Anello di Gorenstein
# Anello di Gorenstein

In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello di Gorenstein è un anello commutativo tale che la localizzazione in ogni ideale primo è un anello di Gorenstein locale.

Un anello di Gorenstein locale è un anello locale, commutativo, noetheriano R tale che la sua dimensione iniettiva come R-modulo è finita.

Il concetto di anello di Gorenstein è un caso particolare del più generale concetto di anello di Cohen-Macaulay.

Gli analoghi non commutativi degli anelli di Gorenstein di dimensione 0 sono detti anelli di Frobenius.

## Definizioni equivalenti

Un anello locale, commutativo, noetheriano $(R,m,k)$, con dimensione di Krull $n$, è detto anello di Gorenstein locale di dimensione $n$ se gode di una delle seguenti proprietà equivalenti:

* $R$ ha dimensione iniettiva finita come $R$-modulo;
* $R$ ha dimensione iniettiva $n$ come $R$-modulo;
* $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ per $i\neq n$ e $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)$ è isomorfo a $k$;
* $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ per qualche $i>n$;
* $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ per ogni $i<n$ e $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)$ è isomorfo a $k$.

## Caso non commutativo

Un anello R (non necessariamente commutativo) è detto anello di Gorenstein se ha dimensione iniettiva finita sia come R-modulo sinistro che come R-modulo destro. Se R è un anello locale allora è detto anello di Gorenstein locale.

## Esempi

* Ogni anello locale regolare è di Gorenstein.
* L'anello $k[x,y,z]/(x^2,$ $y^2,$ xz, yz, $z^2–xy)$ è un anello di Gorenstein 0-dimensionale.

## Proprietà

Un anello locale commutativo noetheriano è di Gorenstein se e solo se il suo completamento è di Gorenstein.

