Serie di Grandi
# Serie di Grandi

La somma infinita 1 − 1 + 1 − 1 + ..., chiamata anche serie di Grandi, scoperta da Guido Grandi nel 1703, è una serie simile alla serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · e alla serie 1 + 1 + 1 + 1 + · · · (o serie sommativa unitaria).

Essa si può rappresentare con la formula:

    $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$

La serie di Grandi è irregolare, nel senso che la successione delle sue somme parziali non possiede limite. Tuttavia la sua somma di Cesaro (che è un'estensione del concetto classico di serie convergente basata sulle somme parziali) è ${\frac {1}{2}}$. In modo informale (e senza tenere effettivamente conto dell'applicabilità di metodi algebrici a serie non convergenti), tale serie può essere riscritta sia come:

    $S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots$

dove l'evidente risultato della sommatoria è 0, sia come:

    $S=1-(1-1)-(1-1)-\ldots$

dove il risultato della sommatoria è evidentemente 1. Esiste però un terzo modo per scrivere la serie:

    $S=1-(1-1+1-1+\ldots )=1-S$

da cui:

    $S=1-S,$
    $2S=1,$
    $S={\frac {1}{2}}.$

Quindi, quello che intuitivamente ci si aspetta dalla serie di Grandi è che la sua somma, che non esiste, dovrebbe essere ${\frac {1}{2}}$. E questo è quello che la somma di Cesaro coglie estendendo il concetto di convergenza.

Guido Grandi, nel suo libro Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita, ottenne il terzo risultato a partire da una variante della serie geometrica, utilizzando lo sviluppo binomiale

    ${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots$

con $x=1$.

## Definizioni rigorose della somma

Con la definizione classica di somma della serie come limite delle somme parziali, la serie di Grandi non converge ed è oscillante.

Tuttavia, esistono definizioni generalizzate della somma di una serie, come la già richiamata somma di Cesaro, la somma di Abel, la somma di Eulero, che forniscono il valore 1/2.

In particolare, la somma di Cesaro definisce la somma della serie come il limite della media delle somme parziali, che è appunto 1/2.

