{k=2}^{+\infty }k(k-1)x^{k-2}+\sum _{k=1}^{+\infty }kx^{k-1}\\&={\frac {2x}{(1-x)^{3}}}+{\frac {1}{(1-x)^{2}}}\\&={\frac {2}{(1-x)^{3}}}-{\frac {1}{(1-x)^{2}}}.\end{aligned}}$

On peut alors utiliser ces identités pour le calcul de l'espérance :

${\begin{aligned}\mathbb {E} (X)&=\sum _{k=1}^{+\infty }kq^{k-1}p\\&={\frac {p}{(1-q)^{2}}}\\&={\frac {1}{p}},\end{aligned}}$

car q = 1 – p, et pour celui de la variance :

${\begin{aligned}\mathrm {Var} (X)&=\left(\sum _{k=1}^{+\infty }k^{2}q^{k-1}p\right)-\mathbb {E} [\mathrm {X} ]^{2}\\&={\frac {2p}{(1-q)^{3}}}-{\frac {p}{(1-q)^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}\\&={\frac {2}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}\\&={\frac {q}{p^{2}}},\end{aligned}}$

la première égalité ci-dessus provenant du théorème de König-Huygens.

Par exemple, pour $p=1/2$, $\mathbb {E} [X]=2,\mathbb {V} [X]=2,\sigma [X]={\sqrt {2}}$ et l'écart moyen ${\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-2|)=\sum _{k=1}^{+\infty }{|k-2|/2^{k}}=1$.

## Liens avec d'autres lois

### Lien avec la loi géométrique tronquée

Dans les programmes 2011 de Première Scientifique en France, on appelle loi géométrique tronquée de paramètres n et p, la loi de la variable aléatoire obtenue en limitant à n le nombre d'épreuves de Bernoulli de paramètre p et en notant k le rang du premier succès. Par convention, s'il n'advient aucun succès au cours des n essais, on pose X = 0 (on trouve parfois pour X le nombre d'échecs consécutifs obtenus avant l'obtention d'un premier succès au cours des n épreuves). La probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ..., n :

    $\mathbb {P} (X=k)=q^{k-1}p$

et pour k = 0

    $\mathbb {P} (X=0)=q^{n}.$

Cette loi de probabilité a pour espérance: $\mathbb {E} (X)={\frac {1}{p}}\left(1-\left(np+1\right)q^{n}\right)$ où q = 1 - p.

Le terme « tronquée », ici, n'a pas le même sens que celui que l'on trouve dans la définition d'une loi tronquée.

### Lien avec la loi exponentielle

La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

Propriété — Si X suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si $Y=\lceil \theta X\rceil ,\ \theta >0,$ alors Y suit la loi géométrique de paramètre

$p\ =\ 1-\mathrm {e} ^{-\ {\tfrac {1}{\theta }}}.$

${\begin{aligned}\mathbb {P} (Y=k)&=\mathbb {P} (\lceil \theta X\rceil =k)\\&=\mathbb {P} (\theta X\in ]k-1,k])\\&=\mathbb {P} \left(X\in \left]{\tfrac {k-1}{\theta }},{\tfrac {k}{\theta }}\right]\right)\\&=F_{X}\left({\tfrac {k}{\theta }}\right)-F_{X}\left({\tfrac {k-1}{\theta }}\right)\\&=\exp \left(-\ {\tfrac {k-1}{\theta }}\right)-\exp \left(-\ {\tfrac {k}{\theta }}\right)\\&=\left(\mathrm {e} ^{-\ {\tfrac {1}{\theta }}}\right)^{k-1}\ \left(1-\mathrm {e} ^{-\ {\tfrac {1}{\theta }}}\right).\end{aligned}}$

Notons que, pour un nombre réel x, $\lceil x\rceil$ désigne la partie entière supérieure de x, définie par

$\lceil x\rceil \ =\ \min \left\{k\in \mathbb {Z} \ |\ k\geqslant x\right\}.$

Ainsi, pour obtenir une variable aléatoire Y' suivant une loi géométrique de paramètre p arbitraire (avec toutefois la contrainte 0 < p < 1), à partir d'une variable aléatoire exponentielle X' de paramètre λ, il suffit de poser

$Y^{\prime }=\lceil \theta X^{\prime }\rceil ,$

où l'on a choisi

$\theta \ =\ -{\tfrac {\lambda }{\ln \left(1-p\right)}}.$

En effet, $X=\lambda \,X^{\prime }$ suit une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1).

Réciproquement,

Propriété — Si, pour $n\geq 1,$ la variable aléatoire $Y_n$ suit la loi géométrique de paramètre $p_n,$ et si, simultanément,

$\lim _{n}p_{n}\ =\ 0\qquad {\text{et}}\qquad \lim _{n}p_{n}/a_{n}\ =\ \lambda >0,$

alors $a_nY_n$ converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre λ.

On se donne une variable aléatoire exponentielle X de paramètre 1, et on pose

${\begin{aligned}\theta _{n}&=-{\tfrac {1}{\ln \left(1-p_{n}\right)}},\\\mathrm {Y} _{n}^{\prime }&=\lceil \theta _{n}\mathrm {X} \rceil .\end{aligned}}$

Alors $Y_n$ et $Y_{n}^{\prime }$ ont même loi, en vertu de la propriété précédente. Par ailleurs, pour tout ω

$\lim _{n}a_{n}Y_{n}^{\prime }(\omega )\ =\ \lim _{n}a_{n}\lceil \theta _{n}X(\omega )\rceil =\ \left(\lim _{n}a_{n}\theta _{n}\right)\ X(\omega )\ =\ X(\omega )/\lambda .$

Or d'une part la convergence presque sûre entraine la convergence en loi, d'autre part la loi de X/λ est la loi exponentielle de paramètre λ.

### Lien avec la loi binomiale négative

Si $X_n$ est une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale négative de paramètres n et p, alors $X_n$ a même loi que la somme de n variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi géométrique de paramètre p.

