Armoniche sferiche
# Armoniche sferiche

In analisi matematica, le armoniche sferiche sono un insieme ortogonale di soluzioni dell'equazione di Legendre, introdotte per la prima volta da Laplace nel 1782. Sono importanti per esempio nel calcolo degli orbitali atomici, nella rappresentazione del campo gravitazionale dei pianeti e dei campi magnetici delle pulsar, e nella caratterizzazione della radiazione di fondo. Nella grafica 3D, giocano un ruolo determinante nell'illuminazione globale e nel riconoscimento di forme 3D. Sono anche alla base dei sistemi di geodesia utilizzati nell'EGM96, il geoide standard di riferimento del WGS84.

Le armoniche sferiche sono funzioni complesse continue limitate delle variabili angolari $\theta$ e $\varphi$. Sono importanti in molti campi teorici e applicativi, in particolare in meccanica quantistica, nel caso di moti centrali (per esempio nel calcolo delle configurazioni elettroniche di un atomo), e nell'approssimazione del campo gravitazionale terrestre.

## Definizione

Le soluzioni dell'equazione di Legendre sono di tipo polinomiale (avendo posto $l$ intero positivo) e sono una generalizzazione dei polinomi di Legendre che sono ottenibili per $m=0$. Tali soluzioni sono dette polinomi di Legendre associati e hanno la forma:

    $P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}P_{l}(x)}{dx^{m}}},$

dove $P_{l}(x)$ sono appunto i polinomi di Legendre. In particolare si definiscono armoniche sferiche o funzioni sferiche le funzioni

    $Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )={(-1)^{\frac {m+|m|}{2}}}\left\{{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\right\}^{\frac {1}{2}}P_{l}^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },$

con la condizione $|m|\leq l.$

Le armoniche sferiche, scritte in coordinate cartesiane, assumono la forma di polinomi complessi omogenei di grado $l.$

## Proprietà delle armoniche sferiche

Sia ${\hat {n}}$ un versore, quindi un oggetto geometrico individuato dalle coordinate $(\theta ,\varphi ).$

* Complesso coniugato

    $\left[Y_{l}^{m}({\hat {n}})\right]^{\star }=(-1)^{m}Y_{l}^{-m}({\hat {n}}).$
* Parità totale. Sotto inversione di tutte le coordinate $x\to -x,y\to -y,z\to -z$ ovvero $\theta \to \pi -\theta ,\varphi \to \varphi +\pi$ le armoniche sferiche sono dispari o pari a seconda di $l$:

    $PY_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$
* Parità nel piano $xy$. Sotto inversione delle sole coordinate $x,y$ le armoniche sferiche sono pari o dispari a seconda di $m$:

    $P_{xy}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$
* Parità lungo $z$. Sotto inversione della sola $z$, $z\to -z$:

    $P_{z}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\varphi )=(-1)^{l+m}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$

poiché $P_{z}=P\,P_{xy}$

## Armoniche sferiche e armoniche cilindriche

Le funzioni di Bessel sono legate alle funzioni di Bessel cilindriche $J_{\alpha }$:

    $j_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{\alpha +1/2}(x).$

Le funzioni di Neumann sono legate alle funzioni di Neumann cilindriche $y_{\alpha }$:

    $y_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{\alpha +1/2}(x)=(-1)^{\alpha +1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-\alpha -1/2}(x).$

Le funzioni di Hankel sono definite in modo analogo alle funzioni di Hankel cilindriche $H_{\alpha }$:

    $h_{\alpha }^{(1)}(x)=j_{\alpha }(x)+iy_{\alpha }(x)$
    $h_{\alpha }^{(2)}(x)=j_{\alpha }(x)-iy_{\alpha }(x)$

## Le prime armoniche sferiche

Le prime armoniche sferiche sono:

### Armoniche sferiche con l = 0

    $Y_{0}^{0}(x)={\frac {1}{2}}{\sqrt {1 \over \pi }}$

### Armoniche sferiche con l = 1

    ${\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}e^{-i\varphi }\sin \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}{(x-iy) \over r}\\Y_{1}^{0}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over \pi }}\cos \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over \pi }}{z \over r}\\Y_{1}^{1}(x)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}e^{i\varphi }\sin \theta &&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}{(x+iy) \over r}\end{aligned}}$

### Armoniche sferiche con l = 2

    ${\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{-2i\varphi }\sin ^{2}\theta &&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(x^{2}-2ixy-y^{2}) \over r^{2}}\\Y_{2}^{-1}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{-i\varphi }\sin \theta \cos \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(xz-iyz) \over r^{2}}\\Y_{2}^{0}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}(3\cos ^{2}\theta -1)&&={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}{(-x^{2}-y^{2}+2z^{2}) \over r^{2}}\\Y_{2}^{1}(x)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{i\varphi }\sin \theta \cos \theta &&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(xz+iyz) \over r^{2}}\\Y_{2}^{2}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{2i\varphi }\sin ^{2}\theta &&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(x^{2}+2ixy-y^{2}) \over r^{2}}\end{aligned}}$

## Meccanica quantistica

Le armoniche sferiche sono importanti in meccanica quantistica perché sono autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale $L^{2}$ , della sua componente lungo $z$ e dell'operatore parità:

    $Y_{l,m}(\theta ,\varphi )\equiv \langle \theta ,\varphi |l,m\rangle .$

E si ha:

    $L^{2}Y_{l}^{m}={l(l+1)}\hslash ^{2}Y_{l}^{m}$
    $L_{z}Y_{l}^{m}=m\hslash Y_{l}^{m}.$

Inoltre poiché la parte angolare del laplaciano può essere scritta in funzione di $L$:

    $\nabla _{\Omega }^{2}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}=-{\frac {1}{\hslash ^{2}r^{2}}}L^{2},$

possiamo scrivere le soluzioni dell'equazione di Schrödinger come il prodotto di una funzione radiale per una armonica sferica. Infatti il momento angolare è il generatore delle rotazioni e in un sistema a simmetria sferica deve essere una costante del moto:

    $[H,L]=0.$

Le armoniche sferiche rappresentano l'ampiezza di probabilità che un sistema caratterizzato dai numeri quantici dell'operatore momento angolare $l$ e $m$ si trovi in una posizione la cui direzione è definita dai valori di $\theta ,\varphi$, angoli delle coordinate sferiche.

