Equazione ipergeometrica confluente
# Equazione ipergeometrica confluente

In matematica, l'equazione ipergeometrica confluente o equazione di Kummer, da Ernst Kummer, è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann facendo confluire due singolarità in un solo punto; è strettamente legata con l'equazione ipergeometrica e le sue soluzioni, le funzioni ipergeometriche. Ciascuna delle soluzioni dell'equazione ipergeometrica confluente è analogamente chiamata funzione ipergeometrica confluente.

Si individuano in particolare due soluzioni indipendenti, fornite da serie ipergeometriche: la prima è denotata con $M(a,b,z)$ e viene detta funzione ipergeometrica di Kummer, mentre la seconda è denotata con $U(a,b,z)$ e chiamata funzione di Whittaker, in riferimento a Edmund Taylor Whittaker, oppure anche funzione ipergeometrica confluente di Tricomi (da Francesco Tricomi) o funzione ipergeometrica di Gordon-Tricomi. Da notare che per funzione di Kummer si intende invece una funzione speciale non collegata alle precedenti.

## L'equazione

L'equazione ipergeometrica confluente ha la forma:

    $z{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\,w(z)+(b-z){\frac {d}{dz}}\,w(z)-a\,w(z)=0$

dove $a$, $b$ e $z$ sono variabili complesse (o variabili formali); in genere $a$ e $b$ sono considerati parametri che caratterizzano una famiglia di equazioni (e di funzioni di $z$ loro soluzioni).

La funzione ipergeometrica di Kummer è data dalla serie ipergeometrica generalizzata:

    $M(a,b,z)=1+{\frac {a}{b}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}\,z^{n}}{(b)_{n}\,n!}}=_{1}F_{1}(a;b;z)$

dove:

    $a^{(0)}=1,$
    $a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)$

è il fattoriale crescente. Le funzioni di Bessel, la funzione gamma incompleta, i polinomi di Hermite e i polinomi di Laguerre sono casi particolari della funzione ipergeometrica di Kummer.

La funzione di Whittaker (funzione ipergeometrica confluente di Tricomi) è data da:

    $U(a,b,z)={\frac {\pi }{\sin \pi b}}\left[{\frac {M(a,b,z)}{\Gamma (1+a-b)\Gamma (b)}}-z^{1-b}{\frac {M(1+a-b,2-b,z)}{\Gamma (a)\Gamma (2-b)}}\right]$

Esiste una notazione alternativa per $U(a,b,z)=z^{-a}_{2}F_{0}(a,1+a-b;;-1/z)$ (si veda il testo di Abramowitz e Stegun).

## Casi particolari

Vi sono molte funzioni speciali che possono essere espresse come caso speciale della funzione ipergeometrica confluente:

* Alcune funzioni elementari, come ad esempio:

    $M(0,b,z)=1\qquad U(0,c,z)=1\qquad M(b,b,z)=\exp(z)\qquad U(a,a+1,z)=z^{-a}$
    e anche:
    $U(a,a,z)=\exp(z)\int _{z}^{\infty }u^{-a}\exp(-u)du$
    che è un polinomio per $a$ intero non positivo, oppure:
    ${\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}\exp(z)$
    mentre $U(-n,-2n,z)$ è un polinomio di Bessel per $n$ intero e $M(n,b,z)$ è il polinomio generalizzato di Laguerre per $n$ intero non-positivo.
* La funzione di Bateman
* Le funzioni di Bessel ed altre funzioni correlate, come le funzioni di Airy, le funzioni di Kelvin e le funzioni di Hankel.
* La funzione degli errori può essere scritta come:

    $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right)$
* La funzione integrale esponenziale, il seno integrale e il logaritmo integrale.
* I polinomi di Hermite e i polinomi di Laguerre
* La funzione gamma incompleta
* La funzione parabolica del cilindro
* Le funzioni di Whittaker $M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)$ e $W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)$ sono soluzioni dell'omonima equazione, che può essere scritta attraverso le funzioni di Kummer $M$ e $U$ come:

    $M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)$
    $W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)$

## Rappresentazioni integrali

Se $\Re (b)>\Re (a)>0$, allora $M(a,b,z)$ può essere rappresentato con forma di integrale:

    $M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du$

dove $M(a,a+b,it)$ è la funzione caratteristica della distribuzione Beta. Per $a$ con parte positiva reale, $U$ può essere ottenuto dalla trasformata di Laplace:

    $U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt\qquad \Re (a)>0)$

L'integrale definisce una soluzione nella parte destra del semipiano $\Re (z)>0$.

## Polinomi di Laguerre

La funzione di Kummer può essere espressa in diversi modi come sviluppo in polinomi di Laguerre, ad esempio:

    $M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}$

## Teorema di moltiplicazione

Valgono i seguenti teoremi di moltiplicazione:

    ${\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)=\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt)\end{aligned}}$
