Score (statistica)
# Score (statistica)

In statistica, il termine score indica il gradiente (il vettore delle derivate parziali) del logaritmo della funzione di verosimiglianza.

In termini formali, data l'osservazione $X$ con funzione di verosimiglianza $L(\theta ;X)$, lo score $V$ è dato da:

    $V={\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)={\frac {1}{L(\theta ;X)}}{\frac {\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }}.$

$V$ è una funzione di $\theta$ (i parametri da stimare) e $X$ (le osservazioni).

## Proprietà

### Media

Sotto alcune condizioni di regolarità, il valore atteso di $V$ rispetto all'osservazione x condizionato a $\theta$, ovvero $\mathbb {E} (V|\theta )$, è nullo.

Riscrivendo la funzione di veromiglianza come funzione di densità ($L(\theta ;x)=f(x;\theta )$), si ha infatti:

    $\mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )\right)f(x;\theta )dx=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}{f(x;\theta )}}f(x;\theta )dx$

da cui, semplificando otteniamo:

    $\mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{x=-\infty }^{+\infty }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}1=0.$

### Varianza

La varianza dello score è l'informazione di Fisher: ${\mathcal {I}}(\theta )$.

Poiché il valore atteso dello score è nullo, la varianza dello score è data da:

    ${\mathcal {I}}(\theta )=\mathbb {E} \left\{\left.\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)\right]^{2}\right|\theta \right\}.$
