Teoremi di Fredholm
# Teoremi di Fredholm

In matematica, i teoremi di Fredholm sono un insieme di risultati dovuti a Ivar Fredholm nell'ambito della teoria di Fredholm delle equazioni integrali.

Si tratta di teoremi strettamente correlati che possono essere esposti nell'ambito delle equazioni integrali, dell'algebra lineare o dell'operatore di Fredholm su spazi di Banach. Tra i vari teoremi vi è anche l'alternativa di Fredholm.

## Algebra lineare

Sia $M$ una matrice, allora il complemento ortogonale dello spazio generato dai vettori riga è il nucleo della matrice:

    $(\operatorname {row} M)^{\bot }=\ker M$

In modo simile, il complemento ortogonale dello spazio generato dai vettori colonna è il nucleo della matrice aggiunta:

    $(\operatorname {col} M)^{\bot }=\ker M^{*}$

## Equazioni integrali

Sia $K(x,y)$ il nucleo di una trasformata integrale e si considerino le equazioni:

    $\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \phi (x)\qquad \int _{a}^{b}\psi (x){\overline {K(x,y)}}\,dx={\overline {\lambda }}\psi (y)$

dove ${\overline {\lambda }}$ denota il complesso coniugato del numero complesso $\lambda$, e similmente per ${\overline {K(x,y)}}$.

Allora per ogni valore fissato di $\lambda$ le equazioni hanno o la soluzione banale $\psi (x)=\phi (x)=0$ oppure hanno lo stesso numero di soluzioni linearmente indipendenti $\phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)$, $\psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)$.

Una condizione sufficiente a garantire la validità del teorema è che $K(x,y)$ sia a quadrato sommabile sul rettangolo $[a,b]\times [a,b]$, dove a e b possono assumere valore illimitato.

Il teorema può essere esteso a spazi in più dimensioni, come ad esempio le superfici di Riemann.

## Esistenza delle soluzioni

Uno dei teoremi di Fredholm riguarda l'esistenza delle soluzioni dell'equazione di Fredholm:

    $\lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x)$

Le soluzioni esistono se e solo se la funzione $f(x)$ è ortogonale all'insieme completo delle soluzioni $\{\psi _{n}(x)\}$ della corrispondente equazione aggiunta:

    $\int _{a}^{b}{\overline {\psi _{n}(x)}}f(x)\,dx=0$

dove ${\overline {\psi _{n}(x)}}$ è il complesso coniugato di $\psi _{n}(x)$, e la precedente relazione è uno degli insiemi di soluzioni per:

    $\lambda {\overline {\psi (y)}}-\int _{a}^{b}{\overline {\psi (x)}}K(x,y)\,dx=0$

Una condizione sufficiente a garantire la validità del teorema è che $K(x,y)$ sia a quadrato sommabile sul rettangolo $[a,b]\times [a,b]$.

## Teorema analitico di Fredholm

Sia $D$ un sottoinsieme aperto e connesso di $\mathbb {C}$, sia $f$ una funzione analitica definita su $D$ a valori nello spazio degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert e sia $f$ compatta per ogni $z\in D$. Il teorema analitico di Fredholm afferma che o $(I-f(z))^{-1}$ non esiste per alcun $z\in D$, oppure $(I-f(z))^{-1}$ esiste per ogni $z$ in $D\setminus S$, dove $S$ è un sottoinsieme discreto contenuto in $D$, ovvero tale che non ha punti limite in tale insieme. In tal caso l'operatore $(I-f(z))^{-1}$ è mereomorfo di $D$ e analitico in D\S. Inoltre, i residui ai poli sono operatori dal rango finito, e se $z\in S$ allora $f(z)\psi =\psi$ ha una soluzione non nulla nello spazio di Hilbert.

### L'alternativa di Fredholm

L'alternativa di Fredholm è un importante corollario del teorema analitico di Fredholm che afferma che se $A$ è un operatore compatto su uno spazio di Hilbert allora o $(I-f(z))^{-1}$ esiste oppure $A\psi =\psi$ ha una soluzione.

