Criterio di Dirichlet (matematica)
# Criterio di Dirichlet (matematica)

Nel contesto dell'analisi matematica, il criterio di Dirichlet è un metodo per determinare la convergenza di particolari serie numeriche.

## Enunciato

Siano $\{a_{n}\}$ una successione di numeri complessi e $\{b_{n}\}$ una successione di numeri reali tali che:

   * $b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots >0;$

   * $\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=0;$

   * $\left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right|\leq M$ per ogni intero positivo $N,$ dove $M$ è indipendente dalla scelta di $N.$

Allora $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ converge in $\mathbb {C} .$

## Dimostrazione

Sia $A_{n}=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}}$, e sia $M\in \mathbb {R}$ tale che $M\geq |A_{n}|$ per ogni intero non negativo $n.$ Allora, fissato un $\varepsilon >0$ esiste un intero $N$ tale che $b_{N}\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}.$ Per ogni $N\leq m\leq n$ si ha allora, per parti:

    $\left|\sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}\right|=\left|\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}+A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}\right|\leq M\left|\sum _{i=m}^{n-1}{(b_{i}-b_{i+1})}+b_{n}+b_{m}\right|=2Mb_{m}\leq 2Mb_{N}\leq \varepsilon .$

Quindi, per il criterio di Cauchy, la serie è convergente. Q.E.D.

## Corollari

### Criterio di Leibniz

Il criterio di Dirichlet è una evidente generalizzazione del criterio di Leibniz, dove la successione $\{a_{n}\}$ è la successione $(-1)^{n}$.

### Convergenza di una serie di potenze

Sia $\sum {b_{i}z^{i}}$ una serie di potenze il cui raggio di convergenza è 1, e sia $\{b_{n}\}$ una successione non crescente e infinitesima per $n\to \infty$. Allora la serie di potenze converge in tutti i punti del cerchio $C=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ tranne al più in $z=1$.

Sia infatti $\{a_{n}\}=z^{n}$; si ha, per $z\neq 1$:

    $|A_{n}|=\left|\sum _{i=0}^{n}{z^{i}}\right|=\left|{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}\right|\leq {\frac {2}{|1-z|}},$

quindi la serie $\sum {a_{i}b_{i}}=\sum {b_{i}z^{i}}$ converge per il criterio di Dirichlet.

