Conjecture de Cramér
# Conjecture de Cramér

En mathématiques, la conjecture de Cramér, formulée par le mathématicien suédois Harald Cramér en 1936, pronostique l'asymptotique suivante pour l'écart entre nombres premiers :

    $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}=O((\ln p_{n})^{2}),$

où $g_n$ est le n-ième écart, $p_n$ est le n-ième nombre premier et $O$ désigne le symbole de Bachmann-Landau ; cette conjecture n'est pas démontrée à ce jour.

## Énoncés liés

Cramér avait auparavant, en 1920, démontré un énoncé plus faible :

    $p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})$

sous l'hypothèse de Riemann (qui elle-même n'est pas démontrée non plus).

Andrew Granville a affiné la conjecture initiale de Cramér en proposant la constante

    $2e^{-\gamma }\approx 1,1229\ldots .$

comme limite supérieure de la suite

    ${\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}$.

Des calculs poussés indiquent que cette estimation est plausible.

Dans l'autre direction, on sait que

    $\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty$.
