Dominio ad ideali principali
# Dominio ad ideali principali

In algebra, un dominio ad ideali principali (spesso abbreviato in PID, dall'inglese Principal Ideal Domain) è un dominio d'integrità in cui ogni ideale è principale, ossia generato da un solo elemento. I domini a ideali principali sono una classe di anelli molto simile ai numeri interi: ogni elemento può essere scritto come prodotto di elementi primi (cioè è un dominio a fattorizzazione unica), e ogni coppia di elementi ha un massimo comun divisore che può essere espresso attraverso un'identità di Bézout.

Un anello commutativo unitario in cui ogni ideale è generato da un solo elemento (ammettendo cioè la presenza di divisori dello zero, ossia elementi $a$ e $b$ non nulli tali che $ab=0$) sono detti anelli ad ideali principali; a volte, tuttavia, si usa "anello ad ideali principali" per indicare i domini ad ideali principali.

## Esempi

* L'anello $\mathbb {Z}$ dei numeri interi è ad ideali principali.
* Ogni campo $K$ è ad ideali principali in modo banale, in quanto gli unici ideali sono $(0)$ e $K$ stesso, che è generato da 1.
* L'anello $K[x]$ dei polinomi in una variabile $x$ con coefficienti in un campo $K$ è ad ideali principali; al contrario, $K[x,y]$ e $\mathbb {Z} [x]$ non lo sono, in quanto (rispettivamente) gli ideali $(x,y)$ e $(2,x)$ non sono principali.
* L'anello $\mathbb {Z} [i]$ degli interi di Gauss.

## Proprietà

Un dominio ad ideali principali è anche a fattorizzazione unica, e quindi eredita tutte le proprietà di questo:

* un elemento dell'anello è primo se e solo se è irriducibile;
* ogni elemento si fattorizza nel prodotto di elementi irriducibili, e la fattorizzazione è essenzialmente unica (ossia è unica a meno dell'ordine in cui compaiono gli elementi irriducibili, e a meno della moltiplicazione per un elemento invertibile dell'anello);
* l'anello è integralmente chiuso;
* ogni coppia di elementi ha un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo: più precisamente, l'MCD tra $a$ e $b$ è il generatore dell'ideale generato da $a$ e $b$, mentre l'mcm è il generatore dell'ideale $(a)\cap (b)$. Poiché il massimo comun divisore fa parte dell'ideale $(a,b),$ può essere espresso come loro combinazione lineare, cioè ogni coppia di elementi possiede un'identità di Bézout.

I PID non esauriscono i domini a fattorizzazione unica: ad esempio gli anelli $\mathbb {Z} [x]$ e $K[x,y]$ sono a fattorizzazione unica, ma non ad ideali principali. Un dominio a fattorizzazione unica è ad ideali principali se e solo se ha dimensione 1 o 0 (in quest'ultimo caso è un campo).

Ogni dominio ad ideali principali è noetheriano, e ogni suo ideale primo non nullo è massimale: unito al fatto di essere integralmente chiuso, questo implica che ogni PID non banale (cioè che non è un campo) è un dominio di Dedekind. Inoltre, un dominio di Dedekind è ad ideali principali se e solo se è a fattorizzazione unica.

Una proprietà più forte dell'essere ad ideali principali è l'essere un dominio euclideo; un esempio di PID non euclideo è dato dall'anello $\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]$.

## Moduli

La struttura dei moduli finitamente generati su un dominio ad ideali principali è molto semplice, ed è analoga alla struttura dei gruppi abeliani finitamente generati: di fatto, i gruppi abeliani sono $\mathbb {Z}$-moduli, e quindi la classificazione dei moduli finitamente generati su un PID può essere vista come una generalizzazione di quella dei gruppi abeliani.

Se $A$ è un dominio ad ideali principali, ogni $A$-modulo finitamente generato è somma diretta di un numero finito di moduli ciclici (ossia generati da un solo elemento): ognuno di essi, inoltre, è isomorfo al quoziente $A/(x)$ per un $x\in A$ (questo comprende anche i moduli liberi, che si possono ottenere prendendo $x=0$). L'unicità della rappresentazione può prendere due forme: un modulo può essere scritto come

    $M=R^{k}\oplus R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}),$

con $d_{i}|d_{i+1}$, oppure come

    $M=R^{k}\oplus R/(q_{1})\oplus R/(q_{2})\oplus \cdots \oplus R/(q_{n}),$

dove i $q_{i}$ sono potenze di elementi primi; in entrambi i casi i $d_{i}$ e i $q_{i}$ sono diversi da 0 e 1. Se la scomposizione in fattori ciclici rispetta una di queste due forme canoniche, allora la scomposizione è unica (nel secondo caso, a meno dell'ordine dei fattori).

Come corollari di questa classificazione si ottengono la classificazione degli spazi vettoriali di dimensione finita (considerando $A=K,$ in quanto i $K$-moduli sono precisamente i $K$-spazi vettoriali) e la forma canonica di Jordan per applicazioni lineari su un campo algebricamente chiuso (considerando $A=K[T]$).

Un'altra proprietà dei moduli finitamente generati è la seguente: se $M$ è privo di torsione allora è libero. Questo non vale in anelli generici (basta prendere un ideale non principale) né per moduli su un PID ma non finitamente generati: un esempio è lo $\mathbb {Z}$-modulo $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali.

