Colinéarité
# Colinéarité

En algèbre linéaire, deux vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ d'un espace vectoriel ${\mathsf {E}}$ sont colinéaires s'il existe un scalaire $k$ tel que ${\vec {u}}=k{\vec {v}}$ ou ${\vec {v}}=k{\vec {u}}$. Deux vecteurs quelconques d'une droite vectorielle sont colinéaires. Quand elle porte sur un couple de vecteurs, la colinéarité est le contraire de l'indépendance linéaire : deux vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires si le couple $(u,v)$ est non libre.

Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite.

La colinéarité est un outil important en géométrie dans l'enseignement secondaire : un couple de points $(A,B)$ du plan ou de l'espace définit un vecteur géométrique ${\overrightarrow {AB}}$ ; si $A$ et $B$ (resp $A'$ et $B'$) sont des points non confondus, les vecteurs ${\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {A'B'}}$ sont colinéaires si et seulement si les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.

## Exemples

En toute dimension, si ${\vec {u}}$ est le vecteur nul, alors ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires pour tout ${\vec {v}}$ dans ${\mathsf {E}}$, car ${\vec {u}}=0{\vec {v}}$.

Si ${\vec {u}}$ est un vecteur non nul de ${\mathsf {E}}$, l'ensemble des vecteurs colinéaires à ${\vec {u}}$ est la droite $k{\vec {u}}$.

Dans un espace vectoriel sur le corps $F_2,$ deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils sont égaux.

## Géométrie affine

En géométrie affine, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe deux représentants de ces vecteurs situés sur une même droite c.-à-d., il existe trois points $A$, $B$, et $C$ alignés tels que :

    ${\overrightarrow {AB}}={\vec {u}}$ et ${\overrightarrow {AC}}={\vec {v}}$

La colinéarité est une notion importante en géométrie affine car elle permet de caractériser

* L'alignement : les points $A$, $B$, et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs ${\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {AC}}$ sont colinéaires.
* Le parallélisme de deux droites : les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ou confondues si et seulement si les vecteurs ${\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {CD}}$ sont colinéaires.

## Relation d'équivalence

Sur l'ensemble des vecteurs non nuls, la relation de colinéarité est

* réflexive : un vecteur est colinéaire à lui-même
* symétrique : Si un vecteur ${\vec {u}}$ est colinéaire à un vecteur ${\vec {v}}$ alors ${\vec {v}}$ est colinéaire à ${\vec {u}}$
* transitive⁣ : Si un vecteur ${\vec {u}}$ est colinéaire à ${\vec {v}}$ et si ${\vec {v}}$ est colinéaire à ${\vec {w}}$ alors ${\vec {u}}$ est colinéaire à ${\vec {w}}$

Ce qui permet de dire que (sur l'ensemble des vecteurs non nuls) la relation de colinéarité est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence forment l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.

## Calcul en coordonnées

Soient deux vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ dans le plan $\mathbb {R} ^{2}$, dont les coordonnées sont ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2})$ et ${\vec {v}}=(v_{1},v_{2})$. S'ils sont tous deux non-nuls, la colinéarité des deux vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ se traduit par une relation de proportionnalité entre les couples $(u_{1},u_{2})$ et $(v_{1},v_{2})$. La règle du produit en croix implique : ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires si et seulement si $u_{1}v_{2}=u_{2}v_{1}$.

Cette équivalence peut se généraliser à la dimension supérieure. Soient $\mathbf {u}$ et $\mathbf {v}$ deux vecteurs, dont les coordonnées dans une base fixée sont

    $\mathbf {u} =(u_{1},\dots ,u_{n})$
    $\mathbf {v} =(v_{1},\dots ,v_{n}).$

Alors $\mathbf {u}$ et $\mathbf {v}$ sont colinéaires si et seulement si $u_{i}v_{j}=u_{j}v_{i}$ pour tout indice $i$ et tout indice $j>i$.

En dimension trois, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul.

## En phylogénie

En biologie, on parle de colinéarité lors de l'étude du génome d'organisme et d'établissement d'arbres phylogénétiques. La notion de colinéarité correspond en quelque sorte à la synténie, c'est-à-dire au maintien de l'ordre des gènes entre deux génomes.

