Answer set programming
# Answer set programming

L'answer set programming (ASP) è una forma di programmazione logica di tipo dichiarativo utilizzato per problemi di ricerca complessi (in primis NP-difficili), basata sulla semantica del modello stabile (o answer set). In ASP i problemi di ricerca sono ridotti al calcolo di modelli stabili; per generare tali modelli vengono utilizzati programmi appositi noti come answer set solvers. Il linguaggio tipico di questo modello di programmazione è l'Answer Set Programming in Logic (AnsProlog), sottoinsieme del Prolog, ed è impiegato in particolare per risolvere problemi di pianificazione (planning) e rappresentazione della conoscenza.

## Storia

Il metodo di planning proposto nel 1993 da Dimopoulos, Nebel e Köhler, basato sulla stretta relazione tra le pianificazioni e i modelli stabili, costituì uno dei primi esempi di answer set programming. L'utilizzo di answer set per risolvere problemi di ricerca fu proposto come nuovo paradigma da Marek e Truszczyński, la cui teoria apparve inizialmente nel 1999 su due differenti pubblicazioni. L'espressione "answer set" come sinonimo di "stable model" fu proposta da Lifschitz.

## AnsProlog

Lparse è il nome del programma che è stato creato in origine per l'answer set solver smodels. Il linguaggio che Lparse accetta è AnsProlog. Un programma in AnsProlog consiste di regole scritte nella forma:

Il simbolo :- ("if") è omesso se <body> è vuoto; tali regole, come in Prolog, vengono chiamati fatti.

Un altro tipo di costrutto è la scelta. Ad esempio, la regola:

afferma: scegli arbitrariamente quali fra gli atomi $p,q,r$ includere nel modello stabile. Un programma contenente solo questa regola ha 8 modelli stabili, sottinsiemi di $\{p,q,r\}$. Il significato di questa regola nella semantica del modello stabile è rappresentato dalla formula proposizionale:

    $(p\lor \neg p)\land (q\lor \neg q)\land (r\lor \neg r).$

È possibile, inoltre, imporre dei vincoli alle regole di scelta, come:

Tale regola afferma: scegli almeno uno degli atomi $p,q,r$, ma non più di due. Il significato in logica proposizionale è dato dalla seguente formula:

    $(p\lor \neg p)\land (q\lor \neg q)\land (r\lor \neg r)\land \,(p\lor q\lor r)\land \neg (p\land q\land r).$

I vincoli di cardinalità possono essere usati anche nel corpo della regola, ad esempio:

Questo vincolo impone al programma di eliminare i modelli stabili contenenti almeno due atomi appartenenti all'insieme $\{p,q,r\}$. Il significato in logica proposizionale è dato dalla seguente formula:

    $\neg ((p\land q)\lor (p\land r)\lor (q\land r)).$

Le variabili (con iniziale maiuscola, come in Prolog) sono utilizzate per abbreviare collezioni di regole che seguono lo stesso schema, oppure per abbreviare collezioni di atomi all'interno della stessa regola. Ad esempio, il programma:

ha lo stesso significato di:

Il programma:

è un'abbreviazione di:

Un intervallo è espresso nella forma:

dove start e end sono espressioni aritmetiche dal valore costante. Un intervallo è un'abbreviazione notazionale per definire domini numerici. Ad esempio, il fatto:

è un'abbreviazione di:

## Generazione di modelli stabili

Utilizzando il software Lparse per generare un modello stabile del programma memorizzato nel file dal titolo <filename> si utilizza il comando:

L'opzione 0 indica alla funzione smodels di trovare tutti i modelli stabili del programma. Ad esempio, dato il seguente programma contenuto nel file "test":

utilizzando il comando

verrà prodotto l'output

## Applicazioni

L'answer set programming, oltre ad avere riscontro nella rappresentazione della conoscenza, può essere anche utilizzato per risolvere problemi computazionalmente difficili, come il problema della colorazione dei grafi, del cammino hamiltoniano o di soddisfacibilità booleana.

### Colorabilità

La $n$-colorabilità di un grafo $G=\left\langle V,E\right\rangle$ è una funzione $color:V\to \{1,\dots ,n\}$ tale che $color(x)\neq color(y)$ per ogni coppia di vertici adiacenti $(x,y)\in E$. È possibile utilizzare ASP per trovare una $n$-colorazione di un dato grafo, o dimostrare che essa non esiste.

Per fare ciò, basta un breve programma in AnsProlog:

Nella riga 1 vengono definiti $n$ colori differenti. La regola presente in riga 2 si occupa di colorare i vertici, ovvero assegna un colore $i$ ad ogni vertice $x$. Il vincolo nella riga 3 proibisce di assegnare lo stesso colore a due vertici $x$ e $y$ se sono connessi da un arco del grafo.

Definendo un grafo $G$ nella maniera seguente:

ed eseguendo il comando smodels, con il valore numerico di $n$ specificato a linea di comando, allora, se esiste una soluzione, verranno stampati in output degli atomi dalla forma color(. , .), i quali indicano le assegnazioni colore-vertice da eseguire per ottenere la colorazione di cardinalità indicata.

### Cammino hamiltoniano

Dato un grafo orientato $G=\left\langle V,E\right\rangle$ e uno specifico vertice di partenza $v_{s}\in V$, il cammino hamiltoniano su tale grafo è un percorso che ne includa tutti i vertici partendo da $v_{s}$.

In Prolog il problema può essere modellato come segue:

