Conjecture 3d de Kalai
# Conjecture 3d de Kalai

En géométrie combinatoire , la conjecture $3^d$ de Kalai est une minoration du nombre de faces des polytopes à symétrie centrale, conjecturée par Gil Kalai en 1989.

## Énoncé

Soit P un polytope (convexe) de dimension d, symétrique par rapport à l'origine (c'est-à-dire que si A est un sommet de P, -A en est également un). Notant $f_{k}$ le nombre de k-faces de P (on a donc $f_{0}$ sommets, $f_{1}$arêtes, etc., et $f_{d}=1$), la minoration conjecturée par Kalai est : $\sum _{k=0}^{d}f_{k}\geq 3^{d}$.

## Exemples

En dimension 2, les polygones symétriques ont un nombre pair de côtés ; on a donc $f_{0}=f_{1}\geq 4$, et on a bien $f_{0}+f_{1}+f_{2}\geq 4+4+1=9=3^{2}$.

En dimension 3, le cube ($f_{0}=8$, $f_{1}=12$ et $f_{2}=6$) et l'octaèdre régulier, son dual ($f_{0}=6$, $f_{1}=12$ et $f_{2}=8$) atteignent tous deux le minorant : $f_{0}+f_{1}+f_{2}+f_{3}=6+12+8+1=27=3^{3}$.

En dimensions supérieures, l'hypercube $[0,1]^d$ a exactement $3^d$ faces (on peut le voir en remarquant que chaque k-face est déterminée par ses projections sur les d axes de coordonnées ; chaque projection est l'origine, le point 1, ou le segment [0,1], ce dernier cas se produisant k fois). Si la conjecture est vraie, l'hypercube est donc une réalisation du minorant. Plus généralement, tous les polytopes de Hanner (en) (définis par récurrence comme produits cartésiens et duaux de polytopes de Hanner déjà construits) ont exactement $3^d$ faces.

## Résultats partiels

Pour $d\leq 4$, la conjecture est démontrée ; elle est également vraie pour les polytopes simpliciaux (en) (ceux dont toutes les faces sont des simplexes) : elle résulte dans ce cas d'une conjecture de Imre Bárány, démontrée par Richard Peter $Stanley^,$ (ces deux articles sont cités par Kalai comme motivation pour sa conjecture). La conjecture a été démontrée pour d'autres classes de polytopes, comme les polytopes de Hansen, mais reste ouverte dans le cas général.

Kalai avait formulé une autre conjecture affirmant que le f-vecteur $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{d})$ correspondant à P « dominait » le f-vecteur d'au moins un polytope de Hanner H (de la même dimension), c'est-à-dire qu'en notant $h_{k}$ le nombre de k-faces de H, on avait $h_{k}\leq f_{k}$ pour tout k. Mais cette conjecture (qui implique la conjecture $3^d)$ a été réfutée en 2009.

