Criterio di Leibniz
# Criterio di Leibniz

In analisi matematica, il criterio di Leibniz (scritto anche Leibnitz) è un criterio di convergenza applicabile a serie a termini di segno alterno. Secondo tale criterio se una successione a termini positivi $\{a_{k}\}$ è decrescente e infinitesima, allora la serie

    $\sum _{k=0}^{+\infty }{(-1)^{k}a_{k}}$

converge.

Prende il nome dal matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz.

## Enunciato

Sia $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ una successione di numeri reali tale che:

* esiste un $N\in \mathbb {N} _{0}$ tale che $a_{N}\geq a_{N+1}\geq a_{N+2}\geq \cdots \geq a_{N+n}>0$ per ogni $n\in \mathbb {N} _{0}$ (quindi la successione $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ è monotona debolmente decrescente)
* $\lim _{k\to +\infty }{a_{k}}=0$.

Allora la serie

    $\sum _{k=0}^{+\infty }{(-1)^{k}a_{k}}$

è convergente.

## Dimostrazione

Poiché $\{a_{n}\}$ è decrescente, per ogni $n$ si ha che

    $s_{2n}\geq s_{2n}-a_{2n+1}+a_{2n+2}=s_{2n+2}$

da cui segue che

    $s_{0}\geq s_{2}\geq s_{4}\geq \cdots \geq s_{2n}\geq \cdots$

Similmente

    $s_{2n+1}\leq s_{2n+1}+a_{2n+2}-a_{2n+3}=s_{2n+3}$

e quindi

    $s_{1}\leq s_{3}\leq s_{5}\leq \cdots \leq s_{2n+1}\leq \cdots$

Si hanno quindi due successioni: una decrescente formata dai termini pari delle somme parziali e una crescente formata dai termini dispari delle somme parziali. Inoltre $s_{2n+1}=s_{2n}-a_{2n+1}\leq s_{2n}$ e quindi ogni elemento della seconda successione è minore di ogni elemento della prima. Possiamo porre $D=\lim _{n\to \infty }s_{2n+1}$ e $P=\lim _{n\to \infty }s_{2n}$. Per ogni $n$ si ha

    $s_{2n+1}\leq D\leq P\leq s_{2n}$

perché se fosse $D>P$ potremmo trovare delle somme parziali di termine pari a una distanza minore di ogni $\varepsilon$ da $P$ e termine dispari distanti da $D$ meno di $\varepsilon$; per $\varepsilon$ sufficientemente piccolo si avrebbe allora un termine dispari maggiore di uno pari, cosa che abbiamo già dimostrato essere impossibile.

Inoltre la distanza tra $P$ e $D$ diventa più piccola di ogni $a_{n}$; ma tale successione tende a 0, e quindi così fa $P-D$ ovvero $P=D$. Poniamo $S=P=D$. Essendo $S$ il limite delle somme parziali pari, per la definizione di limite per ogni $\varepsilon >0$ esiste $m$ tale che $|S-s_{n}|<\varepsilon$ per ogni $n>m$ (con $n$ pari). Allo stesso modo, essendo $S$ il limite delle somme parziali dispari, esiste $k$ tale che la disuguaglianza vale per ogni $n$ dispari maggiore di $k$. Quindi prendendo $h=\mathrm {max} \{m,k\}$ la disuguaglianza vale per ogni $n>h$, per ogni $n$ pari e dispari, e si ha quindi

    $\lim _{n\to \infty }s_{n}=S$

e la serie converge.

### Osservazioni sulla dimostrazione

* Dalla dimostrazione, abbiamo che $|S-s_{n}|\leq a_{n+1}$; il che significa che, approssimando la somma della serie con la somma parziale $n$-esima, l'errore commesso non supera il termine successivo trascurato (preso in modulo). Ad esempio, si consideri la serie:

       $\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}};$
    calcolando la somma dei primi dieci termini, si ottiene
       $s_{10}=\sum _{k=1}^{10}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\approx -0,6456,$
    mentre la somma infinita vale esattamente
       $S=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}=-\ln {2}\approx -0,6931,$
    e si nota che
       $|s_{10}-S|\approx |-0,6456+0,6931|=0,0475<0,090909\ldots ={\frac {1}{11}}.$
* Se l'ipotesi che la successione sia non crescente viene sostituita con quella (più debole) di successione asintoticamente non crescente (cioè $a_{k}\geq 0\ \forall k,\lim _{k\to +\infty }{a_{k}}=0,a_{k}\sim b_{k}$ dove $\{b_{k}\}$ soddisfa le ipotesi del teorema di Leibniz), il teorema non è più valido.

## Dimostrazione alternativa

Il criterio di Leibniz può essere visto come corollario del criterio di Dirichlet per le serie.

