Inclusione
# Inclusione

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con $\subseteq$, è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme $B$ è contenuto o incluso nell'insieme $A$ se, per ogni elemento $x$, se $x$ appartiene a $B$ allora $x$ appartiene ad $A$". In simboli, dati due insiemi $A$ e $B$, si ha:

    $B\subseteq A\iff \forall x:x\in B\Rightarrow x\in A.$

L'insieme $B$ si dice sottoinsieme di $A$.

Si parla, più propriamente, di inclusione stretta per indicare che ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$ ma che esistono elementi di $A$ che non sono elementi di $B$.

Nel caso in cui tutti gli elementi di $A$ appartengono anche a $B$ si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di sé stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di $A$ non è compreso nell'insieme $B$, cioè nel caso dell'inclusione stretta.

Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è $\subseteq$, mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è $\subset$. Tuttavia spesso viene usata una notazione alternativa che indica con $\subset$ un sottoinsieme e con $\subsetneq$ un sottoinsieme proprio (quest'ultima si usa anche quando si vuole mettere in evidenza che $B$ non coincide con $A$).

Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è $\supseteq$ (oppure $\supset$) per il sovrainsieme, e $\supset$ (oppure $\supsetneq$) per il sovrainsieme proprio.

## Proprietà

* L'inclusione è una relazione d'ordine largo, cioè è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva; quindi valgono:

    $A\subseteq A$ (riflessività)
    $B\subseteq A\land A\subseteq B\Rightarrow B=A$ (antisimmetria)
    $C\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow C\subseteq A$ (transitività)

In particolare, l'antisimmetria della relazione viene tipicamente sfruttata per definire l'uguaglianza di $A$ e $B$:

    "$A$ è uguale $B$ se e solo se $A$ è contenuto in $B$ e $B$ è contenuto in $A$",

cioè:

    $A=B\iff A\subseteq B\land B\subseteq A.$
* L'insieme vuoto $\varnothing$ è sottoinsieme di ogni altro insieme, cioè "per ogni insieme $A$ si ha che $\varnothing \subseteq A$".
* Valgono

    $B\subset A\Leftrightarrow A\supset B;$
    $B\subseteq A\Leftrightarrow A\supseteq B.$
* Se $B\subseteq A$, allora:

    $B\cup A=A;$
    $B\cap A=B.$

### Distinzione fra inclusione ed appartenenza

Bisogna fare molta attenzione a non confondere il concetto di inclusione con quello di appartenenza.

Esempi:

* è esatta: $2\in \{1,2,3\}$ - cioè $2$ appartiene all'insieme $\{1,2,3\}$
* è errata: $2\subset \{1,2,3\}$ - cioè non si può dire che $2$ è incluso nell'insieme $\{1,2,3\}$
* è esatta: $\{2\}\subset \{1,2,3\}$ - cioè il singoletto di $2$ è incluso nell'insieme $\{1,2,3\}$

## Storia

Il simbolo ⊂, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ∪, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.

