Algèbre (homonymie)
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Le mot « algèbre » vient de l'arabe ’al ǧabr (« réduction »), désignant une technique de chirurgie des membres puis une technique de réduction des calculs. Cette dernière donne lieu à plusieurs branches des mathématiques mais aussi, depuis le XXe siècle, à plusieurs structures composées d'un ensemble et de plusieurs opérations.

Hors des mathématiques, le terme est parfois employé pour désigner un ensemble de règles, avec une connotation de rigueur ou d'hermétisme.

De nombreux termes mathématiques utilisent l'adjectif dérivé « algébrique ».

## Branche des mathématiques

L'algèbre regroupe le traitement de formules et d'équations reliant des objets mathématiques par des opérations.

### Étapes historiques

* L'algèbre babylonienne est l'ensemble des techniques et des raisonnements numériques utilisés dans l'ancienne Mésopotamie dans le but de résoudre des problèmes.
* L'algèbre rhétorique est l'écriture des mathématiques sans l'usage de symbole.
* L'algèbre syncopée a recours à des notations abrégées pour les opérations mais différencie encore les notations de l'inconnue et de ses puissances.
* L’algèbre géométrique regroupe des méthodes géométriques développées par les mathématiciens de l'antiquité grecque pour établir des résultats d'algèbre.
* L'algèbre arabe est l'algèbre développée et pratiquée par les mathématiciens de langue arabe, essentiellement entre les IXe siècle et XVe siècles.
* L'algèbre nouvelle de Viète, dite aussi algèbre spécieuse ou logistique, est la manipulation de lettres représentant des quantités, par opposition à l'algèbre nombreuse qui utilise directement des valeurs explicites.

### Sous-branches

* L'algèbre classique est l'étude des opérations arithmétiques sur les nombres rationnels puis réels ou complexes et la résolution de problèmes numériques par le biais d'équations polynomiales de faible degré.
* L'algèbre générale traite des structures algébriques et de leurs relations. Elle s'étend avec l'algèbre universelle.
* L'algèbre commutative, fondée par Hilbert, traite des anneaux et algèbres dont la loi de multiplication est commutative ainsi que de leurs idéaux et modules.
* L'algèbre linéaire porte spécifiquement sur les espaces vectoriels, les applications linéaires et en particulier leurs représentations matricielles.
* L'algèbre matricielle développe l'utilisation des matrices, notamment dans les autres branches des mathématiques comme en théorie des graphes.
* L'algèbre multilinéaire étend l'algèbre linéaire aux applications (de plusieurs variables) multilinéaires et notamment aux formes bilinéaires et quadratiques, développant la notion de tenseur.
* L'algèbre homologique est l'étude des complexes différentiels et de leur homologie.
* L'algèbre relationnelle est une théorie définissant les opérations sur des matrices, dérivée de la théorie des ensembles.

## Structures

Une structure d'algèbre sur un ensemble est en général constituée de deux lois de composition internes, la première (additive) étant commutative et associative, la seconde (multiplicative) étant distributive par rapport à la première. Elle peut être munie de structures additionnelles ou assortie de conditions supplémentaires.

### Algèbre sur un anneau ou un corps

Une algèbre sur un anneau est un module sur cet anneau muni d'une loi multiplicative compatible. Une algèbre sur un corps est un espace vectoriel muni d'une loi multiplicative compatible.

**Propriétés**

Une telle algèbre est dite :

* associative si sa loi multiplicative est associative ;
* commutative si sa loi multiplicative est commutative ;
* semi-simple si elle s'écrit comme somme directe de sous-modules simples ;
* de type fini si elle est engendrée comme algèbre par un nombre fini d'éléments ;
* unitaire si sa loi multiplicative admet un élément neutre.

D'autres conditions donnent lieu à des appellations spécifiques :

* une algèbre d'opérateurs est une algèbre dont les éléments sont des endomorphismes ;
* une algèbre géométrique ;
* une algèbre de Leibniz ou algèbre de Loday est une algèbre dont la deuxième loi satisfait l'identité de Leibniz ;
* une algèbre de Lie est une algèbre dont la deuxième loi de composition interne est antisymétrique et vérifie l'identité de Jacobi ; en particulier :
   * une algèbre de Kac-Moody est une algèbre de Lie, généralement de dimension infinie, pouvant être définie par des générateurs et des relations via une matrice de Cartan généralisée ;
* une algèbre de Zinbiel est une algèbre dont la deuxième loi satisfait une relation spécifique ;
* une algèbre d'Azumaya est une algèbre libre de rang fini dont le produit tensoriel avec son algèbre opposée est isomorphe à une algèbre de matrices.

**Enrichissements de structure**

* Une algèbre graduée est munie d'une graduation compatible avec la multiplication.
* Une algèbre normée est munie d'une norme, parfois sous-multiplicative. En particulier :
   * une algèbre de Banach est une algèbre munie d'une norme qui en fait un espace de Banach.
* Une *-algèbre est une algèbre associative sur un anneau muni d'un automorphisme involutif. En particulier :
   * Une C*-algèbre ou algèbre stellaire est une algèbre de Banach involutive (sur le corps des complexes).
      * une algèbre de von Neumann ou W*-algèbre est une *-algèbre d'opérateurs bornés sur un espace de Hilbert, fermée pour la topologie faible, et qui contient l'opérateur identité.
* Une bialgèbre ou bigèbre est une algèbre associative unitaire munie d'une comultiplication coassociative et d'une counité compatibles.
   * Une algèbre de Hopf est une bialgèbre munie d'une opération antipode. Le relâchement de l'hypothèse de coassociativité aboutit à la notion d'algèbre de quasi-Hopf.
* Une algèbre dendriforme est une algèbre munie de deux opérations bilinéaires satisfaisant des relations spécifiques.

**Constructions**

L'algèbre libre sur un ensemble est un espace vectoriel dont une base est indexée par les mots sur cet ensemble. Elle permet de construire diverses algèbres par quotient :

* l'algèbre tensorielle sur un espace vectoriel est l'algèbre libre engendrée par une base de cet espace ;
* l'algèbre symétrique sur un espace vectoriel est le quotient de l'algèbre tensorielle par une relation de symétrie ;
* l'algèbre extérieure (ou algèbre de Grassmann) sur un espace vectoriel est le quotient de l'algèbre tensorielle par une relation d'antisymétrie ;
* l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie est une algèbre associative unitaire factorisant tout morphisme d'une algèbre associative vers cette algèbre de Lie ;
* l'algèbre de Clifford engendrée par une forme quadratique est une algèbre associative unitaire et dans laquelle la multiplication est définie par la forme quadratique ;
* l'algèbre d'un monoïde, et en particulier l'algèbre d'un groupe fini est l'espace vectoriel de base indexée par ce groupe et muni d'une multiplication définie par les relations entre les éléments du monoïde ou du groupe.

### Autres structures

* Une algèbre vertex est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire à valeurs dans son espace de séries de Laurent.
* Une algèbre de Kleene est un semi-anneau dont tout élément est idempotent pour la première loi. C'est le cas des algèbres max-plus et min-plus.
* Une algèbre de Kleene est aussi un treillis ordonné distributif avec une involution compatible satisfaisant les lois de Morgan.
* Une algèbre de Boole est un treillis distributif borné et complémenté, tel que l'algèbre de Boole des valeurs de vérité en logique.
* Une algèbre d'ensembles est un ensemble de parties d'un ensemble, qui est non vide, stable par complémentation et par union finie.
* Une σ-algèbre est un ensemble de parties non vide, stable par complémentation et par union dénombrable.
* Une algèbre de Post généralise l'algèbre de Boole à la logique ternaire.

## Autres domaines

* Une algèbre de processus est un langage formel permettant de modéliser les systèmes informatiques concurrents ou distribués.
* L'algèbre lacanienne est l'ensemble des notations utilisées dans la philosophie de Jacques Lacan.
