Successione complessa
# Successione complessa

In matematica, una successione complessa è una successione composta da numeri o funzioni complesse.

## Successione numerica

Una successione numerica complessa è una successione di infiniti termini complessi:

    $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n},\dots$

Si dice che una successione complessa ha limite $z$ se per ogni $\varepsilon >0$ esiste $n_{0}\in \mathbb {N}$, con $n_{0}>0$, tale per cui:

    $|z_{n}-z|<\varepsilon$

quando $n>n_{0}$. Si scrive:

    $\lim _{n\to \infty }z_{n}=z$

Geometricamente questo significa che, per valori sufficientemente grandi di n, i punti $z_{n}$ si trovano tutti all'interno di un intorno circolare di centro $z$ e raggio $\varepsilon$.

Supposto che i termini della successione siano $z_{n}=x_{n}+i\cdot y_{n}$ e il limite sia $z=x+i\cdot y$, allora si ha:

    $\lim _{n\to \infty }z_{n}=z$

se e solo se:

    $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\qquad \lim _{n\to \infty }y_{n}=y$

cioè se la parte reale ed immaginaria dei termini della successione tendono singolarmente alla parte reale ed immaginaria del limite.

Infatti, quando $n>n_{1}$ e quando $n>n_{2}$ le due successioni reali soddisfano rispettivamente:

    $|x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}\qquad |y_{n}-y|<{\frac {\varepsilon }{2}}$

ed è sufficiente scegliere il più grande degli indici $n_{0}=\max(n_{1},n_{2})$ affinché valgano entrambi i limiti. Allora, secondo la definizione:

    $|(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|\leq |x_{n}-x|+|y_{n}-y|=|z_{n}-z|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$

quando $n>n_{0}$. Viceversa, se per $n>n_{0}$ si ha:

    $|(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon$

allora si ha anche:

    $|x_{n}-x|\leq |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon \qquad |y_{n}-y|\leq |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon$

## Successioni di funzioni

Sia $f_{n}(z):E\to \mathbb {C}$ una successione di funzioni complesse su un dominio $A$ del piano complesso. Si dice che $\{f_{n}\}$ converge puntualmente alla funzione $f(z)$ in $A$ se:

    $\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)=f(z)\qquad \forall z\in A$

Si dice che converge uniformemente alla funzione $f(z)$ in $A$ se:

    $\lim _{n\to \infty }\sup _{E}\mid f_{n}(z)-f(z)\mid =0$

Si vede facilmente che se si verifica:

    $f_{n}(z)=u_{n}(x,y)+i\cdot v_{n}(x,y)\qquad f(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$

allora $\{f_{n}\}\to f$ rispettivamente puntualmente e uniformemente se e solo se $u_{n}\to u$ e $v_{n}\to v$ rispettivamente puntualmente e uniformemente .

## Criterio di Cauchy

Il criterio di Cauchy sulle successioni di funzioni complesse uniformemente convergenti afferma che $\{f_{n}\}\to f$ se e solo se esiste un numero $M\geq 0$ tale che:

    $f_{n}(z)\leq M\qquad \forall z\in A$

e tale che per ogni $\varepsilon >0$ esiste un indice $n_{\varepsilon }$ tale per cui:

    $\sup _{E}\mid f_{n}(z)-f_{m}(z)\mid \leq \varepsilon \qquad \forall n,m\geq n_{\varepsilon }$
