Anneau des entiers
# Anneau des entiers

En algèbre commutative, l'anneau des entiers est une construction que l'on peut obtenir à partir de tout corps de nombres en considérant ses éléments entiers. Par exemple, l'anneau des entiers de $\mathbb {Q}$ est ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }=\mathbb {Z}$. Il existe des algorithmes efficaces pour calculer cet anneau pour tout corps de nombres. La notion peut en fait être étendue à d'autres objets (notamment les corps de fonctions), et porte une interprétation géométrique.

## Définition

Soit K un corps de nombres. Un élément de K est dit entier s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans $\mathbb {Z}$. L'ensemble des éléments entiers de K est un anneau, noté ${\mathcal {O}}_{K}$ et appelé l'anneau des entiers de K.

Une définition équivalente est que ${\mathcal {O}}_{K}$ est l'unique ordre maximal de K.

## Propriétés

* L'anneau ${\mathcal {O}}_{K}$ est un ordre, en particulier un $\mathbb {Z}$-module de type fini sans torsion, possédant donc une base, appelée base intégrale. Si $\{b_{1},\dotsc ,b_{n}\}$ est une telle base, le nombre n est le degré de l'extension $K/\mathbb {Q}$.
* L'anneau ${\mathcal {O}}_{K}$ est un anneau de Dedekind, et possède donc la propriété de factorisation unique des idéaux.
* Les unités ${\mathcal {O}}_{K}^{\times }$ forment un $\mathbb {Z}$-module de type fini par le théorème de Dirichlet.
* Le sous-groupe de torsion de ${\mathcal {O}}_{K}^{\times }$ est constitué des racines de l'unité.
* Si $K/F$ est une extension finie d'un corps de nombres, alors la fermeture intégrale de ${\mathcal {O}}_{F}$ dans K coïncide avec ${\mathcal {O}}_{K}$.

## Exemples

* Soit d un entier sans facteur carré et soit $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ (qui est un corps quadratique si d ≠ 1). Alors, $O_K$ est un anneau d'entiers quadratiques, égal à
   * $\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$ si $d\not \equiv 1{\bmod {4}}$ (pour d = –1, c'est l'anneau des entiers de Gauss) ;
   * $\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}\right]$ si $d\equiv 1{\bmod {4}}$ (en particulier, ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }=\mathbb {Z}$).
* Plus généralement, soient m et n deux entiers sans facteur carré, $k={\frac {mn}{(m\land n)^{2}}}$, et $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}},{\sqrt {n}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}},{\sqrt {k}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {n}},{\sqrt {k}})$ (qui est un corps biquadratique (en) si m et n sont différents de 1 et distincts). Alors,

${\mathcal {O}}_{K}={\begin{cases}\mathbb {Z} \left[{\sqrt {m}},{\sqrt {n}},{\frac {{\sqrt {n}}+{\sqrt {k}}}{2}}\right]&{\text{si }}m\equiv 3{\text{ et }}n\equiv k\equiv 2{\bmod {4}}\\\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}},{\sqrt {n}},{\frac {{\sqrt {n}}+{\sqrt {k}}}{2}}\right]&{\text{si }}m\equiv 1{\text{ et }}n\equiv k\not \equiv 1{\bmod {4}}\\\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}},{\frac {1+{\sqrt {n}}}{2}},{\frac {(1+{\sqrt {m}})(1+{\sqrt {k}})}{4}}\right]&{\text{si }}m\equiv n\equiv k\equiv 1{\bmod {4}}.\end{cases}}$.

* L'anneau des entiers du n-ième corps cyclotomique $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ est $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$, et celui de son sous-corps réel maximal $\mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})$ est $\mathbb {Z} [\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}]$.

## Généralisation

Si K est un corps local non archimédien, l'anneau $O_K$ de ses entiers (défini de la même façon que pour un corps de nombres) est égal à sa boule unité fermée. Par exemple :

* pour tout nombre premier p, l'anneau des entiers du corps $\mathbb {Q} _{p}$ des nombres p-adiques est l'anneau $\mathbb {Z} _{p}$ des entiers p-adiques ;
* l'anneau des entiers du corps $\mathbb {F} _{q}((t))$ des séries formelles de Laurent à coefficients dans le corps fini $\mathbb {F} _{q}$ est l'anneau $\mathbb {F} _{q}[[t]]$ des séries formelles à coefficients dans $\mathbb {F} _{q}$ ;
* si K est un complété formel d'un corps de nombres F, alors ${\mathcal {O}}_{K}$ est le complété formel de ${\mathcal {O}}_{F}$.
