Mappa esponenziale
# Mappa esponenziale

In geometria differenziale, la mappa esponenziale è una funzione che mappa lo spazio tangente in un punto di una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana sulla varietà stessa. La mappa esponenziale è utile a rappresentare un intorno di un punto tramite coordinate geodetiche.

## Definizione

Sia $p$ un punto in una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana $M$. La mappa esponenziale è una mappa

    ${\rm {exp}}_{p}:U\to M$

definita su un insieme aperto $U$ dello spazio tangente $T_{p}$ in $p$ contenente l'origine, nel modo seguente.

Per ogni vettore $v$ non nullo dello spazio tangente, esiste un'unica geodetica

    $\gamma _{v}:(-a,b)\to M$

tale che $\gamma _{v}(0)=p$ e $\gamma '_{v}(0)=v$. La geodetica è qui descritta nel suo dominio massimale: i numeri $a$ e $b$ sono positivi o $+\infty$. Se $b>1$, si definisce ${\rm {exp}}_{p}(v)=\gamma _{v}(1)$.

Si estende infine la mappa esponenziale all'origine, ponendo ${\rm {exp}}_{p}(0)=p$. I vettori su cui ${\rm {exp}}_{p}$ è definita formano un aperto $U$ contenente l'origine.

## Proprietà

### Geodetiche

La mappa esponenziale mappa ogni retta passante per l'origine sulla geodetica avente come tangente quella retta. Se la geodetica può essere estesa fino ad avere lunghezza infinita in ambo i sensi, la mappa è definita su tutta la retta; altrimenti, la mappa è definita solo sul segmento aperto massimale su cui la geodetica può essere estesa.

### Completezza

Il teorema di Hopf-Rinow fornisce varie nozioni equivalenti di completezza per una varietà riemanniana. Tra queste, c'è la possibilità di prolungare indefinitivamente ogni geodetica. Segue quindi che se $M$ è completa la mappa esponenziale è definita su tutto lo spazio tangente

    ${\rm {exp}}:T_{x}\to M\,\!$

per ogni punto $x$ di $M$.

### Invertibilità locale

La mappa esponenziale è continua e differenziabile, con differenziale invertibile nell'origine. Per il teorema di invertibilità locale, esiste un intorno $V$ dell'origine in $T_{x}$ tale che

    $f|_{V}:V\to f(V)\,\!$

è un diffeomorfismo. La mappa esponenziale è cioè un diffeomorfismo locale nell'origine, ed è quindi utile a modellare la varietà $M$ localmente vicino a $x$.

### Raggio di iniettività

Benché lo sia in un intorno dell'origine, la mappa esponenziale non è però necessariamente globalmente iniettiva: il raggio di iniettività di una varietà riemanniana $M$ in $x$ è il massimo numero $R$ tale che la mappa

    $f|_{B_{R}}:B_{R}\to M$

ristretta alla palla di raggio $R$ centrata in zero è iniettiva. La palla è

    $B_{R}={\big \x\in T_{x}\ {\big |}\ |x|<R{\big \}}$

ove la norma $|x|$ di $x$ è data dal prodotto scalare definito dal tensore metrico.

## Esempi

### Varietà non completa

Se

    $M=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$

è lo spazio euclideo privato dell'origine, e $x$ è un qualsiasi punto di $M$, la mappa esponenziale non è mai definita su tutto il piano tangente $T_{x}$. Infatti non risulta definita sul vettore $-x$, poiché la geodetica uscente da $x$ in direzione $-x$ è definita soltanto fino a che questa non incontra l'origine. L'aperto $U$ è quindi tutto lo spazio privato di una semiretta.

## Coordinate geodetiche

Le coordinate geodetiche in un intorno di un punto $p$ sono definite tramite la mappa esponenziale.

### Definizione

Sia $p$ un punto di una varietà (pseudo-)riemanniana $M$. Lo spazio tangente $T_{p}M$ è dotato di un prodotto scalare definito positivo, dato dal tensore metrico. Lo spazio è quindi identificabile con lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$: per ottenere questa identificazione è sufficiente scegliere una base ortonormale.

Sia $U$ un intorno dell'origine nello spazio tangente $T_{p}M$ su cui la mappa esponenziale è un diffeomorfismo. Questo aperto è identificato con un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$. Conseguentemente, l'immagine $\operatorname {exp} (U)$ è identificata con questo aperto. L'identificazione fornisce un sistema di coordinate, detto geodetico o normale.

### Proprietà

Le coordinate geodetiche identificano un intorno aperto di $p$ con un intorno aperto dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$. Valgono le proprietà seguenti.

**Geodetiche**

Il punto $p$ è identificato con l'origine. Le geodetiche uscenti da $p$ sono identificate con le rette uscenti dall'origine.

**Tensore metrico**

Il tensore metrico $g$ in $p$ è rappresentato dalla matrice identità. Questo avviene però generalmente solo in $p$: se avviene in tutto l'intorno, la metrica in questo intorno è piatta, cioè senza curvatura.

Più precisamente, il tensore metrico è approssimato dalla metrica Euclidea al primo ordine:

    $g_{ij}=\delta _{ij}+O(|x|^{2}).$

In particolare, si annullano le derivate prime del tensore metrico:

    ${\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0.$

**Simboli di Christoffel e derivata covariante**

I simboli di Christoffel si annullano in $p$:

    $\Gamma _{jk}^{i}(p)=0.$

La derivata covariante nel punto $p$ quindi coincide con la derivata parziale.

