Matrice invertibile
# Matrice invertibile

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata è detta invertibile, o regolare, o non singolare se esiste un'altra matrice tale che il prodotto matriciale tra le due restituisce la matrice identità.

L'insieme delle matrici invertibili di dimensioni $n\times n$ è un gruppo moltiplicativo rispetto all'ordinaria operazione di prodotto matriciale; tale struttura algebrica è detta Gruppo generale lineare ed è indicata con il simbolo $\mathrm {GL} (n)$.

## Definizione

Una matrice quadrata $A_{n\times n}$ è detta invertibile se esiste una matrice $B_{n\times n}$ tale che:

    $AB=BA=I_{n}$

dove $I_{n}$ denota la matrice identità ${n\times n}$ e la moltiplicazione usata è l'ordinaria moltiplicazione di matrici.

Se è questo il caso, allora la matrice $B$ è univocamente determinata da $A$ ed è chiamata l'inversa di $A$, indicata con $A^{-1}$.

Nella definizione, le matrici $A$ e $B$ hanno valori in un anello con unità.

## Definizioni equivalenti

Una matrice $A$ è singolare se ha determinante uguale a zero. Tra le affermazioni elencate sotto, la più importante dice che se $A$ ha valori in un campo, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi, la matrice è invertibile se e solo se non è singolare.

Sia $A$ una matrice quadrata ${n\times n}$ con valori in un campo $\Bbbk$ (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).

Le seguenti affermazioni sono equivalenti e caratterizzano una matrice $A$ invertibile:

* Esiste una matrice $B_{n\times n}$ tale che $AB=BA=I_{n}$.
* Il determinante non è nullo: $\det A\neq 0$.
* Il rango di $A$ è $n$.
* La trasposta $A^{T}$ è una matrice invertibile.
* L'equazione $Ax=0$ (con $x$ e $0$ vettori colonna in $\Bbbk ^{n}$) ha solamente la soluzione banale $x=0$.
* L'equazione $Ax=b$ ha esattamente una soluzione per ogni $b$ in $\Bbbk ^{n}$.
* Le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti.
* Le righe di $A$ sono linearmente indipendenti.
* Le colonne di $A$ generano $\Bbbk ^{n}$.
* Le colonne di $A$ formano una base di $\Bbbk ^{n}$.
* L'applicazione lineare $L_{A}$ da $\Bbbk ^{n}$ in $\Bbbk ^{n}$ data da: $L_{A}:x\mapsto Ax$ è biiettiva.
* Il numero 0 non è un autovalore di $A$.
* $A$ è trasformabile nella matrice identità $I_{n}$ tramite l'algoritmo di Gauss-Jordan.
* $A$ è trasformabile mediante algoritmo di Gauss-Jordan in una matrice a scalini con $n$ pivot.

## Proprietà

* L'inversa di una matrice invertibile $A$ è essa stessa invertibile, e si ha:

    $(A^{-1})^{-1}=A\$
* Il prodotto di due matrici invertibili $A_{n\times n}$ e $B_{n\times n}$ è ancora invertibile, con inversa data da:

    $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\$

Come conseguenza delle proprietà precedenti, l'insieme delle matrici invertibili $n\times n$ costituisce un gruppo con la moltiplicazione, noto come il gruppo generale lineare $\mathrm {GL} (n)$.

Poiché le matrici invertibili formano un gruppo, possono in molti casi essere manipolate come se fossero dei numeri reali. Ad esempio:

* Se $A$ è invertibile, l'equazione $AX=B$ ha una sola soluzione, data da $X=A^{-1}B$. Analogamente $XA=B$ ha come unica soluzione $X=BA^{-1}$.

### Matrici reali

Sul campo dei numeri reali l'insieme di tutte le matrici $n\times n$ è uno spazio vettoriale isomorfo a $\mathbb {R} ^{n^{2}}$, e il sottoinsieme delle matrici non invertibili è un insieme nullo, cioè ha misura di Lebesgue zero, essendo l'insieme degli zeri della funzione determinante, che è un polinomio. Intuitivamente, questo vuol dire che la probabilità che una matrice quadrata casuale a valori reali sia non-invertibile è zero. Parlando in modo approssimativo, si dice che "quasi tutte" le matrici sono invertibili.

### Matrice invertibile in un anello

Il teorema della matrice invertibile generalmente non vale in un anello commutativo. In questo caso, la matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è una unità, ossia è invertibile, in questo anello.

## Sistemi lineari

Se $A$ è invertibile, l'equazione $AX=B$ ha una sola soluzione, data da $X=A^{-1}B$. Analogamente $XA=B$ ha come unica soluzione $X=BA^{-1}$.

Nel caso particolare in cui $X$ e $B$ abbiano dimensioni ${n\times 1}$, ovvero siano vettori colonna, l'equazione $AX=B$ rappresenta un sistema lineare, dove $A$ è la matrice dei coefficienti.

$A$ è invertibile se il sistema ha una soluzione unica o, in modo equivalente, se il sistema omogeneo associato ha come unica soluzione il vettore nullo.

## Calcolo della matrice inversa

Esistono vari metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile $A$.

### Matrici di ordine 2

La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile:

    ${\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}$

è la seguente:

    ${\begin{pmatrix}{\frac {d}{{a}{d}-{b}{c}}}&{\frac {-b}{{a}{d}-{b}{c}}}\\{\frac {-c}{{a}{d}-{b}{c}}}&{\frac {a}{{a}{d}-{b}{c}}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{{a}{d}-{b}{c}}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

Si noti come questa formula è ricavabile del metodo dei cofattori sotto spiegato.

### Metodo della matrice dei cofattori

Il metodo della matrice dei cofattori risulta particolarmente rapido quando non interessa calcolare tutti gli elementi della matrice inversa, e quando la matrice è di dimensione contenuta. Inoltre, la presenza di variabili letterali tra gli elementi non aumenta di molto la complessità del calcolo.

Data una matrice $A$ quadrata e invertibile:

    $A={\begin{pmatrix}\;[A]_{1,1}&\ldots &[A]_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\;[A]_{n,1}&\ldots &[A]_{n,n}\\\end{pmatrix}}$

la sua inversa $A^{-1}$ è la seguente:

    $A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot (\mathrm {cof} \;A)^{T}$

dove $\det(A)$ è il determinante di $A$, la matrice $\mathrm {cof} A$ è la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici) e l'esponente $T$ indica l'operazione di trasposizione di matrici.

Uno schema mnemonico per la variazione del segno $(-1)^{i+j}$ è il seguente:

    ${\begin{pmatrix}+&-&+&\ldots \\-&+&-&\ldots \\+&-&+&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}$

**Dimostrazione**

Si consideri la matrice $A$ e la sua inversa $A^{-1}$. La formula

    $A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot (\mathrm {cof} \;A)^{T}$

equivale a

    $A(\mathrm {cof} \;A)^{T}=I(\det A),$

dove $I$ è la matrice identità. Quindi, se $A_{ih}$ indica l'elemento della matrice $A$ nella riga $i$ e colonna $h$ e $A_{(j,h)}$ indica il minore di $A$ ottenuto cancellando la riga $j$ e la colonna $h,$ si ha

    $\sum _{h=1}^{n}A_{ih}((\mathrm {cof} \;A)^{T})_{hj}=\sum _{h=1}^{n}A_{ih}(\mathrm {cof} \;A)_{jh}=\sum _{h=1}^{n}A_{ih}(-1)^{j+h}\det A_{(j,h)}={\begin{cases}\det A,&{\text{se }}i=j,\\0,&{\text{se }}i\neq j,\end{cases}}$

dove se $i\neq j$ si ha zero poiché la quantità considerata corrisponde al determinante di una matrice $A'$ che si ottiene sostituendo in $A$ la riga $j$-esima con una copia della riga $i$-esima. La matrice $A'$ ha quindi due righe uguali e dunque il determinante è 0.

### Algoritmo di Gauss-Jordan

L'algoritmo di Gauss-Jordan, può essere usato per trovare (quando esiste) l'inversa di una matrice. Funziona nel modo seguente: sia $A$ una matrice invertibile. Si costruisce la matrice $B=(A|I)$ con $n$ righe e $2n$ colonne affiancando $A$ e la matrice identità $I$. A questo punto si applica l'algoritmo di Gauss-Jordan alla nuova $B$. Questo algoritmo trasforma la matrice $B$ in una matrice a scalini, che sarà del tipo $(I|C)$. La matrice $C$ così trovata è proprio l'inversa di $A$. Infatti se si considera la matrice $(A|e_{i})$, il sistema associato ha come unica soluzione un vettore $x_{i}$ che per definizione di inversa è la $i$-esima colonna della matrice inversa di $A.$ Con le operazioni elementari la si trasforma nella matrice $(I|B^{i})$ la cui soluzione è sempre il vettore $x_{i}$ (perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare rimane invariato usando le operazioni elementari). Questo equivale a dire che $Ix_{i}$ è uguale a $B^{i},$ ossia $B^{i}=x_{i}$. Questo vale per ogni colonna. Quindi, dato che il vettore $x_{i}$ è la $i$-esima colonna della matrice inversa, allora $C=A^{-1}.$

L'esempio seguente mostra che l'inversa di:

    $A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}$

è la matrice:

    $C={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}$

Infatti:

    ${\begin{pmatrix}1&2&\|&1&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&-1&\|&-2&1\end{pmatrix}}\to$
    ${\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&0&\|&6&-4\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&0&\|&-3&2\\0&1&\|&2&-1\end{pmatrix}}$

Nel primo passaggio si è moltiplicata la prima riga per $-2$, nel secondo si è sommata alla seconda riga la prima, nel terzo si è moltiplicata la seconda riga per $-4$, nel quarto passaggio si è sommata alla prima riga la seconda e infine nell'ultimo passaggio si è divisa la prima riga per $-2$ e la seconda per $4$. In questo modo si è partiti da una matrice di $(A|I)$ e si è arrivati a $(I|C)$. Si ha che $C$ è l'inversa di $A$.

### Inversa di una matrice partizionata

Data una matrice partizionata a blocchi:

    $A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}$

in cui le sottomatrici sulla diagonale $(A_{11}$ e $A_{22})$ sono quadrate e non singolari, si può dimostrare che l'inversa di $A$ risulta uguale a:

    $A^{-1}={\begin{pmatrix}A_{11}^{-1}(I+A_{12}\,B_{22}\,A_{21}A_{11}^{-1})&-A_{11}^{-1}A_{12}\,B_{22}\\-B_{22}A_{21}A_{11}^{-1}&B_{22}\end{pmatrix}}$

dove $I$ è una matrice identità di ordine appropriato e:

    $B_{22}=(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}$

ovvero:

    $A^{-1}={\begin{pmatrix}B_{11}&-B_{11}A_{12}A_{22}^{-1}\\-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}&A_{22}^{-1}(I+A_{21}B_{11}A_{12}A_{22}^{-1})\end{pmatrix}}$

con:

    $B_{11}=(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}$
