Matrice simmetrica
# Matrice simmetrica

In algebra lineare, una matrice simmetrica è una matrice quadrata che ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa.

## Definizione

Detta $A^{T}$ la matrice trasposta di $A$, una matrice $A$ è simmetrica quando:

    $A^{T}=A$

o equivalentemente quando i suoi elementi $a_{ij}$ soddisfano:

    $a_{ij}=a_{ji}\qquad \forall i\ \forall j$

Per matrici a coefficienti reali i concetti di matrice simmetrica e di matrice hermitiana (una matrice uguale alla propria trasposta coniugata) sono equivalenti.

## Proprietà

Uno dei teoremi basilari riguardanti tali matrici è il teorema spettrale in dimensione finita, il quale afferma che ogni matrice simmetrica a coefficienti reali può essere diagonalizzata tramite una matrice ortogonale.

Una matrice $M$, definita su un campo a caratteristica diversa da 2 (o più in genere su un anello nel quale l'elemento 2 è invertibile), può sempre essere scritta come somma di una matrice simmetrica $S$ e di una matrice antisimmetrica $A$. Supponendo infatti di poter scrivere:

    $M=S+A$

per definizione di matrice simmetrica e di matrice antisimmetrica si ha:

    $M^{\top }=S-A$

quindi le matrici $S$ e $A$ sono univocamente determinate:

    $S={\frac {(M+M^{\top })}{2}}\qquad A={\frac {(M-M^{\top })}{2}}$

Su un anello nel quale la divisione per 2 non è sempre possibile questo ragionamento non si può applicare, ed esistono sempre dei controesempi. Ad esempio, una matrice della forma:

    ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

non si può scrivere come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica né sull'anello degli interi $\mathbb {Z}$, né sul campo finito $F_{2}$.

## Esempi

I coefficienti di una matrice simmetrica sono simmetrici rispetto alla diagonale principale (che va dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra). Ad esempio:

    ${\begin{bmatrix}1&2&3\\2&0&5\\3&5&6\end{bmatrix}}$

Ogni matrice diagonale è simmetrica, in quanto tutti i coefficienti all'esterno della diagonale principale sono zero.

Il prodotto $A^{T}A$, tra una qualsiasi matrice $A$ e la sua trasposta, restituisce sempre una matrice simmetrica.

Esempi di particolari matrici simmetriche sono la matrice di Hankel, la matrice di Gram, la matrice di Hilbert e la matrice di Filbert. Vi sono anche la matrice di Toeplitz, la matrice identità, e la matrice nulla.

