Poliedro composto
# Poliedro composto

In geometria solida si chiama poliedro composto o composto poliedrico una figura geometrica formata da due o più poliedri che condividono un baricentro comune.

Ad ogni composto poliedrico sono associate due particolari caratteristiche che individuano due nuovi poliedri ad esso correlati:

– la chiusura convessa di un composto è il più piccolo poliedro convesso che lo contiene;

– l'intersezione o nucleo di un composto è la porzione di spazio comune a tutti i suoi componenti.

Si deduce facilmente che il nucleo di un composto poliedrico è esso stesso un poliedro ed in particolare che è un poliedro convesso se tutti i componenti sono convessi.

La chiusura convessa è detta anche, in maniera del tutto equivalente, inviluppo convesso oppure involucro convesso.

Un esempio di composto poliedrico è la stella ottangola mostrata in figura: essa è un composto di due tetraedri regolari ed ha come chiusura convessa un cubo e come nucleo un ottaedro.

## Composti regolari

Un composto poliedrico si dice regolare se soddisfa le normali condizioni di regolarità che valgono anche per i poliedri semplici (non composti) ossia deve essere omogeneo nei vertici, negli spigoli e nelle facce: cioè per ogni coppia di vertici (o di spigoli o di facce) esiste una simmetria del poliedro che trasforma uno dei due elementi nel secondo.

Risulta evidente perciò che affinché un composto sia regolare è necessario – ma non sufficiente – che tutti i suoi componenti siano regolari ed eguali tra loro. Più nello specifico i componenti saranno esclusivamente tetraedri, ottaedri o cubi.

Esistono in tutto 5 poliedri composti regolari (ovvero 6 se si considerano le due forme chirali di uno come due poliedri distinti). Sono elencati di seguito:

| componenti | elementi notevoli | inviluppo convesso | intersezione | simmetrie | duale |
| - | - | - | - | - | - |
| 2 tetraedri | V = 8 S = 12 F = 8 | cubo | ottaedro | 48 gruppo $O_h$ | sé stesso |
| 5 cubi | V = 20 S = 60 F = 30 | dodecaedro | triacontaedro rombico | 120 gruppo $I_h$ | 5 ottaedri |
| 5 ottaedri | V = 30 S = 60 F = 40 | icosidodecaedro | icosaedro | 120 gruppo $I_h$ | 5 cubi |
| 5 tetraedri (chirale) | V = 20 S = 30 F = 20 | dodecaedro | icosaedro | 60 gruppo I | 5 tetraedri speculari |
| 10 tetraedri | V = 20 S = 60 F = 40 | dodecaedro | icosaedro | 120 gruppo $I_h$ | sé stesso |

I gruppi $O_{h}$ e $I_{h}$ sono rispettivamente il gruppo di simmetria dell'ottaedro e dell'icosaedro. Il gruppo $I$ è il sottogruppo in $I_{h}$ dato dalle simmetrie che preservano l'orientazione.

Il poliedro duale del composto di cinque tetraedri è l'immagine riflessa di sé stesso; l'unione dei due forma il composto di dieci tetraedri.

## Composti uniformi

Una caratteristica meno restrittiva rispetto alla regolarità è quella di uniformità, che include tutti i composti con vertici omogenei, le cui facce siano poligoni regolari. Ciò implica che i componenti debbano essere essi stessi uniformi e congruenti tra loro.

Una classificazione completa di tutti i possibili composti uniformi fu fornita da John Skilling nel 1976. L'elenco enumera 75 elementi, indicati con la sigla UC (uniform compound) seguita da un indice numerico. Vi sono inclusi i 5 composti regolari, 20 composti non banali di prismi ed antiprismi, 2 classi infinite di prismi e 4 classi infinite di antiprismi. Alcuni dei composti uniformi hanno un grado di libertà rotazionale, cioè l'inclinazione dei componenti è variabile, pur mantenendo inalterate le simmetrie del composto.

* Esempi di composti poliedrici uniformi
* 12 tetraedri $UC_{02}$ (rotazione libera)
* 3 cubi $UC_{08}$
* 4 ottaedri $UC_{12}$
* 20 ottaedri $UC_{13}$ (rotazione libera)
* 10 ottaedri $UC_{15}$ (primo tipo)
* 10 ottaedri $UC_{16}$ (secondo tipo)
* 2n antiprismi di basi {p/q} con q dispari $UC_{22}$
* 4 prismi triangolari $UC_{30}$ (chirale)
* 6 prismi stellati pentagonali $UC_{36}$ (chirale)
* 4 prismi esagonali $UC_{38}$
* 6 prismi decagonali $UC_{40}$
* 3 antiprismi quadrati $UC_{42}$
* 2 icosaedri $UC_{46}$
* 5 icosaedri $UC_{47}$
* 5 piccoli dodecaedri stellati $UC_{51}$
* 5 tetraedri troncati $UC_{55}$ (chirale)
* 5 cubottaedri $UC_{59}$
* 2 cubi simi (speculari) $UC_{68}$

Il composto di 20 ottaedri con libertà rotazionale $(UC_{13})$ presenta 4 casi particolari, classificati con codici distinti: il composto regolare di 5 ottaedri $(UC_{17}),$ due differenti composti di 10 ottaedri $(UC_{15}$ e $UC_{16})$ ed un composto di 20 ottaedri "fisso" con vertici a due a due coincidenti $(UC_{14}).$

I poliedri uniformi chirali (simi, camusi, retrocamusi e camusi invertiti) formano naturalmente un composto poliedrico uniforme se sovrapposti alla propria immagine riflessa. Rientra in questa categoria – pur non essendo chirale – anche l'icosaedro, considerato come un "tetraedro simo".

Non vi è alcun caso di composto poliedrico uniforme costituito da dodecaedri platonici, né da grandi dodecaedri stellati.

