Funtore (matematica)
# Funtore (matematica)

In matematica, è spesso utile tradurre problemi geometrici o topologici in fatti algebrici o insiemistici, che spesso risultano di più facile risoluzione. Questo passaggio viene fatto normalmente tramite un funtore.

## Definizione

Un funtore è una mappa fra categorie che ne conserva le strutture.

Più precisamente, un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

* ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
* ad ogni morfismo f: X→ Y un morfismo F(f): F(X)→ F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

* $F(id_X)$ = $id_{F(X)}$ per ogni oggetto X in C.
* F(g o f) = F(g) o F(f) per tutti i morfismi f: X → Y e g: Y → Z.

Un funtore controvariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, cioè se f: X→ Y, allora F(f): F(Y)→ F(X). Ogni funtore covariante da C a D induce un funtore controvariante tra le categorie $C^*$ (cioè la categoria duale di C) e D.

## Esempi

### Funtore costante

    Un funtore "banale" tra due categorie C → D qualsiasi è quello che mappa ogni oggetto di C su un oggetto fissato X in D e ogni morfismo di C sul morfismo identità di X.

### Spazio vettoriale duale

    La mappa che associa ad ogni spazio vettoriale il suo spazio duale e ad ogni applicazione lineare la sua duale è un funtore controvariante dalla categoria degli spazi vettoriali (con campo fissato) in sé.

### Gruppo fondamentale

    Uno spazio topologico puntato è una coppia (X, x) dove X è uno spazio topologico e x è un punto di X. Il gruppo fondamentale è un funtore covariante dalla categoria degli spazi topologici puntati a quella dei gruppi, che associa alla coppia (X, x) il gruppo $π_1(X,$ x).

### Algebra delle funzioni continue

    Associando ad ogni spazio topologico X l'algebra reale C(X) delle funzioni continue da X in R otteniamo un funtore controvariante dalla categoria degli spazi topologici a quella delle algebre reali.

### Spazio tangente e cotangente

    La mappa che manda ogni varietà differenziabile nel suo fibrato tangente ed ogni funzione liscia nella sua derivata è un funtore covariante dalla categoria delle varietà differenziabili in quella dei fibrati vettoriali. Associando il fibrato cotangente otteniamo un funtore controvariante.

### Algebre di Lie

    Associando ad ogni gruppo di Lie la sua algebra di Lie otteniamo un funtore covariante.

### Prodotto tensoriale

    Se C è la categoria degli spazi vettoriali su un campo fissato, il prodotto tensoriale determina un funtore C x C → C covariante in entrambi i fattori.

### Funtore "dimenticante" (forgetful functor)

    Il funtore che associa ad ogni gruppo l'insieme soggiacente è un funtore dalla categoria dei gruppi a quella degli insiemi, in cui semplicemente ogni gruppo si "dimentica" di avere una struttura. Funtori analoghi si definiscono ad esempio dagli anelli ai gruppi.

### Funtore Hom

    Fissiamo un gruppo G. Associamo quindi ad ogni gruppo H il gruppo Hom(G, H) fatto da tutti gli omomorfismi da G in H. Questo è un funtore covariante dalla categoria dei gruppi in sé. Se associamo ad H il gruppo Hom(H, G), otteniamo invece un funtore controvariante.

## Proprietà

Data una categoria C ed un suo morfismo f in Hom(A,B), questo è detto:

* sezione se esiste un morfismo r in Hom(B,A) tale che r•f sia il morfismo identità su A
* retrazione se esiste un morfismo s in Hom(B,A) tale che f•s sia il morfismo identità su B.

Dalla definizione segue facilmente che ogni funtore preserva sezioni e retrazioni, ed in particolare gli isomorfismi.

In generale un funtore non riflette gli isomorfismi. Più precisamente, dato un funtore F dalla categoria C alla categoria D, se F(f): F(X)→ F(Y) è un isomorfismo della categoria D, il morfismo f della categoria C non è necessariamente un isomorfismo. Si consideri, ad esempio, il funtore dimenticante U dalla categoria degli spazi topologici alla categoria degli insiemi: ogni funzione continua (morfismo della prima categoria) che sia biettiva viene mandata in se stessa vista come semplice funzione biettiva di insiemi, che è quindi un isomorfismo nella categoria degli insiemi; tuttavia, una funzione continua biettiva non è in generale un omeomorfismo (isomorfismo nella categoria degli spazi topologici).

Un funtore che riflette gli isomorfismi è detto conservativo. Un esempio è dato dal funtore dimenticante dalla categoria dei gruppi alla categoria degli insiemi.

