Composantes d'un vecteur
# Composantes d'un vecteur

En algèbre linéaire, les composantes d'un vecteur d'un K-espace vectoriel, dans une base donnée, sont une représentation explicite de ce vecteur par une famille de scalaires. Lorsque l'espace est de dimension n sur le corps K, les composantes forment un élément de l'espace vectoriel $K^n.$

Les composantes des vecteurs (d'un espace vectoriel de dimension finie) permettent de ramener des calculs vectoriels à des calculs sur des tableaux de nombres (n-uplets, matrices, vecteurs colonnes) qui peuvent être effectués explicitement.

## Définition

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit ${\mathcal {B}}=\left(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\right)$ une base de E.

Alors pour tout vecteur $v$ de E, il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base, égale à $v$ :

    $v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n},$

c'est-à-dire que les scalaires $\alpha _{i}$ où $i\in \{1,\ldots ,n\}$ sont déterminés de façon unique par $v$ et ${\mathcal {B}}$.

Maintenant, les composantes (ou les coordonnées) de $v$ dans la base ${\mathcal {B}}$ ou relativement à la base ${\mathcal {B}}$, sont par définition la famille $\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\right)$. Les composantes peuvent aussi être représentées en colonne sous forme d'une matrice :

    ${\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}.$.

La matrice est appelée matrice colonne — ou vecteur colonne — des composantes — ou des coordonnées — de $v$ dans la base ${\mathcal {B}}$.

Cette matrice est parfois notée $M_{\mathcal {B}}(v)$, $Mat_{\mathcal {B}}(v)$ ou encore $[v]_{\mathcal {B}}$.

Pour $i\in \{1,\ldots ,n\}$, le scalaire $\alpha _{i}$ est appelé la $i$-ème composante — ou $i$-ème coordonnée — du vecteur $v$ dans la base ${\mathcal {B}}$.

## Application composantes

Le mécanisme précédent, qui à un vecteur $v$ de E qui fait correspondre ses composantes dans la base ${\mathcal {B}}$, peut être décrit par l'application $\varphi _{\mathcal {B}}$, définie par

    $\forall v\in E,\varphi _{\mathcal {B}}(v)=\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\right),$

où $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ appartiennent à $K$ et vérifient $v=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.$

Alors $\varphi _{\mathcal {B}}$ est une application linéaire de E dans $K^n.$

C'est même un isomorphisme : sa réciproque $\varphi _{\mathcal {B}}^{-1}:K^{n}\to E$ est définie par

    $\forall (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in K^{n},\varphi _{\mathcal {B}}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.$

Il est aussi possible de commencer par définir cette application $\varphi _{\mathcal {B}}^{-1}$, de constater que c'est un isomorphisme, puis de définir $\varphi _{\mathcal {B}}$ comme l'isomorphisme réciproque.

## Exemples

### Exemple 1

Soit $\mathbb {R} _{3}[x]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Cet espace est engendré par

    $\{1,x,x^{2},x^{3}\}$

et la famille ${\mathcal {B}}=(1,x,x^{2},x^{3})$ est une base de cet espace.

La matrice colonne des composantes, dans cette base, du polynôme

    $p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3},$

s'écrit ${\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}.$

Relativement à cette base, l'opérateur de dérivation $D$, qui à $p$ associe $Dp=p'$, est représenté par la matrice

    $Mat_{\mathcal {B}}(D)={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}.$

En utilisant cette représentation, il est aisé de déterminer les propriétés de l'opérateur, comme l'inversibilité, s'il est hermitien ou anti-hermitien ou rien du tout, son spectre / ses valeurs propres, etc.

### Exemple 2

Les matrices de Pauli représentent l'opérateur spin lorsque les vecteurs propres correspondant à l'état de spin sont transformés en coordonnées.

