Teorema di Casorati-Weierstrass
# Teorema di Casorati-Weierstrass

Il teorema di Casorati-Weierstrass in analisi complessa descrive il particolare comportamento di funzioni olomorfe nei pressi di singolarità essenziali. Il teorema è così chiamato in onore di Karl Weierstraß e Felice Casorati.

## Premesse

Sia U un sottoinsieme aperto del piano complesso contenente il numero $z_0,$ e sia f una funzione olomorfa f definita in U − ${z_0}.$ Il numero complesso $z_0$ prende il nome di singolarità essenziale per f se non esiste alcun numero naturale n tale che il limite

    $\lim _{z\to z_{0}}f(z)\cdot (z-z_{0})^{n}$

esista. Per esempio, la funzione f(z) = exp(1/z) ha una singolarità essenziale in $z_0$ = 0, mentre la funzione g(z) = $1/z^3$ no (ha infatti un polo in 0 di ordine 3).

Condizione necessaria e sufficiente perché un punto $z_0$ sia una singolarità essenziale isolata per f è che

    $\limsup _{z\rightarrow z_{0}}|f(z)|=\infty$

e

    $\liminf _{z\rightarrow z_{0}}|f(z)|=0.$

## Enunciato

    Se una funzione complessa olomorfa f ha una singolarità essenziale in $z_0,$ allora per ogni intorno V di $z_0$ contenuto nel campo di olomorfia U di f, f(V − ${z_0})$ è denso in C.

O, equivalentemente:

    Sia ε > 0 e sia I un intorno arbitrario di $z_0.$ Per ogni numero complesso w esistono infiniti punti z ∈ I tale che |f(z) - w| < ε.

## Prima dimostrazione

Sia w un numero complesso arbitrario. Se $z_0$ è una singolarità essenziale per f(z), è tale anche per la funzione $f(z)-w$. Si avrà quindi:

    $\liminf _{z\rightarrow z_{0}}|f(z)-w|=0,$

e dalla definizione di limite inferiore segue subito il teorema.

## Seconda dimostrazione

Forniamo una seconda dimostrazione in cui non si fa uso della proprietà con il limite inferiore. La dimostrazione procede per assurdo.

Supponiamo per assurdo che $\exists w\in \mathbb {C} ,\exists \epsilon >0,\exists \delta >0$ tali che $\forall z:|z-a|<\delta ,|f(z)-w|>\epsilon$. Allora

    $\lim _{z\rightarrow a}{\frac {|f(z)-w|}{|z-a|}}=+\infty ,$

e ciò implica che la funzione ${\frac {f(z)-w}{z-a}}$ ha un polo in $z=a.$ Sia $m$ il suo ordine. Dunque

    $\lim _{z\rightarrow a}|z-a|^{m+1}{|f(z)-w|}=0$

e per la disuguaglianza triangolare

    $|f(z)|\leq |f(z)-c|+|c|$

si ha che

    $\lim _{z\rightarrow a}|z-a|^{m+1}|f(z)|=0.$

Ma come visto nelle premesse, questo è assurdo, poiché la funzione ha una singolarità essenziale in $a$ e tale limite non dovrebbe esistere.

## Sviluppi

Il teorema venne considerevolmente rafforzato dal teorema di Picard che afferma che, utilizzando la notazione di cui sopra, $f$ assume ogni valore complesso, con una sola possibile eccezione, infinite volte in $V.$

