Metodo di Laguerre
# Metodo di Laguerre

Il metodo di Laguerre è un metodo iterativo per trovare le radici reali di un polinomio, introdotto dal matematico francese Edmond Nicolas Laguerre.

La formula per l'iterazione è:

$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {nP(x_{k})}{P'(x_{k})\pm {\sqrt {(n-1)[(n-1)(P'(x_{k}))^{2}-nP(x_{k})P''(x_{k})}}]}}$,

dove $x_{0}$ è il valore iniziale scelto per innescare la procedura iterativa, $P(x)$ è il polinomio, $P'(x)$ è la sua derivata prima, $P''(x)$ è la sua derivata seconda, $n$ è il grado del polinomio $P(x)$. Il segno scelto per la radice quadrata deve essere concorde a quello di $P'(x_{k})$ quando non nullo, per ottenere il rapporto minore.

Cambiando il valore iniziale di $x_{0}$ è possibile ricercare, se esiste, una radice reale diversa.

Esempio: Sia $P(x)=4x^{4}+3x^{3}-5x^{2}-4x+1$ quindi $P'(x)=16x^{3}+9x^{2}-10x-4$ e $P''(x)=48x^{2}+18x-10$ Per $x_{0}=0$ $x_{1}=0,1975496259559987...$ $x_{2}=0,2055025290836081...$ $x_{3}=0,2055031204717088...$ $x_{4}=0,2055031204717088...$ per $x_{0}=1$ $x_{1}=1,0755226110163770...$ $x_{2}=1,0756019089596258...$ $x_{3}=1,0756019089597004...$ $x_{4}=1,0756019089597004...$

La convergenza del metodo di Laguerre è molto veloce.

