Spinore
# Spinore

In matematica e fisica, in particolare nella teoria dei gruppi ortogonali, uno spinore è un elemento di uno spazio vettoriale complesso introdotto per estendere il concetto di vettore. Gli spinori sono necessari dal momento che la struttura del gruppo delle rotazioni in un certo numero di dimensioni richiede ulteriori dimensioni per essere definita. Più precisamente, gli spinori sono oggetti geometrici costruiti da vettori dotati di una forma quadratica, come lo spazio euclideo o lo spaziotempo di Minkowski, attraverso una procedura algebrica, l'algebra di Clifford, o una procedura di quantizzazione. Una data forma quadratica può supportare diversi tipi di spinori.

Classicamente, lo spinore a due componenti è usato per descrivere lo spin dell'elettrone non relativistico dello spazio tridimensionale ordinario, ed attraverso l'equazione di Dirac, lo spinore di Dirac è utile nella descrizione matematica dello stato quantico dell'elettrone relativistico definito sullo spaziotempo di Minkowski. Nella teoria quantistica dei campi, lo spinore descrive lo stato di un sistema relativistico di più particelle.

In matematica, in particolare nella geometria differenziale, lo spinore ha varie applicazioni alla topologia algebrica e differenziale, geometria simplettica, teoria di gauge e varietà algebriche. Da un punto di vista algebrico, lo spinore è la rappresentazione della trasformazione ortogonale infinitesima che non può essere costruita a partire dalla rappresentazione della rotazione.

## Storia

Lo spinore fu scoperto da Élie Cartan nel 1913, la parola "spinore" fu coniata da Paul Ehrenfest nel suo lavoro sulla fisica quantistica. Gli spinori furono introdotti nella fisica matematica da Wolfgang Pauli nel 1927, con l'introduzione delle matrici di spin. L'anno seguente, Paul Dirac scoprì la teoria relativistica dello spin elettronico, mostrando la connessione tra spinori e il gruppo di Lorentz. Storicamente importanti risultano i lavori di Van der Waerden e del matematico statunitense Veblen.

A partire dal 1930, Paul Dirac, Piet Hein e altri al Niels Bohr Institute crearono giochi come il tangloids per insegnare il calcolo degli spinori.

## Introduzione

Nella geometria classica, rotazioni e riflessioni agiscono sui vettori dello spazio. In un certo senso, rotazioni e riflessioni contengono però informazioni geometriche più fini di quelle che possono essere espresse attraverso le loro azioni su un vettore: lo spinore è un oggetto costruito per inglobare dettagliatamente tale geometria.

Ci sono sostanzialmente due strutture per visualizzare la nozione di spinore: la prima è la teoria delle rappresentazioni, nella quale si conosce a priori che vi sono certe rappresentazioni dell'algebra di Lie dei gruppi ortogonali che non possono essere formate dalle usuali costruzioni tensoriali. Tali rappresentazioni "mancanti" sono dette rappresentazioni di spin, ed i loro costituenti sono appunto gli spinori. In quest'ottica uno spinore appartiene alla rappresentazione del rivestimento del gruppo di rotazione SO(n, R), o più generalmente al gruppo $SO^+(p,$ q, R) su spazi con segnatura (p,q). Il gruppo di Lie, ricoprente SO(n, R), di questo rivestimento a due fogli si denota con Spin(n, R), e si dice gruppo di spin. Tutte le proprietà degli spinori e le loro applicazioni sono definiti grazie a tale gruppo. La seconda struttura è di tipo geometrico: è possibile costruire esplicitamente uno spinore, e quindi esaminare come esso si comporta sotto l'azione del gruppo di Lie relativo. Quest'ultimo approccio ha il vantaggio di fornire una concreta ed elementare descrizione di cosa sia lo spinore, anche se diventa scomodo quando entrano in gioco proprietà più complesse.

## Definizione formale

Si consideri l'epimorfismo (omomorfismo suriettivo) $\rho :{\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)\,$ (definente un rivestimento a due fogli ) e una rappresentazione del gruppo ricoprente ${\mathrm {Spin} }(n)\,$ su uno spazio vettoriale (complesso) $\Delta _{n}\,$, cioè $\kappa :{\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,$ dove U(W) denota il gruppo degli operatori unitari che agisce su uno spazio di Hilbert W.

Un elemento dello spazio vettoriale $\Delta _{n}\,$ si dice spinore.

## Spinori ed algebre di Clifford

Sia uno spazio $R^n,$ e si consideri l'algebra di Clifford costruita su questo spazio (a sua volta uno spazio $2^n$ dimensionale), allora gli spinori possono essere considerati come i vettori su cui operano gli elementi dell'algebra di Clifford, essendo questi ultimi rappresentati come matrici.

