Anneau de Schreier
# Anneau de Schreier

En algèbre (une branche des mathématiques), un anneau de Schreier est un anneau intégralement clos et « pré-Schreier », un anneau intègre étant dit pré-Schreier si dans cet anneau, tout élément x est primal, c.-à-d. que pour tout produit yz mutiple de x, x est produit d'un diviseur de y par un diviseur de z.

Le terme « anneau de Schreier » — du nom d'Otto Schreier — a été introduit par Paul Cohn dans les années 60. Le terme « anneau pré-Schreier » est dû à Muhammad Zafrullah.

## Définition équivalente

Un anneau A est pré-Schreier si et seulement si il vérifie la propriété d'interpolation de Riesz suivante pour tous $m,n\in \mathbb {N}$ ou, ce qui est équivalent, pour $m=n=2$$^,^,$ :

    Pour tous $a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n}\in A$ tels que chaque $a_{i}$ divise chaque $b_{j}$, il existe dans $A$ un élément qui est à la fois multiple de tous les $a_{i}$ et diviseur de tous les $b_{j}$.

## Propriétés

La propriété de Schreier est intermédiaire entre celle d'être un anneau à PGCD et celle de vérifier le lemme de Gauss :

* tout anneau intègre à PGCD est un anneau de Schreier et la réciproque est fausse ;
* tout anneau pré-Schreier vérifie le lemme de Gauss et la réciproque est fausse.

A fortiori, un anneau pré-Schreier vérifie le lemme d'Euclide : un élément est premier si (et seulement si) il est irréductible (on peut le voir plus directement en remarquant que dans un anneau intègre, tout élément irréductible et primal est premier). En particulier, un anneau est factoriel si (et seulement si) il est pré-Schreier et $atomique^,.$

On peut affiner l'implication ci-dessus « pré-Schreier ⇒ Gauss » en intercalant la propriété « PSP » : tout polynôme Primitif est SuperPrimitif, c'est-à-dire que l'inverse de idéal de type fini engendré par ses coefficients est réduit à l'anneau. (L'implication « pré-Schreier ⇒ PSP » se démontre par interpolation de Riesz — elle est stricte — et Gauss équivaut à « PSP2 », la propriété PSP restreinte aux polynômes de degré 1.)

En résumé : à PGCD ⇒ Schreier ⇒ pré-Schreier ⇒ PSP ⇒ Gauss ⇒ Euclide.

Par ailleurs, si A est un anneau de Schreier, alors l'anneau de polynômes A[X] en est un aussi.

