Funzione di variabile complessa
# Funzione di variabile complessa

In matematica, si definisce funzione di variabile complessa una funzione definita su un sottoinsieme dei numeri complessi a valori in quello stesso insieme. In genere la variabile complessa si denota con $z$, la sua parte reale con $x$ e la sua parte immaginaria con $y$, in modo che si possa scrivere $z=x+iy$.

## Descrizione

Una funzione di variabile complessa $f(z)$ corrisponde a una legge che associa in modo univoco a un punto $z$ di un sottoinsieme del piano complesso, il dominio della funzione, un punto che può considerarsi appartenere a un sottoinsieme di un secondo piano complesso che costituisce il codominio della funzione. Esplicitando la variabile $z=x+iy$ dentro l'espressione della funzione complessa $f(z)$ è possibile scrivere l'espressione della funzione complessa nella forma

    $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$

ove le funzioni di due variabili reali $u$ e $v$ sono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria della funzione complessa $f(z)$.

È interessante notare come nel campo complesso le funzioni trigonometriche sono esprimibili in termini della funzione esponenziale e della logaritmica.

In campo fisico, una funzione di variabile complessa può essere considerata la funzione d'onda $\Psi (x,t)$, utile in meccanica quantistica e presente, tra l'altro, nell'equazione di Schrödinger. Sempre in meccanica quantistica, non è tanto rilevante la funzione complessa $\Psi (x,t)$, (poiché, producendo numeri immaginari, non può rappresentare grandezze fisiche), ma è rilevante il suo valore assoluto, elevato al quadrato $|\Psi (x,t)|^{2}$

Le più utili e interessanti tra le funzioni di variabile complessa sono le funzioni olomorfe, cioè, secondo la definizione di Cauchy, le funzioni dotate di una funzione derivata prima e con derivata prima continua. Le condizioni che garantiscono la derivabilità di una funzione di variabile complessa sono dette condizioni di Cauchy-Riemann o condizioni di monogeneità, ovviamente per l'esistenza delle derivate parziali è richiesta la differenziabilità. Da una funzione olomorfa si ottiene, mediante operazioni di prolungamento analitico una funzione analitica, entità che è da considerare una funzione multivoca; le condizioni di monogeneità, di conseguenza, sono chiamate anche condizioni di analiticità.

Fra le risorse gratuite presenti in Internet, esistono dei disegnatori di funzioni complesse, e programmi gratuiti che funzionano off-line.

Per lo studio di funzioni complesse, il disegno di grafici tridimensionali può essere un valido strumento per interpretare visivamente le funzioni meno comuni.

## Esempi

Segue un elenco delle principali funzioni di variabile complessa, che in effetti, ad esclusione delle prime 5, sono funzioni olomorfe.

* parte reale: $\Re \ z=x$
* parte immaginaria: $\Im \ z=y$
* complesso coniugato: ${\bar {z}}=x-iy$
* argomento: ${\mbox{arg}}\ z={\mbox{atan}}{\frac {y}{x}}$
* modulo: $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ $={\sqrt {z\cdot {\bar {z}}}}$
* esponenziale: $e^{iy}=\cos y+i\sin y{\frac}$
* logaritmo principale: $\ln z=\ln |z|+i\arg z+i2k\pi \ ~~\forall k\in \mathbb {Z}$
* radice: ${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\cdot \left(\cos {\frac {z}{n}}+i\sin {\frac {z}{n}}\right){\frac}$
* seno: $\sin z={\frac {1}{2i}}(e^{iz}-e^{-iz})$
* coseno: $\cos z={\frac {1}{2}}(e^{iz}+e^{-iz})$
* tangente: $\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}$
* cotangente: $\cot z={\frac {\cos z}{\sin z}}$
* secante: $\sec z={\frac {1}{\cos z}}$
* cosecante: $\csc z={\frac {1}{\sin z}}$
* arcoseno: ${\mbox{arcsin}}z=i\cdot \ln \left(-iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)+2k\pi \ k\in \mathbb {Z}$
* arcocoseno: ${\mbox{arccos}}z=\mp \ i\cdot \ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)+2k\pi \ k\in \mathbb {Z}$
* arcotangente: ${\mbox{arctan}}z={\frac {i}{2}}\ln {\frac {i+z}{i-z}}$
* seno iperbolico: $\sinh z={\frac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z})$
* coseno iperbolico: $\cosh z={\frac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})$
* tangente iperbolica: $\tanh z={\frac {\sinh z}{\cosh z}}$
* cotangente iperbolica: $\coth z={\frac {\cosh z}{\sinh z}}$
* secante iperbolica: ${\mbox{sech}}z={\frac {1}{\cosh z}}$
* cosecante iperbolica: ${\mbox{csch}}z={\frac {1}{\sinh z}}$
* settore seno iperbolico: ${\mbox{settsinh}}z=\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\right)$
* settore coseno iperbolico: ${\mbox{settcosh}}z=\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$
* settore tangente iperbolica: ${\mbox{setttanh}}z={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+z}{1-z}}$
