Numero di Pisot-Vijayaraghavan
# Numero di Pisot-Vijayaraghavan

In matematica, con numero di Pisot-Vijayaraghavan (detto anche numero di Pisot oppure numero PV) si indica un intero algebrico α che è reale e maggiore di $1$, ma tale che i suoi elementi coniugati sono tutti minori di $1$ in valore assoluto.

Se ad esempio $\alpha$ è un irrazionale quadratico, esso ha un unico coniugato $\alpha '$, ottenuto cambiando il segno della radice quadrata in $\alpha$ da

    $\alpha =a+b{\sqrt {d}}$

con $a$ and $b$ entrambi interi oppure entrambi la metà di un numero dispari, si ottiene il coniugato

    $\alpha '=a-b{\sqrt {d}}.$

In questo caso si hanno le due condizioni

    $\alpha >1,$
    $-1<\alpha '<1,$

che sono soddisfatte dal numero aureo $\phi$. Abbiamo infatti

    $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}>1,$
    $\phi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {-1}{\phi }}.$

Nel caso i coniugati siano non maggiori di $1$, e uno di essi abbia valore assoluto esattamente $1$, il numero è detto numero di Salem.

Le caratteristiche generali per i numeri di Pisot sono state studiate inizialmente da G. H. Hardy in relazione a un problema di approssimazione diofantea. Il suo lavoro è stato proseguito da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30 novembre 1902 - 20 aprile 1955), un matematico indiano della regione del Madras che si trasferì a metà degli anni venti per lavorare con Hardy. Le stesse condizioni appaiono anche in alcuni problemi sulle serie di Fourier, e vennero studiate da Charles Pisot. Il nome usato comunemente per riferirsi a questi numeri deriva da entrambi gli autori.

I numeri di Pisot-Vijayaraghavan possono essere usati per generare quasi-interi: la potenza $n$-sima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di $n$ ad infinito. Ad esempio, si considerino le potenze di $\phi$: abbiamo $\phi ^{21}=24476,0000409$, e l'effetto può essere ancora più pronunciato per i numeri di Pisot-Vijayaraghavan generati da equazioni di grado superiore.

Questa proprietà deriva dal fatto che per ogni $n$ la somma delle potenze n-sime di un intero algebrico $x$ e dei suoi coniugati è un numero intero. Se $x$ è un numero di Pisot, le potenze $n$-sime degli altri coniugati tendono a $0$ per $n$ che tende a infinito.

Il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan è la radice reale dell'equazione $x^{3}-x-1$: questo numero (approssimativamente 1,324718) è noto anche come numero plastico. "Numero d'argento" invece è la soluzione positiva dell'equazione di secondo grado

    $x^{2}-2x-1=0,$

uguale al numero irrazionale algebrico $1+{\sqrt {2}}$.

Vi sono infiniti numeri di Pisot-Vijayaraghavan: il punto di accumulazione di valore minimo è il rapporto aureo $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,618033$.

## Tabella dei numeri di Pisot

Ecco i 38 numeri di Pisot minori di 1,618, in ordine crescente.

| # | Valore | Radice di... |
| - | - | - |
| 1 | 1,3247179572447460260 | $x^{3}-x-1$ |
| 2 | 1,3802775690976141157 | $x^{4}-x^{3}-1$ |
| 3 | 1,4432687912703731076 | $x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-1$ |
| 4 | 1,4655712318767680267 | $x^{3}-x^{2}-1$ |
| 5 | 1,5015948035390873664 | $x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-1$ |
| 6 | 1,5341577449142669154 | $x^{5}-x^{3}-x^{2}-x-1$ |
| 7 | 1,5452156497327552432 | $x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}-1$ |
| 8 | 1,5617520677202972947 | $x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1$ |
| 9 | 1,5701473121960543629 | $x^{5}-x^{4}-x^{2}-1$ |
| 10 | 1,5736789683935169887 | $x^{8}-x^{7}-x^{6}+x^{2}-1$ |
| 11 | 1,5900053739013639252 | $x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ |
| 12 | 1,5911843056671025063 | $x^{9}-x^{8}-x^{7}+x^{2}-1$ |
| 13 | 1,6013473337876367242 | $x^{7}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ |
| 14 | 1,6017558616969832557 | $x^{10}-x^{9}-x^{8}+x^{2}-1$ |
| 15 | 1,6079827279282011499 | $x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ |
| 16 | 1,6081283851873869594 | $x^{11}-x^{10}-x^{9}+x^{2}-1$ |
| 17 | 1,6119303965641198198 | $x^{9}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ |
| 18 | 1,6119834212464921559 | $x^{12}-x^{11}-x^{10}+x^{2}-1$ |
| 19 | 1,6143068232571485146 | $x^{11}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ |
| 20 | 1,6143264149391271041 | $x^{13}-x^{12}-x^{11}+x^{2}-1$ |
| 21 | 1,6157492027552106107 | $x^{11}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ |
| 22 | 1,6157565175408433755 | $x^{14}-x^{13}-x^{12}+x^{2}-1$ |
| 23 | 1,6166296843945727036 | $x^{13}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ |
| 24 | 1,6166324353879050082 | $x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^{2}-1$ |
| 25 | 1,6171692963550925635 | $x^{13}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ |
| 26 | 1,6171703361720168476 | $x^{16}-x^{15}-x^{14}+x^{2}-1$ |
| 27 | 1,6175009054313240144 | $x^{15}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ |
| 28 | 1,6175012998129095573 | $x^{17}-x^{16}-x^{15}+x^{2}-1$ |
| 29 | 1,6177050699575566445 | $x^{15}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ |
| 30 | 1,6177052198884550971 | $x^{18}-x^{17}-x^{16}+x^{2}-1$ |
| 31 | 1,6178309287889738637 | $x^{17}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ |
| 32 | 1,6178309858778122988 | $x^{19}-x^{18}-x^{17}+x^{2}-1$ |
| 33 | 1,6179085817671650120 | $x^{17}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ |
| 34 | 1,6179086035278053858 | $x^{20}-x^{19}-x^{18}+x^{2}-1$ |
| 35 | 1,6179565199535642392 | $x^{19}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ |
| 36 | 1,6179565282539765702 | $x^{21}-x^{20}-x^{19}+x^{2}-1$ |
| 37 | 1,6179861253852491516 | $x^{19}-x^{18}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ |
| 38 | 1,6179861285528618287 | $x^{22}-x^{21}-x^{20}+x^{2}-1$ |
