Successione di interi frattale
# Successione di interi frattale

Una successione di interi è detta frattale se cancellando la prima occorrenza di ogni numero si ottiene di nuovo la sequenza iniziale.

Consideriamo per esempio la successione:

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2,...

Essa è formata elencando i numeri naturali, fermandosi ad ogni nuovo valore inserito e ripartendo dall'inizio:

    1
    1, 2
    1, 2, 3
    1, 2, 3, 4

Applicando la definizione si ha (in corsivo i numeri cancellati):

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2,...

## Particolari tipi di successioni frattali

La successione frattale in esempio è anche incrementale, ossia, se si togliessero tutti gli 1 si otterrebbe la stessa successione aumentata di 1.

Si dice trasformazione ordinale di una successione di interi a(n) un'altra successione b(n) i cui termini b(k) rappresentano il numero dei valori uguali ad a(k) nell'insieme {a(1), ..., a(n)} compreso. Riprendendo come esempio la successione iniziale ed operando la trasformazione ordinale si ottiene:

1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 11, 10...

Si può dimostrare che una successione di interi è frattale se la sua trasformata ordinale è un frattale incrementale.

Togliendo tutti gli 1 dall'ultima successione si ottiene:

2, 3, 2, 4, 3, 2, 5, 4, 3, 2, 6, 5, 4, 3, 2, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 11, 10,...

questa è la successione di partenza incrementata di 1. Quindi la trasformata ordinale è frattale incrementale e perciò la sequenza iniziale è frattale.

Sono dette frattali doppie le successioni che sono sia frattali che frattali incrementali. Un altro esempio di successione frattale doppia:

1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, ...

