Algèbre géométrique conforme
# Algèbre géométrique conforme

L’algèbre géométrique conforme est un modèle mathématique de l'espace, établissant une correspondance injective entre l'espace euclidien de dimension $n$ et une algèbre géométrique de dimension $n+2$, telle que l'image de tout point est un vecteur nul et telle qu'il existe un vecteur nul avec lequel l'image de tout point donne un produit intérieur égal à un.

${\begin{array}{c}F(\mathbf {x} )^{2}=0\\F(\mathbf {x} )\cdot \infty =1\\\infty ^{2}=0\end{array}}$

## Définitions

### Plan de Minkowski

L'algèbre géométrique conforme ajoute à l'espace euclidien deux dimensions dotées d'une métrique pseudo-euclidienne $(-,+)$. Cet espace est appelé plan de Minkowskii.

Deux vecteurs nuls de cet espace sont choisis. Ils sont notés $(o,\infty )$ et appelés respectivement origine et horizon. Ils sont choisis afin de satisfaire les relations suivantes:

${\begin{array}{c}o^{2}=\infty ^{2}=0\\o\cdot \infty =\infty \cdot o=1\end{array}}$

Il peut être montré que $(o,\infty )$ forment une base du plan de Minkowski. Cette base est appelée base nulle.

Le produit extérieur de l'horizon et de l'origine forme le pseudo-scalaire du plan de Minkowski. Il est noté avec un E majuscule.

$\infty \wedge o=E$

La convention $E=o\wedge \infty$ existe aussi mais ne sera pas utilisée dans cet article.

### Découpage conforme

L'algèbre géométrique conforme découpe une algèbre géométrique de dimension vectorielle $n+2$ en deux sous espaces : le plan de Minkowski et un espace de dimension $n$ visant à représenter un espace euclidien.

Il existe au moins deux méthodes de découpe.

**Découpage additif**

Le découpage additif utilise une somme directe:

$\mathbb {R} ^{n+1,1}=\mathbb {R} ^{n}\oplus \mathbb {R} ^{1,1}$

Un vecteur $x$ de $\mathbb {R} ^{n+1,1}$ s'écrit donc:

    $x=F(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty$

Les coefficients $\alpha ,\beta$ sont les coordonnées de $x$ dans le plan de Minkowski. Ils dépendent de $\mathbf {x}$ de manière que $F(\mathbf {x} )$ satisfasse les relations définissant le modèle conforme.

**Découpage multiplicatif**

Le découpage multiplicatif consiste en un produit direct:

${\mathcal {G}}_{n+1,1}={\mathcal {G}}_{n}\otimes {\mathcal {G}}_{1,1}$

Ici ${\mathcal {G}}_{n}$ est en fait l'espace des trivecteurs ayant pour facteur commun le bivecteur E.

    $\rho \mathbf {x} =x\wedge E$

Le facteur de linéarité $\rho$ est à déterminer en tenant compte des conditions du modèle conforme.

## Propriétés

### Plan de Minkowski

**Carré du pseudo-scalaire**

Le carré du pseudo-scalaire du plan de Minkowski est égal à un.

$E^{2}=1$

${\begin{aligned}E^{2}=&(\infty \wedge o)(\infty \wedge o)\\=&-(o\wedge \infty )(\infty \wedge o)\\=&-(o\infty -o\cdot \infty )(\infty o-\infty \cdot o)\\=&-(o\infty -1)(\infty o-1)\\=&(1-o\infty )(\infty o-1)\\=&\infty o-1-o\infty \infty o+o\infty \\=&\infty o+o\infty -1\\=&2\infty \cdot o-1\\=&2-1\\=&1\end{aligned}}$

**Absorption par la base nulle**

Dans le plan de Minkowski, la multiplication par E agit sur l'origine et l'horizon en changeant ou non leur signe selon le sens de la multiplication.

${\begin{array}{c}E\infty =-\infty E=\infty \\oE=-Eo=o\end{array}}$

${\begin{aligned}E\infty =&(\infty \wedge o)\infty \\=&-(o\wedge \infty )\infty \\=&-(o\infty -o\cdot \infty )\infty \\=&(o\cdot \infty -o\infty )\infty \\=&(1-o\infty )\infty \\=&\infty -o\infty ^{2}\\=&\infty \end{aligned}}$

Les autres relations se démontrent de manière similaire.

### Expression de F

**Découpage additif**

Avec le découpage additif, l'expression explicite de F s'écrit:

$F(\mathbf {x} )=o+\mathbf {x} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty$

Comme vu précédemment: $F(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty$

On cherche à déterminer $\alpha$ et $\beta$ afin de satisfaire $F(\mathbf {x} )^{2}=0$ et $F(\mathbf {x} )\cdot \infty =1$.

On a:

    ${\begin{aligned}F(\mathbf {x} )^{2}=&(\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty )(\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty )\\=&\mathbf {x} ^{2}+\alpha \beta o\infty +\alpha \beta \infty o\\=&\mathbf {x} ^{2}+2\alpha \beta o\cdot \infty \\=&\mathbf {x} ^{2}+2\alpha \beta \end{aligned}}$

Donc $F(\mathbf {x} )^{2}=0$ implique $\alpha \beta =-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}$

La condition $F(\mathbf {x} )\cdot \infty =1$ implique quant à elle immédiatement $\alpha =1$

Donc $\beta =-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}$

**Découpage multiplicatif**

Pour le découpage multiplicatif, F s'écrit:

$F(\mathbf {x} )=(o+\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty )E=o+\mathbf {x} E-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty$

On a tout d'abord:

    $F(\mathbf {x} )=x=xE^{2}=(x\wedge E+x\cdot E)E$

D'où

    $x^{2}=xx^{\dagger }=(x\wedge E+x\cdot E)EE(E\wedge x+x\cdot E)=-(x\wedge E+x\cdot E)(x\wedge E-x\cdot E)=(x\cdot E)^{2}-(x\wedge E)^{2}$

Comme par ailleurs $x^{2}=0$, il vient:

    $(x\cdot E)^{2}=(x\wedge E)^{2}=\mathbf {x} ^{2}$

Or

    $(x\cdot E)^{2}=(x\cdot (\infty \wedge o))^{2}=(x\cdot \infty \,o-\infty \,x\cdot o)^{2}=(o-\infty \,x\cdot o)^{2}=-x\cdot o(o\infty +\infty o)=-2x\cdot o$

Donc

    $x\cdot o=-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}$

Et donc

    $x\cdot E=o-\infty \,x\cdot o=o+{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty$

ce qui donne

    $xE=x\wedge E+x\cdot E=\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty +o$

et enfin, en multipliant par E:

    $x=(\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty +o)E$

### Produit intérieur et norme euclidienne

Le carré de la distance euclidienne est l'opposé du double du produit intérieur.

$\|\mathbf {y} -\mathbf {x} \|^{2}=-2F(\mathbf {x} )\cdot F(\mathbf {y} )$

Pour le découpage additif:

    ${\begin{aligned}2F(\mathbf {x} )\cdot F(\mathbf {y} )=&(o+\mathbf {x} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty )(o+\mathbf {y} -{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}\infty )+(o+\mathbf {y} -{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}\infty )(o+\mathbf {x} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty )\\=&-{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}+\mathbf {xy} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}-{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}+\mathbf {yx} \\=&-(\mathbf {x} ^{2}-\mathbf {xy} -\mathbf {yx} +\mathbf {y} ^{2})\\=&-(\mathbf {x} -\mathbf {y} )^{2}\\=&-\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2}\end{aligned}}$

Pour le découpage multiplicatif:

