Filtro QMF
# Filtro QMF

Un filtro QMF (Quadrature Mirror Filter in inglese) consente di suddividere un segnale in due segnali sottocampionati che possono essere poi ricostruiti senza aliasing, anche qualora vengano utilizzati filtri non ideali. Tale filtro fu introdotto da Croisier, Esteban e Galand nel 1976 .

## Definizione

Consideriamo il seguente schema a blocchi:

dove i due filtri $H_{0}$ e $H_{1}$ (rispettivamente un filtro passa basso ed un filtro passa alto) suddividono il segnale, mentre $G_{0}$ e $G_{1}$ operano la ricostruzione. La condizione necessaria e sufficiente per la cancellazione dell'aliasing è:

    $G_{0}(z)H_{0}(-z)+G_{1}(z)H_{1}(-z)=0.$

Una soluzione a tale problema è data dalla configurazione di filtri in quadratura a specchio (QMF), che si ottiene imponendo i seguenti vincoli sui filtri d'analisi:

    $H_{1}(z)=H_{0}(-z).$
    $G_{0}(z)=H_{1}(-z)=H_{0}(z).$
    $G_{1}(z)=-H_{1}(z)=-H_{0}(-z).$

Il primo vincolo stabilisce una simmetria tra $H_{0}$ e $H_{1}$, determinando la denominazione di filtri a specchio. Sostituendo i vincoli soprastanti nella precedente condizione si ottiene:

    $H_{0}(z)H_{0}(-z)-H_{0}(-z)H_{0}(z)=0.$

Ciò conferma che l'aliasing è annullato per filtri QMF. Per poter ottenere una ricostruzione perfetta, la seguente condizione dev'essere soddisfatta:

    $G_{0}(z)H_{0}(z)+G_{1}(z)H_{1}(z)=2z^{-l}.$

Visti i vincoli imposti, per i filtri QMF la condizione è:

    ${H_{0}}^{2}(z)-{H_{0}}^{2}(-z)=2z^{-l}.$

A questo punto siamo in grado di ricavare tutti e quattro i filtri tramite $H_{0}(z).$ Se ci limitiamo a considerare filtri FIR (Finite Impulse Response) la precedente equazione può esser soddisfatta in modo esatto esclusivamente da filtri della forma:

    $H_{0}(z)=c_{0}z^{-2n_{0}}+c_{1}z^{-(2n_{1}+1)}$
    $H_{1}(z)=c_{0}z^{-2n_{0}}-c_{1}z^{-(2n_{1}+1)}$

dove $c_{0}$ e $c_{1}$ son costanti e $n_{0}$ e $n_{1}$ sono interi. Un esempio di filtri QMF sono i filtri Haar della forma:

    $H_{0}(z)=1+z^{-1}.$
    $H_{1}(z)=1-z^{-1}.$

In tal caso $c_{0}=c_{1}=1$ e $n_{0}=n_{1}=0.$ Maggiori informazioni sulla progettazione di filtri QMF sono reperibili in Simoncelli et al..

