Sommersione
# Sommersione

In matematica una sommersione è una mappa tra varietà differenziali il cui differenziale è suriettivo. La nozione di sommersione è duale a quella di Immersione (geometria).

## Definizione

Siano $M$ ed $N$ due varietà differenziali, di dimensione $m,n$ rispettivamente con $m\geq n$. La funzione differenziabile $f:M\to N$ è una sommersione nel punto $p\in M$ se il suo differenziale

    $Df_{p}:T_{p}M\to T_{f(p)}N$

è suriettivo.

Se la funzione $f$ è una sommersione in ogni punto $p\in U\subseteq N$ per qualche insieme $U$, allora si dice che $f$ è una sommersione in $U$, o anche che $f$ è sommersiva.

Equivalentemente, possiamo affermare che $f$ è sommersiva in $p$ se il differenziale $Df_{p}$ ha rango massimo $n$.

## Esempi

* La proiezione naturale $\pi :\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ dove $m\geq n$ definita come $\pi (x_{1},\dots ,x_{m})=(x_{1},\dots ,x_{n})$ è una sommersione
* Una funzione scalare $f:A\subseteq \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ è sommersiva in $p\in A$ se e solo se $\nabla f(x_{0})\neq 0$
* Un diffeomorfismo locale è una sommersione (e anche un'immersione)
