Diffusività di materia
# Diffusività di materia

Nel fenomeno fisico della diffusione molecolare, la diffusività di materia è il potenziale scalare della velocità delle particelle nel mezzo all'interno del quale esse si trovano.

## Definizione

La diffusività è definita come l'opposto dell'antigradiente della velocità (è cioè legata alla velocità come l'energia potenziale è legata alla forza)

    ${\mathcal {D}}_{m}(x,y,z)=-\nabla ^{-1}\mathbf {v} (x,y,z)$

Come tutte le diffusività, ha le dimensioni di $\left[L^{2}\cdot T^{-1}\right]$.

Nel caso di moto browniano il campo di velocità è isotropo, cioè la particella tende a muoversi senza direzioni preferenziali ovunque si trovi. Se la velocità è uniforme il coefficiente di diffusione diventa una costante nelle coordinate spaziali:

    $\nabla ^{2}{\mathcal {D}}_{m}=0,$

questa condizione viene rappresentata da un'equazione di Laplace: la diffusività è armonica.

## Proprietà

La diffusività risulta sperimentalmente:

* direttamente proporzionale alla energia cinetica della particella;
* inversamente proporzionale all'ingombro della particella (e quindi al suo raggio);
* inversamente proporzionale alla viscosità del mezzo.

Per tenere conto di queste e altre proprietà si utilizza come modello la relazione di Stokes-Einstein:

    ${\mathcal {D}}_{m}={\frac {k\cdot T}{6\pi \cdot r\cdot \mu }}$

dove:

* k = costante di Boltzmann;
* T = temperatura assoluta;
* r = raggio della particella;
* μ = viscosità del mezzo, dalle dimensioni di $\left[M\cdot L^{-1}\cdot T^{-1}\right]$.

## Applicazione

La diffusività materiale viene introdotta per comodità nel calcolo della corrente diffusa:

    $J=-{\mathcal {D}}_{m}\cdot {\frac {\Delta C}{\Delta x}}$

dove ΔC è la differenza di concentrazione e Δx è la lunghezza del tratto che si considera.

ΔC/Δx corrisponde nella versione esatta al gradiente spaziale della concentrazione.

## Dipendenza dalla temperatura e dalla densità

### Dipendenza dalla temperatura

Con margini di errore generalmente accettabili vale la relazione:

    ${\mathcal {D}}_{m}={\mathcal {D}}_{m0}\cdot e^{-{\frac {\Delta E^{\ddagger }}{R\cdot T}}},$

dove:

* $\,{\mathcal {D}}_{m}$ è il coefficiente di diffusione di materia;
* $\,{\mathcal {D}}_{m0}$ è il coefficiente massimo di diffusione (a temperatura infinita);
* $\,\Delta E^{\ddagger }$ è l'energia di attivazione per la diffusione;
* $\,T$ è la temperatura assoluta;
* $\,R$ è la costante dei gas.

Un'equazione in questa forma è conosciuta come equazione di Arrhenius.

### Dipendenza dalla densità

Tipicamente la diffusione è inversamente proporzionale alla densità massica: nell'aria è 10.000 volte più grande che nell'acqua; per esempio il diossido di carbonio in aria ha un coefficiente pari a 16 mm²/s, mentre in acqua è pari a 0,0016 mm²/s.

## Stima della diffusività di materia

Il calcolo della diffusività di materia può essere effettuato utilizzando equazioni teoriche, correlazioni empiriche o analogie, che vengono scelte in base al sistema in studio.

### Teoria di Chapman-Enskog

Il coefficiente di diffusione può essere ricavato con l'approssimazione di Chapman-Enskog, valida nel caso di gas monoatomici in condizioni di bassa densità.

Dall'applicazione di tale teoria discende che:

    ${\mathcal {D}}_{m}=f_{0}{\frac {\sqrt {T\left({\frac {1}{M_{A}}}+{\frac {1}{M_{B}}}\right)}}{C\sigma _{AB}^{2}\omega _{\mathcal {D}}}}$

dove:

* $f_{0}=2,2646\cdot 10^{15}$ $s^{-1}$ $K^{-1/2}$ è una costante
* ${\mathcal {D}}$ è il coefficiente di diffusione
* T è la temperatura
* $M_A$ e $M_B$ sono le masse molecolari delle specie
* C è la concentrazione
* $\sigma _{AB}$ è il diametro di collisione
* $\omega _{\mathcal {D}}$ è un numero adimensionale che dipende dalla temperatura e da altri fattori, ricavabile da alcune tabelle ottenute per via sperimentale.

### Analogia di Chilton-Colburn

L'analogia di Chilton-Colburn esprime un legame tra le grandezze fisiche che regolano il trasferimento di materia e le grandezze fisiche che regolano il trasferimento di calore. Questa relazione può essere utilizzata per stimare il coefficiente di scambio di materia facendo riferimento a un sistema in cui si abbia trasferimento di massa.

L'analogia di Chilton-Colburn si può scrivere nella forma:

    ${\frac {k}{h}}={\frac {{\mathcal {D}}^{2/3}}{\lambda ^{2/3}}}(\rho c_{p})^{-1/3}$

essendo:

* $h$: coefficiente di scambio termico
* $\lambda$: conducibilità termica
* $\rho$: densità
* $c_{p}$: calore specifico a pressione costante.
