Algèbre d'Azumaya
# Algèbre d'Azumaya

En mathématiques, la notion d'algèbre d'Azumaya est une généralisation de la notion d'algèbre centrale simple aux R-algèbres dont les scalaires R ne forment pas un corps. Elle a été introduite dans un article de Goro Azumaya (en) en 1951, dans le cas où R est un anneau local commutatif, puis a été développée par Alexander Grothendieck comme ingrédient de base à une théorie du groupe de Brauer en géométrie algébrique, dans les séminaires Bourbaki à partir de 1964.

Dans le cas où R est un anneau local, une algèbre d'Azumaya A est une R-algèbre libre et de rang fini r, telle que son produit tensoriel avec son algèbre opposée soit isomorphe à l'algèbre des matrices carrées de taille r sur R.

Du point de vue de la théorie des schémas, Grothendieck la définit comme un faisceau A de $O_X-algèbres$ (où X est un schéma, et $O_X$ son faisceau structural) localement (pour la topologie étale) isomorphe à un faisceau d'algèbres de matrices. Milne prend en revanche la définition selon laquelle les germes $A_x$ sont des algèbres d'Azumaya sur les anneaux locaux $O_{X,x}$ en tout point x. Le groupe de Brauer est alors défini comme l'ensemble des classes d'équivalence d'algèbres d'Azumaya selon la relation : deux algèbres $A_1$ et $A_2$ sont équivalentes s'il existe des faisceaux localement libres (en) $E_1$ et $E_2$ tels que :

    $A_{1}\otimes \mathrm {End} (E_{1})\simeq A_{2}\otimes \mathrm {End} (E_{2}).$

La loi de groupe est obtenue à partir du produit tensoriel, l'élément symétrique étant donné par l'algèbre opposée.

Cette notion a des applications en géométrie arithmétique, notamment grâce au travail de Yuri Manin sur les obstructions au principe de Hasse.

