Disuguaglianza di Hölder
# Disuguaglianza di Hölder

In matematica la disuguaglianza di Hölder è un risultato basilare di analisi funzionale. Essa si è impiegata spesso nello studio degli spazi di funzioni noti come spazi $L^p.$

La disuguaglianza fu provata in una forma leggermente diversa da Leonard James Rogers nel 1888, e riscoperta indipendentemente da Otto Hölder nel 1889, dal quale prende il nome.

## La disuguaglianza

Sia $\Omega$ uno spazio di misura con misura $\mu$ e $p\geq 1$. Sia $p'\geq 1$ l'esponente coniugato di $p$, ovvero quel numero tale che

    ${1 \over p}+{1 \over p'}=1$

o equivalentemente tale che

    $p+p'=pp'$

Si definisce inoltre $p'=\infty$ se $p=1$.

La disuguaglianza afferma che, date due funzioni misurabili $f\in L^{p}(\Omega )$ e $g\in L^{p'}(\Omega )$, si ha che $fg\in L^{1}(\Omega )$ e:

    $\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{p'}$

Esplicitando la norma p-esima nel caso $p>1$ si ottiene la scrittura

    $\int _{\Omega }|fg|d\mu \leq \left[\int _{\Omega }|f|^{p}d\mu \right]^{1 \over p}\left[\int _{\Omega }|g|^{p'}d\mu \right]^{1 \over {p'}}$

La disuguaglianza coincide con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per $p=p'=2$. Il numero $p'$ è anche detto coniugato di Hölder di $p$.

Si dimostra che la disuguaglianza diviene un'uguaglianza se e solo se esistono due costanti $a$ e $b$, non entrambe nulle, tali che:

    $a|f|^{p}=b|g|^{p'}$

quasi ovunque in $\Omega$.

## Dimostrazione

Se uno dei due fattori del secondo membro (ad esempio $\|f\|_{p}$) è zero, allora vuol dire che $f=0$ quasi ovunque; dunque anche $fg=0$ quasi ovunque e quindi $\|fg\|_{1}=0$ e il risultato vale con il segno di uguaglianza. Se uno dei due indici (ad esempio $p$) è $+\infty$, allora è $p'=1$ e:

    $|fg|\leq \|f\|_{\infty }|g|$

quindi il risultato viene per monotonia dell'integrale di Lebesgue.

Altrimenti, per la disuguaglianza di Young vale che:

    ${\frac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}}\cdot {\frac {|g(x)|}{\|g\|_{p'}}}\leq {\frac {1}{p}}\left({\frac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}}\right)^{p}+{\frac {1}{p'}}\left({\frac {|g(x)|}{\|g\|_{p'}}}\right)^{p'}$

per quasi ogni $x\in \Omega$. Integrando entrambi i membri si ottiene:

    ${\frac {1}{\|f\|_{p}\|g\|_{p'}}}\int _{\Omega }|fg|d\mu ={\frac {\|fg\|_{1}}{\|f\|_{p}\|g\|_{p'}}}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p\|f\|_{p}^{p}}}+{\frac {\|g\|_{p'}^{p'}}{p'\|g\|_{p'}^{p'}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1$

## Disuguaglianza di Hölder per numeri reali

Nel caso molto particolare dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$, la disuguaglianza prende la seguente forma:

    $\sum _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p'}\right)^{\frac {1}{p'}}$

### Dimostrazione alternativa

Posti:

    $a_{i}={\frac {|x_{i}|}{\left(\sum |x_{j}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}}$

e:

    $b_{i}={\frac {|y_{i}|}{\left(\sum |y_{j}|^{p'}\right)^{\frac {1}{p'}}}}$

la disuguaglianza è:

    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leq 1$

Dalla concavità della funzione logaritmo si ha:

    $\ln(a_{i}b_{i})={\frac {1}{p}}\ln \left(a_{i}^{p}\right)+{\frac {1}{p'}}\ln \left(b_{i}^{p'}\right)\leq \ln \left({\frac {1}{p}}a_{i}^{p}+{\frac {1}{p'}}b_{i}^{p'}\right)$

quindi per monotonia:

    $a_{i}b_{i}\leq {\frac {1}{p}}a_{i}^{p}+{\frac {1}{p'}}b_{i}^{p'}.$

Sommando sull'indice $i,$ poiché $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}=1$ e $\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{p'}=1$, si ottiene la tesi.

## Generalizzazione

Si può generalizzare il risultato con una tecnica dimostrativa simile, prendendo un numero finito qualsiasi di fattori, con indici opportuni: siano $f_{1},\dots ,f_{k}$ tali che $f_{i}\in L^{p_{i}}$, con:

    ${\frac {1}{p}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}\leq 1$

Allora:

    $f=f_{1}f_{2}\dots f_{k}\in L^{p}$

e si ha:

    $\|f\|_{p}\leq \|f_{1}\|_{p_{1}}\|f_{2}\|_{p_{2}}\dots \|f_{k}\|_{p_{k}}$

### Generalizzazione nei numeri reali

Siano $(a_{11},\ldots ,a_{1n}),(a_{21},\ldots ,a_{2n}),\ldots ,(a_{m1},\ldots ,a_{mn})$ m n-uple di numeri reali e siano $p_{1},\ldots ,p_{m}$ dei reali tali che:

    ${\frac {1}{p_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{p_{m}}}=1$

Allora:

    $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{1i}\cdot \ldots \cdot a_{mi}\right)\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{1i}^{p_{1}}\right)^{\frac {1}{p_{1}}}\cdot \ldots \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}a_{mi}^{p_{m}}\right)^{\frac {1}{p_{m}}}$

Una conseguenza importante di questa generalizzazione porta ad un primo risultato di immersione tra spazi $L^{p}$, la disuguaglianza di interpolazione. Se:

    $f\in L^{p}\cap L^{q}$

allora $f\in L^{r}$ per ogni $p\leq r\leq q$ e:

    $\|f\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{\alpha }\|f\|_{q}^{1-\alpha }$

con $\alpha \in [0,1]$ tale che:

    ${\frac {1}{r}}={\frac {\alpha }{p}}+{\frac {1-\alpha }{q}}$
