Operatore parità
# Operatore parità

## Definizione

L'operatore parità in meccanica quantistica è l'operatore che effettua una trasformazione di inversione spaziale delle coordinate ovvero cambia il segno di ognuna di esse. La sua azione su di un ket arbitrario definito nella base delle x è la seguente:

    $P\left|\psi \right\rangle =P\int _{-\infty }^{\infty }\left|x\right\rangle \left\langle x\right|\left|\psi \right\rangle dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|-x\right\rangle \left\langle x\right|\left|\psi \right\rangle dx=-\int _{\infty }^{-\infty }\left|x'\right\rangle \left\langle -x'\right|\left|\psi \right\rangle dx'=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x'\right\rangle \left\langle -x'\right|\left|\psi \right\rangle dx'$

dove $x'=-x$, quindi :

    $\left\langle x\right|P\left|\psi \right\rangle =\psi (-x)$

Dato un generico stato fisico S descritto dalla sua funzione d'onda quindi:

    $P^{\dagger }{\vec {x}}P=-{\vec {x}}$
    $P\psi _{s}({\vec {x}})=\psi _{s}(-{\vec {x}})$

## Proprietà

### Lineare

P è un operatore lineare in quanto:

    $P(\psi _{1}({\vec {x}})+\psi _{2}({\vec {x}}))=P\psi _{1}({\vec {x}})+P\psi _{2}({\vec {x}})$

### Hermitiano (autoaggiunto)

P è un operatore autoaggiunto in quanto:

    $P^{\dagger }=P$

Il che garantisce che abbia autovalori reali. Ciò si evince facilmente in tal modo:

$P^{2}\left|x\right\rangle =\left|-(-x)\right\rangle =\left|x\right\rangle$, da cui $P^{2}=I$.

### Unitario

P è un operatore unitario in quanto:

    $P^{\dagger }P=PP^{\dagger }=1$

Gli operatori unitari corrispondono a trasformazioni che non modificano il prodotto scalare. La combinazione delle ultime due proprietà corrisponde all'evidenza che invertendo lo spazio due volte abbiamo una trasformazione identica.

### Commutatori

L'operatore di parità commuta con gli scalari e con gli pseudovettori, e anticommuta con i vettori e gli pseudoscalari. Ad esempio l'azione dell'inversione spaziale lascia invariati l'energia e il momento angolare, mentre cambia il segno dell'impulso e dell'elicità.

    $[P,{\vec {L}}]=0$
    $\{P,{\vec {p}}\}=0$

## Autostati e autovalori

Poiché P è sia unitario che hermitiano i suoi autovalore devono essere di norma unitaria e reali, quindi uno e meno uno.

In definitiva le autofunzioni dell'operatore parità sono le funzioni pari e quelle dispari:

    $\psi _{p}(-{\vec {x}}')=+\psi _{p}({\vec {x}}')$
    $\psi _{d}(-{\vec {x}}')=-\psi _{d}({\vec {x}}')$

## Applicazioni

Poiché l'hamiltoniana di un sistema simmetrico per inversione commuta con la Parità è garantita l'esistenza di una base simultanea di autostati dei due operatori. Questo significa che siamo legittimati a cercare le autofunzioni dell'Hamiltoniana tra le funzioni pari e quelle dispari. Un esempio di questo procedimento è la trattazione della buca di potenziale finita.

