Proprietà di cancellazione
# Proprietà di cancellazione

In algebra, sono dette proprietà di cancellazione o di semplificazione le seguenti: sia $\left(G;\star \right)$ un gruppo; allora presi tre elementi $a,b,c\in G$ valgono le implicazioni

* $a\star b=a\star c\implies b=c$ (cancellazione a sinistra)
* $a\star b=c\star b\implies a=c$ (cancellazione a destra)

Le due proprietà sono equivalenti se $G$ è un gruppo abeliano.

Per dimostrare tale proprietà è sufficiente tenere presente la proprietà associativa, il fatto che in un gruppo ogni elemento ha elemento inverso e che esiste l'elemento neutro. Ad esempio, per provare la legge di cancellazione a sinistra è sufficiente osservare che se $a\star b=a\star c$ allora

    $b=e\star b=(a^{-1}\star a)\star b=a^{-1}\star (a\star b)=a^{-1}\star (a\star c)=(a^{-1}\star a)\star c=e\star c=c,$

dove abbiamo indicato con $e$ l'elemento neutro di $G$. La legge di cancellazione a destra si prova in modo del tutto analogo.

È importante osservare che le proprietà di cancellazione possono valere anche in insiemi che non sono gruppi, e quindi la validità delle proprietà di cancellazione in un insieme $\left(S;\star \right)$ non è in generale condizione sufficiente per stabilire che $\left(S;\star \right)$ è gruppo.

Un magma in cui vale la proprietà di cancellazione a sinistra (rispettivamente a destra) si dice cancellativo a sinistra (rispettivamente a destra). Un quasigruppo è sempre cancellativo.

## Esempi

* I numeri naturali formano un monoide cancellativo rispetto all'addizione.
* L'insieme delle matrici quadrate con il prodotto non soddisfa tale proprietà: se $AB=AC$ e $A\neq 0$, allora la cancellazione vale solo se $A$ è invertibile. Se invece $\det(A)=0$, allora l'equazione matriciale $AX=B$ non ha un'unica soluzione.
