Regola del rettangolo
# Regola del rettangolo

La regola del rettangolo o regola del punto medio, è il più semplice procedimento di integrazione numerica per approssimare un integrale definito nella forma :$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$.

Tale formula approssima l'integrale (e quindi l'area sottesa dalla funzione) come un rettangolo di base $b-a$ e di altezza $f(c)$, dove a e b sono gli estremi di integrazione e c è il punto medio dell'intervallo, ottenendo un'espressione finale per l'integrale pari a: $I_{r}=(b-a)f(c)=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$

## Formula composita

Per calcolare con più accuratezza l'integrale, si divide l'intervallo di integrazione $[a,b]$ in $M$ sottointervalli di ampiezza uniforme pari a $h={\frac {b-a}{M}}$

La formula del punto medio diventerà dunque $I_{r}^{c}=h\sum _{k=1}^{M}f({\bar {x}}_{k})$, dove ${\bar {x}}_{k}$ rappresenta il punto medio del k-esimo sottointervallo.

## Analisi dell'errore

L'errore sviluppato con il metodo del rettangolo, assumerà la seguente espressione: ${\mathcal {E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-I_{r}={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )$, dove $\xi$ è un opportuno punto compreso nell'intervallo $[a,b]$.

Nel caso si usi il metodo composito l'errore sarà ${\mathcal {E}}=h^{2}{\frac {b-a}{24}}f''(\xi )$. Dalla formula dell'errore si deduce che il metodo integra esattamente polinomi di primo grado, e che l'errore diminuisce quadraticamente rispetto all'ampiezza dei sottointervalli $h$.

## Implementazione su calcolatore

In MATLAB la formula del rettangolo composita può essere implementata come segue:

