Curvatura principale
# Curvatura principale

In geometria differenziale, ad ogni punto di una superficie differenziabile nello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{3}$ sono associate due curvature principali: queste sono il massimo ed il minimo della curvatura di una curva contenuta nella superficie e passante per il punto.

La curvatura gaussiana e la curvatura media sono ottenute rispettivamente come prodotto e come media aritmetica delle due curvature principali.

## Definizione

La curvatura di una curva in un punto è il reciproco del raggio del cerchio osculatore nel punto.

Sia $x$ un punto in una superficie differenziabile $X$ contenuta in $\mathbb {R} ^{3}$, e ${\vec {n}}$ una normale alla superficie scelta in $x$. Ciascun piano contenente la normale interseca $X$ vicino ad $x$ in una curva $\gamma$. La curvatura di $\gamma$ in $x$ ha anche un segno: questo è positivo se la curva gira nella stessa direzione di ${\vec {n}}$ (cioè se il cerchio osculatore sta rispetto ad $X$ nello stesso lato di ${\vec {n}}$), e negativa altrimenti.

Ogni vettore ${\vec {v}}$ di lunghezza unitaria del piano tangente in $x$ a $X$ definisce il piano passante per ${\vec {n}}$ e ${\vec {v}}$. I vettori tangenti di lunghezza unitaria formano una circonferenza $C$, la curvatura è quindi una funzione

    $f\colon C\to \mathbb {R} .$

Poiché $C$ è compatto e la funzione è continua, questa ha un massimo ed un minimo (teorema di Weierstrass). I valori massimo e minimo sono le curvature principali della superficie $X$ in $x$.

## Proprietà

### Direzioni principali ortogonali

Se le curvature principali sono distinte, cioè se la funzione $f$ non è costante, il punto di massimo è assunto su due direzioni opposte di $C$, e anche il punto di minimo. Le direzioni principali sono le due rette del piano tangente in $x$ contenenti rispettivamente i punti di minimo e di massimo. Queste sono inoltre ortogonali, come dimostrato da Eulero nel 1760.

Esempi di superfici in cui la $f$ è costante e quindi le direzioni principali non sono definite sono il piano e la sfera. In questo caso la funzione $f$ è costantemente zero (nel piano) o un valore $k>0$ (la sfera).

### Piani ortogonali

Il piano tangente in $x$ ed i piani normali alle due direzioni principali (se definite) formano una terna di piani ortogonali a due a due.

### Curvatura gaussiana e media

Il prodotto delle due curvature principali $k_{1}k_{2}$ è la curvatura gaussiana della superficie in $x$. La media aritmetica $(k_{1}+k_{2})/2$ è la curvatura media. Entrambe queste quantità sono importanti nello studio della geometria differenziale di una superficie.

### Dipendenza dalla normale

Se la normale è scelta nel senso opposto, la funzione $f$ e quindi le curvature principali $k_{1}$ e $k_{2}$ cambiano di segno. Le direzioni principali non cambiano (vengono scambiate), la curvatura gaussiana non cambia, mentre quella media cambia di segno.

## Tipologia di punti

Esistono alcuni aggettivi che descrivono le curvature principali di un punto $x$. Un punto $x$ è:

* ellittico se le curvature principali hanno lo stesso segno. In questo caso, la superficie è convessa in un intorno di $x$;
* parabolico se una curvatura principale è nulla.
* iperbolico se le curvature principali hanno segni opposti.
* ombelicale se le curvature principali coincidono. In questo caso, non sono definite le direzioni principali, e si intende che tutte le direzioni sono principali.

Un punto è ellittico, parabolico o iperbolico se la curvatura gaussiana è rispettivamente positiva, nulla o negativa.

## Esempi

### Superfici a curvatura costante

Se $X$ è una sfera di raggio $r$ o un piano, tutti i punti sono ombelicali e con curvature principali ovunque $1/r$ (nella sfera) oppure 0 (nel piano).

### Il piano ed il cilindro

In un cilindro di raggio $r$, tutti i punti sono parabolici, e hanno curvature principali $0$ e $1/r$. La curvatura gaussiana è però sempre zero in ogni punto, come nel piano: arrotolando un foglio di carta si cambiano le sue curvature principali ma non la sua curvatura gaussiana. Questo è un effetto del fatto che la curvatura gaussiana è intrinseca (dipende solo dalla superficie) mentre le curvature principali sono estrinseche (dipendono da come la superficie è posta nello spazio).

## Linee di curvatura

Una linea di curvatura in una superficie è una curva che è in ogni punto tangente ad una direzione principale. Per ogni punto non-ombelicale passano localmente esattamente due linee di curvatura.

