1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ...
# 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ...

In matematica, la serie indeterminata

    $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!$

fu considerata per la prima volta da Eulero, che applicò i metodi di sommabilità per assegnare un valore finito a questa serie. La serie è la somma alternata dei fattoriali, cioè che alternativamente sono sommati o sottratti. Un modo di assegnare un valore a questa serie è usando la somma di Borel, con cui si scrive che

    $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}\,dx$

Se si scambiano la sommatoria e l'integrale (ignorando che nessuno dei due membri converge), si ottiene:

    $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]e^{-x}\,dx$

La sommatoria nelle parentesi quadrate converge ed è uguale a $1/(1+x)$ se $|x|<1$. Se si prolunga analiticamente $1/(1+x)$ ad ogni $x$ reale, si ricava un integrale convergente per la serie:

    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\\[4pt]&=eE_{1}(1)\approx 0.596\,347\,362\,323\,194\,074\,341\,078\,499\,369\ldots \end{aligned}}$

dove $E_{1}(z)$ è la funzione integrale esponenziale. Questa è per definizione la somma di Borel della serie.

## Derivazione

Si consideri il sistema formato da queste due equazioni differenziali

    ${\dot {x}}(t)=x(t)-y(t),\qquad {\dot {y}}(t)=-y(t)^{2}$

dove i punti indicano le derivate rispetto a $t$.

La soluzione con equilibrio stabile in $(x,y)=(0,0)$ con $t\to \infty$ è $y(t)=1/t$, e sostituendola nella prima equazione si ottiene una soluzione nella forma di serie formale di potenze

    $x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(n-1)!}{t^{n}}}$

Si osservi che $x(1)$ è precisamente la serie dei fattoriali alternati.

D'altra parte, il sistema di equazioni differenziali ha soluzione

    $x(t)=e^{t}\int _{t}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du.$

Attraverso integrazioni per parti successive, la serie di potenze formali diventa uno sviluppo asintotico dell'espressione di $x(t)$. Eulero argomentò (più o meno) che uguagliando si ha

    $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n-1)!=e\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du.$
