Condizionamento (matematica)
# Condizionamento (matematica)

Il condizionamento in matematica, in particolare nel calcolo numerico, riguarda il rapporto tra errore commesso sul risultato di un calcolo e incertezza sui dati in ingresso.

Un problema è ben condizionato quando la soluzione del problema con delle piccole variazioni, non differisce molto dalla soluzione del problema originale; al contrario, un problema mal condizionato è un problema dove le soluzioni sono molto sensibili a piccole perturbazioni dei dati iniziali.

## Esempi

### Radici di un polinomio

Un esempio di problema mal condizionato è il calcolo delle radici di un polinomio a partire dalla sequenza dei suoi coefficienti. Questo problema fu scoperto dal matematico James H. Wilkinson, quando per testare un nuovo computer gli fece calcolare le radici del polinomio

    $f(x)=\prod _{i=1}^{20}(x-i)=(x-1)(x-2)\cdots (x-20)$

usando il metodo di Newton. Le radici di questo polinomio sono i numeri interi da 1 a 20, ma i risultati calcolati dal computer erano complessi. Questo risultato non era dovuto ad errori del computer, infatti si ottengono risultati complessi anche con l'attuale standard di numeri con virgola mobile.

### Sistema di equazioni

Si consideri ad esempio il seguente sistema di equazioni lineari:

    $\left\{{\begin{matrix}x+y&=&2\\1001x+1000y&=&2001\end{matrix}}\right.$

che ha soluzione per $x=1$ ed $y=1$.

Se si considera lo stesso sistema perturbato dell'1% sulla variabile x:

    $\left\{{\begin{matrix}(1+0.01)x+y&=&2\\1001x+1000y&=&2001\end{matrix}}\right.$

si ottiene come soluzione la coppia $x=-{\frac {1}{9}};y={\frac {1901}{900}}$.

Il condizionamento di un sistema di equazioni lineare $Ax=b$ è definito da:

$\Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert$,

dove $\|\cdot \|$ è una norma di una matrice. Più è grande questo numero più il problema è mal condizionato. Nell'esempio del sistema di equazioni, il condizionamento è

    $\left\|{\begin{bmatrix}1&1\\1001&1000\end{bmatrix}}^{-1}\right\|_{1}\cdot \left\|{\begin{bmatrix}1&1\\1001&1000\end{bmatrix}}\right\|_{1}=2.0050e+06.$

### Numero di condizionamento

Il numero di condizionamento nel calcolo numerico rappresenta il grado di condizionamento di un problema. Esso dipende strettamente dalla norma indotta considerata. È comune però l'uso del numero di condizionamento spettrale, relativo alla norma 2 e calcolato a partire dalla definizione in modo equivalente come:

    $K_{2}={\frac {\rho }{\lambda _{min}}}$

dove $\rho$ è il raggio spettrale e $\lambda _{min}$ è il più piccolo degli autovalori che risolvono il problema. Si distinguono due casi: $K\sim 1$ e $K\gg 1$, nel primo si dice che il problema è ben condizionato, nel secondo si dice che il problema è mal condizionato

