Sedenione
# Sedenione

I sedenioni (anche chiamati esadecanioni) formano un'algebra a 16 dimensioni sul campo dei numeri reali; questa può considerarsi ottenuta applicando la costruzione di Cayley-Dickson sull'algebra degli ottetti.

Come per gli ottetti, la moltiplicazione dei sedenioni non è né commutativa né associativa.

A differenza degli ottetti, i sedenioni non hanno la proprietà dell'algebra alternativa, ma mantengono quella della potenza associativa. I sedenioni hanno l'elemento unità della moltiplicazione e molti sedenioni sono invertibili; essi, però, non costituiscono un'algebra di divisione, dato che alcuni di essi sono divisori dello zero.

I sedenioni si possono ottenere come combinazioni lineari dei seguenti sedenioni invertibili: 1, $e_1,$ $e_2,$ $e_3,$ $e_4,$ $e_5,$ $e_6,$ $e_7,$ $e_8,$ $e_9,$ $e_{10},$ $e_{11},$ $e_{12},$ $e_{13},$ $e_{14},$ $e_{15}.$ In altre parole i precedenti elementi costituiscono una base dello spazio vettoriale dei sedenioni. Come si vede tutti questi elementi sono invertibili, cioè unità.

La matrice moltiplicativa delle unità dei sedenioni è presentata qui sotto.

| × | 1 | $e_1$ | $e_2$ | $e_3$ | $e_4$ | $e_5$ | $e_6$ | $e_7$ | $e_8$ | $e_9$ | $e_{10}$ | $e_{11}$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{14}$ | $e_{15}$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 1 | $e_1$ | $e_2$ | $e_3$ | $e_4$ | $e_5$ | $e_6$ | $e_7$ | $e_8$ | $e_9$ | $e_{10}$ | $e_{11}$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{14}$ | $e_{15}$ |
| $e_1$ | $e_1$ | -1 | $e_3$ | $-e_2$ | $e_5$ | $-e_4$ | $-e_7$ | $e_6$ | $e_9$ | $-e_8$ | $-e_{11}$ | $e_{10}$ | $-e_{13}$ | $e_{12}$ | $e_{15}$ | $-e_{14}$ |
| $e_2$ | $e_2$ | $-e_3$ | -1 | $e_1$ | $e_6$ | $e_7$ | $-e_4$ | $-e_5$ | $e_{10}$ | $e_{11}$ | $-e_8$ | $-e_9$ | $-e_{14}$ | $-e_{15}$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ |
| $e_3$ | $e_3$ | $e_2$ | $-e_1$ | -1 | $e_7$ | $-e_6$ | $e_5$ | $-e_4$ | $e_{11}$ | $-e_{10}$ | $e_9$ | $-e_8$ | $-e_{15}$ | $e_{14}$ | $-e_{13}$ | $e_{12}$ |
| $e_4$ | $e_4$ | $-e_5$ | $-e_6$ | $-e_7$ | -1 | $e_1$ | $e_2$ | $e_3$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{14}$ | $e_{15}$ | $-e_8$ | $-e_9$ | $-e_{10}$ | $-e_{11}$ |
| $e_5$ | $e_5$ | $e_4$ | $-e_7$ | $e_6$ | $-e_1$ | -1 | $-e_3$ | $e_2$ | $e_{13}$ | $-e_{12}$ | $e_{15}$ | $-e_{14}$ | $e_9$ | $-e_8$ | $e_{11}$ | $-e_{10}$ |
| $e_6$ | $e_6$ | $e_7$ | $e_4$ | $-e_5$ | $-e_2$ | $e_3$ | -1 | $-e_1$ | $e_{14}$ | $-e_{15}$ | $-e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{10}$ | $-e_{11}$ | $-e_8$ | $e_9$ |
| $e_7$ | $e_7$ | $-e_6$ | $e_5$ | $e_4$ | $-e_3$ | $-e_2$ | $e_1$ | -1 | $e_{15}$ | $e_{14}$ | $-e_{13}$ | $-e_{12}$ | $e_{11}$ | $e_{10}$ | $-e_9$ | $-e_8$ |
| $e_8$ | $e_8$ | $-e_9$ | $-e_{10}$ | $-e_{11}$ | $-e_{12}$ | $-e_{13}$ | $-e_{14}$ | $-e_{15}$ | -1 | $e_1$ | $e_2$ | $e_3$ | $e_4$ | $e_5$ | $e_6$ | $e_7$ |
| $e_9$ | $e_9$ | $e_8$ | $-e_{11}$ | $e_{10}$ | $-e_{13}$ | $e_{12}$ | $e_{15}$ | $-e_{14}$ | $-e_1$ | -1 | $-e_3$ | $e_2$ | $-e_5$ | $e_4$ | $e_7$ | $-e_6$ |
| $e_{10}$ | $e_{10}$ | $e_{11}$ | $e_8$ | $-e_9$ | $-e_{14}$ | $-e_{15}$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ | $-e_2$ | $e_3$ | -1 | $-e_1$ | $-e_6$ | $-e_7$ | $e_4$ | $e_5$ |
| $e_{11}$ | $e_{11}$ | $-e_{10}$ | $e_9$ | $e_8$ | $-e_{15}$ | $e_{14}$ | $-e_{13}$ | $e_{12}$ | $-e_3$ | $-e_2$ | $e_1$ | -1 | $-e_7$ | $e_6$ | $-e_5$ | $e_4$ |
| $e_{12}$ | $e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{14}$ | $e_{15}$ | $e_8$ | $-e_9$ | $-e_{10}$ | $-e_{11}$ | $-e_4$ | $e_5$ | $e_6$ | $e_7$ | -1 | $-e_1$ | $-e_2$ | $-e_3$ |
| $e_{13}$ | $e_{13}$ | $-e_{12}$ | $e_{15}$ | $-e_{14}$ | $e_9$ | $e_8$ | $e_{11}$ | $-e_{10}$ | $-e_5$ | $-e_4$ | $e_7$ | $-e_6$ | $e_1$ | -1 | $e_3$ | $-e_2$ |
| $e_{14}$ | $e_{14}$ | $-e_{15}$ | $-e_{12}$ | $e_{13}$ | $e_{10}$ | $-e_{11}$ | $e_8$ | $e_9$ | $-e_6$ | $-e_7$ | $-e_4$ | $e_5$ | $e_2$ | $-e_3$ | -1 | $e_1$ |
| $e_{15}$ | $e_{15}$ | $e_{14}$ | $-e_{13}$ | $-e_{12}$ | $e_{11}$ | $e_{10}$ | $-e_9$ | $e_8$ | $-e_7$ | $e_6$ | $-e_5$ | $-e_4$ | $e_3$ | $e_2$ | $-e_1$ | -1 |

## Altre letture

* (EN) Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions, Applied Mathematics and Computation 28:47-72 (1988)
* (EN) Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results, Applied Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997)
* (EN) Imaeda, K., Imaeda, M.: Sedenions: algebra and analysis, Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)
