Assioma di Dedekind
# Assioma di Dedekind

In matematica, l'assioma di Dedekind, detto anche assioma di continuità oppure assioma di completezza, riguarda l'insieme dei numeri reali R; esso afferma che ogni insieme S di numeri reali che non sia vuoto e che sia limitato superiormente possiede un estremo superiore in R, vale a dire un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S e tale che non esista nessun reale più piccolo con tale proprietà.

Se ad esempio l'insieme S considerato è quello dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 (in simboli, l'insieme $\{x\in \mathbb {R} :x^{2}<2\}$), l'estremo superiore è ${\sqrt {2}}$. L'assioma si può enunciare anche per ogni sottoinsieme di R che sia non vuoto e inferiormente limitato: in questo caso si garantisce che l'insieme abbia un estremo inferiore.

Questo assioma è molto utile perché è essenziale per dimostrare che la retta reale è uno spazio metrico completo. L'insieme dei numeri razionali non soddisfa questo assioma, e perciò non è completo: per l'insieme S definito precedentemente non esiste un estremo superiore appartenente a Q.

## Assioma di completezza e continuità della retta

Una formulazione alternativa dell'assioma di Dedekind, nota sotto il nome di assioma di completezza, è la seguente.

«Presa comunque una partizione di tutti i punti di una retta in due sottoinsiemi, tale che nessun punto di un sottoinsieme giace tra due punti dell'altro, esiste un punto di un sottoinsieme che giace tra tutti gli altri punti di quel sottoinsieme e tutti i punti dell'altro.»

L'assioma di Dedekind (o di completezza) permette di porre in corrispondenza biunivoca i punti di una retta con gli elementi dell'insieme R.

## Completezza dei numeri reali

Usando l'assioma di Dedekind si può dimostrare che i numeri reali formano uno spazio completo: in altre parole, che ogni successione di Cauchy è convergente.

### Dimostrazione

Sia $\{s_{n}\}$ una successione di Cauchy. Sia $S$ l'insieme dei numeri reali che sono maggiori di $s_{n}$ solo per un numero finito di valori di $n$. Poiché ogni successione di Cauchy è limitata, $S$ è non vuoto e superiormente limitato ed ammette quindi, per l'assioma di Dedekind, un estremo superiore $s$. Mostriamo che effettivamente la successione $s_{n}$ tende a $s$.

Per ogni $\varepsilon$, esiste un $N$ tale che $|s_{n}-s_{m}|<\varepsilon$ per ogni $n$, $m$ maggiore o uguale a $N$. Allora la successione assume infinite volte valori all'interno dell'intervallo $(s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )$ e un numero finito di volte nel suo complementare. Quindi $s_{N}-\varepsilon$ è un elemento di $S$ e $s_{N}+\varepsilon$ è maggiore di ogni elemento di $S$, e quindi è maggiore o uguale ad $s$.

Quindi $s$ è contenuto nell'intervallo $(s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )$, e per la disuguaglianza triangolare risulta che

    $d(s_{n},s)\leq d(s_{n},s_{N})+d(s_{N},s)\leq \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon$.

Quindi $s_{n}\to s$ e la successione converge. Q.E.D.

