Retrazione
# Retrazione

In matematica, più precisamente in topologia, una retrazione è una particolare funzione continua che "proietta" uno spazio topologico $X$ su un sottoinsieme $A$.

Quando la retrazione è realizzata da una deformazione continua, il sottoinsieme $A$ è un retratto per deformazione di $X$ e conserva molte delle sue proprietà topologiche.

## Definizione

### Retrazione

Sia $X$ uno spazio topologico e $A$ un sottoinsieme di $X$. Una funzione continua

    $r:X\to A$

è un retrazione di $X$ su $A$ se la sua restrizione ai punti di $A$ è la funzione identità, ovvero se

    $r(a)=a\ \forall a\in A.$

Un sottoinsieme $A$ è un retratto di $X$ se esiste una retrazione di $X$ su $A$.

### Retratto per deformazione

Una funzione continua

    $F:X\times [0,1]\to X$

è una retrazione per deformazione di $X$ su $A$ se sono soddisfatte le relazioni seguenti

    $F(x,0)=x,\;F(a,1)=a,\;F(x,1)\in A.$

per ogni $x$ in $X$ e ogni $a$ in $A$. In altre parole, una retrazione per deformazione è un'omotopia fra una retrazione e la funzione identità su $X$.

Un sottoinsieme $A$ è un retratto per deformazione di $X$ se esiste una retrazione di deformazione di $X$ su $A$.

Infine, una retrazione per deformazione $F$ si dice forte se

    $F(a,t)=a$

per ogni $t$ in $[0,1]$. In altre parole, la deformazione non muove i punti in $A$. In questo caso $A$ è un retratto per deformazione forte.

## Esempi

### Retrazioni

Sia $X$ uno spazio qualsiasi e $x_{0}$ un punto. La funzione costante

    $f:X\to \{x_{0}\}\,\!$

è una retrazione. Più in generale, è possibile scegliere un punto in ogni componente connessa di $X$ e mandare tutta la componente connessa nello stesso punto: il risultato è sempre una retrazione. D'altra parte, non è possibile costruire una retrazione di uno spazio connesso su due suoi punti, poiché l'immagine di un connesso tramite una funzione continua è sempre connessa.

### Deformazioni

Sia $X$ un sottoinsieme convesso di $\mathbb {R} ^{n}$ contenente l'origine, ad esempio la palla unitaria o tutto $\mathbb {R} ^{n}$. La funzione

    $F:X\times [0,1]\to X$
    $F:(x,t)\mapsto (1-t)x\,\!$

è una retrazione per deformazione di $X$ sull'origine $A=\{0\}$.

## Proprietà

### Retrazioni

Una retrazione

    $r:X\to A$

manda ogni componente connessa $C$ di $X$ in un sottoinsieme connesso di $C$.

Se $X$ è connesso per archi, anche $A$ lo è e l'omomorfismo indotto

    $r_{*}:\pi (X)\to \pi (A)$

fra i loro gruppi fondamentali è suriettivo. Inoltre l'inclusione

    $i:A\to X$

induce una funzione iniettiva

    $i_{*}:\pi (A)\to \pi (X).$

Entrambe le proprietà derivano dal fatto che la composizione

    $r\circ i:A\to A$

è la funzione identità e quindi induce l'omomorfismo identità

    $(r\circ i)_{*}=r_{*}\circ i_{*}:\pi (A)\to \pi (A).$

Poiché questo è composizione degli omomorfismi $i_{*}$ e $r_{*}$, il primo deve essere iniettivo ed il secondo suriettivo. Gli stessi risultati valgono per i gruppi di omotopia superiori.

### Deformazioni

Se la retrazione $r$ è indotta da una deformazione, è omotopa all'identità ed induce quindi una equivalenza omotopica tra $X$ e $A$. In particolare, le mappe $r_{*}$ e $i_{*}$ sono entrambe isomorfismi.

## Applicazioni

### Teorema del punto fisso di Brower

Non esistono retrazioni

    $r:D^{n}\to S^{n-1}=\partial D^{n}$

del disco unitario sulla sua sfera di bordo. Infatti l'omomorfismo indotto

    $r_{*}:\pi _{n-1}(D^{n})\to \pi _{n-1}(S^{n-1})$

sull'$(n-1)$-esimo gruppo di omotopia non può essere suriettivo, visto che il primo gruppo è banale ed il secondo no:

    $\pi _{n-1}(D^{n})=\{e\},\quad \pi _{n-1}(S^{n-1})=\mathbb {Z} .$

Da questo fatto discende facilmente il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua

    $f:D^{n}\to D^{n}$

dal disco unitario in sé ha un punto fisso.

