Geometria epipolare
# Geometria epipolare

La geometria epipolare è la geometria della visione stereoscopica. Essa descrive le relazioni e i vincoli geometrici che legano due immagini 2D della stessa scena 3D catturata da due fotocamere con posizione e orientamento distinto.

## Geometria Epipolare

Immaginiamo di voler fotografare un elemento nello spazio 3D nel punto X tramite due fotocamere centrate in $O_L$ e $O_R.$ Il punto in questione verrà rispettivamente proiettato sul piano immagine della fotocamera sinistra in $x_L$ e in $x_R$ nel piano immagine della fotocamera destra.

La proiezione del punto X sul piano immagine delle rispettive fotocamere avviene tramite una trasformazione proiettiva $P_L$ (e $P_R)$ ovvero una matrice che tiene conto della posizione, dell'orientamento e dei parametri formali della rispettiva fotocamera. La relazione può essere espressa matematicamente come

$x_{L}=P_{L}X$

$x_{R}=P_{R}X$

### Punti epipolari

Poiché i centri $O_L$ e $O_R$ di ogni camera sono in posizioni distinte è possibile proiettare l'uno sul piano immagine dell'altro.

$e_{L}=P_{L}O_{R}$

$e_{R}=P_{R}O_{L}$

I due punti $e_L$ e $e_R$ prendono il nome di epipoli o punti epipolari.

### Rette epipolari

Il punto $x_L$ può essere visto come l'intersezione della retta passante per $O_L$ e X, chiamata raggio di proiezione, con il piano immagine della fotocamera sinistra.

Immaginiamo quindi di proiettare tale retta sul piano immagine destro. Poiché la trasformazione proiettiva è un omografia se il raggio di proiezione collega X con $O_L$ allora la sua proiezione collegherà le proiezioni dei due punti. Ovvero sarà la retta passante per $x_R$ e la proiezione di $O_L,$ ovvero proprio il punto epipolare destro $e_R.$ Esprimendo i due punti in coordinate omogenee la retta può essere espressa come

$l_{R}=x_{R}\times e_{R}$

Tale retta prende il nome di retta epipolare. Lo stesso ragionamento può essere fatto analogamente con i raggi di proiezione della camera destra.

### Piano epipolare

Come interpretazione alternativa consideriamo il piano su cui giacciono i punti X, $O_L$ e $O_R.$ Questo piano prende il nome di piano epipolare. Il piano epipolare associato ad un punto X intercetta i piani immagine esattamente nelle rette epipolari associate a X. Tutti i piani epipolari si incontrano nella retta che unisce i due epipoli che prende il nome di linea di base.

## Ricostruzione della scena

La geometria epipolare ricopre un ruolo fondamentale nella ricostruzione di una scena tridimensionale a partire da una coppia di immagini stereoscopiche. La ricostruzione avviene tramite i seguenti passi:

* Data una lista di punti corrispondenti nelle due immagini viene calcolata la matrice fondamentale F ovvero una matrice 3x3 di rango due tale che $x_{L}^{T}Fx_{R}=0$.
* Dalla matrice fondamentale vengono ricavate le matrici che rappresentano le trasformazioni proiettive delle due camere tramite le relazioni: $P_{L}=[I|0]$ $P_{R}=[[e_{R}]\times F|e_{R}]$.
* Per ogni coppia di punti corrispondenti nell'immagine si stima il punto X tramite le informazioni ricavate dalle due matrici di proiezione.
