Regola di Ruffini
# Regola di Ruffini

In algebra lineare, la regola di Ruffini permette di dividere velocemente un qualunque polinomio per un binomio di primo grado della forma $x-a$. Tale regola è stata descritta da Paolo Ruffini nel 1809 ed è un caso speciale della divisione polinomiale quando il divisore è un fattore lineare. La regola di Ruffini è anche nota come divisione sintetica.

## L'algoritmo

La regola di Ruffini stabilisce un metodo per dividere il polinomio

    $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

per il binomio

    $A(x)=x-r,$

per ottenere il polinomio quoziente

    $Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0},$

e un resto $R$ che è un termine costante (eventualmente nullo), visto che deve essere di grado minore rispetto al polinomio divisore.

L'algoritmo non è altro che la divisione polinomiale di $P(x)$ per $A(x)$ scritto in un'altra forma più economica.

Per dividere $P(x)$ per $A(x)$, infatti.:

* Si prendono i coefficienti di $P(x)$ e si scrivono in ordine. Si scrive poi $r$ in basso a sinistra, proprio sopra la riga:

    ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}$
* Si copia il coefficiente di sinistra $a_{n}$ in basso, subito sotto la riga:

    ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$
* Si moltiplica il numero più a destra di quelli sotto la riga, per $r$, e il risultato lo si scrive sopra la riga, spostato di un posto a destra:

    ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$
* Si somma questo valore con quello sopra di lui nella stessa colonna:

    ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}$

I valori $b_{n-1},b_{n-2},\dots ,b_{0}$ sono i coefficienti del polinomio risultante $Q(x)$, il cui grado sarà inferiore di uno a quello di $P(x)$, invece $R$ è il resto della divisione.

Un esempio numerico viene fornito più sotto.

## Usi della regola

La regola di Ruffini ha varie applicazioni pratiche, molte di esse si basano sulla divisione semplice (come mostrato sotto) o sulle estensioni usuali che seguono.

### Divisione polinomiale per x − r

Ecco un esempio di divisione polinomiale, con tutti i passaggi evidenziati.

Siano

    $P(x)=2x^{3}-5x^{2}-x+6,$
    $A(x)=x+1.$

Vogliamo dividere $P(x)$ per $A(x)$ usando la regola di Ruffini. Poiché $A(x)$ non è della forma $x-r$, ma piuttosto $x+r$, è sufficiente riscrivere $A(x)$ come

    $A(x)=x+1=x-(-1).$

Applichiamo ora l'algoritmo.

* Scriviamo i coefficienti di $P(x)$ e $r$:

    ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}}$
* Copiamo il primo coefficiente sotto:

    ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}$
* Moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga, per $r$, e scriviamolo al posto successivo sopra la riga:

    ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}$
* Sommiamo i valori della seconda colonna dopo la riga verticale:

    ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&-7&&\\\end{array}}$
* Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine:

    ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&7&-6\\\hline &+2&-7&+6&0\\\end{array}}$

Abbiamo ottenuto, quindi, che:

    $P(x)=A(x)\cdot Q(x)+R,$

dove

    $Q(x)=2x^{2}-7x+6,$
    $R=0.$

### Divisione polinomiale per ax − k

Applicando una facile trasformazione, la regola di Ruffini si può generalizzare anche per le divisioni di un polinomio per un binomio qualsiasi di primo grado $A(x)=ax-k$. Infatti, considerando la relazione fondamentale

    $P(x)=(ax-k)\cdot Q(x)+R(x),$

dividendo tutto per $a$ (sicuramente diverso da $0$) otteniamo

    ${\frac {P(x)}{a}}={\frac {(ax-k)\cdot Q(x)}{a}}+{\frac {R(x)}{a}}.$

Detti ${\frac {P(x)}{a}}=P'(x)$ e ${\frac {R(x)}{a}}=R'(x)$ otteniamo:

    $P'(x)=(x-{\frac {k}{a}})\cdot Q(x)+R'(x).$

Dunque il quoziente richiesto $Q(x)$ è anche il quoziente della divisione di $P'(x)$ per $x-k/a$, che si può ottenere con la regola appena esposta. Per trovare il resto richiesto $R(x)$ basterà moltiplicare il resto ottenuto $R'(x)$ per $a$.

### Trovare le radici di un polinomio

Il teorema delle radici razionali afferma che se un polinomio

    $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}$

ha coefficienti interi, le sue radici razionali sono sempre della forma $p/q$, dove $p$ e $q$ sono interi coprimi, $p$ è un divisore (non necessariamente positivo) di $a_{0}$ e $q$ un divisore di $a_{n}$. Se il nostro polinomio è quindi

    $P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2,$

le radici razionali possibili appartengono all'insieme dei divisori interi di $-2/1$ che sarà:

    $\left\{+1,-1,+2,-2\right\}.$

Questo è un esempio semplice, perché il polinomio è monico (cioè, $a_{n}=1$); per i polinomi non monici, l'insieme delle possibili radici comprenderà alcune frazioni, ma solo in numero finito, dato che $a_{n}$ e $a_{0}$ hanno ciascuno un numero finito di divisori interi. In ogni caso per i polinomi monici ogni radice razionale è un intero, e quindi ogni radice intera dev'essere un divisore del termine costante. Si può dimostrare che questo resta vero anche per i polinomi non monici: insomma, per trovare le radici intere di un polinomio a coefficienti interi, basta verificare i divisori del termine costante. Infatti, ogni polinomio non monico può essere ricondotto al caso monico, semplicemente dividendo i coefficienti per $a_{n}$.

Provando pertanto a porre $r$ pari a ciascuna delle radici possibili, si può provare a dividere il polinomio per $x-r$. Se il polinomio quoziente risultante ha resto 0, abbiamo trovato una radice. Questo metodo però non permette di trovare radici irrazionali o complesse.

Resta evidente che se $a_{i}>0$ per $i=0,1,2,\ldots ,n$, vale a dire che tutti i termini del polinomio $P(x)$ hanno coefficiente positivo, allora le uniche radici possibili per cui provare a dividere il polinomio sono quelle di segno negativo, inteso che nel polinomio vi sia almeno un termine con potenza di $x$ ed $n$ dispari.

Se, per esempio volessimo trovare le radici del precedente polinomio $P(x)$, dobbiamo dividere $P(x)$ per il binomio $x-a$ dove $a$ è una delle radici possibili. Se il resto è uguale a $0$, il numero utilizzato è una radice:

    ${\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+1&&+1&-3&+2\\\hline &+1&-3&+2&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\-1&&-1&+5&-10\\\hline &+1&-5&+10&-12\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+2&&+2&-4&+2\\\hline &+1&-2&+1&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\-2&&-2&+12&-34\\\hline &+1&-6&+17&-36\\\end{array}}$

$x_{1}=+1$ e $x_{3}=+2$ sono radici, mentre $x_{2}=-1$ e $x_{4}=-2$ non lo sono.

Possiamo quindi scrivere il polinomio scomposto:

    $P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2=(x-1)(x^{2}-3x+2)=(x-2)(x^{2}-2x+1)=(x-1)(x-1)(x-2).$

Uguagliando $P(x)=0$ per trovare le radici del polinomio, otteniamo che queste sono $x=1$ (con molteplicità $2$) e $x=2.$

### Fattorizzazione polinomiale

Dopo avere usato il metodo "$p/q$" mostrato sopra (o un qualunque altro modo) per trovare tutte le radici su $\mathbb {Q}$ di un certo polinomio, è semplice sfruttarle per fattorizzare parzialmente il polinomio stesso: a ogni fattore $x-r$ che divide un polinomio dato corrisponde una radice $r$, e viceversa.

Quindi, se abbiamo il polinomio:

    $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

e abbiamo trovato come sue radici:

    $R=\left\{\alpha \in \mathbb {Q} :P(\alpha )=0\right\},$

consideriamo il prodotto:

    $Q(x)=a_{n}{\prod _{r\in R}(x-r)}.$

Per il teorema fondamentale dell'algebra, $Q(x)$ sarebbe uguale a $P(x)$ se tutte le radici di $P(x)$ fossero razionali. Ma è assai probabile che $Q(x)$ non sia uguale a $P(x)$, dato che $P(x)$ potrebbe avere anche radici irrazionali o complesse. Consideriamo allora il polinomio quoziente

    $S(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.$

Se $S(x)=1$, allora $Q(x)=P(x)$. Altrimenti, $S(x)$ sarà un polinomio, per la precisione un altro fattore di $P(x)$ che non ha radici razionali in $\mathbb {R}$. Dunque

    $P(x)=Q(x)\cdot S(x),$

è una fattorizzazione completa di $P(x)$ su $\mathbb {Q}$ se $S(x)=1,$ altrimenti sarà una fattorizzazione completa su $\mathbb {Q}$, ma ci saranno altri fattori su $\mathbb {R}$ o su $\mathbb {C}$.

**Primo esempio: nessun resto**

Sia

    $P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2.$

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di $P(x)$ sono:

    $R=\left\{+1,-1,-2\right\}.$

Pertanto, il prodotto di ($x$ − ciascuna radice) è

    $Q(x)=1(x-1)(x+1)(x+2),$

$P(x)/Q(x)$ dà

    $S(x)=1.$

E così il polinomio fattorizzato è $P(x)=Q(x)\cdot 1=Q(x)$:

    $P(x)=(x-1)(x+1)(x+2).$

**Secondo esempio: con resto**

Sia

    $P(x)=2x^{4}-3x^{3}+x^{2}-2x-8.$

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di $P(x)$ sono:

    $R=\left\{-1,+2\right\}.$

Pertanto, il prodotto di ($x$ − ciascuna radice) è

    $Q(x)=(x+1)(x-2),$

$P(x)/Q(x)$ dà

    $S(x)=2x^{2}-x+4.$

Dato che $S(x){\neq }1$, il polinomio fattorizzato sui razionali è $P(x)=Q(x)\cdot S(x)$:

    $P(x)=(x+1)(x-2)(2x^{2}-x+4).$
