Sottospazio affine
# Sottospazio affine

In matematica, un sottospazio affine è un sottoinsieme di uno spazio affine avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio affine. Esempi di sottospazi affini sono i punti, le rette e i piani nell'ordinario spazio euclideo tridimensionale.

I sottospazi affini si distinguono dai sottospazi vettoriali per il fatto che non sono forzati a passare per un punto fissato (l'origine dello spazio vettoriale). A differenza dei sottospazi vettoriali, i sottospazi affini possono quindi non intersecarsi ed essere ad esempio paralleli. Questa maggiore libertà ha però una controparte: per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann.

I sottospazi affini sono strettamente correlati ai sistemi lineari: l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è in effetti uno spazio affine.

## Definizione

### In uno spazio vettoriale

Un sottospazio affine di uno spazio vettoriale $V$ è un sottoinsieme $S$ del tipo

    $S=p+W=\{p+w\ |\ w\in W\}$

dove $p$ è un punto fissato di $V$ e $W$ è un sottospazio vettoriale fissato di $V$. Si tratta in altre parole del sottospazio $W$ traslato del vettore $p$.

### In uno spazio affine

La definizione all'interno di uno spazio affine è analoga. Sia $A$ uno spazio affine. Più precisamente, $A$ è dotato di uno spazio vettoriale $V$ e di una funzione

    $f:A\times V\to A$

che viene solitamente indicata con il simbolo "+", quindi $f(p,v)=p+v$. Un sottospazio affine di $A$ è un sottoinsieme $S$ del tipo

    $S=p+W=\{p+w\ |\ w\in W\}.$

La definizione appena data è più generale della precedente, perché ogni spazio vettoriale può essere considerato come spazio affine con $A=V$, in cui la funzione $f$ è l'usuale somma fra vettori.

## Proprietà

In uno spazio affine $A$, dati due punti $P,Q$ di $A$ si indica con ${\overrightarrow {PQ}}$ l'unico vettore in $V$ tale che

    $P+{\overrightarrow {PQ}}=Q.$

### Giacitura

Lo stesso sottospazio può essere definito in varie forme diverse come $S=p+W$. In tutte queste rappresentazioni, il punto $p$ può variare (può essere un punto qualsiasi di $S$, a conferma che in geometria affine non ci sono "punti privilegiati"), ma $W$ risulta essere sempre lo stesso: questo sottospazio di $V$ è chiamato giacitura di $S$. La giacitura è infatti definita intrinsecamente come

    $W=\{{\overrightarrow {PQ}}\ |\ P,Q\in S\}.$

La dimensione di $S$ è definita come la dimensione di $W$. Quando la dimensione è 1 o 2 si parla di retta affine o piano affine. Quando la dimensione è pari alla dimensione di $A$ meno uno, si parla di iperpiano affine.

### Sottospazio generato

Il sottospazio affine generato da un sottoinsieme $S$ del piano affine $A$ è il più piccolo sottospazio che contiene $S$ (equivalentemente, è l'intersezione di tutti i sottospazi affini che contengono $S$). Viene indicato con $L(S)$.

Ad esempio, $k$ punti $x_{1},\ldots ,x_{k}$ in $A$ generano un sottospazio $L(x_{1},\ldots ,x_{k})$. In questo caso la dimensione del sottospazio è minore o uguale di $k-1$: quando è precisamente $k-1$ i punti sono detti affinemente indipendenti.

## Esempi

### Nello spazio euclideo tridimensionale

**Retta affine**

Sia

    $\mathbb {R} ^{3}=\{(x,y,z)\ |\ x,y,z\in \mathbb {R} \}$

lo spazio euclideo tridimensionale. Fissato un punto $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$, una retta affine passante per $P_{0}$ è l'insieme dei punti:

    $r=\{P_{0}+tv\ |\ t\in \mathbb {R} \}$

dove $v=(v_{x},v_{y},v_{z})$ è un vettore fissato, detto vettore direzione della retta. La giacitura è qui la retta

    $W=\{tv\ |\ t\in \mathbb {R} \}={\rm {Span}}(v)$

generata da $v$. La stessa retta affine $r$ può essere rappresentata sostituendo il vettore direzione $v$ con un qualsiasi suo multiplo $kv$ avente $k\neq 0$.

**Piano affine**

Analogamente, un piano affine passante per $P_{0}$ è del tipo:

    $\pi =\{P_{0}+tv_{1}+sv_{2}\ |\ t,s\in \mathbb {R} \}$

dove $v_{1}$ e $v_{2}$ sono due vettori linearmente indipendenti.

### Soluzioni di sistemi lineari

Negli esempi precedenti, i sottospazi sono definiti tramite l'ausilio di parametri $t$ e $s$: le equazioni che li descrivono sono per questo dette parametriche. Un sottospazio affine in uno spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ (o in un più generale spazio vettoriale $K^{n}$) è anche descrivibile in forma più implicita, come spazio di soluzioni di un sistema lineare. Vale cioè il fatto seguente:

Lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare con $n$ incognite a coefficienti in $K$ è un sottospazio affine di $K^{n}$. D'altro canto, ogni sottospazio affine in $K^{n}$ è lo spazio di soluzioni di un sistema lineare.

Un sottospazio affine determinato come spazio di soluzioni di un sistema lineare è descritto in forma cartesiana. I coefficienti del sistema lineare formano una matrice, e la dimensione del sottospazio è collegata al rango di questa tramite il teorema di Rouché-Capelli.

Ad esempio, una singola equazione

    $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}=c$

descrive un iperpiano in $K^{n}$. In particolare, questo è una retta nel piano se $n=2$ ed un piano nello spazio se $n=3$. Una retta nello spazio $K^{3}$ può essere descritta da due equazioni

    ${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1},\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}.\end{cases}}$

## Equazioni parametriche e cartesiane

Come mostrato negli esempi precedenti, i sottospazi di uno spazio affine $K^{n}$ possono essere descritti in forma parametrica o cartesiana. Il passaggio da una rappresentazione all'altra può essere svolto nel modo seguente.

### Da cartesiana a parametrica

Il passaggio da cartesiana a parametrica consiste nella risoluzione del sistema lineare. Questa può essere fatta tramite l'algoritmo di Gauss.

### Da parametrica a cartesiana

Il passaggio da parametrica a cartesiana consiste nel determinare equazioni che descrivono il sottospazio. Questo può essere fatto scrivendo delle condizioni che un punto deve soddisfare per appartenere al sottospazio. Ad esempio, se $S$ è descritto come

    $S=\{p+t_{1}w_{1}+\ldots t_{k}w_{k}\ |\ t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\}$

dove i vettori $w_{1},\ldots ,w_{k}$ formano una base della giacitura $W$, un punto $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ appartiene a $S$ se e solo se il vettore

    ${\overrightarrow {px}}=(x_{1}-p_{1},\ldots ,x_{n}-p_{n})$

appartiene alla giacitura. Questo accade precisamente quando la matrice

    ${\begin{pmatrix}w_{1}^{1}&\ldots &w_{k}^{1}&x_{1}-p_{1}\\\vdots &&\vdots &\vdots \\w_{1}^{n}&\ldots &w_{k}^{n}&x_{n}-p_{n}\end{pmatrix}}$

avente come primi vettori colonna la base di $W$ ha rango pari a $k$. Quest'ultima condizione può essere espressa come l'annullamento dei determinanti di tutti i minori di ordine $k+1$. Ciascuno di questi determinanti fornisce una equazione lineare nelle variabili $x_{1},\ldots ,x_{n}$; queste equazioni lineari insieme formano un sistema lineare che descrive il sottospazio in forma cartesiana.

## Relazioni fra sottospazi

Due sottospazi affini sono detti:

* incidenti quando hanno intersezione non vuota,
* paralleli quando una delle due giaciture è contenuta nell'altra,
* sghembi quando l'intersezione è vuota e le due giaciture si intersecano solo nell'origine,
* esiste un altro caso che si presenta solo in spazi affini di dimensione 4 o superiore, ovvero quando i due sottospazi hanno intersezione vuota, nessuna delle due giaciture è contenuta nell'altra ma queste si intersecano in un sottospazio più grande dell'origine.

Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann: questo è il prezzo da pagare per aver liberato i sottospazi dalla costrizione di passare per un punto privilegiato. La geometria proiettiva risolve questo problema (cioè recupera la formula di Grasmann) aggiungendo allo spazio affine dei "punti all'infinito".

### Esempi

Le relazioni di incidenza e parallelismo possono essere determinate con l'ausilio dell'algebra lineare. Ad esempio, due piani in $\mathbb {R} ^{3}$ descritti in forma cartesiana

    $\pi :ax+by+cz+d=0,\,\!$
    $\pi ':a'x+b'y+c'z+d'=0.$

sono paralleli precisamente quando la matrice dei coefficienti ha rango 1:

    $rg{\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{vmatrix}}=1.$

Altrimenti per il teorema di Rouché-Capelli i due piani si intersecano in una retta. Due piani nello spazio non possono quindi essere sghembi.

Discorso analogo è valido per due iperpiani in $K^{n}$ (ad esempio, due rette nel piano $K^{2}$). Due rette nello spazio $K^{3}$ possono però essere sghembe.

### Formula di Grassmann

La formula di Grassmann è valida in geometria affine soltanto se gli spazi affini si intersecano. Quindi se due spazi affini $S$ e $S'$ hanno intersezione non vuota vale la formula

    $\dim(L(S,S'))=\dim S+\dim S'-\dim S\cap S'\,\!$

dove $L(S,S')$ è il sottospazio affine generato da $S$ e $S'$.

