Matrice identità
# Matrice identità

In matematica, la matrice identità, anche detta matrice identica o matrice unità, è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono 0. Viene indicata con $I$ oppure con $I_{n}$, dove $n$ è il numero di righe della matrice.

    $I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\quad \cdots \quad I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

## Proprietà

* La proprietà fondamentale di $I_{n}$ è che:

    $AI_{n}=A\qquad I_{n}B=B$
    per ogni matrice $A$ e $B$ per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.
* In particolare, la matrice identità è invertibile, essendo l'inversa di se stessa.
* La i-esima colonna di una matrice identità è l'i-esimo vettore $e_{i}$ della base canonica dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$.
* La matrice identità è diagonale, ed ha il solo autovalore 1.

## Notazioni

Usando la notazione applicata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:

    $I_{n}=\mathrm {diag} (1,1,\dots ,1)$

Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:

    $(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}$

## Anello delle matrici

Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici $n\times n$ a valori in un campo fissato $K$.

Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare $\mathrm {GL} (n,K)$ formato da tutte le matrici invertibili $n\times n$ a valori in $K$.

## Trasformazioni lineari

Sia $K$ un campo. Ogni matrice quadrata $A$ induce una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale $K^{n}$ in sé, definita nel modo seguente:

    $x\mapsto Ax$

La matrice identità è così chiamata perché induce la funzione identità. Più in generale, la matrice identità è la matrice associata alla funzione identità da uno spazio vettoriale in sé, rispetto ad una qualsiasi base.

