Anneau de Sylvester
# Anneau de Sylvester

Un anneau de Sylvester est un anneau sur lequel les matrices ont un rang qui vérifie l'égalité de Sylvester, classique pour les matrices définies sur un corps.

## Définitions

Pour une matrice à coefficients dans un corps, la notion de rang ne présente pas d'ambiguïté. Il en va différemment pour une matrice à éléments dans un anneau.

* Si l'anneau R est un anneau d'Ore, on peut plonger R dans son corps des fractions K. On appelle rang extérieur d'un matrice A à éléments dans R le rang de cette matrice considérée comme étant à éléments dans K. Ce rang est noté $rg\left(A\right)$ et il vérifie toujours l'inégalité de Sylvester.
* On définit également le rang intérieur d'une matrice à éléments dans un anneau R qui n'est pas nécessairement d'Ore. Le rang intérieur de $A\in R^{n\times m}$ est noté $\rho \left(A\right)$ et est défini comme étant le plus petit entier $r$ pour lequel il existe une factorisation$A=BC,B\in R^{n\times r},C\in R^{r\times m}$.
* Si $A$ et $B$ sont deux matrices, la somme diagonale de ces matrices, notée $A\oplus B$, est la matrice $\left({\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}}\right)=diag\left(A,B\right)$.
* On dit qu'un anneau R a la propriété UGN si pour tout entier n il existe un R-module qui ne peut pas être engendré par n éléments. La propriété UGN entraîne la propriété IBN (en) (voir l'article anneau d'Hermite).
* Soit R un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes :
* Pour tous entiers $n,m,p$, des matrices quelconques $A\in R^{n\times m}$ et $B\in R^{m\times p}$ vérifient l'inégalité de Sylvester $\rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)-m\leq \rho \left(AB\right)$.
* Pour tous entiers $n,m,p$, si des matrices $A=B\in R^{n\times m}$ et $B\in R^{m\times p}$ sont telles que $AB=0$, alors $m\geq \rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)$.

On appelle anneau de Sylvester un anneau qui vérifie les propriétés équivalentes ci-dessus.

## Propriétés

* Soit $A\in R^{n\times m}$. On a les inégalités suivantes dès que les membres de gauche ont un sens :$\rho \left(A\right)\leq \min \left(n,m\right),\rho \left(A\oplus B\right)\leq \rho \left(A\right)+\rho \left(B\right),$ $\rho \left(AB\right)\leq \min \left(\rho \left(A\right),\rho \left(B\right)\right),\rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&B\end{array}}\right]\right)\geq \max \left(\rho \left(A\right),\rho \left(B\right)\right).$
* Si R est un anneau d'Ore, on a, pour toute matrice $A$ à éléments dans R, $rg\left(A\right)\leq \rho \left(A\right)$, avec égalité si, et seulement si R est un anneau de Sylvester. Un anneau d'Ore R est de Sylvester si, et seulement si sa dimension homologique faible est inférieure ou égale à 2 et tout R-module plat est la réunion d'une famille filtrante croissante de sous-modules libres. Si R est un anneau sans diviseur de zéro noethérien, cette condition est vérifiée si, et seulement si R est de dimension homologique au plus égale à 2 et est projectif libre (voir l'article anneau d'Hermite).
* Si R est un anneau de Sylvester, alors R est sans diviseur de zéro. De plus, pour toutes matrices $A$ et $B$ à éléments dans R, $\rho \left(A\oplus B\right)=\rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)$; si $A,B$ et $C$ sont des matrices à éléments dans $R$ ayant le même nombre de colonnes et si $\rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&B\end{array}}\right]\right)=\rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&C\end{array}}\right]\right)=\rho \left(A\right)$, alors$\rho \left(\left[{\begin{array}{ccc}A&B&C\end{array}}\right]\right)=\rho \left(A\right)$.
* Tout anneau de Sylvester a la propriété UGN, a sa dimension globale faible inférieure ou égale à 2, et est projectif libre.

## Exemples

Un anneau de Bézout (non nécessairement commutatif) est un anneau de Sylvester, et la première algèbre de Weyl $A_{1}\left(k\right)$ (où $k$ est un corps commutatif de caractéristique 0) est un exemple d'anneau de Dedekind qui n'est pas un anneau de Sylvester.

