Approximation sigma
# Approximation sigma

En mathématiques, l’approximation sigma, imaginée par Cornelius Lanczos, est une méthode de fenêtrage qui permet d'ajuster une série de Fourier pour éliminer le phénomène de Gibbs qui pourrait survenir aux discontinuités.

## Principe

Une approximation sigma appliquée à une série de période T peut s'écrire :

    $s(\theta )={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{k=1}^{m-1}\mathrm {sinc} \left({\frac {k}{m}}\right)\cdot \left[a_{k}\cos \left({\frac {2\pi k}{T}}\theta \right)+b_{k}\sin \left({\frac {2\pi k}{T}}\theta \right)\right],$

selon la fonction sinus cardinal normalisée

    $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.$

où le terme

    $\mathrm {sinc} {\Bigl{\frac {k}{m}}{\Bigr )}$

est le « facteur σ de Lanczos » qui est à l'origine de la suppression de la plus grande partie des oscillations supplémentaires dues au phénomène de Gibbs par atténuation des grandes valeurs des coefficients de Fourier associés. Il ne résout cependant pas tout à fait le problème, mais dans les cas extrêmes on peut mettre l'expression au carré, ou même au cube, ou plus simplement recourir aux sommes de Fejér.

## Explication

L'idée de Lanczos consiste à atténuer les coefficients de Fourier d’ordre élevé, qui rendent la série localement divergente. Il étudie ainsi les cas où la dérivée de la série de Fourier peut fortement varier localement. En effet, pour une somme partielle d'une fonction développée en série de Fourier de la forme

    $f_{m}(x)=\sum _{k=-(m-1)}^{m-1}c_{k}{\rm {e}}^{\mathrm {i} kx},$

on pose

    $\rho _{m}(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }c_{m+k}{\rm {e}}^{\mathrm {i} kx}.$

Le reste de la série de Fourier s'exprime alors sous la forme

    $R_{m}(x)=f(x)-f_{m}(x)={\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\rho _{m}(x)+{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\rho _{-m}(x).$

Lanczos remarque que dans le cas général, $ρ_m(x)$ a la forme d'une onde porteuse lisse modulée de haute fréquence, donc la dérivée du reste

    $R_{m}'(x)=\mathrm {i} m({\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\rho _{m}(x)-{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\rho _{-m}(x))+{\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\rho _{m}'(x)+{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\rho _{-m}'(x),$

va prendre de grandes valeurs si le reste ne converge pas « assez vite ». Il pose ainsi un opérateur de différentiation adapté :

    $\mathrm {D} _{m}f(x)={\frac {f\left(x+{\frac {\pi }{m}}\right)-f\left(x-{\frac {\pi }{m}}\right)}{\frac {2\pi }{m}}},$

qui tend bien vers l'opérateur de dérivation pour m grand, mais donne

    $\mathrm {D} _{m}R_{m}(x)=-{\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\mathrm {D} _{m}\rho _{m}(x)-{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\mathrm {D} _{m}\rho _{-m}(x),$

et les fonctions $ρ_m(x),$ $ρ_{–m}(x)$ sont suffisamment lisses pour que les valeurs de leurs dérivées n'aient pas d'impact majeur sur l'erreur. En remarquant que

    $\mathrm {D} _{m}({\rm {e}}^{\mathrm {i} kx})={\frac {\sin({\frac {\pi k}{m}})}{\frac {\pi }{m}}}\times \mathrm {i} k{\rm {e}}^{\mathrm {i} kx},$

on voit qu'utiliser cet opérateur de différentiation revient à multiplier les coefficients de Fourier par un facteur σ.

