Funzione di utilità CRRA
# Funzione di utilità CRRA

La forma generale di una funzione di utilità istantanea CRRA (Constant Relative Risk Adversion), cioè con coefficiente relativo di avversione al rischio costante, è:

    $U(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}\ \forall \gamma >0,\gamma \neq 1$
    $U(c_{t})=\log c_{t}\ \ \ {\textrm {se}}\ \gamma =1$

dove $c_{t}$ indica il livello di consumo al tempo $t$, $U$ indica il livello di utilità istantanea e $\gamma$ è un parametro. La funzione di utilità CRRA rientra nella più generale classe di funzioni di utilità HARA.

In questa funzione l'utilità marginale del consumo al tempo $t$ è uguale a:

    ${\frac {\partial U}{\partial c_{t}}}=c_{t}^{-\gamma }$

Il saggio marginale di sostituzione intertemporale (SMSI), cioè il saggio marginale di sostituzione del consumo al tempo $t$ con il consumo al tempo $t+n$, essendo uguale al rapporto tra le utilità marginali dei consumi, è dato dunque da:

    Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle SMSI_{t,t+n} = \left( \frac{c_{t+n}}{c_t} \right)^{\gamma}}

da cui segue:

    $\sigma ={\frac {d\log \left({\frac {c_{t+n}}{c_{t}}}\right)}{d\log SMSI_{t,t+n}}}={\frac {1}{\gamma }}$

dove $\sigma$ è l'elasticità di sostituzione intertemporale, cioè l'elasticità di sostituzione dei livelli di consumo tra $t+n$ e $t$.

Quando la funzione di utilità istantanea è utilizzata per descrivere attitudini al rischio, $\gamma$; può avere un'interpretazione alternativa. Infatti, essendo il coefficiente di avversione relativa al rischio dato dal rapporto (cambiato di segno) tra la derivata seconda e la derivata prima della funzione moltiplicato per la variabile indipendente, in questo caso avremo:

    $R_{R}(c)=-c_{t}{\frac {U''(c_{t})}{U'(c_{t})}}=-c_{t}{\frac {-\gamma c_{t}^{-(\gamma +1)}}{c_{t}^{-\gamma }}}=\gamma$
