Algèbre d'un monoïde
# Algèbre d'un monoïde

En algèbre, plus précisément en théorie des anneaux, l'algèbre d'un monoïde M sur un anneau commutatif A est la A-algèbre formée des combinaisons linéaires d'éléments de M, à coefficients dans A. Cette construction généralise celle des anneaux de polynômes et intervient, lorsque M est un groupe, dans la théorie de ses représentations et dans la définition de son homologie. Lorsque A est un anneau non commutatif, la même construction ne fournit pas une A-algèbre mais seulement un anneau.

## Définition

Soient A un anneau commutatif (unifère) et M un monoïde. On note $A^M$ le A-module des applications de M dans A. La A-algèbre de M, notée A[M], est le sous-module de $A^M$ constitué des applications de support fini (c'est-à-dire nulles sauf sur une partie finie de M), muni de la multiplication définie par :

$(fg)(m)=\sum _{x,y\in M,xy=m}f(x)g(y).$

Si l'on identifie chaque élément m de M avec la fonction caractéristique du singleton {m}, alors M s'identifie à une partie de A[M] et A[M] est le A-module libre de base M, muni du produit qui étend (par bilinéarité) la loi de monoïde de M. Plus explicitement, un élément de A[M] est noté

$f=\sum _{m\in M}f_{m}m,\quad f_{m}\in A$

où les éléments $f_m$ sont presque tous nuls, et le produit de deux tels éléments est donné par :

$\left(\sum _{x\in M}f_{x}x\right)\left(\sum _{y\in M}g_{y}y\right)=\sum _{m\in M}\left(\sum _{x,y\in M,xy=m}f_{x}g_{y}\right)m.$

Si M est un groupe, A[M] est appelée l'algèbre du groupe M.

## Exemples

* Si A est l'anneau ℤ des entiers relatifs, le groupe additif de A[M] est le groupe abélien libre sur M.
* Pour tout ensemble I, l'algèbre de polynômes $A[(X_i)_{i∈I}]$ est la A-algèbre du monoïde commutatif libre sur I, c'est-à-dire du monoïde M = $ℕ^{(I)}$ des applications de support fini de I dans ℕ (muni de l'addition naturelle), tandis que l'algèbre de polynômes en les mêmes variables, mais non commutatives, est l'algèbre du monoïde libre sur I.
* Toutes les A-algèbres, même commutatives et unifères, ne sont pas des algèbres de monoïdes. Par exemple si A est un corps de caractéristique différente de 2, la seule A-algèbre de monoïde de rang 2 est A[ℤ/2ℤ] ≃ $A[X]/(X^2$ – 1) ≃ $A[X]/(X^2$ – X) ≃ A⊕A, et $A[X]/(X^2)$ ne lui est pas isomorphe car elle possède un élément nilpotent non nul.

## Propriété universelle

A posteriori, A[M] peut être caractérisée (à isomorphisme près) par une propriété universelle : pour A fixé, le foncteur qui à M associe A[M] (de la catégorie des monoïdes vers celle des A-algèbres) est l'adjoint à gauche du foncteur d'oubli. A[M] est donc appelée la A-algèbre libre sur le monoïde M.

## Cas où l'anneau n'est pas commutatif

Si A n'est pas commutatif, A[M] n'est plus une algèbre sur A mais sur le centre de A. C'est donc en particulier un anneau.

C'est également un A-bimodule.

