Anello dei polinomi
# Anello dei polinomi

In algebra astratta, l'anello dei polinomi costruiti a partire da un certo anello $A$ è una struttura algebrica contenente tutte le espressioni polinomiali a coefficienti in $A$.

Se $A[X]$ è un dominio d'integrità, il suo campo dei quozienti è dato dall'insieme delle funzioni razionali a coefficienti nel campo dei quozienti di $A$.

## Definizione

Se $A$ è un anello, si definisce come anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in $A$ l'insieme

    $A^{(\mathbb {N} )}=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }:a_{n}\in A,a_{n}=0{\mbox{ per quasi tutti gli n}}\}$,

cioè l'insieme delle successioni a valori in $A$ definitivamente nulle. Tale insieme assume la struttura di anello se munito delle seguenti operazioni di somma e prodotto:

    $(a_{n})_{n}+(b_{n})_{n}:=(a_{n}+b_{n})_{n}$
    $(a_{n})_{n}\times (b_{n})_{n}:=(c_{n})_{n},\ c_{n}=\sum _{p+q=n}(a_{p}\cdot b_{q})$

La seconda operazione è esattamente il prodotto di Cauchy delle due successioni. Tale anello si denota in maniera standard con $A[X]$ e i suoi elementi possono essere rappresentati come

    $p=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$,

dove $X$ rappresenta un simbolo formale, che serve solo come "segnaposto" per indicare che il coefficiente $a_{m}$ è l'$m$-esimo elemento della successione.

## Anello dei polinomi in $n$ variabili

Si può definire l'anello dei polinomi in due variabili a coefficienti nell'anello $A$ induttivamente: essendo $A[X]$ esso stesso un anello, lo si può prendere come l'anello di provenienza dei coefficienti e definire dunque

    $A[X,Y]:=(A[X])[Y]$

e, per $n$ variabili,

    $A[X_{1},...,X_{n}]:=R[X_{n}],$, con $R=A[X_{1},...,X_{n-1}]$.

Tale costruzione permette di allargare le proprietà che $A[X]$ ereditava da $A$ fino all'$n$-esima variabile; ad esempio, se $A$ è un dominio, lo sarà anche $A[X_{1},...,X_{n}]$ e così via.

Gli anelli seguenti sono tutti isomorfi in modo naturale:

       $A[X,Y]\cong (A[X])[Y]\cong A[Y,X]\cong (A[Y])[X]$

## Rapporti tra $A$ e l'anello dei polinomi

Alcune proprietà dell'anello $A$ si trasferiscono all'anello dei polinomi $A[X]$, mentre altre no; le prime sono significative perché, per induzione, possono poi essere estese agli anelli di polinomi in qualunque numero di variabili. Un esempio è la presenza dell'unità: $A[x]$ è un anello unitario se e solo se lo è $A$, così come $A[X]$è un dominio d'integrità se e solo se lo è $A$: se lo è $A$, infatti, il prodotto dei due monomi di grado massimo è ancora un monomio non nullo, unico con quel grado; viceversa, $A$ è un sottoanello di $A[X]$, formato dalle sue costanti, e quindi non può possedere divisori dello zero.

Dal punto di vista della fattorizzazione, se $A$ è un anello a fattorizzazione unica lo è anche $A[X]$ (e quindi anche ogni $A[X_{1},\ldots ,X_{n}]$). La dimostrazione procede prima esaminando il caso in cui $A$ è un campo: in questa situazione, è sempre possibile dividere i coefficienti dei monomi di grado massimo, e quindi è possibile la divisione tra polinomi, che rende $A[X]$ un anello euclideo con la valutazione data dal grado del polinomio; bisogna notare tuttavia che $A[X]$ non è un campo, e quindi $A[X,Y]$ non è un anello euclideo: in effetti non è neppure un anello ad ideali principali, in quanto l'ideale $(X,Y)$ non può essere generato da un singolo elemento. Passando poi ad un anello a fattorizzazione unica $A$ generico, si nota che $A[X]$ è un sottoanello di $K[X]$, dove $K$ è il campo dei quozienti di $A$; la tesi segue quindi dal lemma di Gauss, che afferma che un polinomio primitivo (ovvero il cui massimo comun divisore tra i coefficienti è 1) è irriducibile in $A[X]$ se e solo se è irriducibile in $K[X]$.

Un'altra importante proprietà che passa all'anello dei polinomi è la noetherianità: se $A$ è un anello noetheriano, lo è anche $A[X]$. Tale risultato è noto come teorema della base di Hilbert.

