DSPACE
# DSPACE

En théorie de la complexité, DSPACE (ou SPACE) désigne une famille de classes de complexité caractérisées par leur complexité en espace sur une machine de Turing déterministe.

Plus précisément, ${\mathsf {DSPACE}}(f(n))$ est la classe des problèmes de décision qui, pour une entrée de taille $n$, peuvent être décidés par une machine de Turing déterministe fonctionnant en espace ${\mathcal {O}}(f(n))$.

## Définitions

Les classes de complexité L, PSPACE et EXPSPACE sont définies à partir de la famille DSPACE :

    ${\mathsf {L}}={\mathsf {DSPACE}}({\mathcal {O}}(\log n))$
    ${\mathsf {PSPACE}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {DSPACE}}(n^{k})$
    ${\mathsf {EXPSPACE}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {DSPACE}}\left(2^{n^{k}}\right)$

Les langages rationnels peuvent être définis comme ${\mathsf {REG}}={\mathsf {DSPACE}}({\mathcal {O}}(1))$. En fait, on a même ${\mathsf {REG}}={\mathsf {DSPACE}}({\mathcal {o}}(\log \log n))$ : le plus petit espace requis pour reconnaître un langage non rationnel est ${\mathcal {O}}(\log \log n)$, et toute machine de Turing en espace $o(\log \log n)$ reconnaît un langage rationnel.

## Hiérarchie en espace

Informellement, le théorème de hiérarchie en espace indique que disposer de plus d'espace permet de décider davantage de problèmes. Plus précisément, pour toutes fonctions $f$ et $g$ telles que $f=o(g)$ et $g$ est constructible en espace, l'inclusion stricte suivante est vérifiée :

    ${\mathsf {DSPACE}}(f(n))\subsetneq {\mathsf {DSPACE}}(g(n))$

## Liens avec d'autres classes

Le théorème de Savitch relie DSPACE aux classes de complexité en mémoire non déterministe NSPACE par les inclusions suivantes, pour toute fonction $f$ constructible en espace telle que $f(n)\geq \log n$ :

    ${\mathsf {DSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DSPACE}}\left(f(n)^{2}\right)$

Une conséquence en est que PSPACE = NPSPACE.

Par ailleurs, DSPACE est relié aux classes de complexité en temps DTIME et NTIME par les inclusions suivantes, pour toute fonction $f$ constructible en espace :

    ${\mathsf {NTIME}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DTIME}}\left(2^{{\mathcal {O}}(f(n))}\right)$
