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Documentation > Matière et structure
Introduction générale
à la documentation Images Fractales
Une introduction pour les curieux et les non-connaisseurs
Alain Boudet
Dr en Sciences Physiques, Thérapeute psycho-corporel, Enseignant
Résumé: Les fractales sont des images de synthèse
obtenues par un procédé de construction graphique très simple répété sur une large gamme
d'échelles. Certaines reproduisent l'apparence de paysages et sont utilisées comme décors synthétiques.
Les scientifiques ont utilisé cette propriété pour modéliser certains aspects de la nature et de la
matière. D'autres fractales présentent une dimension esthétique remarquable qui a été
exploitée par les artistes et les graphistes.
Contenu de l'article
Ramifications et répétition
Chou-fleur et fougère
Fleuves et changements d'échelle
Excroissances dans un carré et un triangle
Paysages fractals
Matière poreuse et agglomérats Classer les points d'un terrain en catégories
Notion de dimensionnalité
Les fractales sont des images qui présentent certaines caractéristiques
précises et c'est donc par l'image que nous allons faire connaissance avec elles. ill.1- Arbre du vent, 1999
Fractale créée par ordinateur, simulant une croissance végétale Création ©Cory Ench
Si vous cherchez à savoir la signification du mot fractale, vous trouverez difficilement des textes abordables
par des non-connaisseurs car la plupart reposent sur la description de définitions et de procédés, selon les
méthodes habituelles de l'enseignement académique. Or ce qui nous intéresse vraiment dans toute connaissance,
c'est son essence, autrement dit en quoi elle nous touche.
Aussi, tels des téléspectateurs qui apprécient des images sans avoir étudié les circuits
électroniques de l'appareil, nous découvrirons les fractales de façon visuelle, sensorielle. Cet article ne
comporte aucune formule mathématique, bien que par nature, les fractales soient un concept mathématique.
Ceux qui connaissent ce langage pourront trouver des développements mathématiques précis dans les sites
spécialisés indiqués.
Ce qui me touche, c'est la beauté de certaines de ces images. Elles ont inspiré de nombreux artistes
qui ont contribué à les faire connaitre de façon populaire. J'ai également pris plaisir à l'aspect
ludique du jeu des constructions graphiques.
Une autre caractéristique m'a étonné: les fractales ont la capacité de mimer de nombreuses
formes de la matière, minérales, végétales et animales, et de simuler des paysages.
Si des artistes et graphistes ont largement exploité cette particularité, les scientifiques en ont également
fait un usage novateur. Les sciences de la matière et de la nature se sont emparées des calculs
fractals pour modéliser certains types de structures de matière, c'est-à-dire à les représenter
par des équations mathématiques afin d'étudier leur caractéristiques.
Les fractales sont des images élaborées sur une base géométrique (ou
topologique), comportant des ensembles de points, de lignes, ou de surfaces qui sont reliés entre eux selon
des règles précises. Ces dessins sont calculés mathématiquement et peuvent être
représentés graphiquement sur écran d'ordinateur.
Pour comprendre ce que signifient les liens entre lignes, nous allons prendre comme exemple le dessin d'un arbre
généalogique, par exemple celui des descendants d'un couple. Plus que le contenu de chacune des cases, ce qui
nous intéresse ici, c'est la façon dont elles sont connectées. Chaque case est suivie d'une
ligne, sauf en cas d'absence d'enfant, et cette ligne comporte un embranchement s'il y a eu plusieurs enfants. Ce qui nous
emmène sur la voie des fractales, c'est d'abord cette suite d'embranchements, cette ramification. ill. 2- Une caractéristique typique est le fait que cette ramification se répète d'une
génération à l'autre, et cela jusqu'à l'infini, sauf si la
lignée s'éteint faute d'enfants. En outre, cette répétition se fait selon des règles
précises. Dans certains cas, la règle peut être très simple, par exemple tout le monde a deux
enfants. Elle peut être plus complexe, avec un choix entre 0 et 8 enfants (par exemple), de façon assez cyclique ou
répétitive, ou complètement aléatoire.
Un tel diagramme construit selon une règle simple répétitive constitue l'ébauche d'une image
fractale.
ill.3- Une fougère fractale modélisée
Merci à Wikipedia
Observant un chou-fleur coupé en deux, nous constatons que les branches principales
se ramifient en plusieurs branches plus petites. Chacune de ces branches se ramifie à son tour et ainsi de suite pendant 5
à 8 fois. Dans cet "objet" naturel, nous retrouvons la ramification et la répétition. Un caractère
nouveau s'est introduit: chaque division s'accompagne d'une réduction de la taille des branches. Examinons une fougère, nous retrouvons exactement le même
phénomène. La tige centrale se ramifie en branches plus petites qui se ramifient à leur tour et ainsi de suite,
avec chaque fois une réduction d'échelle. Et cela est tellement répétitif et
régulier que les mathématiciens ont pu modéliser la fougère, c'est-à-dire
construire un dessin de fougère calculé entièrement par ordinateur (ill.3). De même que le chou-fleur, la
fougère procède à un nombre limité de ramifications. Par contre, le calcul peut se poursuivre
à l'infini. On peut imaginer les rameaux les plus fins se ramifiant à leur tour en tiges tellement fines
que l'oeil ne les voit plus ou que l'ordinateur ne peut plus les afficher.
Nous pouvons repérer des caractéristiques communes à ces exemples, qui constituent l'essence des fractales. En
premier lieu, un processus de construction graphique, c'est-à-dire une façon d'élaborer l'image par
une construction répétitive qui leur confère la même organisation, la même structure
divisée. Les fractales sont des images divisées ou fragmentées, dont l'arborescence est un
type. Que l'on parle d'arbre généalogique, de fougère ou de chou-fleur, nous retrouvons une arborescence.
Il est intéressant de noter que la terminologie souligne cet aspect: arborescence
signifie à la façon d'un arbre, embranchement évoque les branches et
ramification les rameaux. Mais ces branches théoriques ne sont pas habillées
de la même matière: traits d'écriture ou végétal.
En deuxième lieu, nous trouvons dans la fougère et le chou-fleur cette particularité étonnante: on
voit quasiment la même figure à grande échelle avec les grandes branches ramifiées et
à petite échelle, avec les rameaux les plus fins. L'examen des cours d'eau va nous permettre d'illustrer
cet aspect de façon encore plus frappante.
La nature nous offre bien d'autres exemples de structures qui se reproduisent sur une vaste gamme d'échelle. Examinons la
disposition du bassin du fleuve Amazone (ill.4a). Si l'on imagine qu'on le remonte à partir de son embouchure, il se ramifie
en ses affluents. Sur une photographie aérienne à grande échelle, on distingue le fleuve et ses affluents, mais
les petits ruisseaux ne sont pas visibles. En augmentant le grossissement, les affluents se révèlent eux aussi
ramifiés par les ruisseaux. En grossissant encore, les ruisseaux sont visibles avec leurs ramifications en ruisselets. On a
donc le même type de structure que pour la fougère, mais à une échelle beaucoup plus grande puisque le
bassin couvre des milliers de kilomètres.
Or, on peut constater que le même schéma de ramification se produit pour des rivières bien plus petites, dont
le bassin couvre seulement quelques kilomètres (ill.4b). Et on peut prolonger le raisonnement à des échelles
bien plus petites encore. Car les ruisselets sont alimentés par des filets d'eau, qui existent peut-être seulement lors
des averses et on peut constater le tracé tortueux et ramifié de l'eau qui dévale entre les grains de terre. a b ill.4- Les réseaux fluviaux ont la même forme arborescente,
qu'on les observe à l'échelle de milliers de kilomètres (a: réseau de l'Amazone)
ou à celle de quelques kilomètres (b: réseau du Sabino en Arizona)
d'après C. Allègre, Sciences et Vie, 1995
Cet exemple met en avant un caractère essentiel de ces images. Les fractales ont la même apparence quelle que
soit l'échelle d'observation. Une photographie de l'objet ne permet donc pas de deviner à quelle
échelle elle a été prise. Bien sûr, pour comprendre ce phénomène, il faut garder à
l'esprit qu'on ne voit pas tous les détails de l'image parce que notre vision est limitée en résolution. Pour
les voir, nous devons grossir l'image et réduire l'étendue du champ d'observation.
Ces images issues de la nature ne se révèlent identiques pour toutes les échelles que parce que l'on
néglige certains aspects. La similitude des images des bassins fluviaux à différentes échelles n'est pas
parfaite. Dans notre description, nous n'avons tenu compte que de l'organisation du réseau, des liens et situations relatives
des branches ou affluents. Nous n'avons pas considéré la matière dont est constitué le réseau,
à savoir l'eau, avec son mouvement, sa couleur, etc., pas plus que les rives faites de terre, de rochers et de
végétaux. La modélisation d'objets réels par une structure fractale mathématique ne peut
donc être qu'approchée. Elle laisse de côté certains aspects de la réalité. Mais
elle en décrit étonnamment bien l'ossature. Excroissances dans un carré et un triangle
Nous quittons le monde réel et nous allons nous amuser à inventer des formes selon le principe de division et
ramification par une règle de construction répétitive. Alors, l'imagination n'a pas de
limites. Cela ressemble au jeu auquel nous jouions enfants: nous pliions un papier en 2 un grand nombre de fois, puis nous
découpions des formes dans le petit carré obtenu. Lorsque nous le dépliions, nous nous émerveillions de
la dentelle qui se déployait. Ici, au lieu de plier un papier réel, nous répétons un
procédé de construction graphique, et nous allons découvrir peu à peu la figure qui en émerge. Délaissant les branches des dessins précédents, nous allons utiliser un procédé de ramification
qui crée des bosses. De plus, tandis que les ramificatio