Congruences de Kummer
# Congruences de Kummer

En mathématiques, les congruences de Kummer sont des congruences impliquant les nombres de Bernoulli, trouvées par Ernst Eduard Kummer en 1851 .

Kubota & Leopoldt (1964) ont utilisé les congruences de Kummer afin de définir la fonction zêta p-adique.

## Enoncé

La forme la plus simple de la congruence de Kummer est la suivante :

    ${\frac {B_{h}}{h}}\equiv {\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p}}{\text{ si }}h\equiv k{\pmod {p-1}}$

où p est un nombre premier, h et k sont des entiers positifs pairs n'étant pas divisible par p−1 le nombre $B_h$ le h-ième nombre de Bernoulli.

Plus généralement, si h et k sont des entiers positifs pairs non divisible par p − 1, alors

    $(1-p^{h-1}){\frac {B_{h}}{h}}\equiv (1-p^{k-1}){\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p^{a+1}}}$

dès que

    $h\equiv k{\pmod {\varphi (p^{a+1})}}$

où $φ(p^{a+1})$ est l'indicatrice d'Euler, évaluée en $p^{a+1}$ avec a un entier positif. Si a = 0, on retrouve la première expression. Les deux côtés de l'égalité peuvent être interprétés comme des valeurs de la fonction zêta p-adique, les congruences de Kummer impliquant que la fonction zêta p-adique est continue sur les entiers négatifs, et peut donc être prolongée par continuité à tous les entiers p-adiques.

## Article connexe

* Théorème de von Staudt–Clausen, une autre congruence impliquant les nombres de Bernoulli.
