Matrice trasposta coniugata
# Matrice trasposta coniugata

In algebra lineare, la matrice trasposta coniugata o matrice aggiunta di una matrice a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato.

## Definizione

Data una matrice $A$, indicando con $A^{T}$ la sua trasposta e con l'asterisco $*$ l'operazione di coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata $A^{\dagger }$ è data da:

    $A^{\dagger }=(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}$

In termini degli elementi vale la relazione:

    $(A^{\dagger })_{jk}=A_{kj}^{*}$

cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:

    $A_{kj}^{*}=A_{jk}^{\dagger }$

Ad esempio:

    $A={\begin{pmatrix}3+9i&2+i\\7-6i&1-3i\end{pmatrix}}\qquad A^{\dagger }={\begin{pmatrix}3-9i&7+6i\\2-i&1+3i\end{pmatrix}}$

## Proprietà

Valgono le seguenti proprietà:

    $\left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A\qquad \left(A+B\right)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }\qquad \left(cA\right)^{\dagger }=c^{*}\cdot A^{\dagger }\qquad \left(A\cdot B\right)^{\dagger }=B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }$

e in generale:

    $\left(A\cdot B\cdot C\cdot D...\right)^{\dagger }=...D^{\dagger }\cdot C^{\dagger }\cdot B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }$

Dalle precedenti proprietà si può ricavare

    $\left(A^{\dagger }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\dagger }=A^{-\dagger }$;

infatti

    $A^{\dagger }\left(A^{\dagger }\right)^{-1}=I_{n}=I_{n}^{\dagger }=\left(A^{-1}A\right)^{\dagger }=A^{\dagger }\left(A^{-1}\right)^{\dagger }.$

L'uguaglianza segue perciò dall'unicità della matrice inversa.

Denotando con $\langle \cdot \,,\cdot \rangle$ il prodotto hermitiano standard fra vettori di $\mathbb {C} ^{n}$:

    $\langle Au,v\rangle =\langle u,A^{\dagger }v\rangle \qquad \langle u,Av\rangle ^{*}=\langle v,A^{\dagger }u\rangle$

### Matrici hermitiane

Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano

    $\phi (u,v)=(u,Av)$

Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:

    $(u,Au)=(u,Au)^{*}$

è reale.

Ogni matrice quadrata complessa $A$ può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:

    $A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\dagger }\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{\dagger }\right)$
