Appariement à 3 dimensions
# Appariement à 3 dimensions

En mathématiques, et notamment en théorie des graphes, un appariement à 3 dimensions (en anglais : 3-dimensional matching) est une généralisation du couplage (aussi appelé appariement en dimension 2 ) à une situation ternaire qui, techniquement, est celle des hypergraphes dits 3-uniformes. Trouver un appariement à 3 dimensions de taille maximum est un problème NP-difficile bien connu en théorie de la complexité informatique.

## Définition

Soient $X,Y$ et $Z$ trois ensembles finis disjoints, et soit $T$ un sous-ensemble de $X\times Y\times Z$. Ainsi, $T$ est composé de triplets $(x,y,z)$, avec $x\in X,y\in Y$ et $z\in Z$. Une partie $M\subseteq T$ est un appariement à 3 dimensions si la propriété suivante est vérifiée : pour toute paire de triplets $(x_{1},y_{1},z_{1})$ et $(x_{2},y_{2},z_{2})$ distincts de $M$, on a $x_{1}\neq x_{2}$ ,$y_{1}\neq y_{2}$ et $z_{1}\neq z_{2}$. En d'autres termes, si deux triplets diffèrent sur une composante, ils doivent différer sur toutes leurs composantes.

### Exemple

La figure à droite illustre un appariement à 3 dimensions. L'ensemble $X$ est représenté par des points rouges, $Y$ par des points bleus et $Z$ par des points verts. La figure (a) montre l'ensemble $T$ donné ; chaque triplet est dessiné dans une zone grisée. La figure (b) montre un appariement à 3 dimensions composé de deux éléments, et la figure (c) montre un appariement composé de trois éléments.

L'appariement de la figure (c) est de taille maximum : il n'en existe pas de taille plus grande, alors que l'appariement de la figure (b), tout en n'étant pas de taille maximum, est maximal : il ne peut pas être agrandi en un appariement plus grand.

### Comparaison avec le couplage

Un couplage, ou appariement à 2 dimensions, peut être défini de manière tout à fait analogue : soient $X$ et $Y$ deux ensembles finis disjoints, et soit $T$ une partie de $X\times Y$. Une partie $M\subseteq T$ est un couplage si, pour toute paire de couples distincts $(x_{1},y_{1})$ et $(x_{2},y_{2})$ de $M$, on a $x_{1}\neq x_{2}$ et $y_{1}\neq y_{2}$.

Dans le cas de l’appariement en dimension 2, l'ensemble $T$ peut être interprété comme l'ensemble des arêtes d'un graphe biparti $G=(X\cup Y,T)$, chaque arête de $T$ reliant un sommet de $X$ à un sommet de $Y$. Un appariement à 2 dimensions est alors couplage dans le graphe $G$, c'est-à-dire un ensemble d'arêtes deux-à-deux non adjacentes.

De même, un appariement à 3 dimensions peut être interprété comme une généralisation des couplages aux hypergraphes : les ensembles $X,Y$ et $Z$ contiennent les sommets, chaque triple de $T$ est une hyper-arête, et l'ensemble $M$ est formé d'hyper-arêtes deux-à-deux disjointes, c'est-à-dire sans sommet commun.

### Comparaison avec le set packing

Un appariement à 3 dimensions est un cas particulier du set packing: on peut interpréter chaque triplet $(x,y,z)$ de $T$ comme un sous-ensemble $\{x,y,z\}$ de $X\cup Y\cup Z$ ; un appariement à 3 dimensions $M$ consiste alors en des sous-ensembles deux-à-deux disjoints.

## Problème de décision

En théorie de la complexité informatique, le problème de l'appariement à 3 dimensions est le nom du problème de décision suivant : étant donné un ensemble $T$ et un entier k; décider s'il existe un appariement à 3 dimensions $M\subseteq T$ avec au moins k éléments.

Ce problème de décision est connu pour être NP-complet : c'est l'un des fameux 21 problèmes NP-complets de Karp. Il existe toutefois des algorithmes polynomiaux pour ce problème dans des cas particuliers, comme celui des hypergraphes « denses $»^,.$

Le problème est NP-complet même dans le cas particulier où $k=|X|=|Y|=|Z|$$^,^,.$ Dans ce cas, un appariement à 3 dimensions n'est pas seulement un set packing mais aussi un problème de la couverture exacte : l'ensemble $M$ couvre chaque élément de $X,Y$ et $Z$ une fois exactement.

## Problème d'optimisation

Un appariement à 3 dimensions maximum est un appariement à 3 dimensions de taille maximum. En théorie de la complexité, c'est aussi le nom du problème d'optimisation combinatoire suivant : étant donné $T$, trouver un appariement à 3 dimensions $M$ de taille maximum.

Comme le problème de décision est NP-complet, le problème d'optimisation est NP-difficile, et il n'existe donc vraisemblablement pas d'algorithme polynomial pour trouver un appariement à 3 dimensions maximum, alors qu'il existe des algorithmes efficaces en temps polynomial pour la dimension 2, comme l'algorithme de Hopcroft et Karp.

### Algorithmes d'approximation

Le problème est APX-complet ; en d'autres termes, il est difficile de l'approximer avec un facteur $constant^,^,.$ En revanche, pour toute constante $\varepsilon >0$, il existe un algorithme d'approximation en temps polynomial de facteur $3/2+\varepsilon$$^,.$

Il existe un algorithme polynomial très simple pour calculer une appariement à 3 dimensions avec un facteur d'approximation 3 : il suffit de trouver un appariement à 3 dimensions quelconque qui ne peut être augmenté (un appariement maximal). Il n'est pas forcément maximum, mais tout comme une couplage maximal est un couplage maximum à un facteur 1/2 près, un appariement à 3 dimensions maximal est maximum à un facteur 1/3 près.

