Teorema delle radici razionali
# Teorema delle radici razionali

In algebra, il teorema delle radici razionali afferma che ogni soluzione razionale di un'equazione polinomiale a coefficienti interi:

    $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0}=0,\quad a_{n},\ldots ,a_{0}\in \mathbb {Z} ,\,a_{n}\neq 0,$

è della forma $p/q$, con $p$ e $q$ coprimi, dove:

* $p$ è un divisore del termine noto $a_{0}$;
* $q$ è un divisore del coefficiente direttore $a_{n}$.

Il teorema non dà alcuna informazione su eventuali radici irrazionali o complesse.

Ad esempio, se abbiamo un'equazione della forma

    $3x^{3}-10x^{2}+x-4=0,$

allora le eventuali radici razionali sono contenute in quest'insieme:

    $\left\{\pm {4 \over 3},\pm {2 \over 3},\pm {1 \over 3},\pm 4,\pm 2,\pm 1\right\}.$

Se il polinomio è monico, cioè è $a_{n}=1$, evidentemente la formula si semplifica restringendo le opzioni tra i soli divisori del termine noto. La verifica di ogni singola possibile radice si può ad esempio attuare con il teorema del resto (oppure con la regola di Ruffini se si vuole avere direttamente anche il quoziente). Se nessun valore soddisfa le richieste, allora tutte le sue radici (che esistono per il teorema fondamentale dell'algebra) sono irrazionali o complesse. Al contrario, se sono state trovate $n$ radici razionali, allora il polinomio è completamente fattorizzabile in polinomi lineari con coefficienti razionali.

## Dimostrazione

Il teorema delle radici razionali è una diretta conseguenza del lemma di Gauss, il quale afferma che se un polinomio (a coefficienti interi) è fattorizzabile sui razionali, allora lo è anche sugli interi.

Quindi se esiste una radice razionale $p/q$, questo significa che potremo scrivere il nostro polinomio iniziale come $(qx-p)\cdot (b_{n-1}x^{n-1}+\ldots +b_{0})$ con tutti i $b_{i}$ interi. Facendo il prodotto (i coefficienti intermedi non ci interessano) e sfruttando il fatto che due polinomi sono uguali se e solo se coincidono tutti i coefficienti, avremo $a_{n}=b_{n-1}\cdot q$ e $a_{0}=b_{0}\cdot p$, da cui il teorema.

In altro modo, supponiamo che la frazione $p/q$ sia una radice del polinomio. Possiamo supporre che la frazione sia ridotta ai minimi termini, ovvero che gli interi $p$ e $q$ siano primi fra loro. Sostituendo si ottiene

    $a_{n}(p/q)^{n}+a_{n-1}(p/q)^{n-1}+\ldots +a_{1}(p/q)+a_{0}=0,$

da cui, moltiplicando per $q^{n}$,

    $a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\ldots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.$

Ora $p$ divide i primi $n$ termini, dunque deve dividere anche l'ultimo termine $a_{0}q^{n}$. Dato che $p$ e $q$ sono primi fra loro, $p$ deve dividere $a_{0}$. Con un ragionamento analogo si vede che $q$ divide $a_{n}$.

