Momento (probabilità)
# Momento (probabilità)

In probabilità, il momento semplice o teorico di origine $m$ e ordine $k$ di una variabile casuale discreta è definito come il valore atteso della $k$-esima potenza dei valori

    $\mu _{m,k}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-m)^{k}p_{i},$

dove $p_{i}$ denota la funzione di massa di probabilità della variabile casuale. Oppure, nel caso di una distribuzione continua,

    $\mu _{m,k}=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-m)^{k}p_{X}(x)dx,$

dove $p_{X}(x)$ denota la funzione di densità della variabile casuale.

Si definisce momento centrale un momento semplice con origine ${E}(X)$ e di ordine $k$ come la speranza matematica della $k$-esima potenza dello scarto da ${E}(X)$ ($\mu$ = $\mu _{0,1}$)

    $m_{k}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{k}p_{i},$

oppure, nel caso di una variabile casuale continua,

    $m_{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}p_{X}(x)dx,$

dove $\mu$ denota appunto il valore atteso della variabile casuale.

Caratteristiche di tali momenti semplici e centrali sono:

* $\mu _{0}=m_{0}=1$;
* $\mu _{1}$ è il valore atteso, indicata tradizionalmente con $\mu$;
* $m_{1}=0$;
* $m_{2}=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}$ è la varianza, indicata tradizionalmente con $\sigma ^{2}$;
* $m_{3}=\mu _{3}-3\mu _{2}\mu +2\mu ^{3}$ è l'asimmetria, o skewness;
* $m_{4}=\mu _{4}-4\mu _{3}\mu +6\mu _{2}\mu ^{2}-3\mu ^{4}$ è la curtosi.

In generale, la relazione tra il momento centrale $m_{k}$ e i momenti semplici $\mu _{j}$ è data da:

    $m_{k}=\sum _{r=0}^{k}{k \choose r}\mu _{k-r}(-\mu )^{r},$

dove ${k \choose r}$ è il coefficiente binomiale. Per cui è possibile verificare quanto indicato sopra.

