Fibrato vettoriale
# Fibrato vettoriale

In matematica, un fibrato vettoriale è una costruzione che associa a ogni punto di una varietà topologica (o differenziabile) uno spazio vettoriale (generalmente reale o complesso). Si tratta quindi di un particolare fibrato, la cui fibra ha una struttura di spazio vettoriale.

Il fibrato tangente e il fibrato cotangente sono due esempi.

## Definizione

Un fibrato vettoriale reale è un fibrato che ha come fibra uno spazio vettoriale, cioè è una funzione continua suriettiva $p\colon E\to B$ fra spazi topologici tale che la controimmagine $p^{-1}(x)$ di ogni punto $x\in B,$ detta fibra sopra il punto $x,$ sia dotata di una struttura di spazio vettoriale reale. Si chiede inoltre che questa struttura vari in modo continuo al variare di $x$. Questa richiesta è formalizzata chiedendo che la proiezione sia localmente un prodotto. Più precisamente, per ogni punto $x$ dello spazio base $B$ esiste un intorno aperto $U$ del punto $x$ e un omeomorfismo:

    $\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times \mathbb {R} ^{k},$

tale che:

    $\mathrm {pr} _{1}\circ \phi =p$

dove $\mathrm {pr} _{1}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to U$ è la proiezione sul primo fattore. Si richiede inoltre che l'omeomorfismo preservi le strutture di spazi vettoriali, e cioè che l'omeomorfismo:

    $\phi |_{p^{-1}(x')}:p^{-1}(x')\to \lbrace x'\rbrace \times \mathbb {R} ^{k},$

sia anche un isomorfismo di spazi vettoriali, per ogni punto ${x'}$ dell'aperto $U.$

