Anticommutativité
# Anticommutativité

En mathématiques, l'anticommutativité est la propriété caractérisant les opérations pour lesquelles intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé. Par exemple, une opération binaire ✻ est anticommutative si

$\forall x,y\qquad x*y=-\;y*x$

Cette propriété intervient en algèbre, en géométrie, en analyse et, par conséquent, en physique.

## Définition

Étant donné un entier naturel n, une opération n-aire est dite anticommutative si intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé.

Plus formellement, une application $*:A^{n}\to G$ de l'ensemble de tous les n-uplets d'éléments d'un ensemble A dans un groupe G est dite anticommutative si pour toute permutation σ de l'ensemble {1, 2, … ,n}, on a :

    $\forall (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in A^{n}\qquad x_{1}*x_{2}*\dots *x_{n}=\operatorname {sgn}(\sigma )\;x_{\sigma (1)}*x_{\sigma (2)}*\dots *x_{\sigma (n)}$,

où sgn(σ) désigne la signature de σ.

Cette formule est à interpréter comme suit :

* si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation impaire alors leurs images sont symétriques l'une de l'autre dans le groupe G ;
* si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation paire alors ils ont même image.

La formule comporte donc un abus de notation puisqu'a priori, l'ensemble d'arrivée G est seulement un groupe, dans lequel « –1 » et la multiplication n'ont pas de sens précis. Dans le groupe G, noté ici additivement, (–1) g représente le symétrique (ou opposé) –g d'un élément g.

Le cas n = 2 est particulièrement important. Une opération binaire $*:A\times A\to G$ est anticommutative si

    $\forall (x_{1},x_{2})\in A\times A\qquad x_{1}*x_{2}=-\;x_{2}*x_{1}$,

ce qui signifie que $x_1✻x_2$ est l'élément symétrique de $x_2✻x_1$ dans le groupe G.

## Exemples

* Sont anticommutatifs :
   * la soustraction ;
   * le produit vectoriel ;
   * le crochet de Lie.
* Une application multilinéaire anticommutative est dite antisymétrique.

## Propriété

Si le groupe G est tel que

    $\forall g\in G\quad (g=-g~\Rightarrow ~g=0)$,

c'est-à-dire si l'élément neutre est le seul élément qui soit égal à son symétrique alors :

* pour toute opération binaire ✻ anticommutative et tout élément $x_1$ on a :

    $x_{1}*x_{1}=0$ ;
* plus généralement, pour toute opération n-aire ✻ anticommutative, l'image de tout n-uplet $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ comportant une répétition (c.-à-d. tel que $x_{i}=x_{j}$ pour au moins deux indices i et j distincts) est égale à l'élément neutre :

    $[\exists i\neq j\quad x_{i}=x_{j}]\Rightarrow x_{1}*x_{2}*\dots *x_{n}=0$.

Cette propriété est plus connue dans le cas particulier d'une application n-linéaire antisymétrique $f:E^{n}\to F$ (E et F étant des espaces vectoriels sur un même corps K) : si la caractéristique de K est différente de 2 alors le seul vecteur de F égal à son opposé est le vecteur nul, si bien que f est alternée.

