Lemma di Schur
# Lemma di Schur

In matematica, il lemma di Schur è un risultato elementare ma estremamente utile nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi e delle algebre. Nel caso dei gruppi esso dice che se $V$ e $W$ sono due rappresentazioni irriducibili di un gruppo $G$ e $\phi$ è un morfismo lineare da $V$ a $W$ che commuta con l'azione del gruppo, allora $\phi$ è invertibile oppure $\phi =0$. Un importante caso particolare è quello in cui $V=W$ e quindi $\phi$ è un endomorfismo. Issai Schur usò questo risultato per dimostrare le relazioni di ortogonalità di Schur e sviluppò le basi della teoria della rappresentazione dei gruppi. Il lemma di Schur si generalizza ai gruppi di Lie e alle algebre di Lie, e la più comune generalizzazione in questo senso è dovuta a Jacques Dixmier.

## Formulazione nel linguaggio dei moduli

Se $M$ e $N$ sono due moduli semplici su un anello $R$ allora ogni omomorfismo $f:M\to N$ di $R$-moduli non identicamente nullo è invertibile. In particolare l'anello degli endomorfismi di un modulo semplice è un corpo.

La condizione che $f$ è un omomorfismo di moduli significa che

    $f(rm)=rf(m)$ per ogni $m\in M$ e $r\in R.$

Il lemma di Schur è applicato frequentemente nel caso particolare seguente. Sia $R$ un'algebra sul campo $\mathbb {C}$ dei numeri complessi e sia $M=N$ un $R$-modulo semplice di dimensione finita su $\mathbb {C}$. Il lemma di Schur dice che l'anello degli endomorfismi del modulo $M$ è un corpo; esso contiene $\mathbb {C}$ nel suo centro, è finito-dimensionale su $\mathbb {C}$ e quindi coincide con $\mathbb {C}$. Segue che l'anello degli endomorfismi di $M$ è "il più piccolo possibile". Più in generale, questo risultato vale per algebre su ogni campo algebricamente chiuso e per moduli semplici la cui dimensione è al più numerabile. Quando il campo non è algebricamente chiuso, il caso in cui l'anello degli endomorfismi è il più piccolo possibile è particolarmente interessante: un modulo semplice su una $k$-algebra si dice assolutamente semplice se il suo anello degli endomorfismi è isomorfo a $k$. Questo è in generale più forte che essere irriducibili sul campo $k$, ed implica che il modulo è irriducibile anche sulla chiusura algebrica di $k$.

## Formulazione nel linguaggio delle matrici

Sia $G$ un gruppo di matrici invertibili complesse. Questo vuol dire che $G$ è un insieme di matrici quadrate di ordine $n$ con elementi complessi, e $G$ è chiuso sotto l'operazione di moltiplicazione di matrici e inversione. Si supponga inoltre che $G$ sia irriducibile: non esistono sottospazi $V$ oltre a $0$ e lo spazio intero che siano invarianti sotto l'azione di $G$. In altre parole,

    ${\text{se }}gV\subseteq V{\text{ per ogni }}g{\text{ appartenente a }}G,{\text{ allora o }}V=0{\text{ oppure }}V=\mathbb {C} ^{n}.$

Il lemma di Schur, nel caso speciale di una rappresentazione singola, diventa: se $A$ è una matrice complessa di ordine $n$ che commuta con tutte le matrici in $G$, allora $A$ è una matrice scalare. Un semplice corollario è che ogni rappresentazione complessa irriducibile di un gruppo abeliano è di dimensione $1$.

## Formulazione nel linguaggio delle rappresentazioni dei gruppi

La versione nel linguaggio dei gruppi è un caso particolare della versione nel linguaggio dei moduli: una rappresentazione di un gruppo $G$ è un modulo sull'algebra gruppale di $G$.

Siano $G$ un gruppo, $p:G\to GL(V)$ e $q:G\to GL(W)$ due rappresentazioni irriducibili di $G$ su un campo fissato $K$ e sia $T:V\to W$ un'applicazione lineare $G$-invariante, cioè tale che $T(p(g)(v))=q(g)(T(v))$ per ogni $v\in V$, $g\in G$. Allora:

   * $T=0$ oppure $T$ è un isomorfismo;

   * se $V=W$ e $p=q$ e se $K$ è algebricamente chiuso allora $T$ è la moltiplicazione per uno scalare.

## Dimostrazione

* Poiché $T$ è $G$-invariante, $\operatorname {Ker} (T)$ e $\operatorname {Im} (T)$ sono sottospazi G-invarianti. Si ha che, poiché $p$ è irriducibile, o $\operatorname {Ker} (T)=0$ o $\operatorname {Ker} (T)=V$. Se $\operatorname {Ker} (T)=V$ allora $T=0$. Se $\operatorname {Ker} (T)=0$ allora $T$ è iniettiva. Poiché $q$ è irriducibile segue $\operatorname {Im} (T)=W$ e dunque $T$ è suriettiva. Perciò $T$ è un isomorfismo.
* $T\colon V\to V$ è un operatore lineare; sia $\lambda \in K$ un suo autovalore (esiste perché $K$ è algebricamente chiuso): allora $\operatorname {Ker} (T-\lambda I)\neq 0$, in quanto contiene almeno un autovettore. L'operatore lineare $S:=T-\lambda I$ è anch'esso $G$-invariante. Poiché $\operatorname {Ker} S\neq 0$ e $p$ è irriducibile si ha che $\operatorname {Ker} S=V$ e quindi $S=0$. Perciò $T-\lambda I=0$ e quindi $T=\lambda I$. Ovvero $T$ è la moltiplicazione per uno scalare.
