Arc sinus
# Arc sinus

En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre –1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre –π/2 et π/2.

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre –1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée arcsin (Arcsin ou Asin en notation française, $sin^{−1},$ asin ou asn en notation anglo-saxonne). Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle [–π/2, π/2]. Elle fait partie des fonctions circulaires réciproques.

On a donc par définition :

$\left\{{\begin{array}{c}\theta =\arcsin x\\x\in \lbrack -1,1]\end{array}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}x=\sin \theta \\\theta \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]\end{array}}\right.$

## Courbe représentative

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle [–π/2, π/2] par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

## Relations avec les fonctions circulaires directes

* $\sin(\arcsin x)=x$ pour $x\in \lbrack -1,1]$
* $\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ pour $x\in \lbrack -1,1]$
* $\tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ pour $x\in ]-1,1[$

Par contre, $\arcsin(\sin x)=x$ seulement pour $x\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]$

La formule générale est $\arcsin(\sin x)=(-1)^{k}(x-k\pi )$ où $k$ est la partie entière de ${\frac {x}{\pi }}+{\frac {1}{2}}$.

## Dérivée

Comme dérivée d'une bijection réciproque, arcsin est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie $\arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation $\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$.

## Développement en série entière

Si $|x|\leqslant 1$,

    ${\begin{aligned}\arcsin x&=x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\dots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}x^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}$

(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)

Le développement de la dérivée est :

    ${\begin{aligned}\arcsin '(x)&=(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}\right)(-x^{2})+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}{2}}(-x^{2})^{2}+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)\left(-{\frac {5}{2}}\right)}{2\cdot 3}}(-x^{2})^{3}+\cdots \\&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{6}+\dots ,\end{aligned}}$

d'où le résultat, en « intégrant » terme à terme.

## Forme intégrale indéfinie

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

$\arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$.

## Primitives

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

$\int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$.

## Relation entre arc sinus et arc cosinus

Pour tout réel x entre –1 et 1 : $\arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}$.

## Extension aux complexes

De la relation valable pour tout z complexe : sin z = –i sinh(iz), on déduit

    $\arcsin z=-{\rm {i}}\operatorname {arsinh} ({\rm {i}}z)$.

D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe : $\arcsin z=-{\rm {i}}\ln \left({\rm {i}}z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)$, valable pour $z\in {\mathbb {C}}\setminus ]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [$.

Le développement en série

    $\arcsin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}$

est alors valable pour tout z dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.

## Référence

* ↑ Notation issue du programme de mathématiques en CPGE, p. 10.
