Varietà affine
# Varietà affine

In geometria algebrica, una varietà affine è il sottoinsieme di uno spazio affine $n$-dimensionale su un campo algebricamente chiuso $k$ caratterizzato dall'annullarsi simultaneo di tutti i polinomi di un sottoinsieme di $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$. Un aperto (secondo la topologia di Zariski) di una varietà affine è detto varietà quasi affine.

## Morfismi tra varietà affini

Una funzione regolare per una varietà affine $X$ è una funzione $f\colon X\to k$ tale che per ogni punto $P\in X$ esiste un intorno del punto in cui $f(x)=g(x)/h(x)$, dove $g,h\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]$. L'insieme di tutte le funzioni regolari su $X$ è l'anello ${\mathcal {O}}(X)$.

Un morfismo tra due varietà è una funzione $\phi \colon X\to Y$ che induce un morfismo di anelli $\phi ^{\star }\colon {\mathcal {O}}(Y)\to {\mathcal {O}}(X)\colon f\mapsto f\circ \phi$.

## Algebra affine

Dato un insieme qualsiasi di polinomi, la varietà affine che definiscono è la stessa definita dall'ideale $I(X)$ generato da questi polinomi. Si può quindi definire l'algebra affine di una varietà affine $X$ come la $k$-algebra finitamente generata $A(X)=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)$.

Si dimostra che due varietà affini sono isomorfe se e solo se le loro algebre affini sono isomorfe. Inoltre se si associa ad ogni varietà affine la propria algebra e ad ogni morfismo $\phi$ il morfismo $\phi ^{\star }$, si ottiene un funtore controvariante tra la categoria delle varietà affini e quella delle $k$-algebre finitamente generate.

## Proprietà

* Per la noetherianità dell'anello dei polinomi, ci si può ridurre a considerare un numero finito di polinomi.
* Per definizione, una varietà affine è chiusa secondo la topologia di Zariski, ma in quanto intersezione finita di luoghi di zeri, è chiusa anche per la topologia standard se $k=\mathbb {C}$ o $k=\mathbb {R}$.
* Le varietà affini formano una categoria sia con i morfismi di varietà, sia con le mappe razionali.
