Curvatura gaussiana
# Curvatura gaussiana

In geometria differenziale, la curvatura gaussiana è una misura della curvatura di una superficie in un punto.

La curvatura gaussiana in un punto $x$ di una superficie contenuta nello spazio euclideo è definita come il prodotto delle due curvature principali in $x$. La curvatura gaussiana, a differenza delle curvature principali, è una curvatura intrinseca: dipende cioè soltanto dalle distanze fra punti all'interno della superficie, e non da come questa sia contenuta nello spazio tridimensionale. Questo fatto importante è asserito dal teorema egregium di Gauss.

Un altro tipo di curvatura calcolato a partire dalle curvature principali è la curvatura media. A differenza della curvatura di Gauss, la curvatura media non è intrinseca.

## Definizione

### Hessiano

Una semplice definizione della curvatura gaussiana di una superficie è la seguente. La curvatura gaussiana non cambia se la superficie viene spostata con movimenti rigidi. Per definire la curvatura gaussiana di una superficie $X$ in un punto $P$, possiamo quindi ruotare $X$ in modo che il piano tangente in $P$ sia orizzontale. A questo punto la superficie è descritta (almeno localmente, in un intorno di $P$) come grafico di una funzione

    $f:A\to \mathbb {R}$

avente come dominio un aperto $A$ di $\mathbb {R} ^{2}$. La curvatura gaussiana in $P=(x,y,f(x,y))$ è il determinante dell'hessiano di $f$ in $(x,y)$. Perché questa definizione abbia senso, la funzione deve essere differenziabile almeno due volte: l'hessiano è infatti la matrice simmetrica $2\times 2$ data dalle derivate parziali seconde di $f$.

### Curvature principali

La curvatura gaussiana di una superficie più generale $X$ in un punto $x$ è il prodotto $k_{1}k_{2}$ delle curvature principali. Per definire le curvature principali è necessario fissare una normale alla superficie in $X$: poiché la normale opposta dà curvature con segni opposti, il loro prodotto è però ben definito anche senza questa scelta.

## Esempi

### Curvatura costante

Un piano o un cilindro hanno curvatura gaussiana ovunque nulla. Una sfera di raggio $r$ ha curvatura gaussiana ovunque $1/r^{2}$.

### Esempio puntuale

La funzione

    $f(x,y)=ax^{2}+by^{2}$

ha gradiente $(2ax,2by)$. Il gradiente è nullo nell'origine, e quindi la curvatura gaussiana del grafico $X$ di $f$ in $(0,0)$ è il determinante dell'hessiano. L'hessiano è

    ${\begin{pmatrix}2a&0\\0&2b\end{pmatrix}}$

ed il suo determinante è $4ab$. La curvatura di $X$ in $(0,0)$ è quindi $4ab$. Questa è ad esempio negativa in presenza di un punto di sella, ove $a$ e $b$ hanno segni discordi.

Questo metodo per calcolare la curvatura è però funzionante solo in $(0,0)$, dove il gradiente si annulla.

## Curvatura totale

La curvatura totale di una regione $A$ della superficie $X$ è l'integrale di superficie

    $\int _{A}K\,ds$

della curvatura gaussiana $K$ su $A$. La curvatura totale misura quanto si differenzia globalmente la geometria di $A$ da quella di una regione piatta sul piano: ad esempio, la curvatura totale di un triangolo geodetico $T$ è pari alla differenza fra la somma dei suoi angoli interni (in radianti) e $\pi$. In altre parole,

    $\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\int _{T}K\,ds$

dove $\theta _{1},\theta _{2}$ e $\theta _{3}$ sono gli angoli interni.

La somma degli angoli di un triangolo su una superficie di curvatura ovunque positiva è maggiore di $\pi$, mentre è minore se la superficie ha curvatura ovunque negativa.

## Proprietà

### Teorema egregium

Per il teorema egregium dimostrato da Gauss nel 1828, la curvatura gaussiana dipende solo dalla sua prima forma fondamentale, cioè dal suo tensore metrico.

La curvatura gaussiana è quindi invariante per isometrie della superficie: si tratta cioè di una proprietà intrinseca della superficie. Una isometria non è necessariamente un movimento rigido dello spazio: un esempio è fornito da un foglio di carta, che può essere arrotolato fino a formare un cilindro. Piano e cilindro sono (almeno localmente) isometrici.

### Gauss-Bonnet

Il teorema di Gauss-Bonnet fornisce una stretta connessione fra la curvatura totale di una superficie e la sua topologia. Se $X$ è una superficie compatta, il teorema asserisce che

    $\int _{X}K\,ds=2\pi \chi (X)$

cioè la curvatura totale della superficie è pari alla sua caratteristica di Eulero, moltiplicata per $2\pi$.

Ad esempio, una sfera di raggio $r$ ha caratteristica 2, e la sua curvatura totale è sempre $4\pi$, indipendentemente da $r$. Infatti, è pari al prodotto fra l'area $4\pi r^{2}$ e la curvatura, che è costantemente pari a $1/r^{2}$, poiché entrambe le curvature principali sono $1/r$. Più sorprendentemente, la curvatura totale di una qualsiasi superficie omeomorfa alla sfera (ad esempio, il bordo di un ellissoide) è sempre $4\pi$.

Un toro ha caratteristica di Eulero nulla. Ne segue che la sua curvatura totale è nulla: o questa è ovunque nulla (cosa però impossibile per un toro contenuto nello spazio tridimensionale), oppure presenta zone di curvatura positiva e zone di curvatura negativa.

