Funzione di Whittaker
# Funzione di Whittaker

In matematica, una funzione di Whittaker, il cui nome si deve al matematico inglese Edmund Taylor Whittaker, è una soluzione dell'equazione di Whittaker, una variante dell'equazione ipergeometrica confluente che ha la forma:

    ${\frac {d^{2}W}{dz^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {{\frac {1}{4}}-m^{2}}{z^{2}}}\right)W=0$

dove $\kappa$ e $m$ assumono valori in $\mathbb {C}$.

Si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine, ed è una forma ridotta dell'equazione ipergeometrica degenere. Più in generale, Hervé Jacquet introdusse negli anni '60 le funzioni di Whittaker per gruppi riduttivi su campi locali: le funzioni studiate da Whittaker sono sostanzialmente il caso in cui il campo locale è quello dei numeri reali e il gruppo è $SL_{2}(\mathbb {R} )$.

Due soluzioni sono date dalle funzioni speciali $M_{\kappa ,m}$ e $W_{\kappa ,m}$ introdotte da Whittaker nel 1904, e dette funzioni di Whittaker. La funzione $M_{\kappa ,m}$ può essere espressa con la funzione ipergeometrica confluente di Kummer:

    $M_{\kappa ,m}(z)=e^{-z/2}z^{m+1/2}M(1/2+m-\kappa ,1+2m,z)$

La funzione $W_{\kappa ,m}$ può invece essere espressa mediante la funzione ipergeometrica confluente di Tricomi:

    $W_{\kappa ,m}(z)=e^{-z/2}z^{m+1/2}U(1/2+m-\kappa ,1+2m,z)$

Whittaker ha ottenuto formule per esprimere funzioni speciali come le funzioni di Bessel, le funzioni paraboliche del cilindro, o la funzione gamma incompleta con le funzioni $M_{\kappa ,m}$ e $W_{\kappa ,m}$.

