Disuguaglianza di Prékopa-Leindler
# Disuguaglianza di Prékopa-Leindler

In matematica, la disuguaglianza di Prékopa-Leindler è una disuguaglianza integrale strettamente correlata alla disuguaglianza inversa di Young, alla disuguaglianza di Brunn-Minkowski e ad altre numerose, importanti e classiche disuguaglianze in analisi. Il risultato porta il nome dei matematici ungheresi András Prékopa e László Leindler.

## Enunciato della disuguaglianza

Sia 0 < λ < 1 e siano f, g, h : $R^n$ → [0, +∞) due funzioni misurabili a valori reali non negative definite su uno spazio euclideo n-dimensionale $R^n.$ Supponiamo che queste funzioni soddisfino

    $h\left((1-\lambda )x+\lambda y\right)\geq f(x)^{1-\lambda }g(y)^{\lambda }$ (equazione 1)

per ogni x e y appartenenti a $R^n.$ Allora

    $\|h\|_{1}:=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)\,\mathrm {d} x\geq \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{1-\lambda }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)\,\mathrm {d} x\right)^{\lambda }=:\|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda }.\,$

## Forma essenziale della disuguaglianza

Ricordiamo che l'estremo superiore essenziale di una funzione misurabile f : $R^n$ → R è definito da

    $\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{x\in \mathbb {R} ^{n}}f(x)=\inf \left\{t\in [-\infty ,+\infty ]\mid f(x)\leq t{\text{ per quasi tutti }}x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.$

Questa notazione consente di enunciare la seguente forma essenziale della disuguaglianza di Prékopa-Leindler: sia 0 < λ < 1 e siano f, g ∈ $L^1(R^n;$ [0, +∞)) due funzioni non negative assolutamente integrabili. Sia

    $s(x)=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{y\in \mathbb {R} ^{n}}f\left({\frac {x-y}{1-\lambda }}\right)^{1-\lambda }g\left({\frac {y}{\lambda }}\right)^{\lambda }.$

Allora s è misurabile e

    $\|s\|_{1}\geq \|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda }.$

La forma basata sull'estremo superiore essenziale venne presentata in. Il suo utilizzo può cambiare il membro sinistro della disuguaglianza. Per esempio, una funzione g che assume il valore 1 esattamente in un punto, di solito, non produrrà un membro sinistro uguale a zero nella forma non basata sull'estremo superiore essenziale, ma produrrà sempre un membro sinistro uguale a zero nella forma basata sull'estremo superiore essenziale.

## Relazione con la disuguaglianza di Brunn-Minkowski

Si può dimostrare che l'usuale disuguaglianza di Prékopa-Leindler implica la disuguaglianza di Brunn-Minkowski nella forma seguente: se 0 < λ < 1 e A e B sono sottoinsiemi misurabili limitati di $R^n$ tali che la somma di Minkowski (1 − λ)A + λB è anche misurabile, allora

    $\mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)\geq \mu (A)^{1-\lambda }\mu (B)^{\lambda },$

dove μ denota la misura di Lebesgue n-dimensionale. Quindi, la disuguaglianza di Prékopa-Leindler può anche essere usata per dimostrare la disuguaglianza di Brunn-Minkowski nella sua forma più familiare: se 0 < λ < 1 e A e B sono sottoinsiemi misurabili limitati non vuoti di $R^n$ tali che (1 − λ)A + λB è anche misurabile, allora

    $\mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)^{1/n}\geq (1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}.$

## Applicazioni in probabilità e statistica

La disuguaglianza di Prékopa-Leindler risulta utile nella teoria delle distribuzioni logaritmicamente concave, poiché essa può essere usata per mostrare che la concavità logaritmica è conservata dalla marginalizzazione e dalla somma indipendente di variabili casuali distribuite logaritmicamente concave. Supponiamo che H(x,y) sia una distribuzione logaritmicamente concava per (x,y) ∈ $R^m$ × $R^n,$ in modo tale che dalla definizione abbiamo

$H\left((1-\lambda )(x_{1},y_{1})+\lambda (x_{2},y_{2})\right)\geq H(x_{1},y_{1})^{1-\lambda }H(x_{2},y_{2})^{\lambda }$ (equazione 2),

mentre M(y) denoti la distribuzione marginale ottenuta dall'integrazione su x:

    $M(y)=\int _{\mathbb {R} ^{m}}H(x,y)\,dx.$

Siano dati $y_1,$ $y_2$ ∈ $R^n$ e 0 < λ < 1. Allora l'equazione 2 soddisfa la condizione corrispondente all'equazione 1 con h(x) = H(x,(1 − $λ)y_1$ + $λy_2),$ f(x) = $H(x,y_1)$ and g(x) = $H(x,y_2),$ così si applica la disuguaglianza di Prékopa-Leindler. Ciò può essere scritto in termini di M come

    $M((1-\lambda )y_{1}+\lambda y_{2})\geq M(y_{1})^{1-\lambda }M(y_{2})^{\lambda },$

che è la definizione di concavità logaritmica per M.

Per vedere come questo implichi la conservazione della convessità logaritmica nelle somme indipendenti, supponiamo che X e Y siano variabili casuali indipendenti con distribuzione logaritmicamente concava. Poiché il prodotto di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concavo, la distribuzione congiunta di (X,Y) è anche logaritmicamente concava. La concavità logaritmica è conservata da cambiamenti affini di coordinate, dunque anche la distribuzione di (X + Y, X − Y) è logaritmicamente concava. Poiché la distribuzione di X+Y è marginale sulla distribuzione congiunta di (X + Y, X − Y), noi concludiamo che X + Y ha una distribuzione logaritmicamente concava.

