Numero di Liouville
# Numero di Liouville

Un numero di Liouville è un numero reale che può essere approssimato "molto bene" con una successione di numeri razionali.

Formalmente, un numero $x$ è di Liouville se per ogni numero intero positivo $n$ esistono degli interi $p$ e $q$ con $q>1$ tali che

    $0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}$.

Una definizione equivalente è che per ogni $n$ esistono infinite coppie $(p,q)$ di interi che verificano questa proprietà.

Si dimostra facilmente che ogni numero di Liouville è irrazionale. Nel 1844 Joseph Liouville dimostrò che i numeri che oggi portano il suo nome sono non solo irrazionali, ma anche trascendenti.

Si dimostra che i numeri di Liouville nell'intervallo $[0,1]$ sono non numerabili, ma hanno misura nulla. Questo implica che non tutti i numeri trascendenti sono di Liouville, e che anzi questa classe di numeri è molto piccola rispetto all'insieme dei numeri trascendenti. Esempi di numeri trascendenti ma non di Liouville sono il numero di Nepero ($e$) e pi greco ($\pi$).

La costante di Liouville, che, come non è difficile dimostrare, è un esempio di numero di Liouville, è il primo numero del quale è stata dimostrata la trascendenza.

## Irrazionalità

Supponiamo che sia $x=a/b$, con $a$ e $b$ interi, e sia $n$ tale che $2^{n-1}>b$. Allora per ogni coppia di interi $p$ e $q$ tali che $q>1$ e $p/q\neq a/b$ si ha

    $\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}}\geq {\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}$

contraddicendo la proprietà usata per definire i numeri di Liouville.

## Trascendenza

Ogni numero di Liouville è trascendente, come fu dimostrato da Liouville nel 1844 (teorema di Liouville), sebbene l'inverso non sia sempre vero. La dimostrazione è basata sul lemma seguente.

Lemma. Per ogni algebrico irrazionale $\alpha$ di grado n (che risolve cioè un'equazione di grado n a coefficienti interi, ma non equazioni di grado inferiore), esiste una costante A tale che per ogni coppia di interi p, q con q > 0

    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}$

Dimostrazione del lemma.

Sia P(x) il polinomio minimo di α (cioè monico e di grado minimo tale che $P(\alpha )=0$ ). Poiché i polinomi sono lipschitziani in un intervallo limitato, esiste M > 0 tale che per ogni coppia a, b si ha

    $|P(a)-P(b)|<M|a-b|$

Quindi in particolare

    $M\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\left|P(\alpha )-P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|$
    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{M}}\left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|$

Osserviamo ora che $P(p/q)\neq 0$, in quanto altrimenti esisterebbe un altro polinomio a coefficienti razionali di grado minore che ha ancora $\alpha$ come radice, contro le ipotesi. Da ciò segue anche la diseguaglianza $\left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{n}}}$, perché si possono ridurre tutti i termini di P(p/q), $a_{i}{\frac {p^{i}}{q^{i}}}$ allo stesso denominatore $q^n,$ e ciò dimostra il lemma.

Dimostrazione della trascendenza dei numeri di Liouville. Supponiamo ora che il numero di Liouville $\alpha$ sia algebrico di grado n, sia A la costante data dal lemma e r tale che ${\frac {1}{2^{r}}}<A$. Se m=r+n, allora, per la definizione di numero di Liouville, si ha

    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{m}}}={\frac {1}{q^{n}q^{r}}}<{\frac {A}{q^{n}}}$

il che contraddice l'algebricità di $\alpha$, per il lemma precedente e l'arbitrarietà di A.

## La costante di Liouville

Un particolare numero di Liouville è la cosiddetta costante di Liouville. Essa è pari a

    $c=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0,110001000000000000000001000...$

È facile dimostrare che essa è un numero di Liouville: ponendo infatti

    $p_{n}=\sum _{k=1}^{n}10^{n!-k!}=10^{n!}\sum _{k=1}^{n}10^{-k!},~~~~q_{n}=10^{n!}$

(che sono numeri interi) si ottiene

    $\left|c-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}-10^{n!}{\frac {\sum _{k=1}^{n}10^{-k!}}{10^{n!}}}=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}-\sum _{k=1}^{n}10^{-k!}=\sum _{k=n+1}^{\infty }10^{-k!}<{\frac {2}{10^{(n+1)!}}}\leq {\frac {1}{10^{n\cdot n!}}}={\frac {1}{q_{n}^{n}}}$

e quindi c verifica la definizione di numero di Liouville, in quanto questa relazione vale per ogni intero positivo n.

