Fase di Berry
# Fase di Berry

La fase di Berry, introdotta dal fisico britannico Michael Berry, è la fase acquistata da uno stato quantistico a seguito di una variazione adiabatica ciclica dell'Hamiltoniana descrivente la dinamica del sistema. Tale fase è anche detta fase geometrica poiché dipende dalla geometria dello spazio degli stati quantistici per il sistema in esame, in contrapposizione alla fase dinamica che è acquistata da un autostato della Hamiltoniana durante la sua evoluzione temporale, dettata dalla soluzione dell'equazione di Schrödinger.

## Definizione

Si consideri un sistema descritto da un'Hamiltoniana ${\mathit {H}}$ e da uno stato quantistico $|\psi \rangle$. Supponiamo che ${\mathit {H}}$ dipenda da un parametro λ reale e che esso vari nel tempo. Partendo da una situazione iniziale che vede il sistema nell'm-esimo autostato dell'Hamiltoniana ${\mathit {H}}{\bigl\lambda (t_{0}){\bigr )}$, se la variazione del parametro è sufficientemente lenta, il teorema adiabatico stabilisce che a un tempo successivo t il sistema si troverà ancora nell'm-esimo autostato della nuova Hamiltoniana $\mathrm {H} {\bigl\lambda (t){\bigr )}$.

In formule:

    ${\bigl |}\psi (t){\bigr \rangle }=e^{i\theta (t)}{\bigl |}\psi (t_{0}){\bigr \rangle }=e^{i\theta (t)}{\bigl |}m(t_{0}){\bigr \rangle }=\mathrm {exp} {\bigg{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}E_{m}{\bigl\lambda (t'){\bigr )}\,\mathrm {d} t'{\bigg )}e^{i\gamma (t)}{\bigl |}m(t_{0}){\bigr \rangle }$,

dove nell'ordine sono stati usati il teorema adiabatico, la condizione iniziale e una conveniente riscrittura della fase acquistata per distinguere il contributo dinamico da quello geometrico $\gamma (t)$; quest'ultimo definisce la fase di Berry.

## Spin in campo magnetico

Per come è stata qui definita, la fase di Berry è un semplice artificio formale, dato che non è garantito che essa sia diversa da zero per qualche reale sistema fisico. Un esempio concreto in cui tale fase si manifesta si ottiene considerando una particella di spin $l$ interagente in un campo magnetico $B$. L'Hamiltoniana di tale interazione è data da

    ${\mathit {H}}=\alpha {\vec {S}}\cdot {\vec {B}}$,

dove $\alpha$ è una costante opportuna, ${\vec {S}}$ è lo spin della particella e ${\vec {B}}$ il campo; in questo caso, il campo viene considerato come il parametro per l'Hamiltoniana. Supponiamo che all'inizio esso sia parallelo all'asse $z$ e che il sistema si trovi nell'autostato di $S_{z}$ relativo all'autovalore $m\hbar$ (che è anche autostato dell'energia); si può dimostrare allora che la fase di Berry del campo associata a un cammino chiuso $C$ è data da

    $\gamma (C)=m\int _{\Sigma }{\frac {\mathrm {d} B}{B^{2}}}=m\Omega (\Sigma )$

dove $\Sigma$ è una superficie che ha $C$ come frontiera, e si è indicato con $\Omega (\Sigma )$ l'angolo solido di tale superficie.

## Applicazioni

La fase di Berry è stata utilizzata per descrivere l'effetto Aharonov-Bohm e l'effetto Jahn-Teller.

