Sistema autonomo (matematica)
# Sistema autonomo (matematica)

In matematica, un sistema autonomo o equazione differenziale autonoma è un sistema di equazioni differenziali ordinarie che non dipendono esplicitamente dalla variabile indipendente. Sono utilizzati nello studio dei sistemi dinamici, dove la variabile indipendente è il tempo.

## Definizione

Un'equazione autonoma è un'equazione differenziale ordinaria del tipo:

    $y'(t)=f(y(t))$

dove $f$ è una funzione continua con derivata prima continua in tutto un intervallo $I\subset \mathbb {R}$, e che non dipende dalla variabile indipendente $t$. Se $y$ è un vettore di $\mathbb {R} ^{n}$ si ha un sistema autonomo, ovvero un sistema di equazioni differenziali ordinarie autonome:

    $y'_{i}=f_{i}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\qquad i=1,\dots ,n$

Di particolare importanza sono i punti $x_{0}$ tali per cui $f(x_{0})=0$, detti punti di equilibrio, ai quali corrisponde la soluzione costante $y=x_{0}$.

Un generico sistema di equazioni differenziali ordinarie (in cui $f$ dipende da $t$):

    ${\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)$

può essere reso autonomo introducendo una nuova incognita $y_{n+1}=t$.

## Proprietà

Sia $x_{1}(t)$ l'unica soluzione del problema ai valori iniziali per il sistema autonomo:

    ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\qquad x(0)=x_{0}$

Allora $x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})$ è soluzione di:

    ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\qquad x(t_{0})=x_{0}$

Infatti, ponendo $s=t-t_{0}$ si ha $x_{1}(s)=x_{2}(t)$ e $ds=dt$, sicché:

    ${\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t))$

e la condizione iniziale è verificata:

    $x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}$

Inoltre, se $f(x_{0})=0$ allora la funzione costante $x(t)=x_{0}$ è una soluzione (come si verifica sostituendola nell'equazione, osservando che la sua derivata è nulla) che soddisfa la condizione iniziale $x(0)=x_{0}$. In particolare, un vettore $x_{0}\in I$ tale che $x(t=t_{0})=x_{0}$ è un punto di equilibrio per il sistema se e solo se $f(x_{0})=0$.

## Soluzioni

La soluzione formale di un sistema del primo ordine si ottiene scrivendo:

    ${\frac {dy}{dt}}=f(y)$

da cui:

    ${\frac {dy}{f(y)}}=dt$

Integrando si ottiene la soluzione generale:

    $\int {\frac {1}{f(y)}}dy=\int dt=t+k$

dove $k$ è una costante dipendente dalle condizioni iniziali. Più precisamente, grazie al fatto che l'integrale precedente è una funzione invertibile, si mostra che se $f$ è definita su $I$ e $x_{0}\in I$ allora esistono un intorno di $x_{0}$ ed un intorno di $t_{0}\in \mathbb {R}$ tali per cui esiste almeno una soluzione $x$ di $x'=f(x)$ tale che $x(t_{0})=x_{0}$. Considerando pertanto il problema di Cauchy abbinato all'equazione autonoma $y(t_{0})=y_{0}$, se $f(y_{0})=0$ allora la soluzione è costante ($y(t)=y_{0}$) mentre se $f(y_{0})\neq 0$ la soluzione è data dall'integrale:

    $\int _{y_{0}}^{y}{\frac {1}{f(z)}}dz=\int _{t_{0}}^{t}d\tau$

A partire dalle soluzioni si possono ricavare proprietà generali per l'equazione autonoma: se la funzione $f(y)$ ha segno costante allora anche la derivata $y'$ ha segno costante, cioè mantiene la monotonia. Ad esempio, Si consideri:

    $y'(t)=ay\qquad a\neq 0$

Questa equazione ha una soluzione costante $y=0$. Le altre soluzioni sono crescenti se $at_{0}>0$ e decrescenti se $at_{0}<0$ e non si hanno punti di flesso. Un altro esempio semplice è l'equazione logistica.

### Secondo ordine

Per un'equazione autonoma del secondo ordine:

    ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')$

si introduce la variabile:

    $v={\frac {dx}{dt}}$

e si esprime la derivata seconda di $x$, sfruttando la regola della catena, come:

    ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}$

In questo modo l'equazione originale diventa:

    $v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)$

che è un'equazione del primo ordine che non dipende esplicitamente da $t$. Risolvendola si ottiene $v$ in funzione di $x$, e dalla definizione di $v$ si ha:

    ${\frac {dx}{dt}}=v(x)$

da cui:

    $t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}$

che è la soluzione implicita.

## Soluzioni periodiche

Si consideri un sistema autonomo di due variabili con relativo problema di Cauchy:

    ${\begin{cases}x'=f(x,y)\\y'=g(x,y)\end{cases}}$

Per stabilire se il sistema abbia soluzioni periodiche vale il criterio di Bendixon, il quale afferma che se il sistema ammette una soluzione periodica allora la divergenza del campo vettoriale:

    ${\vec {F}}=\{f(x,y),g(x,y)\}$

non ha segno costante (anche se può essere nulla).

### Dimostrazione

La soluzione del sistema autonomo è una curva $C:x=\phi (t),y=\psi (t)$. Applicando il teorema della divergenza:

    $\int _{C}{\vec {F}}\cdot {\vec {n}}ds=\iint _{\Sigma }div({\vec {F}})\ dx\ dy$

dove ${\vec {n}}$ è il versore normale dato da:

    ${\vec {n}}={\frac {\{g,-f\}}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}}$

Quindi l'integrale diventa:

    $\int _{0}^{T}(fg-gf)dt=0$

dove $[0,T]$ è il periodo della soluzione periodica. Questo significa che la divergenza assume:

    $\iint _{\Sigma }div({\vec {F}})\ dx\ dy=0$

e quindi non può essere sempre positiva o sempre negativa, altrimenti non si potrebbe annullare.

