Varietà ellittica
# Varietà ellittica

In geometria differenziale, una varietà ellittica è una varietà riemanniana a curvatura sezionale costantemente pari a 1. Esempi di varietà ellittiche in ogni dimensione sono la sfera $S^{n}$ e lo spazio proiettivo reale. In dimensione 3 un altro importante esempio è dato dalla famiglia degli spazi lenticolari. Se la varietà è completa, il suo rivestimento universale è sempre $S^{n}$.

Una varietà in cui la curvatura sezionale è invece costantemente nulla o -1 è detta rispettivamente piatta o iperbolica.

## Definizione

Una varietà ellittica è una varietà riemanniana con curvatura sezionale costantemente pari a 1, indipendentemente dal punto e dal piano su cui questa è valutata.

## Varietà ellittiche complete

Ogni varietà ellittica completa ha come rivestimento universale la sfera $S^{n}$, ed è quindi ottenuta da questa come spazio quoziente tramite l'azione di un gruppo $G$ di isometrie.

Tale azione deve essere libera e propriamente discontinua. Equivalentemente, il gruppo $G$ è un sottogruppo discreto del gruppo di isometrie di $S^{n}$ (quest'ultimo ha una topologia naturale).

Poiché $S^{n}$ è compatto, il grado del rivestimento è finito: quindi è finito anche il gruppo di isometrie, a sua volta isomorfo al gruppo fondamentale della varietà ellittica. Una varietà ellittica completa ha quindi gruppo fondamentale finito.

## Esempi

### Sfere

Come detto sopra, il modello importante di varietà ellittica è la sfera

    $S^{n}={\big \(x_{0},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\ {\big |}\ x_{0}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=1{\big \}}$

di dimensione $n$, dotata della metrica indotta dalla metrica euclidea dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n+1}$ che la contiene. La geometria di questa varietà è detta geometria sferica: si tratta di una delle più importanti geometrie non euclidee (soprattutto in dimensione $n=2$).

### Spazi proiettivi

Lo spazio proiettivo reale $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$ di dimensione $n$ può essere definito come il quoziente

    $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}=S^{n}/_{\sim }$

della sfera tramite la relazione $\sim$ che identifica ogni punto con il suo punto antipodale. Poiché la mappa che manda ogni punto nell'antipodale è effettivamente una isometria di $S^{n}$, il quoziente eredita effettivamente una metrica ellittica.

Lo spazio proiettivo con questa metrica dà luogo ad una geometria chiamata geometria ellittica.

### Spazi lenticolari

In dimensione 2, le uniche varietà ellittiche sono la sfera ed il piano proiettivo. In dimensione 3 queste formano invece alcune famiglie infinite: tra queste la più nota è quella degli spazi lenticolari, il cui gruppo fondamentale è un gruppo ciclico.

