Lagrangiana di Proca
# Lagrangiana di Proca

La lagrangiana di Proca descrive il campo delle particelle con massa non nulla e spin unitario (i bosoni vettori e i bosoni vettori assiali). Prende il nome dal fisico romeno Alexandru Proca.

## Definizione

In teoria dei campi, a ogni particella elementare di definita massa e definito spin viene associato un campo e viceversa. Risulta pertanto che a ogni bosone, di massa $m$ e spin 1 (bosoni vettore oppure bosoni vettori assiali), corrisponde un campo $\Omega _{\alpha }(x)$ (o analogamente $\Omega ^{\alpha }(x)=g^{\alpha \beta }\Omega _{\beta }(x)$), dove $g$ è il tensore metrico con componenti covarianti $g_{\alpha \beta }$ e con componenti controvarianti $g^{\alpha \beta }$, date da:

    $g_{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)$

L'equazione di campo per $\Omega ^{\alpha }(x)$ può essere dedotta da quella del campo elettromagnetico con la sostituzione (in unità naturali):

    $\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\rightarrow \partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2}$

ossia:

    $(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m_{\omega }^{2})\Omega ^{\alpha }-\partial ^{\alpha }(\partial _{\beta }\Omega ^{\beta })=0$

che è l'equazione di Proca. La corrispondente densità di Lagrangiana è:

    ${\mathcal {L}}_{\Omega }=-{\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }^{\Omega \dagger }F^{\Omega ,\alpha \beta }+{\frac {1}{2}}m^{2}\Omega _{\alpha }^{\dagger }\Omega ^{\alpha }$

con:

    $F_{\alpha \beta }^{\Omega }\equiv \partial _{\alpha }\Omega _{\beta }-\partial _{\beta }\Omega _{\alpha }$

Si nota che a causa della presenza del termine di massa:

    $m^{2}\Omega _{\alpha }^{\dagger }\Omega ^{\alpha }$

la Lagrangiana non è invariante per le trasformazioni di gauge:

    $\Omega _{\alpha }(x)\rightarrow \Omega '_{\alpha }(x)=\Omega _{\alpha }(x)+\partial _{\alpha }\chi (x)$

Prendendo la divergenza dell'equazione di Proca, si ottiene:

    $m^{2}\partial _{\beta }\Omega ^{\beta }=0$

Quindi, se $m\neq 0$, si deve imporre che:

    $\partial _{\beta }\Omega ^{\beta }=0$

e l'equazione di Proca diventa:

    $(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\Omega ^{\alpha }=0$

Queste sono quattro equazioni disaccoppiate, e ognuna di esse è una equazione di Klein-Gordon, a cui devono soddisfare le quattro componenti del campo vettoriale $\Omega ^{\alpha }$, con il vincolo aggiuntivo:

    $\partial _{\alpha }\Omega ^{\alpha }(x)=0$

Quindi, per le particelle vettoriali massive questo vincolo riduce il numero di componenti indipendenti da quattro a tre.

