Quadrato (algebra)
# Quadrato (algebra)

In algebra, viene definito quadrato di un numero $x$ l'elevamento dello stesso alla seconda potenza, ossia la sua moltiplicazione per sé stesso eseguita una volta:

    $x^{2}=x\cdot x.$

Il termine quadrato viene dalla geometria, poiché l'area di un quadrato si ottiene appunto moltiplicando il lato per sé stesso.

Il quadrato di un numero immaginario è un numero reale minore o uguale a zero, mentre per i numeri complessi si calcola

    $\left(a+ib\right)^{2}=a^{2}-b^{2}+i\cdot 2ab.$

## Proprietà

* Il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero, dato che il prodotto di valori con lo stesso segno è sempre positivo. Quindi

    $x^{2}\geq 0\qquad \forall x\in \mathbb {R} .$
* Per lo stesso motivo vale la relazione

    $x^{2}=\left(-x\right)^{2}.$

Ad esempio il quadrato di $2$ è $4$, ma anche il quadrato di $-2$ è uguale a $4$.

* Il quadrato di un numero immaginario è sempre minore di zero, perché elevando al quadrato l'unità immaginaria si ottiene un numero negativo, che si moltiplica poi con il quadrato del coefficiente (che è positivo).
* la somma dei numeri dispari in ordine è un quadrato perfetto di un numero pari o dispari (proprietà nota al matematico greco Euclide):

    $1=1^{2}$
    $1+3=2^{2}$
    $1+3+5=3^{2}$
    $1+3+5+7=4^{2}$
    $1+3+5+7+9=5^{2}$, da cui:
    $1^{2}=1$
    $2^{2}=1^{2}+3$
    $3^{2}=2^{2}+5$
    $4^{2}=3^{2}+7$
    $5^{2}=4^{2}+9$
    $n^{2}=(n-1)^{2}+2n-1$ che risolta porta, infatti, ad una identità.

Da una formula siffatta si identificano un sottoinsieme infinito numerabile delle terne pitagoriche, per ogni ${\sqrt {2n-1}}$ intero. Ad es. : (3, 4, 5) con $n=5$; (5, 12 ,13); (7, 24 ,25); (9, 40, 41); (11, 60, 61); (13, 84, 85); (15, 112, 113); (17, 144, 145); (19, 180, 181); (21, 220, 221); (23, 264, 265).

## Quadrati perfetti

Il quadrato di un numero intero diverso da zero è sempre un numero naturale. I numeri naturali che sono quadrati di numeri interi si definiscono quadrati perfetti. Di seguito alcune proprietà:

* Il quadrato di un qualsiasi numero intero $n$ può essere rappresentato anche dalla somma

    $1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n.$

Ad esempio

    $4^{2}=1+1+2+2+3+3+4=16.$
* Il quadrato di un qualsiasi numero intero $n$ è inoltre uguale alla somma dei primi $n$ numeri dispari:

    $5^{2}=1+3+5+7+9=25$

indicabile attraverso la formula

    $n^{2}=\sum _{k=0}^{n-1}2k+1.$
* Il quadrato di un qualsiasi numero intero $n$ è inoltre uguale alla somma del numero $n$ e dei primi $n-1$ numeri pari:

    $5^{2}=5+2+4+6+8=25$

indicabile attraverso la formula

    $n^{2}=n+\sum _{k=1}^{n-1}2k.$
* La somma dei quadrati dei primi n numeri naturali vale

    $\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}.$
