Groupe de Steinberg (K-théorie)
# Groupe de Steinberg (K-théorie)

Dans le domaine mathématique de la K-théorie algébrique, le groupe de Steinberg St(A) d'un anneau unitaire A est un groupe défini par générateurs et relations, à partir de certaines relations vérifiées par les matrices élémentaires de transvections. Il est nommé d'après Robert Steinberg et est relié aux premiers groupes de K-théorie, en particulier $K_2$ et $K_3.$

## Relations de Steinberg

Les matrices élémentaires de transvections $e_{pq}(λ)$ pour p ≠ q — avec des 1 sur la diagonale, un coefficient λ en position (p, q), et des 0 partout ailleurs — vérifient les relations suivantes, appelées relations de Steinberg :

Le groupe de Steinberg « stable » St(A) est défini par les générateurs $x_{ij}(λ)$ (i, j ∈ ℕ*, i ≠ j, λ ∈ A), soumis à ces relations. C'est la limite inductive des groupes de Steinberg « non stables » $St_n(A),$ définis de même mais pour i, j ≤ n.

Le groupe général linéaire « stable » GL(A) est défini comme la réunion croissante des GL(n, A), via l'identification de toute matrice carrée M de taille n à la matrice diagonale par blocs diag(M, 1), de taille n + 1. Par construction, il existe un unique morphisme de groupes φ : St(A) → GL(A) qui envoie les $x_{ij}(λ)$ sur les $e_{ij}(λ).$

D'après le lemme de Whitehead, l'image de φ est le groupe dérivé de GL(A), c'est-à-dire que les matrices élémentaires de transvections engendrent, dans GL(A), le même sous-groupe que les commutateurs. Ce sous-groupe est noté E(A).

## Liens avec la K-théorie

### $K_1$

Le groupe $K_1(A)$ est défini comme l'abélianisé de GL(A), c'est-à-dire le quotient de GL(A) par son sous-groupe dérivé E(A). Autrement dit, c'est le conoyau de φ.

### $K_2$

$Milnor^,$ a défini $K_2(A)$ comme le centre de St(A).

C'est aussi le noyau du morphisme φ : St(A) → GL(A), de sorte qu'on a une suite exacte

Cette suite est en fait l'extension centrale universelle du groupe parfait E(A). Autrement dit, $K_2(A)$ est le multiplicateur de Schur de E(A). Il s'écrit donc aussi comme un groupe d'homologie : $K_2(A)$ = $H_2(E(A),$ ℤ).

### $K_3$

Gersten a démontré que $K_3(A)$ = $H_3(St(A),$ ℤ).

