Relazione (matematica)
# Relazione (matematica)

In matematica una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due o più insiemi.

## Definizione

### Relazione tra due insiemi

Una relazione tra due insiemi $A$ e $B$ (o relazione binaria) è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano, $R\subset A\times B$.

Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni

    $(a,b)\in R$
    $R(a,b)$
    $aRb$

e quando sono verificate si dice che Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): a è in relazione con $b$ (secondo la relazione $R$).

### Relazioni tra n insiemi

Una relazione tra n insiemi $S_{1},\ldots ,S_{n}$ è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano $S_{1}\times \ldots \times S_{n}$, ovvero un insieme di n-uple ordinate $(s_{1},\ldots ,s_{n})$. È anche detta relazione n-aria (in casi specifici anche ternaria, quaternaria, eccetera). Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni

    $(s_{1},\ldots ,s_{n})\in R$
    $R(s_{1},\ldots ,s_{n})$

Con notazione diversa, una relazione su una famiglia di insiemi ${\mathcal {F}}=\{S_{i}\}_{i\in I}$ è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano $\prod _{i\in I}S_{i}$.

Formalmente è possibile definire una relazione su un solo insieme $A$ (anche detta una relazione unaria o proprietà):

    $R=\{a\in A\mid R(a)\}$

L'insieme $R$ è (banalmente) l'insieme degli elementi che godono della proprietà di appartenere ad $R$.

## Proprietà

Si dice che una relazione binaria $R\subset A\times A$ è una relazione di equivalenza, o più semplicemente un'equivalenza, se è:

* Riflessiva: $\forall a\in A,\ aRa$
* Simmetrica: $\forall a,b\in A,\ aRb\Rightarrow bRa$
* Transitiva:$\forall a,b,c\in A,\ aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$

Si dice che $R$ è una relazione d'ordine, o più semplicemente un ordine, se è:

* Riflessiva: $\forall a\in A,\ aRa$
* Antisimmetrica: $\forall a,b\in A,\ aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$
* Transitiva:$\forall a,b,c\in A,\ aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$

In più è totale se vale la linearità o totalità:

* Totalità:$\forall a,b\in A,\ aRb\vee bRa$.

## Esempi

* L'ordine stretto maggiore sui numeri reali mette in relazione coppie di numeri reali

    $R=\{(a,b)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid a>b\}$

ovvero $a\in \mathbb {R}$ è in relazione maggiore con $b\in \mathbb {R}$ quando $a>b$ (cioè $aRb$).

* Sui numeri naturali, la differenza $a-b=c$ mette in relazione triple $(a,b,c)$ secondo

    $R=\{(a,b,c)\in \mathbb {N} ^{3}\mid a-b=c\}$
* Ogni funzione $f\colon A\to B$ è una relazione

    $R_{f}=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=b\}$

e può essere identificata con il suo grafico.

* Su numeri reali la positività ($x\geqslant 0$) è una relazione:

    $R=\{x\in \mathbb {R} \mid x\geqslant 0\}$
* Una relazione di equivalenza è una relazione.

## Applicazioni

### Informatica

Le "relazioni" che vengono utilizzate nelle basi di dati sono davvero delle relazioni:

* nel modello entità-relazioni le relazioni sono relazioni tra gli insiemi entità;
* nel modello relazionale le relazioni sono relazioni tra gli insiemi domini; la rappresentazione tabulare delle t-uple è la rappresentazione per elencazione delle n-uple (in inglese t-uples).
