Distribuzione normale multivariata
# Distribuzione normale multivariata

In teoria della probabilità e statistica, la distribuzione normale multivariata o distribuzione gaussiana multivariata o vettore gaussiano è una generalizzazione della distribuzione normale (univariata) a dimensioni più elevate. Una definizione è che un vettore di variabili aleatorie ha una distribuzione normale k-variata se ogni combinazione lineare delle sue k componenti ha distribuzione normale univariata. La sua importanza deriva principalmente dal teorema del limite centrale multivariato. La distribuzione normale multivariata è spesso utilizzata per descrivere, almeno approssimativamente, un qualunque insieme di variabili aleatorie a valori reali (possibilmente) correlate, ognuna delle quali è clusterizzata attorno ad un valore medio.

## Definizioni

### Notazione e parametrizzazione

La distribuzione normale multivariata di un vettore aleatorio k-dimensionale $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }$ può essere scritta secondo la notazione:

    $\mathbf {X} \ \sim \ {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }}),$

o, per rendere esplicito il fatto che $\mathbf {X}$ sia k-dimensionale,

    $\mathbf {X} \ \sim \ {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }}),$

con un vettore della media di dimensione k

    ${\boldsymbol {\mu }}=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]=(\operatorname {E} [X_{1}],\operatorname {E} [X_{2}],\ldots ,\operatorname {E} [X_{k}])^{\textbf {T}},$

e matrice di covarianza di dimensione $k\times k$

    $\Sigma _{i,j}:=\operatorname {E} [(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})]=\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]$

per cui $1\leq i,j\leq k.$ La matrice inversa della matrice di covarianza è chiamata matrice di precisione, e si indica come ${\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}$.

### Vettore aleatorio normale standard

Un vettore aleatorio a valori reali $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }$ è detto vettore aleatorio normale standard se tutte le sue componenti $X_{n}$ sono indipendenti e ognuna è una variabile aleatoria normale di valore medio nullo e varianza unitaria, cioè se $X_{n}\sim \ {\mathcal {N}}(0,1)$ per tutti i valori di $n$.p. 454

### Vettore aleatorio normale centrato

Un vettore aleatorio a valori reali $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }$ è chiamato vettore aleatorio normale centrato se esiste una matrice deterministica ${\boldsymbol {A}}$ di dimensione $k\times \ell$ tale per cui ${\boldsymbol {A}}\mathbf {Z}$ ha la stessa distribuzione di $\mathbf {X}$ dove $\mathbf {Z}$ è un vettore aleatorio normale standard con $\ell$ componenti.p. 454

### Vettore aleatorio normale

Un vettore aleatorio a valori reali $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }$ è detto vettore aleatorio normale se esistono un vettore aleatorio $\ell$-dimensionale $\mathbf {Z}$, che è un vettore aleatorio normale standard, un vettore $k$-dimensionale $\mathbf {\mu }$, e una matrice ${\boldsymbol {A}}$ di dimensione $k\times \ell$, tale per cui $\mathbf {X} ={\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +\mathbf {\mu }$.p. 455p. 454

Formalmente:

$\mathbf {X} \ \sim \ {\mathcal {N}}(\mathbf {\mu } ,{\boldsymbol {\Sigma }})\quad \iff \quad {\text{esiste }}\mathbf {\mu } \in \mathbb {R} ^{k},{\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{k\times \ell }{\text{ tale per cui }}\mathbf {X} ={\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +\mathbf {\mu } {\text{ per }}Z_{n}\sim \ {\mathcal {N}}(0,1),{\text{i.i.d.}}$

Da qui la matrice delle covarianze è ${\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$.

Nel caso degenere in cui la matrice delle covarianze fosse singolare, la distribuzione corrispondente non ha densità; vedi la sezione seguente per dettagli. Questa situazione capita frequentemente in statistica; per esempio, nella distribuzione dei vettori dei residui nel metodo di regressione dei minimi quadrati ordinario. Le $X_{i}$ in genere non sono indipendenti; possono essere visti come il risultato dell'applicazione della matrice ${\boldsymbol {A}}$ all'insieme delle variabili gaussiane indipendenti $\mathbf {Z}$.

### Definizioni equivalenti

Le seguenti definizioni sono equivalenti alla definizione data in precedenza. Un vettore aleatorio $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{T}$ ha una distribuzione normale multivariata se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti.

* Ogni combinazione lineare $Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{k}X_{k}$ delle proprie componenti è normalmente distribuita. Cioè, per un qualunque vettore costante $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{k}$, il valore aleatorio $Y=\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X}$ ha una distribuzione normale univariata, dove una distribuzione normale univariata con varianza nulla è un punto materiale sulla sua media.
* Esistono un vettore k-dimensionale $\mathbf {\mu }$ e una matrice di dimensione $k\times k$ simmetrica e positiva semidefinita ${\boldsymbol {\Sigma }}$, tali per cui la funzione caratteristica di $\mathbf {X}$ è

       $\varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {u} )=\exp {\Bigi\mathbf {u} ^{T}{\boldsymbol {\mu }}-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} ^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {u} {\Big )}.$

La distribuzione normale sferica può essere caratterizzata come l'unica distribuzione in cui le componenti siano indipendenti in un qualunque sistema di coordinate cartesiano.

