Anneau d'Hermite
# Anneau d'Hermite

La notion d'anneau d'Hermite est un peu plus faible que celle d'anneau projectif libre (notion qui est également traitée dans cet article). Le théorème de Quillen-Suslin (qui apporte une réponse positive à une conjecture de Serre) montre que l'anneau de polynômes $K\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ (où $K$ est un corps commutatif) est un anneau d'Hermite (et, d'après le théorème de Hilbert-Serre, il est même projectif libre). Ce résultat cesse d'être exact si le corps $K$ est non commutatif dès que $n\geq 2$$^,.$ De même, la première algèbre de Weyl $A_{1}\left(k\right)$ (où $k$ est un corps commutatif) n'est pas un anneau d'Hermite.

## Définitions

Notons tout d'abord que le terme anneau d'Hermite est pris ici au sens introduit par Lissner. Suivant une terminologie maintenant tombée en désuétude, due à Kaplansky, la notion d'anneau d'Hermite commutatif intègre coïncide avec celle d'anneau de Bézout. La notion précisée ci-dessous est plus générale.

* Un anneau $R$ est dit avoir la propriété IBN (en) si ses puissances cartésiennes sont deux à deux non isomorphes en tant que modules : $\forall n,m,\quad R^{n}\cong _{R-\mathrm {mod} }R^{m}\quad \Rightarrow \quad n=m$. Tout anneau commutatif non nul a la propriété IBN.
* Soit $R$ un anneau et $P$ un $R$-module à droite. Ce module $P$ est dit stablement libre (en) s'il existe des entiers $m$ et $n$ tels que $P\oplus R^{m}\cong R^{n}$$^,.$ Il est clair qu'un module stablement libre est projectif de type fini, la réciproque étant en général inexacte. D'autre part, un module libre de type fini est stablement libre.
* Une matrice-ligne $A_{1}\in R^{1\times n}$ est dite unimodulaire si elle est inversible à droite. Les conditions suivantes sont équivalentes :
* Pour toute ligne unimodulaire $A_{1}$, il existe une matrice $A_{2}\in R^{n-1\times n}$ telle que la matrice carrée$A=\left({\begin{array}{c}A_{1}\\A_{2}\end{array}}\right)$est inversible.
* Tout $R$-module à droite stablement libre est libre.
* Un anneau est dit d'Hermite à droite s'il a la propriété IBN et s'il vérifie les conditions équivalentes $ci-dessus^,.$ On définit de même un anneau d'Hermite à gauche, mais un anneau est d'Hermite à droite si, et seulement si il est d'Hermite à gauche. (La terminologie vient du fait suivant : Charles Hermite a montré que toute ligne non nulle de n entiers $a_i$ peut être complétée par n – 1 lignes de n entiers de façon à former une matrice carrée dont le déterminant est le plus grand diviseur commun des $a_i.)$
* La notion d'anneau projectif libre a été introduite par Cohn. Un anneau R est dit projectif libre si tout R-module projectif de type fini est libre. Il est clair que tout anneau projectif libre est d'Hermite, la réciproque étant inexacte.
* Soit R un anneau noethérien sans diviseurs de zéro. Les conditions suivantes sont équivalentes :
* Tout idéal à gauche ou à droite de R est stablement libre.
* Tout R-module sans torsion est stablement libre. On appelle anneau stablement libre un anneau qui vérifie les conditions équivalentes $ci-dessus^,.$

## Quelques résultats

* Si $R$ est un anneau de Bézout (non nécessairement commutatif), tout $R$-module de type fini est libre. Par conséquent, tout anneau de Bézout est un anneau d'Hermite.
* Si $R$ est un anneau de Bézout commutatif ou un anneau de valuation, $R\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ est un anneau projectif libre. Cela cesse d'être exact dès que $n\geq 2$ si $R$ est un anneau de Bézout non commutatif (ou même un corps non commutatif, comme on l'a dit plus haut).
* Un anneau local, un anneau de Dedekind commutatif, sont des anneaux d'Hermite. Cela n'est pas vrai d'un anneau de Dedekind non commutatif quelconque, comme le montre l'exemple de l'algèbre de Weyl $A_{1}\left(k\right)$.
* L'anneau des polynômes de Laurent généralisés $K\left[X_{1},\dots ,X_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m},Y_{1}^{-1},\dots ,Y_{m}^{-1}\right]$, où $K$ est un corps commutatif, est projectif libre.
* Si $R=K\left[\left[Y_{1},\dots ,Y_{m}\right]\right]$, où $K$ est un corps commutatif, alors $R\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ est projectif libre. La conjecture de Bass-Quillen, non démontrée, est que cela reste vrai si $R$ est, plus généralement, un anneau local régulier.
* Un anneau (non nécessairement commutatif) stablement libre est un anneau de Dedekind, la réciproque étant inexacte. Néanmoins, l'algèbre de Weyl $A_{1}\left(k\right)$, où $k$ est un corps commutatif de caractéristique 0, est un anneau stablement libre qui n'est pas projectif libre.
* Un anneau (non nécessairement commutatif) est principal si, et seulement si il est stablement libre et d'Hermite. La condition nécessaire est évidente. La condition suffisante se démontre comme suit : soit $R$ un anneau stablement libre et ${\mathfrak {a}}$ un idéal à gauche de $R$. Cet idéal ${\mathfrak {a}}$ est stablement libre. Si de plus $R$ est un anneau d'Hermite, ${\mathfrak {a}}$ est libre. Puisque $R$ est noethérien, $R$ est un anneau principal à gauche. Le même raisonnement montre que $R$ est également un anneau principal à droite.
