Classe trace
# Classe trace

En mathématiques, un opérateur de classe trace, ou opérateur à trace, est un opérateur compact pour lequel on peut définir une trace au sens de l’algèbre linéaire, qui est finie et ne dépend pas de la base.

## Définition

En s’inspirant de la définition dans le cas de la dimension finie, un opérateur borné A sur un espace de Hilbert séparable est dit de classe trace si dans une certaine base hilbertienne ${e_k}_k$ (et donc dans toutes) de H, la série à termes positifs suivante converge

    $\|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|:=\sum _{k}\langle (A^{*}A)^{1/2}\,e_{k},e_{k}\rangle ,$

où (A* $A)^{1/2}$ désigne la racine carrée de l'opérateur positif (en) A* A.

Dans ce cas, la somme

    ${\rm {Tr}}A:=\sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle$

est absolument convergente et ne dépend pas du choix de la base orthonormée. Ce nombre est appelé trace de A. Quand H est de dimension finie, on retombe sur la trace usuelle.

Par extension, si A est un opérateur positif, on peut définir sa trace, quitte à ce qu’elle soit infinie, comme la série à terme positifs

    $\sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle .$

## Propriétés

* Si A est positif et auto-adjoint, A est de classe trace si et seulement si Tr(A) < ∞. Ainsi, un opérateur autoadjoint est de classe trace si et seulement si ses parties positive et négative sont de classe trace.
* La Trace est une forme linéaire sur l’ensemble des opérateurs de classe trace, i.e.$\operatorname {Tr} (aA+bB)=a\,\operatorname {Tr} (A)+b\,\operatorname {Tr} (B).$La forme bilinéaire$\langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)$définit un produit scalaire sur les opérateurs de classe trace. La norme qui y est associée est appelée la norme de Hilbert-Schmidt. Le complété des opérateurs de classe trace pour cette norme forme l’espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt (en). Le point ci-dessous prouve que tous les opérateurs à trace sont de Hilbert-Schmidt. Cependant, tout comme certaines suites de carré sommable ne sont pas sommables, la réciproque est fausse et certains opérateurs de Hilbert-Schmidt n'admettent pas une trace finie.
* Si $A$ est borné et $B$ est de classe trace, $AB$ et $BA$ sont aussi de classe trace et$\|AB\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AB|)\leq \|A\|\|B\|_{1},\qquad \|BA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|BA|)\leq \|A\|\|B\|_{1}.$De plus et sous les mêmes hypothèses,$\operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA).$
* Si $A$ est de classe trace, on peut définir le déterminant de Fredholm de $I+A$ :${\rm {det}}(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)]$où les $\{\lambda _{n}(A)\}_{n}$ sont les valeurs propres de $A$. La condition de classe trace nous assure que le produit converge. Il nous garantit aussi que $(I+A)$ est inversible si et seulement si ${\rm {det}}(I+A)\neq 0.$

### Théorème de Lidskii

Soit $A$ un opérateur de classe trace sur un Hilbert séparable $H$, et soient $\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N},$ $N\leq \infty$ ses valeurs propres comptées avec multiplicité.

Le théorème de Lidskii (dû à Victor Lidskii (ru)) veut que

    $\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)=\operatorname {Tr} (A).$
