Gruppo moltiplicativo
# Gruppo moltiplicativo

In matematica e nella teoria dei gruppi il termine gruppo moltiplicativo si riferisce, a seconda del contesto ad uno dei seguenti concetti:

* qualsiasi gruppo $\scriptstyle {\mathfrak {G}}$ la cui operazione binaria è scritta con notazione moltiplicativa (invece di essere scritta con la notazione additiva usata per i gruppi abeliani),
* il sottogruppo rispetto alla moltiplicazione degli elementi invertibili di un campo, di un anello, o altra struttura che abbia la moltiplicazione tra le sue operazioni. Nel caso di un campo F il gruppo è {F - {0}, •}, dove 0 si riferisce all'elemento zero di F e l'operazione binaria • è la moltiplicazione del campo,
* il toro algebrico $\scriptstyle \mathbf {GL} _{1}$.

## Schema del gruppo delle radici dell'unità

Lo schema del gruppo delle radici n-sime dell'unità è per definizione il nucleo della $n$-mappa di potenza sul gruppo moltiplicativo $\scriptstyle \mathbf {GL} _{1}$, considerato come schema in gruppi. Perciò per qualsiasi intero $n>1$ possiamo considerare il morfismo sul gruppo moltiplicativo che prende le potenze $n$-esime, e assume un prodotto fibrato appropriato nel senso della teoria degli schemi di questo, con il morfismo $e$ che funziona come identità.

Il risultante schema di gruppo vie scritto come $\mu _{n}$. Questo origina uno schema ridotto, quando lo poniamo su un campo $\mathbb {K}$, se e solo se la caratteristica di $\mathbb {K}$, non divide $n$. Questo dà origine ad alcuni esempi chiave di schemi non riducibili (schemi con elementi nilpotenti nei loro fasci di struttura; per esempio $\mu _{p}$ su un campo finito con $p$ elementi per qualsiasi numero primo $p$.

Questo fenomeno non è facilmente esprimibile nel linguaggio classico della geometria algebrica. Risulta che esso è di grande importanza, per esempio, nell'esprimere la teoria di dualità delle varietà abeliane nella caratteristica $p$ (teoria di Pierre Cartier). la coomologia di Galois di questo schema di gruppo è un modo per esprimere la teoria di Kummer.

