Anneau intégralement clos
# Anneau intégralement clos

En algèbre commutative, un anneau intégralement clos est un anneau intègre A qui est sa propre clôture intégrale dans son corps des fractions, c'est-à-dire que, pour tout p et tout q non nul appartenant à A, si p/q est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A alors p/q appartient à A.

Soit A un anneau intègre à PGCD.

Soit $P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ un polynôme unitaire (c'est-à-dire que $a_{n}=1$) à coefficients dans A et x un élément du corps des fractions de A. Cet élément x peut s'écrire p/q, où p et q sont des éléments de A premiers entre eux.

Si x est une racine de P alors

    $\sum _{i=0}^{n}a_{i}\left({\dfrac {p}{q}}\right)^{i}=0$

puis en multipliant par $q^{n}$

    $\sum _{i=0}^{n}a_{i}p^{i}q^{n-i}=0$

Puisque, pour tout i < n, q divise $a_{i}p^{i}q^{n-i}$, on en déduit que q divise aussi $a_{n}p^{n}=p^{n}$. Or q et p sont premiers entre eux ; d'après le lemme de Gauss, q doit alors diviser 1, autrement dit q est inversible dans A, donc l'élément x = p/q appartient à A.

* Plus généralement, un anneau intègre A, de corps des fractions K, est intégralement clos si et seulement si tout polynôme unitaire irréductible de A[X] reste irréductible dans K[X].
* Un anneau de Dedekind est intégralement clos (par définition).
* En fait, un anneau intègre est intégralement clos si et seulement si c'est une intersection d'anneaux de valuation pour son corps des fractions.
