Matrice di trasformazione
# Matrice di trasformazione

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di trasformazione, anche detta matrice associata ad una trasformazione o matrice rappresentativa dell'operatore rispetto alle sue basi, è la matrice che rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali rispetto ad una base per ciascuno degli spazi.

Fissata una base per il dominio e una per il codominio, ogni trasformazione lineare è descrivibile tramite una matrice $M$ nel modo seguente:

    $\mathbf {y} =M\mathbf {x} \,\!$

dove $\mathbf {x}$ è il vettore colonna delle coordinate di un punto del dominio rispetto alla base del dominio e $\mathbf {y}$ è il vettore colonna delle coordinate dell'immagine, mentre il prodotto $M\mathbf {x}$ è il prodotto righe per colonne.

## Definizione

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali su un campo $K$ di dimensione finita, e $T:V\to W$ una applicazione lineare. Siano:

    $B=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})\quad C=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m})$

due basi rispettivamente per $V$ e $W$.

La matrice $M$ associata a $T$ nelle basi $B$ e $C$ è la matrice $m\times n$ avente nella $i$-esima colonna le coordinate del vettore $T(\mathbf {v} _{i})$ rispetto alla base $C$:

    $M={\BiggM^{1}{\Bigg |}\cdots {\Bigg |}M^{n}{\Bigg )}$

dove la colonna $M^{i}$ è l'immagine $T(\mathbf {v} _{i})$ dell'$i$-esimo vettore della base di partenza $B$ scritta attraverso le coordinate rispetto alla base di arrivo $C$.

Gli elementi $m_{i,j}$ di $M$ sono quindi tali che:

    $T(\mathbf {v} _{1})=m_{1,1}\mathbf {w} _{1}+\dots +m_{m,1}\mathbf {w} _{m}$
    $T(\mathbf {v} _{2})=m_{1,2}\mathbf {w} _{1}+\dots +m_{m,2}\mathbf {w} _{m}$
    $\dots$
    $T(\mathbf {v} _{n})=m_{1,n}\mathbf {w} _{1}+\dots +m_{m,n}\mathbf {w} _{m}$

e si ha:

    ${\BiggT(\mathbf {v} _{1}){\Bigg |}\cdots {\Bigg |}T(\mathbf {v} _{n}){\Bigg )}=(\mathbf {w} _{1}|\cdots |\mathbf {w} _{m}){\BiggM^{1}{\Bigg |}\cdots {\Bigg |}M^{n}{\Bigg )}$

In modo equivalente si può scrivere:

    $[T(\mathbf {v} )]_{C}=M[\mathbf {v} ]_{B}$

Dove le parentesi quadre indicano le coordinate rispetto alla base relativa.

La corrispondenza biunivoca definita fra applicazioni lineari e matrici è un isomorfismo fra lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da $V$ in $W$ e lo spazio delle matrici $m\times n$:

    $\operatorname {Hom} (V,W)\to M(m,n)$

Tale isomorfismo dipende dalle basi scelte per entrambi gli spazi.

## Composizione di applicazioni lineari

Nella rappresentazione di applicazioni attraverso le matrici la composizione di funzioni si traduce nell'usuale prodotto fra matrici. Si considerino le applicazioni lineari:

    $T:V\to W\quad U:W\to Z$

Siano $M_{U}$ e $M_{T}$ le rispettive matrici rappresentative rispetto a tre basi dei relativi spazi. Si ha:

    $M_{U\circ T}=M_{U}M_{T}$

ovvero la matrice associata alla composizione è il prodotto delle matrici associate a $U$ e a $T$.

Dette $B$, $C$ basi rispettivamente di $V$ e $Z$ si ha:

    $[({U\circ T})(\mathbf {v} )]_{C}=M_{U}M_{T}[\mathbf {v} ]_{B}$

## Endomorfismi

In presenza di un endomorfismo $T:V\to V$ è naturale scegliere la stessa base $B$ in partenza ed in arrivo. Sia $B=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ tale base e sia $M=(m_{ij})$ la matrice associata a $T$ rispetto alla base $B$. Si ha allora:

    $T(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{n}m_{ij}\mathbf {v} _{i}$

In particolare, $M$ è una matrice quadrata $n\times n$.

Molte proprietà dell'endomorfismo possono essere lette attraverso la matrice rappresentativa:

* $T$ è l'identità se e solo se $M$ è la matrice identica.
* $T$ è la funzione costantemente nulla se e solo se $M$ è la matrice nulla.
* $T$ è biunivoca se e solo se $M$ è invertibile, ovvero se ha determinante $\det M$ diverso da zero.
* $T$ preserva l'orientazione dello spazio se $\det M>0$, mentre la inverte se $\det M<0.$

Altre proprietà più complesse delle applicazioni lineari, come la diagonalizzabilità, possono essere più facilmente studiate attraverso la rappresentazione matriciale.

### Matrici simili

Due matrici quadrate $A$ e $B$ sono simili quando esiste una matrice invertibile $M$ tale che:

    $\ A=M^{-1}BM$

In particolare, la matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a se stesse.

Le matrici simili rivestono notevole importanza, dal momento che due matrici simili rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse. Se $B$ e $C$ sono due basi dello spazio vettoriale $V$, dato un endomorfismo $T$ su $V$ si ha:

    $[T]_{B}=M^{-1}[T]_{C}M\$

La matrice $M$ è la matrice di cambiamento di base dalla base $B$ alla base $C$.

## Esempi

* Nel piano cartesiano, indicando con $(x,y)$ un punto generico, la trasformazione lineare $T(x,y)=(x,y)$ viene rappresentata rispetto ad una qualsiasi base dalla matrice identità di ordine 2. Una tale trasformazione è conosciuta anche come funzione identità.
* Nel piano cartesiano, sia $T$ la riflessione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. Le matrici associate a $T$ usando rispettivamente la base canonica e la base $B=((1,1),(1,-1))$ sono:

    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
* Nel piano la rotazione di un angolo θ in senso antiorario intorno all'origine è lineare e definita da $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ e $y'=x\sin \theta +y\cos \theta$. In forma matriciale si esprime con:

          ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$
    Analogamente per una rotazione in senso orario attorno all'origine la funzione è definita da $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ e $y'=-x\sin \theta +y\cos \theta$ ed in forma matriciale corrisponde alla trasposta della precedente matrice, ovvero:
          ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$
* La funzione $T:\mathbb {R} ^{2}[x]\to \mathbb {R} ^{2}[x]$ dallo spazio dei polinomi di grado al più due in sé, che associa ad un polinomio $p$ la sua derivata $T(p)=p'$ è lineare. La matrice associata rispetto alla base $B=(1,x,x^{2})$ è:

    ${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}$
