Equazioni di Yule-Walker
# Equazioni di Yule-Walker

In statistica per un modello autoregressivo (casuale) valgono le seguenti relazioni, dette equazioni di Yule-Walker:

In particolare, la matrice $R$ dei coefficienti delle equazioni di Yule-Walker è una matrice di Toeplitz; cioè è simmetrica (o hermitiana, nel caso di sequenze complesse) e tutti gli elementi appartenenti alla stessa diagonale, o subdiagonale, sono eguali tra loro. La matrice $R[N\times N]$ è pertanto caratterizzata da $N$ numeri e può dunque essere rappresentata da:

$R={\begin{bmatrix}r_{0}&r_{-1}&..&r_{-N}\\r_{1}&r_{0}&..&r_{-N+1}\\r_{2}&r_{1}&..&r_{-N+2}\\..&..&..&..\\r_{N}&r_{N-1}&..&r_{0}\\\end{bmatrix}}$

Nota: Per ricavare l'elemento m-esimo $r_{m}$ si veda la procedura di derivazione sotto esposta.

## Derivazione

Considerando un processo AR:

    $z_{t}=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}+\alpha _{t}.$

Moltiplicando entrambi i membri per $z_{t-m}$ e, usando l'operatore del valore atteso, si ha:

    $E[z_{t}z_{t-m}]=E\left[\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}z_{t-m}\right]+E[\alpha _{t}z_{t-m}].$

Si ha che la funzione di autocovarianza è: $E[z_{t}z_{t-m}]=r_{m}$. I valori della funzione del rumore bianco risultano indipendenti tra loro, e $z_{t-m}$ risulta indipendente da ${\alpha _{t}}$ per m > 0. Se $m\neq 0\Rightarrow$ $E[\alpha _{t}z_{t-m}]=0$. Per $m=0$ si ha:

    $E[\alpha _{t}z_{t}]=E\left[\alpha _{t}(\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}+\alpha _{t})\right]=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,E[\alpha _{t}\,z_{t-i}]+E[\alpha _{t}^{2}]=0+\sigma _{\alpha }^{2},$

Pertanto, risulta:

    $r_{m}=E\left[\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}z_{t-m}\right]+\sigma _{\alpha }^{2}\delta _{m}.$

Poiché:

    $E\left[\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}z_{t-m}\right]=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,E[z_{t}z_{t-m+i}]$ = $\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,r_{m-i},$

La risultante equazione di Yule-Walker è:

    $r_{m}=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}r_{m-i}+\sigma _{\alpha }^{2}\delta _{m}.$
