Algebra di Lie graduata
# Algebra di Lie graduata

In matematica, un'algebra di Lie si dice graduata quando è dotata di una gradazione compatibile con le parentesi di Lie. In altre parole, essa è un'algebra di Lie che è un'algebra graduata non-associativa nel quadro dell'operazione di commutazione.

Questo concetto viene esteso nella superalgebra di Lie graduata, in cui si richiede che le parentesi di Lie non siano necessariamente anticommutative.

## Definizione di algebra di Lie graduata

Nella forma più elementare, un'algebra di Lie graduata è un'ordinaria algebra di Lie ${\mathfrak {g}}$ con una gradazione degli spazi vettoriali:

    ${\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}{\mathfrak {g}}_{i},$

tale che le parentesi di Lie, rispetto a questa gradazione soddisfino

    $[{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.$

## Definizione di superalgebra di Lie graduata

Una superalgebra di Lie graduata su un campo o su un anello $k$ (che ha caratteristica diversa da 2) e definita come uno spazio vettoriale graduato $E$ su $k$ con un'operazione bilineare

    $[\cdot ,\cdot ]\colon E\otimes _{k}E\rightarrow E$

che soddisfi alle seguenti proprietà:

* $[\cdot ,\cdot ]$ rispetti la gradazione di $E$:

       $[E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j};$
* (simmetria) se $x\in E_{i}$ e $y\in E_{j},$ allora:

       $[x,y]=-(-1)^{ij}[y,x];$
* (identità di Jacobi) se $x\in E_{i},$ $y\in E_{j}$ e $z\in E_{k},$ allora:

       $(-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0.$
