Densité mélange
# Densité mélange

En statistiques, on appelle densité mélange, ou loi mélange, une fonction de densité qui est issue d'une combinaison convexe de plusieurs fonctions de densité.

## Définition

En prenant une fonction $f(x,\theta )$, densité d'une variable aléatoire $x$ paramétrée par $\theta$. Par exemple, si $f$ est une loi normale, alors $\theta$ est constitué de la moyenne et de la variance. Si on appelle $\theta _{1},\dots ,\theta _{K}$ une famille de paramètres et $\pi _{1},\dots ,\pi _{K}$ une famille de scalaires tels que

    $\sum _{k=1}^{K}\pi _{k}=1$,

alors, la fonction $g$ définie par

    $g(x,\theta _{1},\dots ,\theta _{K})=\sum _{k=1}^{K}\pi _{k}f(x,\theta _{k})$

est la fonction de densité d'une loi mélange à $K$ composantes.

On peut étendre cette définition au cas où le nombre des composantes est infini. En considérant un ensemble $\Omega$ de paramètres, si on a

    $\int _{\Omega }\pi \left(\theta \right)d\theta =1,$

alors, la fonction

    $g\left(x,\Omega \right)=\int _{\Omega }\pi (\theta )f(x,\theta )d\theta$

est une densité mélange.

Par exemple, l'image suivante représente la fonction de densité d'un mélange gaussien à deux composantes de dimension 2.

## Propriétés

Une densité mélange de densités est elle-même une densité. Cela est notamment dû au fait d'utiliser une combinaison convexe dans la définition (ce ne serait pas nécessairement le cas avec une combinaison linéaire quelconque).

