Algebra astratta
# Algebra astratta

L'algebra astratta è la branca della matematica che si occupa dello studio delle strutture algebriche come gruppi, anelli e campi. Essa parte dallo studio degli "insiemi privi di struttura" (o insiemistica vera e propria), per analizzare insiemi via via sempre più strutturati, cioè dotati di una o più leggi di composizione.

## Descrizione

L'espressione "algebra astratta" viene utilizzata per distinguere questo campo di studi dall'"algebra elementare" che invece si occupa delle regole per manipolare le formule e le espressioni algebriche che utilizzano numeri reali e complessi.

Storicamente, le strutture algebriche nacquero in altri campi della matematica, dove furono specificate assiomaticamente; successivamente, furono studiate come oggetti a sé stanti nell'algebra astratta. Per questo motivo, l'algebra astratta è fruttuosamente connessa con quasi tutti i rami della matematica.

Esempi di strutture algebriche con una singola operazione binaria sono:

* semigruppi;
* monoidi;
* quasigruppi;
* loop;
* gruppi.

Esempi più complessi includono:

* anelli e campi;
* moduli e spazi vettoriali;
* algebre associative e algebre di Lie;
* reticoli e algebre di Boole.

Nell'algebra universale, tutte queste definizioni e proprietà sono raccolte per essere applicate a tutte le strutture algebriche nello stesso modo. Tutte le classi di oggetti elencate sopra, insieme con la nozione di omomorfismo, formano delle categorie, e la teoria delle categorie fornisce spesso il formalismo necessario per tradurre tra differenti strutture algebriche e per confrontarle.

