Dominio d'integrità
# Dominio d'integrità

In algebra, un dominio d'integrità è un anello commutativo con unità tale che $0\neq 1$ in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non nulli è un elemento non nullo. I domini di integrità sono estensioni degli interi e forniscono un insieme naturale per lo studio della divisibilità.

In altre parole, un dominio d'integrità è un anello commutativo privo di divisori dello zero. Più precisamente l'anello $(A;+,\cdot )$ è un dominio d'integrità se valgono le seguenti condizioni:

* $a\cdot b=b\cdot a\ \ \forall a,b\in A$
* $a\cdot b=0\Rightarrow a=0\ \lor \ b=0$

La seconda legge viene detta legge di annullamento del prodotto. Equivalentemente, un dominio di integrità può essere definito come un anello commutativo in cui l'ideale nullo $\{0\}$ è primo, o come sottoanello di un qualche campo.

La condizione che $0\neq 1$ serve all'unico scopo di escludere l'anello banale $\{0\}$ con un solo elemento.

## Esempi

### Domini d'integrità

* L'esempio tipico è l'anello $\mathbb {Z}$ degli interi.
* Ogni campo è un dominio di integrità. Viceversa, ogni dominio di integrità artiniano è un campo. In particolare, gli unici domini di integrità finiti sono i campi finiti.
* L'anello $D[x]$ dei polinomi in $x$ a coefficienti in un dominio di integrità $D$ è anch'esso un dominio di integrità. Per esempio, l'anello $\mathbb {Z} [x]$ dei polinomi a coefficienti interi è un dominio d'integrità; così come l'anello $\mathbb {R} [x,y]$ dei polinomi in due variabili a coefficienti reali.
* L'insieme di tutti i numeri reali della forma $a+b{\sqrt {2}}$ con $a$ e $b$ interi è un sottoanello di $\mathbb {R}$ e quindi un dominio d'integrità. Un esempio simile è dato dal sottoanello dei numeri complessi della forma $a+bi$ con $a$ e $b$ interi (gli interi gaussiani).
* Gli interi p-adici.
* Se $U$ è un sottoinsieme aperto connesso del piano complesso $\mathbb {C}$, allora l'anello $H(U)$ delle funzioni olomorfe $f\colon U\to \mathbb {C}$ è un dominio d'integrità.
* Se $A$ è un anello commutativo e $P$ è un ideale in $A$, allora l'anello quoziente $A/P$ è un dominio d'integrità se e solo se $P$ è un ideale primo.

### Anelli che non sono domini d'integrità

* Il gruppo ciclico finito con $n$ elementi ha anche una ovvia struttura di anello commutativo. Se $n$ è un numero primo, questo anello è un campo, e quindi anche un dominio di integrità. Se invece $n$ non è primo, l'anello non è un dominio di integrità. Infatti: poiché $n$ non è primo esistono $a<n$ e $b<n$ tali che $n=ab$, e tale uguaglianza nel gruppo diventa $0=ab$, con $a$ e $b$ diversi da zero.
* Un anello non commutativo non è un dominio di integrità. Ad esempio, l'anello delle matrici $n\times n$ generalmente non è commutativo.

## Campo delle frazioni

Se $A$ è un dominio d'integrità, il più piccolo campo $\mathrm {Quot} (A)$ che contiene $A$ come sottoanello è unicamente determinato a meno di isomorfismi ed è chiamato campo delle frazioni o campo quoziente di $A$.

Il campo quoziente può essere costruito esplicitamente, quozientando l'insieme delle coppie del prodotto cartesiano di $A$, scritte nella forma $a/b$, con $a$ e $b$ in $A$ e $b\neq 0$, tramite la relazione di equivalenza $a/b\sim c/d$ se e solo se $ad=bc$ e munendolo delle operazioni

    $a/b+c/d=(ad+bc)/bd$
    $(a/b)(c/d)=ac/bd$.

Il campo delle frazioni degli interi è il campo dei numeri razionali: in questo caso la relazione di equivalenza è quella solita, per cui $4/3$ e $8/6$ sono in verità lo stesso numero razionale. Il campo delle frazioni di un campo è il campo stesso.

## Altre proprietà

Sia $A$ un dominio d'integrità.

* Se $a$ e $x$ sono due elementi di $A$ tali che $ax=a$ e $a$ è diverso da zero, allora "si può semplificare" anche se $a$ non è invertibile, e ottenere $x=1$: infatti abbiamo $a(x-1)=0$ e quindi $x=1$ perché $A$ è un dominio d'integrità.
* La caratteristica di $A$ è zero o un numero primo.
* Se $A$ ha caratteristica prima $p$, allora $f(x)=x^{p}$ definisce un omomorfismo fra anelli iniettivo $f\colon A\to A$, detto omomorfismo di Frobenius.

## Divisibilità, elementi primi e irriducibili

In un anello qualsiasi si possono estendere i concetti di divisibilità e di numero primo presenti in $\mathbb {Z}$: in un anello commutativo le definizioni risultano però molto più semplici, e in un dominio di integrità il rapporto fra gli elementi e l'operazione di prodotto risulta essere più vicino a quanto accade in $\mathbb {Z}$.

### Divisibilità

Se $a$ e $b$ sono elementi di un anello commutativo $A$, diciamo che $a$ divide $b$ o $a$ è un divisore di $b$ o $b$ è un multiplo di $a$ se e solo se esiste un elemento $x$ in $A$ tale che $ax=b$. In questo caso scriviamo $a|b$. Abbiamo le seguenti proprietà:

* se $a|b$ e $b|c$, allora $a|c$;
* se $a$ divide $b$, allora $a$ divide ogni multiplo di $b$;
* se $a$ divide due elementi, allora $a$ divide anche la loro somma e la loro differenza.

Gli elementi che dividono $1$ sono le unità di $A$, e sono precisamente gli elementi invertibili di $A$. Le unità dividono ogni altro elemento.

Se $a|b$ e $b|a$, allora diciamo che $a$ e $b$ sono elementi associati; $a$ e $b$ sono associati se e solo se esiste un'unità $u$ tale che $au=b$.

### Elementi primi e irriducibili

Nel tentativo di estendere una definizione di numero primo da $\mathbb {Z}$ ad un anello commutativo $A$ qualsiasi, si nota subito che due definizioni equivalenti in $\mathbb {Z}$ possono non esserlo più in generale. Per questo motivo definiamo due concetti distinti, parlando di elementi irriducibili e primi.

* Un elemento $a$ di $A$ è irriducibile se non è un'unità e non può essere scritto come prodotto di due non-unità.
* Un elemento $p$ che non sia un'unità e diverso da zero di $A$ è primo se $p|ab$ implica $p|a$ oppure $p|b$, per ogni $a$ e $b$ in $A$.

Le due definizioni coincidono su $\mathbb {Z}$: un numero $n$ è irriducibile (o primo) se e solo se $n$ oppure $-n$ è un numero primo.

Se $A$ è un dominio d'integrità, un elemento primo è sempre irriducibile. Supponiamo infatti che $p=ab$ dove $a$ e $b$ sono elementi di $A$. Allora $p$ divide $ab$. Quindi $p|a$ oppure $p|b$ perché $p$ è primo. Supponiamo $p|a$, cioè $a=pq$. Quindi $p=pqb$, ovvero $p(1-qb)=0$. Poiché $A$ è un dominio di integrità e $p$ non è lo zero, abbiamo $qb=1$ e quindi $b$ è un'unità. Quindi $p$ è irriducibile.

In generale, un elemento irriducibile può non essere primo. Se $A$ è un dominio a fattorizzazione unica i due concetti sono equivalenti.

