Cohomologie d'Alexander-Spanier
# Cohomologie d'Alexander-Spanier

En mathématiques et plus particulièrement en topologie algébrique, la cohomologie d'Alexander-Spanier est une théorie cohomologique pour les espaces topologiques.

## Histoire

Elle a d'abord été introduite par James Waddell Alexander II en 1935 pour le cas particulier des espaces métriques compacts, puis étendue par Edwin Spanier en 1948 à tous les espaces topologiques, sur une suggestion de A. D. Wallace.

## Définition

Si X est un espace topologique et G un groupe abélien, alors on définit un complexe différentiel C dont le p-ième terme $C^p$ est l'ensemble de toutes les fonctions de $X^{p+1}$ dans G et de différentielle d donnée par :

    $df(x_{0},\ldots ,x_{p})=\sum _{i}(-1)^{i}f(x_{0},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{p}).$

On note $C_0$ le sous-complexe formé des fonctions qui s'annulent sur un voisinage de la diagonale.

On définit les groupes de cohomologie d'Alexander-Spanier $H^p(X,$ G) comme étant les groupes de cohomologie du complexe $C/C_0.$

### Variantes

Il est aussi possible de définir l'homologie d'Alexander-Spanier (William Massey, 1978) et la cohomologie à support compact d'Alexander-Spanier (Glen Bredon (en), 1997).

## Lien avec les autres théories cohomologiques

La cohomologie d'Alexander-Spanier coïncide avec la cohomologie de Čech pour les espaces paracompacts et avec la cohomologie singulière pour les complexes localement finis.

