Curva sestica
# Curva sestica

In matematica una curva sestica è una curva algebrica piana di sesto grado. Può essere definita da un polinomio della forma:

$A_{1}X^{6}+A_{2}Y^{6}+A_{3}X^{5}Y+A_{4}XY^{5}+A_{5}X^{4}Y^{2}+A_{6}X^{2}Y^{4}+A_{7}X^{3}Y^{3}+A_{8}X^{5}+A_{9}Y^{5}+A_{10}X^{4}Y+A_{11}XY^{4}+A_{12}X^{3}Y^{2}+A_{13}X^{2}Y^{3}+A_{14}X^{4}+A_{15}Y^{4}+A_{16}X^{3}Y+A_{17}XY^{3}+A_{18}X^{2}Y^{2}+A_{19}X^{3}+A_{20}Y^{3}+A_{21}X^{2}Y+A_{22}XY^{2}+A_{23}X^{2}+A_{24}Y^{2}+A_{25}XY+A_{26}X+A_{27}Y+A_{28}=0.$

L'equazione ha 28 coefficienti, ma la curva non cambia se li moltiplichiamo tutti per una costante non nulla. Quindi i coefficienti essenziali sono 27 e le sestiche sono $∞^{27}.$ E una di esse è individuata dal suo passaggio per 27 punti generici.

Una curva sestica ($n=6$) irriducibile può avere al massimo:

* ${\frac {1}{2}}(n-1)(n-2)+1=11$ componenti connesse;
* ${\frac {1}{2}}(n-1)(n-2)=10$ punti doppi;
* ${\frac {n}{2}}(n-2)(n^{2}-9)=324$ rette bitangenti;
* $3n(n-2)=72$ punti di flesso.

## Esempi

* Curva a girandola

    $10(4x^{2}+4y^{2}-1)^{3}-500x^{2}y^{2}+3=0$
* Superellisse

    $\left({\frac {x}{3}}\right)^{6}+\left({\frac {y}{2}}\right)^{6}=1$
* Curva a farfalla

    $x^{6}+y^{6}-x^{2}=0$
* Curva a bacio

    $(1-x^{2})^{3}-y^{2}=0$
* Curva a mongolfiera

    $x^{6}+y^{6}-6y^{5}-y^{2}=0$
* Curva a cuore

    $(x^{2}+y^{2}-1)^{3}-x^{2}y^{3}=0$
* Curva a dipolo

    $(x^{2}+y^{2})^{3}-x^{2}=0$
* Curva a doppio uovo

    $(x^{2}+y^{2})^{3}-x^{4}=0$
* Archi di Samotracia

    $x^{2}(3x^{2}-y^{2})^{2}-y^{2}(x^{2}+y^{2})=0$
* Cicloide di Ceva

    $(x^{2}+y^{2})^{3}-(3x^{2}-y^{2})^{2}=0$
* Curva a lacrima

    $x^{6}-x^{5}+y^{2}=0$
* Curva di Cayley

    $4(x^{2}+y^{2}-x)^{3}-27(x^{2}+y^{2})^{2}=0$
* Curva astroide

    $(x^{2}+y^{2}-1)^{3}+27x^{2}y^{2}=0$
* Curva nodo a farfalla

    $x^{4}(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})^{2}=0$
* Curva a manubrio

    $x^{6}-x^{4}+y^{2}=0$
* Curva a Croce di Malta

    $(x^{2}+y^{2})^{3}-x^{2}(x^{2}+20y^{2})+8y^{2}(y^{2}+2)=0$
* Curva a quadrifoglio dritto

    $(x^{2}+y^{2})^{3}-(x^{2}-y^{2})^{2})=0$
* Curva a quadrifoglio obliquo

    $(x^{2}+y^{2})^{3}-4x^{2}y^{2}=0$
* Curva atriftaloide

    $x^{4}(x^{2}+y^{2})-(3x^{2}-2)^{2}=0$
* Curva di Lissajous

    $y^{2}-(1-x^{2})(1-4x^{2})^{2}=0$
* Curva cornoide

    $(x^{2}+y^{2})^{3}-y^{2}(5y^{2}+6x^{2}-8)+3x^{4}-4=0$
* Curva foglio di Dürer

    $(x^{2}+y^{2})(2x^{2}+2y^{2}-1)^{2}-x^{2}=0$
* Curva radiale dell'ellisse

    $(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2})^{3}-a^{4}b^{4}(x^{2}+y^{2})^{2}=0$
* Curva a scarabeo dritto

    $(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}+ax)^{2}-b^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}=0$
* Curva a scarabeo obliquo

    $(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-x-y)^{2}-ax^{2}y^{2}=0$
* Curva a biella-manovella

    $(x^{2}+y^{2})(x^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}-4a^{2}x^{4}=0$
* Curva nefroide

    $(a^{2}x^{2}+y^{2}-4)^{3}-108y^{2}=0$
* Curva a mulino a vento

    $4x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})-a^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}=0$
* Curva di Watt

    $(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-c^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0$
* Curva nefroide di Freeth

    $a^{4}(y^{2}-3x^{2})+8a^{3}x(x^{2}+y^{2})-6a^{2}(x^{2}+y^{2})^{2}+(x^{2}+y^{2})^{3}=0$
* Curva a vaso

    $x^{2}(2x^{4}-7x^{2}+7)+3y(2y^{5}-2y^{3}-3y-1)-xy(xy^{2}+2x^{3}+7xy+7x)-3=0:$
* Curva a telefono

    $x^{2}(2x^{4}-9x^{2}+5)+9y^{2}(y^{4}+3y^{3}+2y^{2}+4y-4)+2x^{2}y(4x^{2}y-5y^{3}-6y^{2}+4y-9)=0$
* Curva a tomahawk

    $x^{4}(29x^{2}-45x-20)+y^{4}(14y^{2}+45y-45)+xy(35x^{4}+12y^{4}-20x^{3}+30y^{3})+5x^{2}y^{2}(6y^{2}-5x^{2}-8xy-2x-3y)=0$
* Curva di Talbot

    $a^{6}x^{6}+b^{6}y^{6}+3a^{4}b^{2}x^{4}y^{2}+3a^{2}b^{4}x^{2}y^{4}+(8a^{4}b^{4}-8a^{6}b^{2}-a^{8})x^{4}+(8a^{4}b^{4}-8a^{2}b^{6}-b^{8})y^{4}+(38a^{4}b^{4}-20a^{6}b^{2}-20a^{2}b^{6})x^{2}y^{2}+(8a^{6}b^{4}-32a^{4}b^{6}+16a^{2}b^{8}+8a^{8}b^{2})x^{2}+(8a^{2}b^{8}+8a^{4}b^{6}+16a^{8}b^{2}-32a^{6}b^{4})y^{2}+32a^{6}b^{6}-16a^{8}b^{4}-16a^{4}b^{8}=0$
* Curva a tre barre

    $[\sin {A}(x\sin {C}-y\cos {C}-d\sin {C})(x^{2}+y^{2}+b^{2}-e^{2})+y\sin {B}(x^{2}+y^{2}-2dx+d^{2}+a^{2}-f^{2})]^{2}+[\sin {A}(x\cos {C}+y\sin {C}-d\cos {C})(x^{2}+y^{2}+b^{2}-e^{2})-x\sin {B}(x^{2}+y^{2}-2dx+d^{2}+a^{2}-f^{2})]^{2}-4a^{2}\sin ^{2}{B}[\sin {C}(x^{2}-dx-y)-dy\cos {C}]^{2}=0$

ove $A,B,C$ sono gli angoli opposti ai lati $a,b,c$ di un triangolo

* Curva con 20 flessi

    $(5x^{2}+5y^{2}-6)(3x^{2}-y^{2}-1)(9x^{2}-7y^{2}+1)-1=0$
* Curva decaconnessa

    $2(5x^{2}+3y^{2}-6)(2y^{2}-4y^{2}+5)(10x^{2}-3y^{2}-7)+1=0$
* Curva a 144 bitangenti

    $(x^{2}+y^{2}-1)(20x^{2}+y^{2}-2)(x^{2}+20y^{2}-2)+1=0$
* Curva ennanodata

    $x^{6}+5,8619y^{6}+4,0033x^{5}y-10,743xy^{5}-7,549x^{4}y^{2}+6,8793x^{2}y^{4}-2,7873x^{3}y^{3}-14,01x^{5}-14,07y^{5}+26,891x^{4}y+19,518xy^{4}+26,291x^{3}y^{2}-47,496x^{2}y^{3}-43,733x^{4}-69,449y^{4}-55,528x^{3}y+54,722xy^{3}+162,51x^{2}y^{2}+69,253x^{3}+303,43y^{3}-217,82x^{2}y-135,8xy^{2}+140,02x^{2}-419,88y^{2}+124,15xy-110,32x+204,46y+0,2014=0$
* Curva a girandola
* Superellisse
* Curva a farfalla
* Curva a bacio
* Curva a mongolfiera
* Curva a cuore
* Curva a dipolo
* Curva a doppio uovo
* Archi di Samotracia
* Cicloide di Ceva
* Curva a lacrima
* Curva di Cayley
* Curva astroide
* Curva nodo a farfalla
* Curva a manubrio
* Curva a Croce di Malta
* Curva a quadrifoglio dritto
* Curva a quadrifoglio obliquo
* Curva atriftaloide
* Curva di Lissajous
* Curva cornoide
* Curva foglio di Dürer
* Curva radiale dell'ellisse
* Curva a scarabeo dritto
* Curva a scarabeo obliquo
* Curva a biella-manovella
* Curva nefroide
* Curva a mulino a vento
* Curva di Watt
* Curva nefroide di Freeth
* Curva a vaso
* Curva a telefono
* Curva a tomahawk
* Curva di Talbot
* Curva a tre barre
* Curva con 20 flessi
* Curva decaconnessa
* Curva a 144 bitangenti
* Curva ennanodata
