Disequazione biquadratica
# Disequazione biquadratica

Una disequazione biquadratica è una particolare disequazione di quarto grado che si presenta nella forma:

$ax^{4}+bx^{2}+c>0$ $\;\;\;\;$(o Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \ge, \le, <} ),

dove $a,b,c$ sono numeri reali (oppure complessi) con $a\neq 0$.

## Risoluzione

L'equazione associata alla disequazione $ax^{4}+bx^{2}+c>0$ è un'equazione biquadratica che si risolve imponendo la sostituzione $x^{2}=t$.

La disequazione data diventa pertanto una disequazione di secondo grado nella variabile $t$:

$at^{2}+bt+c>0$

che viene risolta nell'usuale modo. Una volta trovate le soluzioni, è necessario operare la sostituzione inversa per trovare (se esistono) gli intervalli della variabile $x$ che soddisfano la disequazione di partenza.

### Esempio

Si risolva la disequazione:

$2x^{4}+5x^{2}-12\geq 0$

Operando la sostituzione $x^{2}=t$, si ottiene la disequazione di secondo grado completa:

$2t^{2}+5t-12\geq 0$,

che ha soluzioni $t\leq -4$ e $t\geq {\frac {3}{2}}$. Ritornando nella variabile $x$, si ottiene:

* $x^{2}\leq -4\;\;$ che non possiede soluzioni nel campo dei numeri reali.
* $x^{2}\geq {\frac {3}{2}}\;\;$, che a sua volta è una disequazione di secondo grado pura con soluzioni $x\leq -{\frac {\sqrt {6}}{2}}\;\;$ e $x\geq {\frac {\sqrt {6}}{2}}$.

Si noti che nell'insieme dei numeri complessi una disequazione, così come un'equazione, di quarto grado possiede sempre $4$ soluzioni (tante quante sono il suo grado) che possono essere tutte reali, oppure tutte complesse, oppure $2$ reali opposte e $2$ complesse coniugate.

